Persamaan Diferensial Orde I

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

Persamaan

Persamaan

Diferensial

Diferensial

D e fin isi

Persam aan diferensial adalah suat u persam aan yang m em uat sat u at au lebih t urunan fungsi yang t idak

diket ahui.

Jika persam aan diferensial m em iliki sat u peubah t ak bebas m aka disebut Persam aan Diferensial Biasa

( PDB) .

Persamaan

Persamaan

Diferensial

Diferensial

(2)

(2)

Persam aan diferensial biasa dikat akan linear, apabila persam aan diferensial t ersebut m em punyai peubah t ak bebas m aupun t urunannya bersifat linear.

Bent uk um um PDBL orde- n adalah sebagai berikut a_n( x) yn _{+ a}

n- 1( x) yn- 1 + … + a0( x) y = f( x)

dengan a_n( x) ≠ 0 dan a_n( x) , a_{n- 1}( x) , … , a₀( x) adalah koefisien PD.

Bila f( x) = 0 disebut PDBL Hom ogen, sebaliknya j ika t idak disebut PDBL t ak hom ogen.

Contoh

Contoh

dt dN

( 1) = kN , N = N(t) , orde 1 dim ana N peubah t ak bebas t peubah bebasnya

( 2) y ’ + 2 cos 2x = 0 , orde 1 dim ana y peubah t ak bebas x peubah bebasnya

( 3) y” + ex _{y’ + sin xy = e}x _{sin x , orde 2}

x3 _{y” + cos 2x (y’)}3_{= x}2 _y2

Solusi

Solusi

Misal ada suat u persam aan diferensial dim ana y

sebagai peubah t ak bebas yang bergant ung pada peubah bebas x at au suat u fungsi y = f ( x) disebut solusi PDB j ika fungsi y = f ( x) disubt it usikan ke PDB diperoleh persam aan ident it as.

Solusi um um dan solusi khusus

Contoh

Contoh

( 1) y = cos x + c Æ solusi um um Persam aan Diferensial y’ + sin x = 0 Karena

( cos x + c) ’ + sin x = - sin x + sin x = 0 ( 2) y = cos x + 6 Æ solusi khusus

Persam aan Diferensial y’ + sin x = 0 Karena

PDB Orde 1

PDB Orde 1

PDB t erpisah

PDB

PDB

terpisah

terpisah

PDB yang dapat dit uliskan dalam bent uk : g( y) dy = f( x) dx disebut PDB t erpisah. Penyelesaian : int egralkan kedua ruas Con t oh : t ent ukan solusi um um PD

(x ln x) y' = y , (y’= dx dy

)

1

y

=

x

3

e

−y , y(2) = 0

Contoh

Contoh

1. Jawab:

(x ln x) y' = y

Jadi solusi um um PD t ersebut adalah

( )

x

c

Contoh

Contoh

2. Jawab:

⎟

Latihan

Latihan

Tent ukan solusi Persam aan diferensial dibawah ini

Fungsi

Fungsi

homogen

homogen

Fungsi A(x,y) disebut fungsi hom ogen dengan deraj at n, j ika

A(kx,ky) = kn_{A(x,y) ,}

k konst an sem barang Cont oh :

Periksa apakah fungsi berikut hom ogen at au t idak ! 1. A(x,y) = x + y

A( kx,ky) = kx + ky

= k (x + y) = k A(x,y)

A(x,y) = x + y , fungsi hom ogen dengan deraj at 1 2. A(x,y) = x2 _{+ xy}

A(kx,ky) = k2_x2 _{+ kx ky}

PD

PD

dengan

dengan

koefisien

koefisien

fungsi

fungsi

homogen

homogen

PDB yang dapat dit uliskan dalam bent uk

) , (

) , ( '

y x B

y x A y =

dengan A,B fungsi hom ogen dengan deraj at yang sam a disebut PDB dengan koefisien fungsi hom ogen.

Penyelesaian : gunakan subt it usi y = ux, u = u( x)

u x

u

y' = ' +

dx dy

dx du

= x + u

dengan

Contoh

Contoh

Selesaikan solusi persam aan diferensial berikut

Contoh

Contoh

(no.2

(no.2

lanjutan

lanjutan

)

)

cx

Latihan

Latihan

Tent ukan solusi Persam aan diferensial dibawah ini

PDB Linier

PDB Linier

PDB yang dapat dit uliskan dalam bent uk :

1

y _{+ P(x) y = r(x)} disebut PDB linier.

Penyelesaian : kalikan kedua ruas dengan fa k t or in t e gr a l

∫

P x dx

e

( )

∫

P x dx

e

( )

1

y

e

∫

P(x)dx

e

∫

P(x)dx 1

) (

)

(

ye

∫

P x dx

e

∫

P(x)dx

+ P(x)y r(x)

= r(x)

Kem udian, kalikan kepada kedua ruas, sehingga diperoleh:

I nt egralkan kedua ruas

∫

Contoh

Contoh

Selesaikan persam aan diferensial dibaw ah ini 1. xy’ – 2y = x3 _ex

Sehingga diperoleh fakt or int egrasi:

Contoh

Contoh

Selesaikan persam aan diferensial dibaw ah ini 2. y’ + y = (x + 1)2_{, y( 0) = 3}

Jawab:

Fakt or int egrasi dari PD di at as adalah:

x dx

e

e

∫

1

=

kalikan kedua ruas dengan ex_{, yait u:}

Contoh

Contoh

(no. 2

(no. 2

Lanjutan

Lanjutan

)

)

Diket ahui y( 0) = 3, sehingga

2

=

c

c

+

=

1

3

Ù

Jadi solusi khusus PD di at as adalah x

e x

Latihan

Latihan

Selesaikan persam aan diferensial di baw ah ini:

Trayektori

Trayektori

Ortogonal

Ortogonal

Masalah dalam TO ini adalah bagaim ana

m endapat kan keluarga kurva yang ort ogonal at au t egak lurus t erhadap keluarga kurva lain.

Cara unt uk m endapat kan t rayekt ori ort ogonal dari suat u kurva adalah sebagai berikut :

Turunkan secara im plisit f(x,y) = c t erhadap x, nyat akan param et er c dalam x dan y.

Karena t egak lurus m aka t rayeksi Ort ogonal ( TO) harus m em enuhi:

) , (

1

1

y x Df y = −

Contoh

Contoh

2

cx

y

=

Tent ukan t rayekt ori ort ogonal dari keluarga kurva

Jawab:

Langkah- langkah m enent ukan TO :

Contoh

Contoh

(

(

lanjutan

lanjutan

)

)

3. TO dari adalah solusi dari PD berikut :

)

Jadi keluarga yang t egak lurus t erhadap parabola

y

=

cx

2

Latihan

Latihan

Tent ukan solusi t rayekt ori ort ogonal dari keluarga kurva berikut :

2

2

2

c

y

x

+

=

y

=

x

+

c

2

2

2

c

y

x

−

=

_{4 x}

2

_{+ y}

2

_{= c}

4.

2. 1.

5.

y = cx

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

Pe n ggu n a a n

Penerapan

Penerapan

dalam

dalam

Rangkaian

Rangkaian

Listrik

Listrik

Sesuai dengan Hukum Kirchhoff, rangkaian list rik sederhana ( gam bar sam ping) yang m engandung sebuah t ahanan sebesar R ohm dan sebuah kum paran sebesar L Henry dalam rangkaian seri dengan sum ber gaya elekt rom ot if ( sebuah bat erai at au generat or) yang m enyediakan suat u volt ase E( t ) volt pada saat t m em enuhi

( )

t

R

I

( )

t

E

( )

t

I

Contoh

Contoh

Tent ukan arus I sebagai fungsi dari wakt u t dari suat u

rangkaian RL dengan R = 6 ohm , L = 2 henry dan sebuah bat erai yang m enyediakan volt ase sebesar E = 12 Volt dan diasum sikan saat awal arusnya adalah nol (I = 0 pada saat t = 0, j ika saklar S dit ut up) .

Ja w a b

Persam aan diferensialnya adalah

At au bisa disederhanakan m enj adi

12

6

'

2

I

+

I

=

6

3

'

+

I

=

I

Contoh

Contoh

(

(

Lanjutan

Lanjutan

)

)

Kem udian kedua ruas kalikan dengan fakt or int egrasi

e

3t

(

t

)

t

t

e

C

C

e

e

I

=

−3

2

3

+

=

2

+

−3

Kit a peroleh

Syarat aw al, I = 0 pada saat t = 0, m em berikan C = –2 Sehingga,

t

Contoh

Contoh

Dari cont oh sebelum nya bat erai digant i dengan generat or arus bolak – balik dengan E = 12 sin 9t Volt dan

diasum sikan saat awal arusnya adalah nol (I = 0 pada saat t = 0, j ika saklar S dit ut up) .

Ja w a b

Persam aan diferensialnya adalah

At au bisa disederhanakan m enj adi

t

I

I

'

6

12

sin

9

2

+

=

t

I

I

'

+

3

=

6

sin

9

Contoh

Contoh

(

(

Lanjutan

Lanjutan

)

)

Dengan int egral parsial, didapat hasil int egralnya adalah

(

)

_⎟⎟

Sehingga,

Latihan

Latihan

Tent ukan arus I sebagai fungsi dari wakt u t dari suat u rangkaian RL dengan R = 106 _{ohm , L = 1 henry dan}

sebuah sum ber gaya elekt rom ot if yang m enyediakan volt ase sebesar E = 1 Volt dan diasum sikan saat aw al arusnya adalah nol (I = 0 pada saat t = 0, j ika saklar S dit ut up) .

1.

Tent ukan arus I sebagai fungsi dari wakt u t dari suat u rangkaian RL dengan L = 3,5 Henry dan sebuah sum ber gaya elekt rom ot if yang m enyediakan volt ase sebesar

Latihan

Latihan

Tent ukan arus I sebagai fungsi dari wakt u t dari suat u rangkaian RL dengan R = 1000 ohm dan sebuah sum ber gaya elekt rom ot if yang m enyediakan volt ase sebesar

E( t ) = 120 sin 377 t Volt dan diasum sikan saat awal

arusnya adalah nol (I = 0 pada saat t = 0, j ika saklar S dit ut up) .

3.

Tent ukan arus I sebagai fungsi dari wakt u t dari suat u rangkaian RL dengan R = 1000 ohm , L = 3,5 henry dan sebuah sum ber gaya elekt rom ot if yang m enyediakan