POLINOMIAL (SUKU BANYAK)
Uji kemampuan prasyarat Bab I
1. Apa yang dimaksud dengan fungsi linear? Tuliskan bentuk umumnya dan berikan sedikitnya 2 contoh!
2. Apa yang dimaksud dengan fungsi kuadrat? Tuliskan bentuk umumnya dan berikan sedikitnya 2 contoh!
3. Selesaikan persamaan berikut:
a. – 2x + 3 = 5 c.
b. d.
A. Konsep dan Operasi Aljabar pada Polinomial 1. Apakah Polinomial itu?
Fungi linear Dan fungsi kuadrat termasuk contoh dari polinomial dalam satu variabel. Untuk lebih mengetahui tentang pengertian polinomial, perhatikan contoh berikut:
Polinomial Bukan Polinomial
√
- Bandingkan eksponen dari variabel x pada polinomial dan yang bukan polinomial - Diskusikan dengan teman anda untuk menyatakan ciri-ciri polinomial!
Ciri-ciri polinomial :
Bentuk umum fungsi polinomial adalah sebagai berikut :
( )
Dengan
- adalah eksponen dari yang harus berupa bilangan bulat positif
- adalah koefisien-koefisien yang berupa bilangan real, dan adalah variabel.
- , disebut suku-suku polinomial.
- Bentuk standar polinomial ditulis sebagai deretan suku-suku dengan eksponen yang semakin mengecil dari kiri ke kanan.
Contoh :
dalam bentuk standar ditulis 2. Suku Utama, Derajat, Dan koefisien Utama
Pada polinomial , suku utamanya (leading term) adalah , yaitu suku yang eksponennya paling tinggi, dan 5 adalah koefisien utama (leading coeffi-
cient), sedangkan eksponen tertinggi yaitu 3 menyatakan derajat dari polinomial, sehingga
dikatakan bahwa adalah polinomial berderajat 3.
Jadi fungsi linear dikatakan sebagai polinomial berderajat 1 dan fungsi kuadrat adalah polinomial berderajat 2.
Catatan :
- Fungsi polinomial boleh diberi nama dengan huruf kecil seperti ( ) ( ) ( ) dan seterusnya boleh juga dengan huruf besar seperti ( ) ( ) ( ) dan seterusnya.
- Bentuk umum fungsi-fungsi yang sering kita temui biasanya menggunakan koefisien-koefisien sesuai urutan abjad, seperti berikut ini:
Bentuk Umum Fungi polinomial Derajat Nama Fungsi
1 Linear
2 Kuadrat
3 Kubik
4 Kuartik
3. Menghitung nilai polinomial. Contoh:
Berapakah nilai polynomial ( ) untuk ? Penyelesaian: ( ) ( ) ( ) ( )
216
4. Penjumlahan dan Pengurangan polinomial.
Diberikan polinomial-polinomial ( ) ( ) , dan ( ) .
Tentukan bentuk paling sederhana dari tiap operasi polinomial berikut: a. ( ) ( ) b. ( ) ( ) Penyelesaian : a. ( ) ( ) ( ) = …. b. ( ) ( ) ….
5. Mengalikan Polinomial. Contoh:
Jika ( ) dan ( ) , tentukan: a. ( ) ( ) b. ( ) ( ) Penyelesaian : a. ( ) ( ) ( )( ) = = …. b. ( ) ( ) Latihan :
Diketahui ( ) dan ( ) , tentukan : a. ( ) ( ) c. ( ) ( )
( ) ( ) d. Bagaimana kesimpulanmu tentang derajat 3038 polinomial hasil perkalian dari dua polinomial?
6. Kesamaan Polinomial Contoh :
x – 2 = 4 adalah contoh persamaan, sedangkan (x + 2)(x – 2) = adalah contoh kesamaan, kesamaan dinotasikan dengan “ ”, sehingga ditulis (x + 2)(x – 2) catatan :
Kesamaan antara dua polinomial ( ) dan ( ) terjadi jika dan hanya jika setiap suku dengan eksponen sama memiliki koefisien-koefisien yang sama.
Contoh:
, jika dan hanya jika koefisien-koefisien
Latihan :
Diberikan ( )( )( ) , berlaku untuk setiap . Tentukan nilai ! Penyelesaian : ( )( ) ( ) ( ) ( ) Jadi , , .
7. Pembagian Polinomial dengan Contoh :
Bagilah dengan .
Kemudian tuliskan sisa pembagiannya dan algoritma pembagian untuk polinomial tersebut!
Catatan :
sisa 1, bisa ditulis 9 = 2 x 4 + 1 atau yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa Pernyataan tersebut adalah : ”Algoritma pembagian untuk bilangan bulat positif” Penyelesaian : 7 Jadi sisa pembagian adalah 7
Algoritma pembagian polinomial ini ( )( ) Catatan :
Secara umum algoritma pembagian polinomial ( ) dengan pembagi bentuk linear ( ), hasil bagi ( ), dan sisa pembagian dinyatakan sebagai berikut: ( ) ( ) ( ) a. Menyelesaikan pembagian polinomial dengan metode Sintetik (pembagian Horner)
4 4 4 2 8 7
Karena fungsi yang dibagi dan pembaginya linear (berderajat satu), maka hasil baginya adalah satu derajat dibawah fungsi yang dibagi (dalam hal ini berdera- jat 2), sehingga hasil baginya adalah ( ) dan 7.
Contoh lain : Bagilah dengan 4
12 4 0
Jadi hasil baginya adalah ( ) dan 0
Dan algoritma pembagiannya ( )( )
Latihan :
1. Bagilah dengan . Berapakah sisa pembagiannya?
2. Bagilah dengan . Nyatakan sisa pembagiannya dan tunjukkan algoritma pembagiannya!
Penyelesaian :
1. Hasilnya 6x + 13 . Sisa = 61
2. Hasilnya
b. Pembagian sintetik dengan ( )
Secara umum algoritma pembagiannya adalah ( ) ( ) ( ) ,
Di mana ( ) adalah hasil baginya. Contoh :
Bagilah dengan , kemudian tentukan : 1. Hasil bagi
2. Sisa pembagian
3. Algoritma pembagiannya Penyelesaian :
Karena pembaginya adalah , maka nilai , sehingga pembagian sintetiknya sbb: 6 5 0
3 4 2 6 8 4
Jadi ( )
1. Maka hasil baginya adalah ( ) ( ) 2. Sisa pembagian adalah
3. Algoritma pembagiannya adalah ( )( ) Latihan :
Untuk soal berikut, tentukan hasil bagi, sisa pembagian dan algoritma pembagiannya: 1. ( ) ( ) 2. ( ) ( ) Penyelesaian : 1. Hasil bagi : Sisa pembagian : 0 Algoritmanya : ( ) ( ) ( )
2. Hasil baginya :
Sisa : 272
Algoritmanya : ( )( )
c. Pembagian polinomial dengan faktor kuadrat
Contoh :
Bagilah dengan
Penyelesaiannya hanya bisa dengan cara pembagian bersusun panjang sbb :
Dengan demikian hasil baginya , sisa pembagiannya , dan algoritma pembagiannya adalah :
( )( ) Latihan :
1. Bagilah dengan
2. Bagilah dengan
3. Berapakah banyaknya bilangan bulat , sehingga juga merupakan bilangan bulat? 4. Misalkan ( ) ( ) ( ) ( ), maka sisa pembagian ( ) oleh
adalah …. a. d. b. e. c. Penyelesaian : 1. Hasil : x – 1 , sisa : 6x – 1 2. Hasil : , sisa : 794x + 420
B. TEOREMA SISA DAN TEOREMA FAKTOR 1. Teorema sisa dengan pembagi faktor linear.
Untuk memahami teorema sisa, isilah kolom yang kosong pada tabel berikut:
No Polinomial ( ) Faktor linear Sisa ( ) ( )
1
2
3
4
Perhatikan hasil perhitungan untuk sisa dan ( ). Apa yang bisa anda simpulkan? Hasil inilah yang disimpulkan sebagai Teorema sisa sebagai berikut :
Jika suatu polinomial ( ) dibagi oleh faktor linear , maka sisanya adalah ( )
Jika suatu polinomial ( ) dibagi oleh faktor linear ( ) dengan , maka sisanya adalah ( ).
Contoh :
Tentukan sisa pembagian dari :
1. jika dibagi oleh 2. jika dibagi oleh
3. Tanpa melakukan pembagian bersusun panjang, tentukan sisa jika dibagi oleh !
Penyelesaian :
1. ( ) , karena dibagi oleh , maka setelah disamakan dengan nol, nilai
Sehingga ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Jadi sisa pembagian adalah 60
2. Pembaginya adalah , maka nilai
Sehingga sisa pembagian adalah ( ) ( ) ( ) ( ) 3. Jika dimisalkan , maka ,
sehingga menjadi dibagi oleh sama saja dengan dibagi , sehingga nilai
Jadi sisa dibagi oleh adalah
( ) ( ) ( )
Latihan :
Tentukan sisa pembagian jika dibagi oleh :
a. b. c.
Penyelesaian :
a. S = 47 b. s = c.
Menentukan koefisien yang tak diketahui dengan menggunakan teorema sisa
Contoh soal :
1. Tentukan nilai jika ( ) ( ) memiliki sisa 52 jika dibagi oleh Penyelesaian :
Misalkan ( ) ( ) ( )
( ) dibagi oleh memiliki sisa 52 artinya ( ) [ ( ) ] [ ( ) ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
2. ( ) habis dibagi oleh . Tentukan sisanya jika ( ) dibagi oleh !
Penyeleaian :
( ) dibagi oleh artinya ( ) ( ) ( ) ,
Dengan demikian ( ) jika dibagi , maka sisanya adalah ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
=
Latihan :
1. Tentukan nilai jika ( ) ( ) mempunyai sisa 30 ketika dibagi oleh !
2. Jika dan dibagi oleh mempunyai sisa yang sama, berpakah nilai ?
Teorema sisa dengan pembagi ( )( )
Contoh soal :
Suatu fungsi ( ) jika dibagi oleh ( ) sisanya 8 dan jika dibagi oleh ( ) sisanya . Berapakah sisa pembagian ( ) jika dibagi oleh ?
Penyelesaian :
Untuk pembagi berderajat 2, maka sisanya maksimal berderajat 1, sehingga dapat ditulis ( ) , dengan demikian algoritma pembagiannya adalah
( ) ( )( ) ( ) …. (*) ( ) dibagi sisanya 8, artinya ( ) Substitusikan ke (*), memberikan
( ) ( )( ) ( ) ……. (1)
( ) dibagi sisanya – 7, artinya ( ) Substitusikan ke (*), memberikan
( ) ( )( ) ( ) ……. (2)
Dari (1) dan (2) nilai A dan B dapat dihitung dengan eliminasi menghasilkan , dan . Jadi sisa pembagian jika ( ) dibagi oleh adalah ( )
Latihan :
1. Diketahui ( ) adalah suatu polinomial yang bila dibagi oleh sisanya 33 dan bila dibagi oleh sisanya 13. Berapa sisanya bila ( ) dibagi oleh ( )( ) ? 2. Fungsi ( ) ketika dibagi dengan (x – 1) sisanya 3, dan ketika dibagi dengan (x – 2) sisanya 4.
Berapakah sisanya ketika dibagi ( ) ? Penyelesaian :
1. dan
Jadi sisanya
2.
2. Teorema Faktor
sisa 0 (sisa 0 akan diperoleh jika pembaginya ( 3 ) adalah faktor dari yang dibagi ( 6 ). Algoritma pembagiannya adalah 6 = 3 . 2 + 0 atau cukup ditulis 6 = 3 . 2
Karena adalah faktor dari , maka sisa pembagian dari jika dibagi oleh adalah 0, sehingga algoritma pembagiannya adalah
( )( ) atau cukup ditulis ( )( ) Dari ilustrasi di atas dapat dituliskan bentuk umum teorema faktor sbb :
1. Suatu polinomial ( ) memiliki faktor ( ), jika dan hanya jika ( ) 2. Suatu polinomial ( ) memiliki faktor ( ), jika dan hanya jika ( )
Contoh soal :
1. Tentukan apakah dan adalah faktor dari + ? Penyelesaian :
Misalkan ( ) +
Kita buktikan apakah ( ) dan ( )
( ) ( ) + Jadi adalah faktor dari +
Bagaimana dengan ( ) ( ) + ….
Jadi adalah faktor / bukan faktor dari + (coret yang salah). Latihan :
1. Buktikan bahwa dan adalah faktor-faktor dari polinomial ! 2. Jika dan merupakan faktor-faktor dari polinomial + ,
tentukan nilai dan ! Penyelesaian:
2. Misalkan ( ) +
merupakan faktor dari ( ) jika ( )
( ) ( ) + ( )
jika dibagi 2 akan menjadi ….. (1) merupakan faktor dari ( ) jika ( )
( ) ( ) + ( ) ( ) jika dikalikan 4 akan menjadi atau = 9….. (2)
dari (1) dan (2) dapat kita cari nilai dan dengan eliminasi, sehingga dan
Latihan :
!
2. Tentukan nilai k jika memiliki sisa – 3 ketika dibagi dengan !
k = - 5
C. PERSAMAAN KUBIK
1. Menyelesaikan persamaan kubik (pemfaktoran dengan pengelompokan). Contoh soal :
Tentukan akar-akar rasional dari persamaan Penyelesaian : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) atau atau √
Jadi akar-akar rasionalnya adalah √ , dan √ Latihan :
Tentukan akar-akar penyelesaian dari : a.
b.
Penyelesaian : a. , 1, 2. b.
2. Menyelesaikan persamaan kubik dengan menguji apakah , atau , sebagai salah satu akar persamaannya.
Contoh soal :
Tentukanlah akar-akar rasional dari persamaan kubik Penyelesaian :
, maka nilai
Catatan :
Jika (sama), maka adalah salah satu faktor linearnya, sehingga akar persamaannya adalah
Jika ( ) (saling berlawanan), maka adalah salah satu faktor linearnya, sehingga akar persamaannya adalah .
Pada soal di atas ( ) (berlawanan)
Jadi salah satu faktor linearnya adalah , sehingga akar persamaannya adalah Selanjutnya untuk mengetahui faktor-faktor yang lain, dapat dilakukan dengan berbagai metode.
1 1 6 1 1 0
Jadi faktor yang lain adalah ( ). Dan untuk menyelesaikannya yaitu dengan memfaktorkannya, sehingga diperoleh dan
Jadi akar-akar rasionalnya adalah dan
Latihan :
Tentukan akar-akar rasional dari persamaan kubik berikut : a. ,
3. Menentukan ketiga akar rasional bulat persamaan kubik
Jika ketiga akar rasional suatu persamaan kubik berupa bilangan bulat (koefisien suku utama harus 1), maka ketiga akar itu bisa diperoleh dengan cepat.
Cara ini diperoleh dari penurunan berikut : ( )( )( )
( )( )
( ) ( )
Dari kesamaan tersebut dapat disimpulkan bahwa :
Hasil kali ketiga akar dan jumlah ketiga akar Contoh soal :
Tentukan akar-akar rasional dari persamaan kubik Penyelesaian :
Tiga bilangan yang merupakan faktor dari 24 yang bila dijumlahkan hasilnya adalah :
24 = 2 . ( ) . ( ) karena ( ) ( )
Jadi ketiga bilangan itu adalah ( ) ( ), maka akar-akar persamaan kubiknya adalah lawannya yaitu :
Latihan :
Gunakan cara tersebut untuk menentukan ketiga akar-akar persamaan kubik berikut : 1. 2. 3. Penyelesaian : 1. 2. 3.
4. Menemukan rumus pemfaktoran dan . ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Contoh soal :
Tentukan akar-akar rasional dari :
a. b. Penyelesaian : a. ( )( ) atau
. Karena , maka akar-akarnya tak rasional.
b. ( )
( ) ( ) ….
Latihan :
Tentukan akar-akar rasional dari :
a. b.
5. Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan polinomial.
Pada persamaan kuadrat (persamaan polinomial berderajat dua), jumlah dan hasil kali akar-akarnya adalah :
Jumlah akar-akar Hasil kali akar-akar
Untuk jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan polinomial yang berderajat 3 atau lebih, bisa dicari sbb :
Misalkan akar-akarnya adalah , maka :
( ) ( )( )( ) [ ( ) ]( )
[ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] Dengan menyamakan koefisien suku-suku sejenis di kedua ruas, diperoleh hasil :
Kesamaan suku ( ) ( )
Kesamaan suku ( ) ( ) Kesamaan konstanta ( )
Jadi hasil-hasil persamaan kubik dapat ditulis :
Jumlah akar-akar :
Jumlah perkalian dua akar : Hasil kali akar-akar :
Contoh soal :
Jika akar-akar persamaan adalah . tentukan nilai-nilai berikut : a. e. b. f. c. d. Penyelesaian : a. …. b. …. c. …. d. …. e. f. ( ) ( ) ( ) (buktikan !) ( ) ( )( ) = …. = Latihan :
1. Jika akar-akar persamaan adalah . tentukan nilai-nilai berikut :
a. e.
b. f.
c. g.
d.
2. Polinomial ( ) memiliki sifat bahwa rata-rata akarnya, hasil kali akar-akarnya, dan jumlah koefisien dan konstantanya semuanya sama. Titik potong dengan sumbu dari grafik ( ) adalah 2. Berpakah nilai ?
3. Salah satu akar dari adalah . Tentukan : a. Jumlah ketiga akarnya ( )
