Karakterisktik Elemen Satuan Pada Semiring Pseudo-Ternary Matriks Atas Bilangan Bulat Negatif

Karakterisktik Elemen Satuan Pada Semiring

Pseudo-Ternary Matriks Atas Bilangan Bulat Negatif

Maxrizal1 dan Baiq Desy Aniska Prayanti2

1

Jurusan Sistem Informasi, STMIK Atma Luhur Pangkalpinang 2

Universitas Bangka Belitung

1

maxrizal@atmaluhur.ac.id dan 2 baiqdesyaniska@gmail.com

Abstrak

Struktur semiring pseudo-ternary merupakan genaralisasi dari struktur semiring ternary. Sifat-sifat yang terdapat di semiring ternary diselidiki dan diaplikasikan pada semiring pseudo-ternary. Dalam makalah ini dikaji karakteristik dari elemen satuan pada semiring pseudo-ternary matriks atas bilangan bulat negatif. Suatu elemen pada semiring pseudo-ternary dikatakan memiliki elemen satuan jika elemen tersebut merupakan elemen satuan kiri, tengah dan kanan. Jika elemen tersebut hanya merupakan elemen kiri dan kanan maka elemen tersebut dinamakan elemen satuan dua sisi. Hasil kajian menunjukkan bahwa karakteristik elemen satuan pada semiring pseudo ternary matriks atas bilangan bulat negatif bergantung pada ordo dari matriks. Selanjutnya, kelemahan-kelemahan pada ordo matriks dikaji dan dimodifikasi pada beberapa subsemiring pseudo-ternary di semiring pseudo-ternary matriks atas bilangan bulat negatif. Tujuannya agar diperoleh subsemiring pseudo-ternary di semiring pseudo-ternary matriks atas bilangan bulat negatif yang memiliki elemen satuan dua sisi atau elemen satuan.

Kata Kunci: semiring pseudo ternary matriks atas bilangan bulat negatif, elemen satuan, elemen satuan dua sisi, subsemiring pseudo-ternary matriks atas bilangan bulat negatif.

1. Pendahuluan

Konsep semiring ternary pada



2, 3, 4,5, 6, 7



yang diperkenalkan oleh T.K. Dutta dan S. Kar (2004) merupakan generalisasi dari ring ternary yang diperkenalkan oleh W.G. Lister pada tahun 1971. Pada



3, 5, 6



dijelaskan bahwa konsep semiring ternary dimotivasi oleh struktur pada himpunan bilangan bulat negatif

 

 _yang

dilengkapi operasi biner penjumlahan dan triner perkalian biasa. Selanjutnya pada

 

8 , konsep semiring ternary pada  diperluas pada matriks persegi atas  sehingga

 

n n

M _  yang dilengkapi operasi biner penjumlahan dan triner perkalian biasa merupakan semiring ternary.

Faktanya, M_{n n}

 

 merupakan bentuk matriks khusus dari matriks persegi panjang dan struktur matriks M_{m n}

 

 dilengkapi operasi biner penjumlahan dan triner perkalian biasa bukan merupakan semiring ternary. Bahkan struktur

 



M_{m n}  , ,



tidak tertutup pada operasi triner perkalian biasa. Untuk itu pada

T

ABC AB C, dengan A B C, , M_{m n}

 

 dan BTadalah transpose dari matriks B. Selanjutnya, struktur



M_{n n}

 

 , ,



   disebut semiring pseudo-ternary

 

8 .

Berdasarkan

 

8 diperoleh bahwa konsep semiring pseudo-ternary bersifat lebih umum dari semiring ternary sehingga memberi peluang untuk menyelidiki sifat-sifat pada semiring ternary yang masih berlaku pada semiring pseudo-ternary. Salah satu sifat yang dikaji pada makalah ini adalah eksistensi elemen satuan pada semiring pseudo-ternary



M_{n n}

 

 , , 



. Secara umum, suatu elemen pada suatu semiring pseudo-ternary S disebut elemen satuan jika elemen itu merupakan elemen satuan kiri sekaligus elemen satuan tengah dan kanan.

Berdasarkan definisi di atas, dalam makalah ini dikaji eksistensi dari elemen satuan kiri, tengah dan kanan pada semiring pseudo-ternary



M_{n n}

 

 , , 



.

2. Kajian Pustaka

Berikut ini beberapa definisi yang berkaitan dengan struktur semiring pseudo-ternary yang didefinisikan pada

 

8 .

Definisi 1. Diberikan himpunan S  yang dilengkapi dengan operasi biner :S S S

   dan operasi triner :S S S  S. Himpunan S disebut semiring pseudo-ternary jika memenuhi:

1.



S,



merupakan semigrup abelian.

2.



S,



merupakan semigrup pseudo-ternary yaitu untuk setiap , , , ,a b c d eS berlaku abcS dan



abc de



ab cde





.

3. Berlaku sifat distributif kanan, kiri dan tengah, yaitu untuk setiap , , ,a b c dS berlaku

  



 





 





i a b cd acd bcd ii a b c d abd acd

iii ab c d abc abd

  

  

  

Untuk memudahkan pemahaman pada bagian selanjutnya, struktur semiring pseudo-ternary disimbolkan menjadi semiring P-T.

Definisi 2. Suatu elemen disebut elemen nol dari semiring P-T



S, ,



dinotasikan dengan " 0" jika untuk setiap x y, S berlaku 0 x x dan 0xyx y0 xy00. Semiring P-T S yang mempunyai elemen nol disebut semiring P-T dengan elemen nol.

Selanjutnya, pada pembahasan di bawah ini S merupakan notasi untuk semiring P-T dengan elemen nol dan S* S

 

0 .

Definisi 3. Diberikan suatu semiring P-T



S, ,



. Elemen

e

di S disebut elemen satuan kiri (tengah, kanan) jika berlaku eexx exe



x xee, x



, untuk setiap xS . Elemen satuan kiri sekaligus kanan disebut elemen satuan dua sisi. Selanjutnya, elemen satuan kiri sekaligus elemen satuan tengah dan kanan disebut elemen satuan.

Selanjutnya, di bawah ini diberikan beberapa definisi yang berkaitan dengan subhimpunan yang ada pada semiring P-T.

Definisi 4. Diberikan semiring P-T



S, ,



. Himpunan T  S disebut subsemiring P-T jika



T, ,



juga merupakan semiring P-T.

Perhatikan bahwa Definisi 4 dapat dinyatakan dalam Definisi di bawah ini. Definisi 5. Diberikan suatu semiring P-T



S, , 



dan subhimpunan T  S. Himpunan T disebut subsemiring P-T jika untuk setiap

t t t

₁

, ,

_{2 3}



T

maka berlaku

1 2

t

 

t

T

dan

t t t

_{1 2 3}



T

.

Selain mengkaji definisi-definisi yang berkaitan dengan semiring P-T, kajian pada makalah ini juga membutuhkan beberapa konsep dasar aljabar elementer. Berikut ini diberikan beberapa definisi dan sifat matriks pada aljabar elementer

 

1. Definisi 6. Suatu matriks persegi yang semua elemen di luar diagonal utamanya nol disebut matriks diagonal.

Definisi 7. Suatu matriks diagonal L berukuran n n yang semua elemen diagonal utamanya adalah k dinyatakan sebagai Ln n 



D k

 



_{n n} .

Selanjutnya, diberikan beberapa proposisi yang berkaitan dengan matriks diagonal.

Proposisi 1. Jika L adalah matriks diagonal maka berlaku LLT , dengan LT adalah tranpose dari matriks L.

Proposisi 2. Jika _{n n}



 



n n L  D k _ maka berlaku     T n n n n n r _{n n r} n n n r _{n r n} L_ L_ O_ L_ O_      _ _ _ _ dan     T n n n n n n r n n n r r n n r n L L L O O                       , dengan O adalah matriks dengan semua elemennya adalah 0 dan r  .

3. Hasil dan Pembahasan

Berdasarkan Definisi 2, struktur



Mm n

 

₀ , ,





   merupakan semiring P-T

dengan elemen nol. Selanjutnya, berdasarkan permasalah pada bagian pendahuluan, berikut ini diberikan beberapa definisi, contoh dan proposisi yang berkaitan dengan eksistensi elemen satuan pada semiring P-T



M_{m n}

 

₀ , , 



. Perlu diperhatikan bahwa perkalian triner untuk A B C, , M_{m n}

 

₀ didefinisikan sebagai

T

ABC AB C. Perhatikan contoh di bawah ini.

Contoh 1. Diketahui semiring P-T



M_{2 3}

 

₀ , , 



. Untuk semua A M2 3

 

0    maka terdapat 1 0 0 _{2 3}

 

₀ 0 1 0 E M      _{ }   

yang merupakan elemen satuan kiri, karena berlaku EEA A. Perhatikan bahwa AEE A dan E A E A

sehingga E bukan merupakan elemen satuan kanan dan tengah. Selanjutnya, Contoh 1 di atas memotivasi proposisi berikut ini.

Proposisi 3. Jika mn m

_

n

_

maka semiring P-T



M_{m n}

 

₀ , , 



hanya memiliki elemen satuan kiri (kanan).

Bukti:

Diketahui mn sehingga berlaku semiring P-T



M

_{m m k  }

 

₀

, ,

 



, dengank_ 

.

Kasus 1. (Akan diselidiki elemen satuan kiri)

Diambil sebarang AM_{mm k }

 

₀ . Jika Lm m 



D

 

1



_{m m} maka berlaku LA A.

Perhatikan bahwa untuk setiap A M_{mm k}

 

₀    terdapat _{m m}



 

1



m m I _ D    , sehingga berlaku     T T m n m m m n m m m m m n m m m k _{m m k} m m m k _{m k m} m n A _ L _ A _ I _ I _ A _ I _ O _ I _ O _ A _        _ _ _ _ Jika diambil   m m m k _{m m k}

E

I

_

O

_  

 

_



_

maka berlaku AEE AT EEA, untuk setiap AM_{mm k }

 

₀ . Jadi, E merupakan elemen satuan kiri.

Kasus 2. (Akan diselidiki elemen satuan kanan)

Diambil sebarang AM_{m n}

 

₀ . Jika Rn n 



D

 

1



_{n n} maka berlaku AR A.

Perhatikan bahwa untuk setiap AM_{m n}

 

₀ terdapat _{n n}



 

1



n n

I_ D



  , sehingga berlaku

    T T n n n n m n m n n n m n n n n n m n k n n n k k n n k n I I A A R A I I A O O                       _{   }     Jika diambil   n n k n n k n I E O           

maka berlaku AEE AE ET A, untuk setiap

 

0 m n A M    . Perhatikan bahwa E M_{m n}

 

₀ 

 , karena diketahui mn. Jadi, E bukan merupakan elemen satuan kanan.

Kasus 3. (Akan diselidiki elemen satuan tengah)

Diambil sebarang AM_{m n}

 

₀ . Andaikan terdapat E elemen satuan tengah. Menurut Definisi 3, untuk setiap AM_{m n}

 

₀ berlaku

T T

AEAEEA EA

Karena mn maka tidak mungkin berlaku _{A A}T_{, untuk setiap}

 

0 m n

AM _  . Terjadi kontradiksi. Jadi, E bukan merupakan elemen satuan tengah.

Dari pembuktian Proposisi 3, kita dapat menemukan elemen satuan kiri yang lain dengan menukarkan kolom-kolom pada matriks I_{m m} dan O_{m k} . Salah satu hasil dekomposisi untuk elemen satuan kiri adalah





 

m k m m m m k

E O   I    . Berikut ini

diberikan proposisi yang menyatakan banyaknya elemen satuan kiri atau kanan dari semiring P-T



Mm n

 

0 , ,





   .

Proposisi 4. Jika mn m



n



maka elemen satuan kiri (kanan) pada semiring P-T

 



Mm n 0 , ,





   tidak tunggal dan banyaknya elemen satuan kiri (kanan) adalah

permutasi

m

baris (n kolom) dari

n

kolom (m baris).

Berikut ini diberikan contoh untuk memperjelas Proposisi 3 dan 4. Contoh 2. Diberikan semiring P-T



M

3 5

 

0

, ,



 

 

. Berdasarkan Proposisi 3, terdapat _{3 3 3 2 3 5}

 

₀ 3 5 E I_ O_ M _  

 _ _  sebagai salah satu elemen satuan kiri, dengan _{3 3}



 



3 3

1

I

_

D







. Berdasarkan Proposisi 5, banyaknya elemen satuan kiri pada semiring P-T



M_{3 5}

 

₀ , , 



adalah



 



3

5 5 1 5 2 60

faktor

      .

Kita telah menyelidiki eksistensi elemen satuan pada semiring P-T

 



M

m n 0

, ,







 

untuk ukuran matriks mn . Selanjutnya, pada proposisi di

bawah ini akan dijelaskan eksistensi elemen satuan pada semiring P-T

 



M

m n 0

, ,





Proposisi 5:

Semiring P-T



M_{1 1}

 

₀ , , 



memiliki elemen satuan. Bukti:

Diberikan semiring P-T



M_{1 1}

 

₀ , , 



. Diambil sebarang

_{ }

a M_{1 1}

 

₀ 

 dan

berlaku

   

a  aT. Jika diambil

 

1 maka

       

1 a  a 1  a . Perhatikan bahwa untuk setiap

 

a M_{1 1}

 

₀ terdapat E 

 

1 , sehingga berlaku

         

         

1 1 1 1 1 1 T T T T A E E AE E a a a A E E A EE A a a a A                   dan

          

1 T 1 1 1 EAE  a    a   a A

Jadi, E elemen satuan di semiring P-T



M_{1 1}

 

₀ , , 



.

Selanjutnya, banyaknya elemen satuan pada semiring P-T



M_{1 1}

 

₀ , , 



dinyatakan pada proposisi di bawah ini.

Proposisi 6. Elemen satuan pada semiring P-T



M_{1 1}

 

₀ , , 



tunggal, yaitu

 

1 . Perhatikan bahwa Proposisi 5 merupakan kasus umum pada bilangan bulat

 

0

 _{, karena setiap}

0



bisa dinyatakan sebagai matriks berukuran 1 1 . Selanjutnya, pada proposisi di bawah ini akan dinyatakan kasus mn dan n1 , untuk semiring P-T



M_{n n}

 

₀ , , 



.

Proposisi 7. Jika n1 maka semiring P-T



M_{n n}

 

₀ , ,



   hanya memiliki elemen

satuan dua sisi. Bukti:

Diberikan semiring P-T



M_{n n}

 

₀ , ,



   , dengan n1.

Kasus 1. (Akan diselidiki elemen satuan dua sisi)

Diambil sebarang AM_{n n}

 

₀ . Jika Ln n 



D

 

1



_{n n} maka berlaku LAALA.

Perhatikan bahwa untuk setiap A M_{n n}

 

₀   terdapat _{n n}



 

1



n n I_ D    , sehingga berlaku T n n n n n n n n n n n n T n n n n n n n n n n n n A I I A L A I I A L A A                

Jika diambil

E



I

_{n n} dan dibentuk

T T A E E AE E A E E A EE A A        

Jadi, E elemen satuan dua sisi.

Diambil sebarang AM_{n n}

 

₀ . Andaikan terdapat E elemen satuan tengah. Menurut Definisi 3, untuk setiap AM_{m n}

 

₀ berlaku

T T

AEAEEA EA Perhatikan bahwa tidak setiap A M _{n n}

 

₀ berlaku

T

AA . Jadi, semiring P-T

 



M

n n 0

, ,







 

tidak memiliki elemen satuan tengah.

Selanjutnya, banyaknya elemen satuan dua sisi pada semiring P-T

 



Mn n 0 , ,





   dinyatakan pada proposisi di bawah ini.

Proposisi 8. Jika n1 maka elemen satuan dua sisi pada semiring P-T

 



M

n n 0

, ,







 

tidak tunggal dan banyaknya elemen satuan dua sisi adalah

permutasi

n

baris dari

n

kolom.

Berdasarkan Proposisi 7, penambahan syarat n1 pada semiring P-T

 



Mn n 0 , ,





   hanya menghasilkan elemen satuan dua sisi. Dari fakta ini,

memotivasi untuk menyelidiki elemen satuan tengah pada suatu subsemiring P-T di semiring P-T



M_{n n}

 

₀ , , 



. Perhatikan contoh di bawah ini.

Contoh 3. Dibentuk himpunan K a c a b c, , ₀ c b     _{ }       . Perhatikan bahwa

 

2 2 0

KM _  . Untuk setiap AK berlaku AAT. Diambil A B C, , M_{n n}

 

₀

yaitu 1 3 3 2 A_{ }  _     , 3 1 1 2 B_{ }  _     dan 4 5 5 2 C _{ }  _     . Perhatikan bahwa 59 44 79 69 T ABC AB C_  _K    

Jadi, subhimpunan



K, , 



bukan merupakan subsemiring P-T di semiring P-T

 



M

2 2 0

, ,







 

.

Perhatikan bahwa membentuk subhimpunan yang dibentuk dari semua matriks simetri



_{A A}T



_di

 

0 n n

M 

 tidak menghasilkan suatu subsemiring P-T di

semiring P-T



M_{n n}

 

₀ , , 



. Dari kelemahan Contoh 4, diperoleh fakta yang dinyatakan pada contoh di bawah ini.

Contoh 4. Diberikan 0 , ₀ 0 a D a b b     _{ }      

. Perhatikan bahwa DM_{2 2}

 

₀ dan untuk setiap AD berlaku AAT. Berdasarkan Definisi 5, subhimpunan

_

D, , 

_

merupakan subsemiring P-T di semiring P-T



M

_{n n}

 

₀

, ,

 



. Misalkan diambil sebarang AD maka terdapat



_{ }



2 2 1 0 1 0 1 E D       _{  }    sehingga T T

EAEEA E A  A, untuk setiap AD. Dengan demikian, E adalah elemen satuan tengah. Berdasarkan Proposisi 7, E merupakan elemen satuan dua sisi. Jadi E adalah elemen satuan di

_

D, , 

_

.

Konsep yang diperoleh dari Contoh 4 di atas dinyatakan pada proposisi di bawah ini.

Proposisi 9. Jika D adalah himpunan semua matriks diagonal di M_{n n}

 

₀ maka semiring P-T

_

D, , 

_

memiliki elemen satuan.

Bukti:

Diberikan D himpunan semua matriks diagonal di M_{n n}

 

₀

 . Berdasarkan Definisi

1,

_

D, , 

_

merupakan semiring P-T. Perhatikan bahwa untuk setiap AD_{n n} berlaku AAT. Diambil AD_{n n} maka terdapat



_{ }

1



n n

E D



  sehingga berlaku

T T

EAEEA E A  A, untuk setiap AD_{n n} . Dengan demikan, E adalah elemen satuan tengah. Berdasarkan Proposisi 7, E merupakan elemen satuan dua sisi di M_{n n}

 

₀

 . Jadi E adalah elemen satuan di



D, , 



.

Proposisi 10. Jika D adalah himpunan semua matriks diagonal di M_{n n}

 

₀ maka semiring P-T

_

D, , 

_

memiliki elemen satuan yang tunggal, yaitu



D

 

1



_{n n} .

Berdasarkan Proposisi 9, elemen satuan dapat ditemukan di salah satu subsemiring P-T dari semiring P-T



M_{n n}

 

₀ , , 



yaitu pada himpunan semua matriks diagonal di Mn n

 

0



 . Perhatikan kembali bahwa semiring P-T

 



Mm n 0 , ,





   hanya memuat elemen satuan kiri atau kanan, sehingga akan

diselidiki elemen satuan dua sisi pada subsemiring P-T



M

m n

 

0

, ,







 

. Berikut ini

diberikan contoh subsemiring P-T di semiring P-T



M

m n

 

0

, ,







 

yang memiliki

Contoh 5. Dibentuk subhimpunan 0 , , , ₀ 0 a b H a b c d c d     _{ }       . Berdasarkan Definisi 5,

_

H, , 

_

merupakan subsemiring P-T di semiring P-T



M_{2 4}

 

₀ , , 



. Perhatikan bahwa untuk setiap AH terdapat 1 0 0

0 0 1 E_{ } _    dan 0 0 1 1 0 0 E_{ }  _   

yang merupakan elemen satuan dua sisi.

Berdasarkan Contoh 5, subsemiring P-T



H, , 



memiliki elemen satuan dua sisi. Jika diperhatikan, untuk setiap AH memuat vektor kolom a

c       dan b d       yaitu vektor-vektor kolom dari matriks a b M_{2 2}

 

₀

c d         

. Selanjutnya, sifat ini dinyatakan pada proposisi di bawah ini.

Proposisi 11. Diberikan semiring P-T



M_{n n}

 

₀ , ,



   . Diambil sebarang

 

0 n n AM _  dan dibentuk

 



* *



0 , 1, 1 dan m k H  A A M _  mn kn mk .

Jika A* memuat semua vektor kolom (vektor baris) dari A dan memuat vektor nol untuk kolom (baris) yang lain maka semiring P-T

_

H, , 

_

memiliki elemen satuan dua sisi.

Perhatikan bahwa jika diambil D matriks diagonal di M_{n n}

 

₀ maka diperoleh proposisi berikut.

Proposisi 12. Diberikan semiring P-T



M_{n n}

 

₀ , , 



. Diambil sebarang matriks diagonal D di M_{n n}

 

₀  dan dibentuk

 



* *



0 , 1, 1 dan m k G D D M  m n k n m k         .

Jika D* memuat semua vektor kolom (vektor baris) dari D dan memuat vektor nol untuk kolom (baris) yang lain maka semiring P-T



G, , 



memiliki elemen satuan.

4. Kesimpulan

Hasil kajian menunjukkan bahwa eksistensi elemen satuan pada semiring P-T

 



Mm n 0 , ,





   bergantung pada ordo dari matriks m n . Jika mn m



n



maka

untuk n1 maka semiring P-T



Mn n

 

₀ , ,





   memiliki elemen satuan dua sisi.

Untuk kasus n1, semiring P-T



Mn n

 

₀ , ,





   memiliki elemen satuan.

Selain itu, kita juga memperoleh fakta bahwa untuk n1, semiring P-T



D, , 



memiliki elemen satuan, dengan D adalah himpunan semua matriks diagonal di M_{n n}

 

₀

 .

Daftar Pustaka

[1] Anton, H., dan Rorres, C., 2005, Aljabar Linear Elementer Versi Aplikasi, Edisi.8, diterjemahkan oleh Hermein, I., dan Gressando, J., Erlangga, Jakarta. [2] Dutta. T. K., Shum. K. P., dan Mandal. S., 2012, Singular Ideal of Ternary

Semirings, European Journal of Pure and Applied Mathematics, Vol. 5, No.2, pp. 116-128.

[3] Dutta. T. K., dan Kar. S., 2006, A Note On Regular Ternary Semiring, Kyungpook Mathematical Journal, Vol. 46, pp. 357-365.

[4] Kar. S., 2011, Ideal Theory In The Ternary Semiring 0 

, Bulletin of The Malaysian Mathematical Science Society, Vol. 34, No. 1, pp. 69-77.

[5] Madhusudana . D. R., Srinivasa. G. R., dan Siva, P, P., 2015, Concept on Ordered Ternary Semiring, International Journal of Innovative Science, Engineering & Technology, Vol. 2, No. 4, pp. 435-438.

[6] Madhusudana . D. R., dan Srinivasa. G. R., 2014, Special Element of A Ternary Semiring, International Journal of Enginering Research and Applications, Vol. 4, No. 11, pp. 123-130.

[7] Madhusudana . D. R., dan Srinivasa. G. R., 2014, A Study On Ternary Semiring, International Journal of Mathematical Archive, Vol. 5, No. 12, pp. 24-30.

[8] Maxrizal dan Suparwanto. A., 2014, Semiring Pseudo-Ternary, Jurnal Matematika & Sains, Vol. 19, No. 2, pp. 50-55.