DETERMINAN MATRIKS CENTROSYMMETRIC BENTUK KHUSUS ORDO 𝟒𝟒 × 𝟒𝟒 BERPANGKAT
BILANGAN BULAT POSITIF
Ade Novia Rahma
1*, Esty Erizona
2, Rahmawati
31,2,3Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Sultan Syarif Kasim Riau Email : 1[email protected], 2[email protected], 3[email protected],
*penulis korespondensi
Abstract. This research aims to determine the determinant of a centrosymmetric matrix of a special shape of the order 𝟒𝟒 × 𝟒𝟒 of the rank of exponential number with positive integer exponent. First, consider the shape of the centrosymmetric matrix pattern of the special forms 𝑨𝑨𝟒𝟒𝟐𝟐 to 𝑨𝑨𝟒𝟒𝟏𝟏𝟏𝟏 so that the general shape is obtained. Second, pay attention to the shape of the determinant pattern of centrosymmetric matrices special forms 𝑨𝑨𝟒𝟒𝟐𝟐 to 𝑨𝑨𝟒𝟒𝟏𝟏𝟏𝟏
so that the general form is obtained. so that the general form of the centrosymmetric matrix form is special Proof of the general form of the matrix, determinant using the mathematical induction method and direct proof. The final results in this research obtained the general form of the matrix, determinant of the centrosymmetric matrix of special shapes positive with 𝒏𝒏 odd and even 𝒏𝒏.
Keywords: centrosymmetric matrix, mathematical induction, determinant, direct proof, matrix elevation.
Abstrak. Penelitan ini bertujuan untuk menentukan determinan dari suatu matriks centrosymmetric bentuk khusus ordo 4 × 4 berpangkat bilangan bulat positif. Dalam menentukan determinan matriks centrosymmetric bentuk khusus terdapat beberapa langkah yang perlu dikerjakan. Pertama perhatikan bentuk pola matriks centrosymmetric bentuk khusus 𝐴𝐴42 sampai 𝐴𝐴410 sehingga didapat bentuk umumnya kemudian dibuktikan dengan induksi matematika. Kedua perhatikan bentuk pola determinan matriks centrosymmetric bentuk khusus 𝐴𝐴42 sampai 𝐴𝐴410 sehingga didapat bentuk umumnya lalu dibuktikan dengan pembuktian langsung. Hasil akhir dalam penelitian ini diperoleh bentuk umum matriks, determinan dari matriks centrosymmetric berpangkat bilangan bulat positif dengan 𝑛𝑛 ganjil dan 𝑛𝑛 genap.
Kata Kunci: Matriks Centrosymmetric, Induksi Matematika, Determinan, Pembuktian Langsung, Perpangkatan Matriks.
I. PENDAHULUAN
Menurut Nurkhasannah [4] Matriks centrosymmetric merupakan salah satu matriks yang memiliki struktur simetri pada pertengahan matriks. Diberikan 𝐴𝐴 = �𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖�𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 ∈ 𝑅𝑅𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 adalah matriks centrosymmetric, jika 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑎𝑎𝑛𝑛−𝑖𝑖+1,𝑛𝑛−𝑖𝑖+1, 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛, 1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑛𝑛 atau dapat ditulis
=
11 21 12 22 1
2
2 22
21
1 12
11
a a a a a
a
a a
a
a a
a A
n n
n n
n
(1)
Dalam teori matriks terdapat berbagai macam operasi matriks diantaranya yaitu perkalian matriks, perpangkatan matriks, invers matriks dan determinan matriks. Dalam penelitian ini hanya membahas mengenai determinan matriks. Menurut Anton [2] Jika 𝐴𝐴 adalah matriks berukuran 𝑛𝑛 × 𝑛𝑛, maka bilangan yang dihasilkan dari perkalian entri-entri di setiap baris atau kolom 𝐴𝐴 oleh kofaktor yang bersesuaian lalu menjumlahkan hasil perkalian tersebut dikatakan determinan 𝐴𝐴.
Pembahasan mengenai determinan suatu matriks telah banyak diteliti oleh peneliti sebelumnya. Pada tahun 2016, terdapat penelitian yang membahas tentang determinan, matriks kofaktor dan invers dari matriks Teoplitz Tridiagonal [3]. Pada tahun 2018, terdapat penelitian yang membahas tentang bentuk umum determinan matrik FLDcircr menggunakan ekspansi kefaktoran, matriks kofaktor dari FLDcircr dan bentuk umum invers matriks FLDcircr menggunakan metode adjoin [8] .
Dari Persamaan (1), pada tulisan ini penulis tertarik mengulas tentang determinan matriks centrosymmetric bentuk khusus ordo 4 × 4. Dimana 𝑎𝑎11, 𝑎𝑎13, 𝑎𝑎23 = 𝑎𝑎 dan 𝑎𝑎12, 𝑎𝑎14, 𝑎𝑎21, 𝑎𝑎22, 𝑎𝑎24 = 0 atau dapat ditulis sebagai berikut :
=
a a
a a a a
A
0 0
0 0 0
0 0
0
0 0
4 , dengan 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅. (2)
II. METODE DAN BAHAN PENELITIAN
Penelitian yang penulis gunakan adalah studi literatur dengan menggunakan referensi seperti buku referensi, jurnal dan internet. Adapun teori pendukung yang penulis gunakan adalah sebagai berikut:
Definisi 1 [2] Jika 𝐴𝐴 adalah matriks persegi, maka perpangkatan bilangan bulat non-negatif dari 𝐴𝐴 didefinisikan sebagai:
𝐴𝐴0 = 𝐼𝐼 dan 𝐴𝐴𝑛𝑛= 𝐴𝐴 𝐴𝐴 … 𝐴𝐴 [𝑛𝑛 faktor]
dan jika 𝐴𝐴 invertible, maka perpangkatan bilangan bulat negatif dari 𝐴𝐴 didefinisikan sebagai:
𝐴𝐴−𝑛𝑛= (𝐴𝐴−1)𝑛𝑛= 𝐴𝐴−1𝐴𝐴−1… 𝐴𝐴−1 [𝑛𝑛 faktor].
Teorema 1 [2] Jika 𝐴𝐴 adalah invertible dan 𝑛𝑛 adalah bilangan bulat non-negatif, maka a) 𝐴𝐴−1 adalah invertible dan (𝐴𝐴−1)−1= 𝐴𝐴
b) 𝐴𝐴𝑛𝑛 adalah invertible dan (𝐴𝐴𝑛𝑛)−1= 𝐴𝐴−𝑛𝑛= (𝐴𝐴−1)𝑛𝑛
c) 𝑘𝑘𝐴𝐴 adalah invertible untuk setiap skalar 𝑘𝑘 yang bukan nol dan (𝑘𝑘𝐴𝐴)−1= 𝑘𝑘−1𝐴𝐴−1.
Definisi 2 [9] Matriks centrosymmetric merupakan salah satu matriks yang memiliki struktur simetri pada pertengahan matriks.
Diberikan 𝐴𝐴 = �𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖�𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛∈ 𝑅𝑅𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 adalah matriks centrosymmetric, jika 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑎𝑎𝑛𝑛−𝑖𝑖+1,𝑛𝑛−𝑖𝑖+1, 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛, 1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑛𝑛 atau dapat ditulis
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
0
( ) ( )
( ) lim
h
f a h f a
f a → h
+ −
′ = ,
asalkan limitnya ada dan bukan ∞ atau −∞.
=
11 21 12 22 1
2
2 22
21
1 12
11
a a a a a
a
a a
a
a a
a A
n n
n n
n
.
Definisi 3 [6] Diberikan matriks S berorde n × n. Matriks S disebut matriks centrosymmetric jika memenuhi
.
R =
S S Lemma 1.
i. Jika
= a b
b
S a maka S adalah matriks centrosymmetric
ii. Jika
=
a c b
d e d
b c a
S maka S adalah matriks centrosymmetric
Selanjutnya bentuk umum matriks centrosymmetric dengan ordo n≥4dibagi ke dalam 2 kasus yakni n genap dan n ganjil. Untuk kasus n genap yakni n 2= mmaka misalkan matriks S berbentuk matriks blok sebagai berikut.
=
D B
C S A
Dengan A, B, C dan D adalah matriks persegi berorde m. Matriks S harus memenuhi SR = S sehingga
S SJ Jn n =
=
D B
C A O
J J O D B
C A O J
J O
m m
m m m
m m m
.
=
m m m m
m m m m
J DJ J BJ A C J CJ J AJ B D
Dari bentuk berakhir diperoleh D =JmAJmdan C = JmBJm. Hasil ini diperoleh dalam lema berikut.
Lema 2. Jika S adalah matriks centrosymmetric berorde genap yakni n 2= mmaka S dapat ditulis dalam bentuk matriks blok sebagai berikut.
= m m
AJ J B
BJ J S A
dengan A dan B adalah matriks persegi berorde m.
Bentuk matriks 𝑆𝑆 pada lema diatas bukan bentuk tunggal karena matriks 𝑆𝑆 dapat ditulis dalam bentuk
=
m m m
mBJ J AJ
J
B
S A atau
=
m m m
m
AJ J BJ
B J
S A .
Definisi 4 [2] Jika 𝐴𝐴 adalah matriks persegi, maka minor dari entri 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 dinotasikan oleh 𝑀𝑀𝑖𝑖𝑖𝑖 dan didefinisikan menjadi determinan dari sub-matriks yang tetap setelah baris ke−𝑖𝑖 dan kolom ke−𝑗𝑗 dihapus dari 𝐴𝐴. Bilangan (−1)𝑖𝑖+𝑖𝑖𝑀𝑀𝑖𝑖𝑖𝑖 dinotasikan oleh 𝐶𝐶𝑖𝑖𝑖𝑖 dan disebut kofaktor dari entri 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖.
Definisi 5 [7] Jika 𝐴𝐴 adalah matriks berukuran 𝑛𝑛 × 𝑛𝑛, maka bilangan yang dihasilkan dari perkalian entri-entri di setiap baris atau kolom 𝐴𝐴 oleh kofaktor yang bersesuaian lalu menjumlahkan hasil perkalian tersebut dikatakan determinan 𝐴𝐴. Jumlah-jumlah dari keseluruhannya disebut ekspansi kofaktor dari 𝐴𝐴 yang dituliskan sebagai berikut:
ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke– 𝑗𝑗:
d𝑒𝑒𝑒𝑒(𝐴𝐴) = 𝑎𝑎1𝑖𝑖𝐶𝐶1𝑖𝑖+ 𝑎𝑎2𝑖𝑖𝐶𝐶2𝑖𝑖+ ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑖𝑖𝐶𝐶𝑛𝑛𝑖𝑖 ekspansi kofaktor sepanjang baris ke– 𝑖𝑖:
d𝑒𝑒𝑒𝑒(𝐴𝐴) = 𝑎𝑎𝑖𝑖1𝐶𝐶𝑖𝑖1+ 𝑎𝑎𝑖𝑖2𝐶𝐶𝑖𝑖2+ ⋯ + 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑛𝑛𝐶𝐶𝑖𝑖𝑛𝑛
Definisi 6 [7] Misalkan 𝑝𝑝(𝑛𝑛) adalah proposisi perihal bilangan bulat positif dan kita ingin membuktikan bahwa 𝑝𝑝(𝑛𝑛) benar untuk semua bilangan bulat positif 𝑛𝑛. Untuk membuktikan proposisi ini, kita hanya perlu menunjukkan.
1. 𝑝𝑝(1) benar, dan
2. Jika 𝑝𝑝(𝑛𝑛) benar, makan 𝑝𝑝(𝑛𝑛 + 1) juga benar untuk setiap 𝑛𝑛 ≥ 1. Sehingga 𝑝𝑝(𝑛𝑛) benar untuk semua bilangan bulat positif 𝑛𝑛.
Langkah 1 dinamakan basis induksi, sedangkan langkah 2 dinamakan langkah induksi. Lagkah induksi berisi asumsi (andaian) yang menyatakan bahwa 𝑝𝑝(𝑛𝑛) benar. Asumsi tersebut dinamakan hipotesis induksi. Bila kita sudah menunjukkan kedua langkah tersebut benar maka kita sudah membuktikan bahwa 𝑝𝑝(𝑛𝑛) benar untuk semua bilangan bulat positif 𝑛𝑛.
III. PEMBAHASAN
Pada bagian ini akan ditentukan bentuk umum determinan dari matriks centrosymmetric bentuk khusus pada Persamaan (2) berpangkat bilangan bulat positif. Langkah pertama yaitu menentukan nilai perpangkatan matriks 𝐴𝐴42 sampai 𝐴𝐴410sebagai berikut:
𝐴𝐴42= 𝐴𝐴4 . 𝐴𝐴4
=
a a
a a a a
a a
a a a a
0 0
0 0 0
0 0
0
0 0
0 0
0 0 0
0 0
0
0 0
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
=
2 2 2
2 2
2 2 2
0
0 0
0
0 0 0
0
a a a
a a
a a a
Dengan cara yang sama, maka didapatkan
=
3 3 3 3
3 3 3 3
3 4
2 0
0 0 0
0 0
0
0 2
a a a a
a a a a
A ,
=
4 4 4
4 4
4 4 4
4 4
2 2 0
0 0
0
0 0 0
0 2 2
a a a
a a
a a a
A ,
=
5 5 5 5
5 5 5 5
5 4
2 3 0
0 0 0
0 0
0
0 3 2
a a a a
a a a a
A ,
=
6 6 6
6 6
6 6 6 46
3 3 0
0 0
0
0 0 0
0 3 3
a a a
a a
a a a
A ,
=
7 7 7 7
7 7 7 7 47
3 4 0
0 0 0
0 0
0
0 4 3
a a a a
a a a a
A ,
=
8 8 8
8 8
8 8 8 48
4 4 0
0 0
0
0 0 0
0 4 4
a a a
a a
a a a
A ,
=
9 9 9 9
9 9 9 9
9 4
4 5 0
0 0 0
0 0
0
0 5 4
a a a a
a a a a
A ,
=
10 10 10
10 10
10 10 10
10 4
5 5 0
0 0
0
0 0 0
0 5
5
a a a
a a
a a a
A .
Selanjutnya bentuk umum matriks berpangkat A4n 𝑛𝑛 ganjil dan 𝑛𝑛 genap dinyatakan dalam teorema berikut:
Teorema 2 Diberikan
=
a a
a a a a
A
0 0
0 0 0
0 0
0
0 0
4 , ∀𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅. Maka
− +
+
−
=
n n n
n
n n n
n n
a n a
n a a
a n a n a
a A
2 1 2
0 1
0 0
0
0 0
0
2 0 1 2
1
4 untuk 𝑛𝑛 ganjil
=
n n n
n n
n n n n
a na na a
a na na a A
2 0 2
0 0
0
0 0 0
2 0 2
4 untuk 𝑛𝑛 genap.
Bukti : Pembuktian menggunakan induksi matematika sebagai berikut :
Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
Misalkan
− +
+
−
=
n n n
n
n n n
n n
a n a
n a a
a n a n a
a A n p
2 1 2
0 1
0 0
0
0 0
0
2 0 1 2
1 :
)
( 4 untuk 𝑛𝑛 ganjil dibuktikan sebagai berikut:
1) Untuk 𝑛𝑛 = 1 maka
=
a a
a a a a
A p
0 0
0 0 0
0 0
0
0 0
: ) 1
( 4 .
Dengan melihat Persamaan (2) maka 𝑝𝑝(1) benar.
2) Asumsikan untuk 𝑛𝑛 = 𝑘𝑘, 𝑝𝑝(𝑘𝑘) benar, yaitu
− +
+
−
=
k k k
k
k k k
k k
a k a
k a a
a k a k a
a A k p
2 1 2
0 1
0 0
0
0 0
0
2 0 1 2
1 :
)
( 4
Maka akan ditunjukkan untuk 𝑛𝑛 = 𝑘𝑘 + 2, 𝑝𝑝(𝑘𝑘 + 2) juga benar yaitu :
+ +
+ +
= +
+ + +
+
+ + +
+ +
2 2 2
2
2 2 2
2
2 4
2 1 2
0 3
0 0
0
0 0
0
2 0 3 2
1 :
) 2 (
k k k
k
k k k
k k
a k a
k a a
a k a k a
a A
k
p (3)
Pembuktiannya :
42 2 4
4 A A
A k+ = k
− +
+
−
=
2 2 2
2 2
2 2 2
0
0 0
0
0 0 0
0
21 21
0
0 0
0
0 0
0
2 0 1 2
1
a a a
a a
a a a
a k a
k a a
a k a k a
a
k k k
k
k k k
k
12 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035 JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
https://doi.org/10.14710/jfma.v4i1.8921
+ +
+ +
=
+ + +
+
+ + +
+
2 2 2
2
2 2 2
2
2 1 2
0 3
0 0
0
0 0
0
2 0 3 2
1
k k k
k
k k k
k
a k a
k a a
a k a k a
a
.
Dengan melihat Persamaan (3) maka p( +k 2) benar.
Dari langkah (1) dan (2) sudah diperlihatkan benar. Maka terbukti
− +
+
−
=
n n n
n
n n n
n n
a n a
n a a
a n a n a
a A
2 1 2
0 1
0 0
0
0 0
0
2 0 1 2
1
4 , untuk 𝑛𝑛 ganjil.
Selanjutnya akan dibuktikan untuk 𝑛𝑛 genap.
Misalkan
=
n n n
n n
n n n n
a na na a
a na na a A n p
2 0 2
0 0
0
0 0 0
2 0 2 :
)
( 4 untuk 𝑛𝑛 genap akan dibuktikan sebagai berikut:
1) Untuk 𝑛𝑛 = 2 maka
4 4 2
: 4
) 2
( A A A
p =
=
2 2 2
2 2
2 2 2
0
0 0
0
0 0 0
0
a a a
a a
a a a
Dengan melihat Persamaan diatas maka 𝑝𝑝(2) benar.
2) Asumsikan untuk 𝑛𝑛 = 𝑘𝑘, 𝑝𝑝(𝑘𝑘) benar, yaitu
=
k k k
k k
k k k k
a ka ka a
a ka ka a A k p
2 0 2
0 0
0
0 0 0
2 0 2 :
)
( 4
Maka akan ditunjukkan untuk 𝑛𝑛 = 𝑘𝑘 + 2, 𝑝𝑝(𝑘𝑘 + 2) juga benar yaitu :
Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
+ +
+ +
= +
+ + +
+ +
+ +
+ +
2 2 2
2 2
2 2
2
2 4
2 2 2
0 2
0 0
0
0 0
0
2 0 2 2
2 :
) 2 (
k k k
k k
k k
k k
a k a
k a a
a
k a k a
a A
k
p (5)
Pembuktiannya :
2 4 4 2
4 A A
A k+ = k
=
2 2 2
2 2
2 2 2
0
0 0
0
0 0 0
0
2 0 2
0 0
0
0 0 0
2 0 2
a a a
a a
a a a
a ka ka a
a ka ka a
k k k
k k
k k k
+ +
+ +
=
+ + +
+ +
+ +
+
2 2 2
2 2
2 2
2
2 2 2
0 2
0 0
0
0 0
0
2 0 2 2
2
k k k
k k
k k
k
a k a
k a a
a
k a k a
a
Dengan melihat Persamaan (5) maka p( +k 2) benar.
Dari langkah (1) dan (2) sudah diperlihatkan benar. Maka terbukti
=
n n n
n n
n n n n
a na na a
a na na a A
2 0 2
0 0
0
0 0 0
2 0 2
4 , untuk 𝑛𝑛 genap.
Berdasarkan pembuktian diatas, maka Teorema 2 terbukti.
Berdasarkan Teorema 2, maka didapatkan bentuk umum invers matriks centrosymmetric bentuk khusus Persamaan (2) yang diberikan dalam Teorema berikut:
Teorema 3 Diberikan
=
a a
a a a a
A
0 0
0 0 0
0 0
0
0 0
4 , ∀𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅. Maka
n a n
A4 =− 4 , untuk nganjil
n a n
A4 = 4 ,untuk ngenap.
Bukti :
14 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035 JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
https://doi.org/10.14710/jfma.v4i1.8921
Akan dibuktikan A4n =−a4n, untuk nganjil sebagai berikut :
Berdasarkan Teorema 4.1 didapatkan bentuk umum A4n (untuk n bilangan ganjil) yang akan digunakan untuk membuktikan dugaan bentuk umum perpangkatan determinan menggunakan pembuktian langsung dengan kofaktor baris pertama sebagai berikut:
− +
+
−
=
n n n
n
n n n
n n
a n a
n a a
a n a n a
a A
2 1 2
0 1
0 0
0
0 0
0
21 0 21
4 , maka
n n n
n
n n n n
n n n n
n n n
n n n n
n a n a a
a
a n a a n a
a n a
a n a
a n a n a a
a a
A
21 21 0
0 0
0 0 0 21
0
0 0
0 0 0 21 21
0
0 0 0
0 0
21 21
21 0 0
0 0
4 − + −
+
+ +
−
− −
−
= +
( ) ( ) ( ) ( )0 00 2
0 1 2
3 − −1 + + −
−
=an a n n an n an a4n
−
=
Sehingga terbukti A4n =−a4n, untuk nganjil.
Selanjutnya Akan dibuktikan A4n =a4n, untuk ngenap sebagai berikut :
Berdasarkan Teorema 4.1 didapatkan bentuk umum A4n (untuk n bilangan genap) yang akan digunakan untuk membuktikan dugaan bentuk umum perpangkatan determinan menggunakan pembuktian langsung dengan kofaktor baris pertama sebagai berikut:
=
n n n
n n
n n n n
a na na a
a na na a A
2 0 2
0 0
0
0 0 0
2 0 2
4 , maka
n n
n n
n n n n
n n n n
n n n
n n n n
na
na a
a
a na
a na
a naa na
a na
na a
a a A
2 0 2
0 0
0 0
0 0 2
0 0 0
0 0
2 0 2
0 0
0 0 0 2 2
2
0 0
0 0
4 −
+
−
=
( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 2
3 −2 + −
=an a n nan nan a4n
= .
Sehingga terbukti A4n =a4n,untuk ngenap.
Berdasarkan pembuktian diatas, maka Teorema 3 terbukti.
Dari bentuk umum determinan perpangkatan matriks Centrosymmetric berlaku untuk semua n dengan matriks Centrosymmetric bentuk khusus ordo 4 × 4 berpangkat bilangan
Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
bulat positif menggunakan ekspansi kofaktor, sehingga jika terdapat suatu matriks centrosimetris seperti diatas sangat memudahkan untuk mencari determinan nya dengan Teorema 3.
IV. KESIMPULAN
Pada artikel ini, telah diperoleh bentuk umum dari Matriks Centrosymmetric bentuk khusus ordo 4 × 4 berpangkat bilangan bulat positif dengan 𝑛𝑛 ganjil dan 𝑛𝑛 genap. Selain itu, telah juga diperoleh bentuk umum dari determinan Matriks Centrosymmetric bentuk khusus ordo 4 × 4 berpangkat bilangan bulat positif dengan 𝑛𝑛 ganjil dan 𝑛𝑛 genap.
REFERENSI
[1] Anton, H., dan Chris R.” Dasar-dasar Aljabar Linear Versi Aplikasi Edisi kedelapan”, Erlangga,Jakarta. 2004.
[2] Anton, H., dan Chris. R.” Elementary Linear Algebra 11th edition”. Wiley, Amerika.2013.
[3] Aryani, F., dan C. M. Corazon. “ Invers Of Tridiagonal Teoplitz Matrix By Adjoin Method”.
Uin Suska Riau, Pekanbaru. 2016.
[4] Corazon, C., dan F. Aryani. “ Invers Matriks Teoplitz Khusus Menggunakan Metode Adjoin”.
Jurnal sains matematika dan statistika. Vol 5, No. 1, halaman 58-67, Januari 2019.
[5] Khasanah, Nur, dkk. “Analisis Konvergensi dari Komputasi Invers Matriks Centrosymmetric”. Prosiding SNMPM undip. halaman 15-19, 2015.
[6] Khasanah, Nur, dkk. “The Algorithm of Determinant Centrosymmetric Matrix Based on Lower Hessenberg Form”. Conference Series. halaman 1-6, 2017.
[7] Rinaldi, Munir. ” Matematika Diskrit”. Edisi Revisi kelima. Informatika, Bandung. 2005.
[8] Rysfan. “Menentukan Invers Matriks Fldcircr dengan Bentuk Khusus Menggunakan Metode Adjoin”. UIN Suska Riau, 2018.
[9] Tamasouw, Berny Pebo.”Karekteristik Matriks Centro-Simetris”. Barekeng. Vol 10, No.2, Hal. 69-76, 2016.
[10] Ulfah, Maysarah. “ Invers Matriks Tak Negatif Menggunakan Metode Adjoin”. UIN Suska Riau, 2017.
16 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035 JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
https://doi.org/10.14710/jfma.v4i1.8921
