Bab 7 Persamaan Differensial Orde-2 Non Homogen

KK-Astronomi ITB Page 7- 1

Bab 7

Persamaan Differensial Orde-2 Non Homogen

_____________________________________

7.1 Persamaan Differensial Orde-2 Homogen

Bentuk Umum

2

2 0

d y dy

a b cy

dx  dx  ,

a b dan c konstanta, persamaan ini dapat juga ditulis sebagai :

2 2

( ) 0

aD y bDy cy   aD bD c y  D d

dx ,

2 2

2

D d

 dx

Untuk mencari solusi lakukan sebagai berikut

1. Cari akar persamaan karakteristik dengan rumus "abc"

2 2

12

0 4

2

b b ac

aD bD c D

a

  

     2. Solusi Umum

1 2

1 2

1 2

D x D x

x x

c e c e y c e^ c xe^

 

  

, ,

bila bila

1 2

1 2

D D

D D 



 

3. Gunakan rumus Euler, bila akar karakteristiknya imajiner e^{i x} cosx i sinx

i 1 Contoh : 1. p.d :

2

2d y2 3dy 4 0

dx  dx y , cari akar persamaan karakteristik

2 ² 3 4 0 ₁₂ ^{3 9 32 3 1} 41

4 4 4

D  D  D       

3 1 3 1

( 41) ( 41)

4 4 4 4

1 2 1 2

x x

D D  y c e^{ } c e^{ } atau

3 1 1

41 41

4 4 4

1 2

x x x

y e^ c e c e^ 

   

 

2. Carilah solusi persamaan differensial homogen;

2

2 2 0

d y dy dx  dx y Persamaan karakteristik D²2D  1 0 (D1)² 0

1 2 1

D D

  

KK-Astronomi ITB Page 7- 2

Solusinya : yc e₁ ^xc xe₂ ^x(c₁c x e₂ ) ^x

3. Cari solusi p.d

2

2 2 5 0

d y dy

dx  dx y

Persamaan karakteristik : ² 2 5 0 ₁₂ ^{2 4 20}

D  D  D    2 

1 1 2

D    i, D2  1 2i  y e^xc e₁ ^2ixc e₂ ^2ix Gunakan rumus Euler:

   

   

1 2

1 2

2 2 2 2

2 2 2 2 (2 )

x

x x x

y e c Cos x iSin x c Cos x iSin x

y e d Cos x d Sin x e CoskCos x SinkSin x e Cos x k



  

 

      

     

Dengan k suatu konstanta, ingat hubungan;

( )

7.2 Persamaan Differensial Orde-2 Non Homogen

Bentuk umum :

2

2 ( ) ( ) ( )

d y dy

p x Q x y R x

dx  dx  (*)

Dimana, P(x), Q(x), dan R(x) dapat juga berwujud suatu konstanta Solusinya : y = y_h + y_k

Dengan ;

yh – solusi homogen, dicari dengan mengambil R(x) = 0

yk – solusi khusus, dicari dengan mengambil bentuk yk ≡ R(x) dan kemudian disubstitusi pada (*), cara ini disebut metoda koefisien tak tentu

Tabel 7- 1Ringkasan metoda koefisien tak tentu guna mencari y_k

No Bentuk R(x) yk yang diambil

1 b x_m ^mb_m1x^m1. . .b x b₁  ₀ B x_m ^mB_m1x^m1. . .B x₁ B₀ 2 bCos x cSin x   BCos x CSin x  

3 Sec x V x Cos x V x Sin x^{1( )}   ^{2( )}  V1 dan V2 solusi homogennya

4 be^x, α real atau imajiner

Be^x[asal solusi homogen tidak mengandung faktor e^αx]. Bila mempunyai faktor e^x coba bentuk

(A Bx e ) ^x ,(A Bx Cx e  ²) ^xdemikian seterusnya 5 Bentuk lain / kombinasi Coba dengan trial & error

6 bcos x atau bsin x Tetap harus ditulis :ACos x   BSin x

7 ax² Tetap harus ditulis dalam bentuk lengkap :

Ax2Bx C

KK-Astronomi ITB Page 7- 3

Contoh (1) : Cari solusi umum

2

2

2 3 4

d y dy

y x dx  dx  Jawab: Solusi homogen

2

2 3 4 0

d y dy

dx  dx y

2 3 4 0

D D y

    

 

Cari akar persamaan karakteristik;

  

2 3 4 0 1 4 0

D D D D

       

1 1 , 2 4

D  D  

1 2 4

1 2 1 2

D x D x x x

yh c e c e c e c e^

Solusi khusus, misal y_k  Ax²Bx C Jadi

2

2

2^k 3 ^k 4 _k

d y dy

y x

dx  dx  

  

²



²

2A3 2AxB 4 Ax Bx C x

 

2 2

4Ax x 6A 4B 2A 3B 4C x

       

4 1 1

A A 4

     6 4 0 3

A B  B  8 dari 2A3B4C0 diperoleh 13 C 32

Jadi 1 ² 3 13

Jadi

4 8 32

yk   x  x

Solusi Umumnya:

4 2

1 2

1 3 13

4 8 32

x x

h k

y y y  y c e c e^  x  x Contoh (2): Cari solusi umum

2

2 4 3 6 23

d y dy

y x

dx  dx   Jawab: Solusi homogen

2

2 4 3 0

d y dy

dx  dx y D²4D  3 0 D₁  1 ,D₂  3

3

1 2

x x

yh c e^ c e^

Solusi khusus, misal y_k  AxB Jadi

2

2^k 4 ^k 3 _k 6 23

d y dy

y x

dx  dx   

 

0 4 A3 AxB 6x23 3Ax4A 3B 6x23

2 4 3 23 5

A  A B  B

KK-Astronomi ITB Page 7- 4

Dengan demikian y_k 2x5 Jadi solusi umumnya;

3

1 2

^{x x} 2 5

h k

y y y  y c e^ c e^  x

7.3 Aplikasi Persamaan Differensial

Massa jatuh bebas dengan hambatan udara

- 2

mdv mg bv dt 

m-massa total

b-koefisien gesek udara v= kecepatan

g-percepatan gravitasi

Volume air yang keluar dapat ditentukan apabila debit k, diketahui

dh k h dt  

h-tinggi air dari dasar bejana k-debit air

Rangkaian RL LdI RI E

dt  

I-arus listrik, R-resistor L-induktor, S-switch E-tegangan motor listrik

KK-Astronomi ITB Page 7- 5

“Pursuit Problem”

Menentukan titik cegat, bila arus air, kecepatan kapal diketahui, dinyatakan dengan konstanta a;

2 2

dy y

dx a y

 

a-konstanta yang bergantung pada arus air kecepatan angin, kecepatan kapal dan lain-lain

Jembatan gantung yang berosilasi dalam arah vertikal;

2

2

2 1

d y k y

dt   k-konstanta

Beban bermassa m, disangga oleh pegas dengan konstanta k, bergerak dalam arah vertikal. Gesekan dengan udara diabaikan;

2

2 0

md y ky dt  

2 2

d I dI I dE

L R

dt  dt C  dt I-arus listrik. R-resistor L-induktor. S-switch E-tegangan motor listrik

KK-Astronomi ITB Page 7- 6

Bandul yang berayun-ayun, hambatan udara diabaikan

2

2 0

ld mgSin dt

   

l-panjang lengan, m-massa bandul g-percepatan gravitasi

Percobaan Galileo, tentang adanya gaya gravitasi dari Bumi

2 2

d y g dt 

1. Rangkaian Listrik

Dari Hukum Kirchoff

 

R L

E E E

    

 

dI ( ) dI R E

L RI E t I

dt dt L L

       

dI R E

dt L I L

     

Solusi:

.

R R

dt dt

L L E

Ie e dt c

L

 

 





KK-Astronomi ITB Page 7- 7

2. Getaran Harmonik

Tanpa gesekan

2 2

w d y g dt  ky

2 gk

B  w

g - percepatan gravitasi k - konstanta pegas w - berat beban Syarat batas

0

t , 'y 0, y y₀

Dengan gesekan

2 2

w d y dy

ky q g dt    dt q - koefisien gesekan

Misalkan E gq

 w , ² gk B  w

2

2

2 0

d y dy

E B y

dt  dt  

Merupakan persamaan differensial orde-2 homogen

KK-Astronomi ITB Page 7- 8

Circuit RLC

R [Ohm], L [Henry], C [Farad], I [Ampere]

Tegangan yang terjadi

1. Melewati _L dI

L E L

  dt 2. MelewatiRE_R RI

3. Melewati 1

   

C

C E I t dt Q t

C C

 





dalam hal ini^{I t}

 

^dQ

 dt

Hukum Kirchoff EE_LE_RE_C

Jika

 

o^sin o^sin

 

¹

 

E t E t E t LdI RI t I t dt

dt C

 

    



Turunkan terhadap t

 

2

cos 2 " ' cos

o o

d I dI I t I

E t L R LI RI E t

dt dt C C

          

Forced Oscillations Resonance

 

" '

my cy kyr t Jika r t

 

Fo^cost

Maka my"cy'kyF_ocost

Analogy contoh (1) dan (2) diragakan dalam table berikut

Dash Pot (C)

L C

R

E(t)

F3

F1

F2

Spring (k)

Body (m)

r(t)

L

KK-Astronomi ITB Page 7- 9

Tabel 7- 2

Analogi sistim listrik dan Mekanik

Electrical System Mechanical System

Inductance (L) Mass (M)

Resistance (R) Damping Constant (C)

Rec. of Capacitance 1

C Spring Modulus (k)

Deriv.E_ocost of electromotive force Driving ForceE_ocost

Current ^{I t}

 

Displacement (y(t))

7.4 Latihan

Soal untuk latihan gunakan metoda koefisien tak tentu untuk menyelesaikan persamaan diferensial berikut :

1. y'' 9 yx [ ₁ ³ ₂ ³ 1

9

x x

yc e c e^  x] 2. y'' y' 6y2x²

3. y'' 2 ' y   y x x² [y(c₁c x e₂ ) ^xx²5x8] 4. y''y'4x

5. y'' 5 ' 6 y  ye^x [ ₁ ² ₂ ³ 1 2

x x x

yc e c e  e ] 6. y'' 6 ' 9 y  y2e^x

7. y'' 4 ' 3 y  ye^3x [ ₁ ³ ₂ 1 ³

2

x x x

yc e^ c e^  xe^ ] 8. y'' 2 ' 2 y  y3e^2x

9. y'' y' 2y2Sinx [ ₁ ² ₂ 3 1

5 5

x x

yc e c e^  Sinx Cosx] 10. y'' 4 ' y Cosx

11. y'' 4 y2Cos x2 ₁ 2 ₂ 2 ¹ y c Cos x c Sin x 5Cosx

    

 

 

12. y'' 9 ySin x3

13. y'' 9 ySinx e ^2x [ _{1 2} 1 1 ²

3 3

8 13

yc Cos x c Sin x  Sinx e x ] 14. y''y'3x e ^x

15. y'' 5 ' 6 y  y2e^x tapi dengan syarat bila x0,y1, 'y 0 maka

2x 3x x

ye e e

KK-Astronomi ITB Page 7- 10

Bab 7 ... 1

Persamaan Differensial Orde-2 Non Homogen ... 1

7.1 Persamaan Differensial Orde-2 Homogen ... 1

7.2 Persamaan Differensial Orde-2 Non Homogen ... 2

7.3 Aplikasi Persamaan Differensial... 4

7.4 Latihan ... 9

Tabel 7- 1Ringkasan metoda koefisien tak tentu guna mencari yk ... 2

Tabel 7- 2 Analogi sistim listrik dan Mekanik ... 9