Persamaan Differensial Non Homogen Orde Dua Metode Koefisien Tidak Tentu

Persamaan Differensial Non Homogen Orde Dua Metode Koefisien Tidak Tentu

(soal di ambil dari : Elementary Differential Equations By Boyce and DiPrima, Chapter 3: Second Order Linear Equations Nonhomogeneous Equations ;Method of Undetermined Coefficients )

Bentuk Umum :

^{y ''  p}     ^{t y '  q t y  g}   ^{t dimana g}   ^{t  0}

Tabel Perkiraan Solusi Partikular

  ^t

g

Perkiraan

^Y

^p

  ^t

ae^t

Ae

^t

  ^t

a ^cos  ^{A cos}   ^{ t  B sin}   ^{ t}

  ^t

b ^sin  ^{A cos}   ^{ t  B sin}   ^{ t}

  ^{t b}   ^t

a ^cos   ^sin  ^{A cos}   ^{ t  B sin}   ^{ t}

Suku banyak ke-n

0 1 1

1

t ... A t A

A t

A

_n ⁿ



_n ^n

  

In each of problem 1 through 12 find the general solution of the given differential equation.

1.

y ''  2 y '  3 y  3 e

^2t Pembahasan :

Penting : Carilah solusi persamaan homogennya terlebih dahulu!

0 3 ' 2

'' y y y

  

^{32 31 00}

2





   r r

r r

2 dan ,

1

 r

homogen solusi

3 2 2

1

 



^{ t t}

h

C e C e

y

Solusi Partikular :

t p

t p

t

p

Ae y Ae y Ae

y 

²

'  2

²

' '  4

² Substitusi

y

_p

, y '

_p

dan y ''

_p ke persamaan :

   

^{t t t}

t

Ae Ae e

Ae

²

2

²

3

²

3

²

4   

t t t

t Ae Ae e

Ae² 4 ² 3 ² 3 ²

4   

t

t e

Ae² 3 ²

3 



3

3 

 A

1

 A Maka

y

_p

  e

^2t

Solusi Umum :

y

_t

 y

_h

 y

_p

t t t

t

C e C e e

y 

₁ ^2



₂ ³



²

2.

y ''  2 y '  5 y  3 sin 2 t

Pembahasan :

Solusi homogen : 0 5

2 2





 r r

  

 

i r

r

2 1

2 16 2

1 2

5 1 4 2 2

2 , 1

2 2

, 1











 





 

Rumus solusi homogen apabila akar-akarnya kompeks :

  ^{t C e}   ^t

e C

y 

1 ^t

^cos  

2 ^t

^sin 

2 , 1

2 1

















i r

t e

C t e

C

y

_h



₁ ^t

cos 2 

₂ ^t

sin 2

Solusi Partikularnya :

t B t A y

t B t A y

t B t A

y

_p

 sin 2  cos 2 '

_p

 2 cos 2  2 sin 2 ' '

_p

  4 sin 2  4 cos 2 t

t B t A t B t A t B t

A sin 2 4 cos 2 4 cos 2 4 sin 2 5 sin 2 5 cos 2 3 sin 2

4      



t t

B t A t B t

A sin 2 cos 2 4 cos 2 4 sin 2 3 sin 2

   

 ^{A 4 B}  ^{sin 2 t}  ^{4 A B}  ^{cos 2 t 3 sin 2 t}

   

Samakan koefisiennya menjadi : 0 B 4A : 2 cos

3 4 : 2 sin







 t

B A t

Dari penyelesaian kedua system tersebut di dapat :

17

dan 12 17

3  

 B

A

t t

y

_p

cos 2

17 2 12 17 sin

3 



Maka,

^y

^t

^{ C}

¹

^e

^t

^cos   ^{ t  C}

²

^e

^t

^sin   ^{ t } ₁₇ ^{3 sin 2 t } ₁₇ ^{12 cos 2 t}

3.

y ''  2 y '  3 y   3 te

^t Pembahasan : Solusi homogen :

  

3 dan 1

0 3 1

0 3

2 2















 r

r r

r r

t t

h

C e C e

y 

₁ ^



₂ ³

Tips apabila terdapat eksponen, keluarkan eksponen terlebih dahulu. Sehingga perkiraan solusi partikularnya untuk

 3 t  At  B

. Dan perkiraan solusi partikular untuk

e

^t

 Ce

^t. Gabungkan keduanya menjadi :

 ^{At B}  ^e  ^{CAt BC}  ^{e ( At B )}

Ce

^t

 

^t

 

^t



Apabila

^e

^t

 ^{At  B} 

kita distribusikan menjadi

Ate

^t

 Be

^tdan dapat kita lihat bentuk

Be

^tsama dengan persamaan solusi homogennya yaitu :

C

₁

e

^tdan untuk menghindari hal ini maka kalikan perkiraan solusi partikularnya yang sudah kita buat dengan t :

^te

^t

 ^{At  B}  ^{ At}

²

^e

^t

^{ Bte}

^t

t t

t t

t

t t

t t t

t t

p

t t

t t

p

t t

p

Bte Be

e At Ate Ae

Bte Be

Be e At Ate Ate

Ae y

Bte Be

e At Ate y

Bte e

At y









































































2 4

2

2 2

2

"

2

'

2

2 2

2

 

^t

 

^{t t}

t t

t t

t t

t t

t t

t t

t t

t t

te e

B A te

A

te Be

Ate Ae

te Bte

e At Bte

Be e

At Ate

Bte Be

e At Ate Ae

















































































3 4

2 8

3 4

8 2

3 3

3 2

2 2

4 2

4

2

^{2 2 2}

Samakan koefisiennya menjadi :

16 3 0 4 4

3 0 8 4

2 3

0 4 2

8 3 3 8













 



 



















B B

B B A

A A

Sehingga

y

_p

 t e

^t

 te

^t

16

3 8

3

₂

Maka solusi umumnya:

y  C e

^t

 C e

^t

 t e

^t

 te

^t

16

3 8

3

₂

3 2

1

4. y"2y'34sin2t Pembahasan : Solusi homogen :

 

t h

t h

e C C y

e C e C y r r r

r r

2 2 1

2 2 0 1 2

0 , 2

0 2

0 2

























Solusi Partikular :

 ^{B t C t} 

A

y

_p

  sin 2  cos 2

Bisa kita lihat perkiraan solusi particular untuk 3 adalah A, akan tetapi hal tersebut akan sama dengan solusi homogennya yaitu

C

₁, dimana sama-sama konstanta, maka untuk menghindari hal tersebut kalikan A dengan t sehingga solusi pertikularnya menjadi :

At  B sin 2 t  C sin 2 t

t C t B At

y

_p

  sin 2  cos 2 t C t B A

y '

_p

  2 cos 2  2 sin 2 t C t B

y "

_p

  4 sin 2  4 cos 2

t t

C t B A t C t

B sin 2 4 cos 2 2 4 cos 2 4 sin 2 3 4 sin 2

4      



 ^{B C}  ^t  ^{B C}  ^{t t}

A 4 4 sin 2 4 4 cos 2 3 4 sin 2 2

      

Samakan koefisiennya menjadi :

2

3 3

2 A   A 

0 4 4

4 4 4











C B

C

B Dari keduanya diperoleh

2 C 1 2 dan

1  



 B

solusi partikularnya :

y

_p

t t cos 2 t 2 2 1 2 sin 1 2

3  



Sehingga solusi umumnya :

y C C e

^t

t t cos 2 t 2 2 1 2 sin 1 2

2

3

2

1

   



^

5.

y "  9 y  t

²

e

^3t

 6

Pembahasan : Solusi homogen :

0

2 9



 r

  

 

¹

2

9 1 4 0 0

2 , 1



  r

i r

r i

3 0

2 6 2 0

2 , 1

2 , 1









t C t C

t e C t e C y_h

3 sin 3

cos

3 sin 3

cos

2 1

0 2 0

1









Solusi Partikular :

Langkah pertama keluarkan dulu eksponen sehingga solusi particular untuk

t

²adalah : C

Bt

At²  dan untuk 6 adalah : D , dan masukkan kembali eksponen pada solusi particular

t

² sehingga :

^e

^3t

 ^At

²

^{ Bt  C}  ^{ D}

^.

D Ce Bte e

At

y

_p



^{2 3t}



^3t



^3t



t t

t t t

p

Ate At e Be Bte Ce

y '  2

³

 3

^{2 3}



³

 3

³

 3

³

t t

t t

t t

t t

p

Ae Ate Ate At e Be Be Bte Ce

y "  2

³

 6

³

 6

³

 9

^{2 3}

 3

³

 3

³

 9

³

 9

³

t t

t t

t t

p

Ae Ate At e Be Bte Ce

y "  2

³

 12

³

 9

^{2 3}

 6

³

 9

³

 9

³

6 9

9 9

9 9

9 6

9 12

2Ae^3t Ate^3t  At²e^3t Be^3t Bte^3t Ce^3t At²e^3t  Bte^3t Ce^3t Dt²e^3t  6 9

18 6

2 18

12 18

At²e^3t  Ate^3t  Bte^3t  Ae^3t  Be^3t  Ce^3t  Dt²e^3t 

  ¹⁸  ^{12 18}   ^{2 6 18}  ^{9 6}

A t

²

e

^3t

 A  B te

^3t

 A  B  C e

^3t

 D  t

²

e

^3t



Samakan koefisiennya menjadi :

3 2 9 6 6 9

162 C 1 0 9 18

2 9 1 0 27 18

6 1 18 2 1 0 18 6 2

27 B 1 0 3 18

2 0 18 18

12 1 0 18 12

18 1 1 18

























 



 

 

 



 



 





















 



 



 











D D

D

C C

C B A

B B

B A

A A

Maka diperoleh :

2 3 162

1 27

1 18

1

_{2 3 3 3}









^{t t t}

p

t e te e

y

Sehingga solusi umumnya :

2 3 162

1 27

1 18

3 1 sin 3

cos

₂ ^{2 3 3 3}

1

    



^{t t t}

p

C t C t t e te e

y

6.

y "  2 y '  y  2 e

^t Pembahasan : Solusi Homogen :

  

^{12 11 00}

2











 r r

r r

1 dan

1 



 r

t t

h

C e C te

y 

1 ^



2 ^

Solusi Partikular :

Sepertinya sederhana solusi particular dari 2e^t adalah

Ae

^t tetapi perlu di ingat bahwa solusi particular tidak boleh sama dengan solusi homogen karena bentuk

Ae

^tsama dengan

C

₁

e

^tdan apabila kita kalikan dengan t maka solusi partikularnya menjadi

Ate

^tdan bentuk tersebut juga sama

dengan bentuk solusi homogen kedua yaitu

C

₁

te

^tmaka untuk menghindari hal tersebut solusi partikularnya kita kalikan dengan

t

²sehingga menjadi

At

²

e

^t.

t

p

At e

y 

^{2 }

t t

p

Ate At e

y '  2

^



^{2 }

t t

t t

t t

t

p

Ae Ate Ate At e Ae Ate At e

y "  2

^

 2

^

 2

^



^{2 }

 2

^

 4

^



^{2 }

t t

t t t

t t

t t

e Ae

e e At e At Ate

e At Ate Ae

































2 2

2 2

4 4

2 ^{2 2 2}

Samakan koefisiennya menjadi :

1

2

2 A   A 

Maka solusi partikularnya :

y

_p

 t

²

e

^t

Sehingga solusi umumnya :

y  C

1

e

^t

 C

2

te

^t

 t

²

e

^t

7.

2 y "  3 y '  y  t

²

 3 sin t

Pembahasan :

Solusi homogen:



^{22 13}

 

^{11 00}

2











 r r

r r

2 dan 1

1 



 r

2 2 1

t t

h

C e C e

y 

^



^

Solusi particular :

Perkiraan solusi untuk

t

²adalah At²BtC^{dan untuk}

3 sin t

adalah

D sin t  E cos t

^.

t

E t D C Bt At

y

_p



²

   sin  cos t E t D B At

y '

_p

 2   cos  sin t E t D A

y "

_p

 2  sin  cos

t t

t E t D C Bt At t E t D B At t E t D

A 2 sin 2 cos 6 3 3 cos 3 sin sin cos 3sin

4        ²      ²



^{B A}

 

^{t A B C}

 

^{D E}



^t



^{D E}



^{t t t}

At

t t

t E t D t E t D At Bt At C B A

sin 3 cos

3 sin 3 3

4 6

sin 3 sin

3 cos 3 cos sin

6 3

4

2 2

2 2















































Samakan koefisiennya menjadi :

     

14

10 dan 9

10 D 3 0 18

4 6

0 3

0 6

3 1 4 0 1 6

3 3

0 3

4 0 6 1

























































C

E C

B

E D C

B

E D C

B A A

B A

t t

t t

y

_p

cos

10 sin 9 10 14 3

2

 6   



Sehingga solusi umumnya :

y C e

^t

C e

^t

t t t cos t

10 sin 9 10 14 3

2

6

2 2

1

     



^{ }

8.

y "  y  3 sin 2 t  t cos 2 t

Pembahasan :

Solusi Homogen : 0

2 1 r

  

 

¹

2

1 1 4 0 0

2 , 1



  r

i r

r i





  0

2 2 0

2 , 1

2 , 1

1

0 







t C t C y

t e C t e C y

h h

sin cos

sin cos

2 1

0 2 0

1









Solusi Particular :

t Bt t A

y

_p

 sin 2  cos 2

t Bt t B t A

y '

_p

 2 cos 2  cos 2  2 sin 2

t Bt t B t A t

Bt t B t B t A

y "

_p

  4 sin 2  2 sin 2  2 sin 2  4 cos 2   4 sin 2  4 sin 2  4 cos 2 t

t t t

Bt t A t Bt t B t

A sin 2 4 sin 2 4 cos 2 sin 2 cos 2 3 sin 2 cos 2

4      



t t t t

Bt t B t

A sin 2 4 sin 2 3 cos 2 3 sin 2 cos 2 3

    

 ^{ 3 A  4 B}  ^{sin 2 t }   ^{ 3 B t cos 2 t  3 sin 2 t  t cos 2 t}

Samakan koefisiennya menjadi :

9 5

3 3 5 3 3 3 4 3 3

4 1 3

3 4 3

3 1

1 3





















 



 

 





















A A

A A

B A

B B

Maka

y

_p

t cos 2 t

3 2 1 9 sin

5 





Sehingga solusi umumnya adalah :

t t

t C t C

y cos 2

3 2 1 9 sin sin 5

cos

₂

1

  



9.

u ^"  

⁰²

u  ^cos  t

Pembahasan : Solusi Homogen :

2

0

0

2

  

r

   

 

¹

2 1 4 0

0 ₀²

2 , 1





  r

2 2

0

₀

2 , 1

r    i i r

_1,2

 0  

₀

0

0

 



 

t C

t C

t e

C t e

C

y

_h



₁ ⁰

cos 

_o



₂ ⁰

sin 

₀



₁

cos 

_o



₂

sin 

₀

Solusi Particular :

t A u

_p

 ^cos 

t A u ^'

_p

   ^sin 

t A u ^"

_p

  

²

^cos 

t t

A t

A    

 ^cos

0²

^{cos cos}

2

 

  ^{ }  ^{A cos  t cos  t}



²



₀²



Samakan koefisiennya menjadi :

 



^{2 2}

 

^{02 2}



¹

0 2 2

0

1

1





 









 







A A

  ^t

u

_p



0²



^{2 1}

^cos 







Dan solusi umumnya adalah :

 

^t

t C

t C

u 1^cos



_o 2^sin



0



0²



^{2 1cos}



 







10.

u "  

₀²

u  cos 

₀

t

Pembahasan : Solusi homogen :

2

0

0

2

  

r

   

 

¹

2 1 4 0

0 ₀²

2 , 1





  r

2 2

0

₀

2 , 1

r    i i r

_1,2

 0  

₀

0

0

 



 

t C

t C

t e

C t e

C

u

_h



₁ ⁰

cos 

_o



₂ ⁰

sin 

₀



₁

cos 

_o



₂

sin 

₀

Solusi Particular :

  ^t

At u

_p

 sin 

₀

t At

t A

u '

_p

 sin 

₀

 

₀

cos 

₀

t At t

A t

At t

A t A

u "

_p

 

₀

cos 

₀

 

₀

cos 

₀

 

₀²

sin 

₀

 2 

₀

cos 

₀

 

₀²

sin 

₀

 

t t

A

t t

At t

At t

A

0 0

0

0 0

2 0 0 2

0 0 0

cos cos

2

cos sin

sin cos

2





      











Samakan koefisiennya :

0 0

2 1

1 2







 A A

Maka solusi partikularnya : ^up _ω ^t

 

^ω0t

0

2 sin 1 



 Sehingga solusi khusus:

 

^ωt

ω t t C

t C

u _{o 0}

0 0

2

1 sin

2 sin 1

cos 









 

11.

^{y "  y '  4 y  2 sinh t Hint : sinh t }  ^e

^t

^{ e}

^t

 ^{/ 2}

Pembahasan : Solusi Homogen :

0

2 4





r r

  

  ¹

2

4 1 4 1

1

²

2 , 1





  r

2 15 1

2 , 1





  r

2 dan 15

2 1

2 15 2

1

2 , 1







 







r i

2 sin 15 2

cos 15

₂ ²

2

1

e t C e t

C

y

_h



^t



^t

Solusi particular :



 

 ^

2 sinh 2

t

t e

t e



^{t t}



t t

e e e

t e ^

  

 

2 2 2 sinh

2

Maka :

y

_p

 Ae

^t

 Be

^t

y '

_p

 Ae

^t

 Be

^t

y "

_p

 Ae

^t

 Be

^t

t t t t

t t t

t Be Ae Be Ae Be e e

Ae  ^   ^ 4 4 ^   ^

t t t

t Be e e

Ae 4 ^   ^ 6

Samakan koefisiennya :

4 1 1

4 6 1 1

6 A   A  B    B  

maka solusi partikularnya :

y

_p

 e

^t

 e

^t

4 1 6 1

Sehingga solusi umumnya :

t t t

t

t C e t e e

e C

y 

^



^

 

^

4 1 6 1 2 sin 15 2

cos 15

₂ ²

2 1

12.

^{y "  y '  2 y  cosh 2 t Hint : cosh t }  ^e

^t

^{ e}

^t

 ^{/ 2}

Pembahasan : Solusi homogen :

0

2 r2

  

r

^{r  1 r  2  0}

2

,

1

 r

t t

h

C e C e

y 

₁ ^



₂ ²

Solusi particular :

 ^e

^t

^e

^t

 ^t  ^e

^t

^e

^t



t

^{2 2}

2 2 1 cosh

2

cosh  1 

^

  

^

Kita harus memperkirakan solusi particular dari

e

^2t

e

^2t

2 1 2

1

_



apabila kita menuliskan

t t

p

Ae Be

y 

²



^2 maka bisa kita lihat

Ae

^2tmemiliki bentuk yang sama dengan solusi homogennya yaitu

C

₂

e

^2t, sehingga untuk menghindari hal ini

Ae

^2tkita kalikan dengan t. Solusi partikularnya menjadi :

t t

p

Ate Be

y 

²



^2

t t

t

p

Ae Ate Be

y ' 

²

 2

²

 2

^2

t t

t t

t t

t

p

Ae Ae Ate Be Ae Ate Be

y "  2

²

 2

²

 4

²

 4

^2

 4

²

 4

²

 4

^2

t t

t t

t t

t t t

t

Ate Be Ae Ate Be Ate Be e e

Ae

^{2 2 2 2 2 2 2 2 2 2}

2 1 2 2 1

2 2

2 4

4

4  

^

  

^

 

^

 

^

Ae

^2t

Be

^2t

e

^2t

e

^2t

2 1 2 4 1

3 

^

 

^

Samakan koefisiennya :

8 1 2

4 1 6 1 2

3 A  1  A  B   B 

Solusi partiularnya adalah :

y

_p

te

^2t

e

^2t

8 1 6

1

_





Sehingga solusi umumnya adalah :

t t

t

t

C e te e

e C

y

_{1 2} ^{2 2 2}

8 1 6

1

_



  



In each problem 13 through 18 find the solution of the given initial value problem

13.

^{y "  y '  2 y  2 t y}   ^{0  0 , y '}   ^{0  1}

Pembahasan : Solusi homogen :

0

2 r2

  

r

^{r  2 r  1  0} 1 dan

 2

 r

t t

h

C e C e

y 

₁ ^2



₂

Solusi particular :

0

"

'

 





p p

p

At B y A y

y

t B At

A 2 2 2

0    

 ^{A B}  ^t

At 2 2

2

   

Samakan koefisiennya :

2 1

1 2 0 2 1 0 2

1 2 2



































B B

B B

A

A A

Solusi particularnya :

2

 1



 t y

_p

Solusi umumnya :

2 1

2 2

1

  

 C e

^

C e t

y

^{t t}

2 1

2 2

1

  

 C e

^

C e t

y

^{t t} initial value

^y   ^{0  0}

Substitusikan nilai t0dan y0:

pers.1 ..

...

2 1

2 0 1 0

2 1

0 2 0 1

C C

e C e C













  ^{0 1}

' value initial 1 2

'   C

₁

e

^2

 C

₂

e  y 

y

^{t t}

Substitusikan nilai t0dan y'1: 2 pers.

..

...

2 2

1 2

1

2 1

0 2 0 1

C C

e C e C















Dari persamaan 1 dan 2 kita eliminasi sehingga didapat :

dan 1 2

1

2

1

  C 

C

Maka persamaan solusi umumnya menjadi :

2

1 2

1

₂









 e

^

e t

y

^{t t}

14.

^{y "  4 y  t}

²

^{ 3 e}

^t

^y   ^{0  0 y '}   ^{0  2}

Pembahasan : Solusi homogen :

0

2 4 r

  

  ¹

2

4 1 4 0

0

²

2 , 1



  r

i r

r i

2 0

2 4 2 0

2 , 1

2 , 1









2 dan

0 







t C t C t e C t e C

y

_h



₁ ⁰

cos 2 

₂ ⁰

sin 2 

₁

cos 2 

₂

sin 2

Solusi Particular :

t

p

At Bt C De

y 

²

  

t

p

At B De

y '  2  

t

p

A De

y "  2 

 

^t

t

t t

t

e t C A Bt De At

e t De C Bt At

De A

3 4

2 4 5

4

3 4

4 4 4

2

2 2

2 2



























Samakan koefisiennya :