BAB I PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE I

BAB I

PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE I

1.1 Pengertian PD, Orde (tingkat), & Derajat (Pangkat)

 Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat derivatif- derivatif (turunan) sekurang-kurangnya 1 derivatif dari fungsi yang tidak diketahui

 Orde atau tingkat dari suatu PD ditentukan oleh tingkat derivatif yang tertinggi yang terdapat pada persamaan tersebut

 Derajat/pangkat dari suatu PD adalah pangkat dari derivatif yang mempunyai tingkat tertinggi dari persamaan tertentu

Contoh :

𝑑²𝑦 𝑑𝑥²

3

+

^𝑑𝑦

𝑑𝑥

2

+ 2𝑥 = 𝑠𝑖𝑛

³

𝑥

PD orde 2 derajat 3 1.2 Membentuk PD

Eliminasikan hubungan 𝑐₁ & 𝑐₂ dari persamaan berikut : 𝑦 = 𝑐₁𝑒^−2𝑥+ 𝑐₂𝑒^3𝑥… … 1

𝑦^𝐼 = −2𝑐₁𝑒^−2𝑥+ 3𝑐₂𝑒^3𝑥… … 2 𝑦^𝐼𝐼 = 4𝑐₁𝑒^−2𝑥+ 9𝑐₂𝑒^3𝑥… … 3 Persamaan 2 & 3 eliminasikan

𝑦^𝐼 = −2𝑐₁𝑒^−2𝑥+ 3𝑐₂𝑒^3𝑥 x2 2𝑦^𝐼 = −4𝑐₁𝑒^−2𝑥+ 6𝑐₂𝑒^3𝑥 𝑦^𝐼𝐼 = 4𝑐₁𝑒^−2𝑥+ 9𝑐₂𝑒^3𝑥 x1 𝑦^𝐼𝐼 = 4𝑐₁𝑒^−2𝑥+ 9𝑐₂𝑒^3𝑥

2𝑦^𝐼+𝑦^𝐼𝐼 = 15𝑐₂𝑒^3𝑥 ………….(4) Persamaan 1 & 3 eliminasikan

𝑦 = 𝑐₁𝑒^−2𝑥+ 𝑐₂𝑒^3𝑥 x 4 4𝑦 = 4𝑐₁𝑒^−2𝑥+ 4𝑐₂𝑒^3𝑥 𝑦^𝐼𝐼 = 4𝑐₁𝑒^−2𝑥+ 9𝑐₂𝑒^3𝑥 x 1 𝑦^𝐼𝐼 = 4𝑐₁𝑒^−2𝑥+ 9𝑐₂𝑒^3𝑥

4𝑦 − 𝑦^𝐼𝐼 = −5𝑐₂𝑒^3𝑥 ………..(5) Persamaan 4 & 5 eliminasikan

2𝑦^𝐼+𝑦^𝐼𝐼 = 15𝑐₂𝑒^3𝑥 x1 2𝑦^𝐼+𝑦^𝐼𝐼 = 15𝑐₂𝑒^3𝑥 4𝑦 − 𝑦^𝐼𝐼 = −5𝑐₂𝑒^3𝑥 x2 12𝑦 − 3𝑦^𝐼𝐼 = −5𝑐₂𝑒^3𝑥

2𝑦^𝐼+ 𝑦^𝐼𝐼+ 12𝑦 − 3𝑦^𝐼𝐼 = 0

−2𝑦^𝐼𝐼+ 2𝑦^𝐼+ 12𝑦 = 0 𝑦^𝐼𝐼− 𝑦^𝐼+ 6𝑦 = 0

𝑑²𝑦 𝑑𝑥²

+

^𝑑𝑦

𝑑𝑥

+ 6𝑦 = 0

Persamaan Diferensial Orde 2 derajat 1

1.3 Persamaan Diferensial Variabel Terpisah Bentuk umum

F(x) dx + g(x) dy = 0 Solusi Umum :

F(x) dx + g(x) dy = C

1.4 Persamaan Diferensial Reduksi ke Variabel Terpisah Bentuk umum

F1(x) g1(y) dx + F2(x) g2(y) dy = 0 Solusi Umum :

Dikali dengan faktor integralnya :

Faktor integral adalah faktor pengali yang ingin kita cari yang ingin kita kalikan ke persamaan umum agar persamaan itu bias kita sendirikan.

1

F₂(x) g₁(y) [𝐹₁(𝑥) 𝑔₁(𝑦) 𝑑𝑥 + 𝐹₂(𝑥) 𝑔₂(𝑦) 𝑑𝑥 = 0]

𝐹₁(𝑥)

𝐹₂(𝑥)

𝑑𝑥 +

^𝑔_𝑔^2(𝑥)

1(𝑥)

dy = 0

𝐹₁(𝑥)

𝐹₂(𝑥)

𝑑𝑥 +

^𝑔_𝑔^1(𝑥)

2 𝑥

𝑑𝑦 = 𝐶

Contoh soal !

1. Selesaikan PD x⁵ dx + (y+2)² dy = 0 Jawab :

𝑥⁵𝑑𝑥 + (𝑦 + 2)² 𝑑𝑦 = 𝑘

1

6𝑥⁶+¹₃ 𝑦 + 2 ³ = 𝑘 𝑥⁶+ 2 𝑦 + 2 ³ = 6𝑘

𝑥⁶+ 2 𝑦 + 2 ³ = 𝐶 dimana C = 6k

2. Selesaikan PD 9y ^𝑑𝑦_𝑑𝑥 + 4𝑥 = 0 Jawab :

Faktor integralnya = dx dx (9y ^𝑑𝑦_𝑑𝑥 + 4𝑥 ) = 0 9y dy +4x dx = 0 9y dy + 4x dx = k

9

2 𝑦²+ 2𝑥² = 𝑘 9𝑦²+ 4𝑥² = 2𝑘

9𝑦²+ 4𝑥² = 𝐶 dengan C = 2𝑘

1.5 Persamaan Diferensial Homogen

 Fungsi Homogen

Suatu fungsi F(x,y) dikatakan homogen berderajat n jika:

F(λ x, λ y)= λ^𝑛 f(x,y) Contoh fungsi homogen:

F(x,y) = 2x²+2y²

F(λ x, λ y) = 2(λx)²+ 2(λy)² = 2λ²𝑥²+2λ²𝑦² = λ²(2x²+2y²) F(λ x, λ y) = λ²𝐹(𝑥, 𝑦)

F(λ x, λ y) = λ²𝐹(𝑥, 𝑦) fungsi homogen berderajat 2

 Bentuk umum

M(x,y) dx + N(x,y)dy = 0

Syaratnya M(x,y) dan N(x,y) adalah homogen dan berderajat sama Langkah-langkah untuk menentukan solusi umum yaitu :

1. Gunakan transformasi y = ux dan dy = x du + u dx adau x = uy dan dx = y du + u dy

2. PD homogen tereduksi ke PD variable terpisah 3. Gunakan aturan pada PD variabel terpisah

4. Gantilah u= ^𝑦_𝑥 jika menggunakan transformasi y = ux

Gantilah u = _𝑦^𝑥 jika menggunakan transformasi x = uy untuk mendapatkan solusi semula

5. Solusi umum PD homogen diperoleh Contoh :

(x+2y)dx + (2x + 3y) dy = 0 Jawab :

M(λ x, λ y) = (λ x + 2 λ y) = λ (x + 2y)

= λ M(x,y) => fungsi homogen berderajat Satu M(λ x, λ y) = 2 λx + 3 λy

= λ (2x +3y)

= λ M(x,y) => fungsi homogen berderajat Satu (x+2y) dx + (2x+3y)dy = 0

y = ux dan dy = x du + u dx

(x + 2(ux)) dx + (2x + 3(ux)) (x du + u dx) = 0

(x + 2ux) dx + 2x²du + 2 xu dx + 3ux² du + 3u²x dx = 0 (x + 4ux+ 3u²x) dx + (2x² + 3ux²) du = 0

x(1+4u+3u²) dx+ x²(2 + 3u) du = 0 faktor integralnya = ¹

1+4𝑢+3𝑢² 𝑥² 1

1+4𝑢+3𝑢² 𝑥² [x(1+4u+3u²) dx+ x²(2 + 3u) du = 0]

1

𝑥 𝑑𝑥 + _{1+4𝑢+3𝑢}^2+3𝑢 ₂ 𝑑𝑢 = 0

1

𝑥 𝑑𝑥 + _{1+4𝑢+3𝑢}^2+3𝑢 ₂ 𝑑𝑢 = 𝑘 Misal w = 1 + 4𝑢 + 3𝑢² dw = 4 + 6u du ¹₂ dw = 2 + 3u du ln 𝑥 + ¹_{2 𝑤}¹ 𝑑𝑤 = 𝑘

ln 𝑥 +¹₂ln 𝑤 = 𝑘

ln 𝑥 + ¹₂ln 1 + 4𝑢 + 3𝑢² = 𝑘 2 ln 𝑥 + ln 1 + 4𝑢 + 3𝑢² = 2𝑘

ln 𝑥²+ ln 1 + 4^𝑦_𝑥+ 3^𝑦_𝑥²₂ = 2𝑘 ln 𝑥² . 1 + 4^𝑦_𝑥+ 3^𝑦_𝑥²₂ = ln 𝑒^2𝑘 𝑥² . 1 + 4^𝑦_𝑥+ 3^𝑦_𝑥²₂ = 𝑒^2𝑘 𝑥²+ 4𝑥𝑦 + 3𝑦² = 𝑒^2𝑘

𝑗𝑎𝑑𝑖 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑠𝑖 𝑢𝑚𝑢𝑚 𝑃𝐷 𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑏𝑢𝑡 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎𝑕

𝑥²+ 4𝑥𝑦 + 3𝑦² = 𝐶 dengan C = 𝑒^2𝑘

1.6 Persamaan Diferensial Eksak

Bentuk umum M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 dengan syarat sebagai berikut:

𝜕𝑀

𝜕𝑦 = ^𝜕𝑁_𝜕𝑥 dengan solusi umum yaitu f(x,y) = C

Langkah-langkah untuk menentukan solusi umum yaitu : 1. ^𝜕𝑓_𝜕𝑥 = 𝑀(𝑥, 𝑦) dan ^𝜕𝑓_𝜕𝑥 = 𝑁(𝑥, 𝑦)

2. Integralkan ^𝜕𝑓

𝜕𝑥 terhadap x. sehingga menjadi ^𝜕𝑓

𝜕𝑥 = 𝑀(𝑥, 𝑦) dx^𝑥 . maka f(x,y) = 𝑀(𝑥, 𝑦) dx^𝑥 + 𝜑𝑦

3. Hasil integral tersebut kemudian diturunkan terhadap y yaitu :

𝜕𝑓

𝜕𝑦 = _𝜕𝑦^𝜕 𝑀(𝑥, 𝑦) dx^𝑥 + ^𝑑𝜑_𝑑𝑦

4. Karena ^𝜕𝑓_𝜕𝑦 = 𝑁(𝑥, 𝑦) maka ^𝑑𝜑_𝑑𝑦 = 𝑁 𝑥, 𝑦 −_𝜕𝑦^𝜕 𝑀(𝑥, 𝑦) dx^𝑥

5. 𝜑𝑦 yang diperoleh disubstitusikan kedalam f(x,y) dalam langkah 2 sehingga f(x,y) = C diperoleh.

Contoh :

Selesaikan PD berikut ! (x² – y ) dx –x dy = 0 Jawab :

M(x,y) = x² – y N(x,y) = –x

𝜕𝑀

𝜕𝑦 = −1 ^𝜕𝑀_𝜕𝑦 = −1 Karena ^𝜕𝑀

𝜕𝑦 = ^𝜕𝑁_𝜕𝑥 maka PD diatas adalah PD eksak

 _∂x^∂f = M(x, y) dan _∂x^∂f = N(x, y)

 Integrasikan M(x,y) terhadap x dan y tetap f(x,y) = 𝑥^{𝑥 2}− 𝑦 𝑑𝑥 + 𝜑(𝑦 )

= ¹₃ 𝑥³− 𝑥𝑦 + 𝜑(𝑦 )

 _𝜕𝑦^𝜕𝑓 = _𝜕𝑦^{𝜕 1}₃ 𝑥³− 𝑥𝑦 + ^{𝑑𝜑 (𝑦 )} _𝑑𝑦 = −𝑥 + ^{𝑑𝜑 (𝑦 )} _𝑑𝑦

 Karena ^𝜕𝑓_𝜕𝑦 = −𝑥 maka

−𝑥 = −𝑥 +^{𝑑𝜑 (𝑦 )} _𝑑𝑦

𝑑𝜑 (𝑦 )

𝑑𝑦 = 0 ^{𝑑𝜑 (𝑦 )} _𝑑𝑦 = 𝑜 𝑑𝑦

𝜑 𝑦 = k

Solusi f(x,y) = ¹₃ 𝑥³ − 𝑥𝑦 + 𝑘

Jadi solusi umum PD eksak diatas adalah ¹₃ 𝑥³− 𝑥𝑦 = 𝐶 dengan C = −𝑘 f(x,y) = C

1.7 Persamaan Diferensial Non Eksak dan Non Homogen

Bila persamaan M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 adalah PD non eksak

𝜕𝑀

𝜕𝑦 ≠ ^𝜕𝑁_𝜕𝑥 maka akan dicari suatu fungsi yang dapat mengubahnya menjadi PD eksak.

Fungsi yang akan dicari tersebut disebut faktor integral

Pada umumnya faktor integral merupakan fungsi dengan peubah x dan y tetapi kadangkala mersupakan fungsi dengan peubah x saja. Misal u(x,y) adalah faktor integral dari PD tersebut, maka u M(x,y) dx + u N(x,y) dy = 0 Karena u M(x,y) dx + u N(x,y) dy = 0 adalah PD eksak, berarti

𝜕(𝑈𝑀)

𝜕𝑦 = ^{𝜕(𝑈𝑁)}_𝜕𝑥 maka ketika diturunkan akan menjadi 𝑈 ^𝜕𝑀_𝜕𝑦 + 𝑀^𝜕𝑈_𝜕𝑦 = 𝑈 ^𝜕𝑁_𝜕𝑥 + 𝑁^𝜕𝑈_𝜕𝑥

 Jika u hanya dalam peubah x ( u= u(x))

𝜕𝑈

𝜕𝑦 = 0 dan ^𝜕𝑈_𝜕𝑥 = ^𝑑𝑈_𝑑𝑥

𝑈 ^𝜕𝑀_𝜕𝑦 + 𝑀. 0 = 𝑈 ^𝜕𝑁_𝜕𝑥 + 𝑁^𝜕𝑈_𝜕𝑥

𝜕𝑀

𝜕𝑦 −^𝜕𝑁_𝜕𝑥 . 𝑈 = 𝑁^𝑑𝑈_𝑑𝑥

𝜕𝑀

𝜕𝑦 − ^𝜕𝑁_𝜕𝑥

𝑁 𝑑𝑥 = ^𝑑𝑢_𝑢

𝜕𝑀

𝜕𝑦 − ^𝜕𝑁_𝜕𝑥

𝑁 𝑑𝑥 = ^𝑑𝑢_𝑢 ln 𝑢 =

𝜕𝑀

𝜕𝑦 − ^𝜕𝑁_𝜕𝑥 𝑁 𝑑𝑥 u(x) = 𝑒

𝜕𝑀

𝜕𝑦 − 𝜕𝑁

𝜕𝑥 𝑁 𝑑𝑥

 Jika u hanya dalam peubah y ( u= u(y))

𝜕𝑈

𝜕𝑥 = 0 dan ^𝜕𝑈_𝜕𝑦 = ^𝑑𝑈_𝑑𝑦 𝑈 ^𝜕𝑀_𝜕𝑦 + 𝑀^𝑑𝑈_𝑑𝑦 = 𝑈 ^𝜕𝑁_𝜕𝑥 + 𝑁. 0

𝜕𝑀

𝜕𝑦 −^𝜕𝑁_𝜕𝑥 . 𝑈 = −𝑀^𝑑𝑢_𝑑𝑢

−

𝜕𝑀

𝜕𝑦−^𝜕𝑁_𝜕𝑥

𝑀 𝑑𝑦 = ^𝑑𝑢_𝑢 𝑢 𝑦 = 𝑒⁻

𝜕𝑀𝜕𝑦 −𝜕𝑁

𝜕𝑥 𝑀 𝑑𝑦

 Jika u dalam peubah x dan y (u(x,y) : maka tidak ada prosedur tertentu untuk mencarinya. Hanya pada dasarnya PD sebelumnya menjadi sederhana dan mudah diselesaikan.

Contoh :

Selesaikan PD berikut 0 ) 1

( ²

2  xyx  

dx x dy

Jawab :

0 ) 1

( ²

2  xyx  

dx

x dy dikalikan dengan dx sehingga menjadi

0 )

1

(xyx² dxx²dy 

M = xy + x² +1 N = x²

y x M 



 x

x N2





Karena

x N y M







 maka PD tersebut adalah PD non eksak dan non

homogen

𝜕𝑀

𝜕𝑦 − ^𝜕𝑁_𝜕𝑥 = 𝑥 − 2𝑥 = −𝑥 𝑢 𝑥 = 𝑒

𝜕𝑀

𝜕𝑦 − 𝜕𝑁

𝜕𝑥 𝑁 𝑑𝑥

𝑢 𝑥 = 𝑒 ^{− 𝑥2𝑥 𝑑𝑥} = 𝑒^{− 1𝑥 𝑑𝑥}

= 𝑒^{− ln 𝑥} = 𝑒^{𝑙𝑛 𝑥−1} = 𝑥⁻¹ u(x) = ¹_𝑥

1

𝑥 𝑥𝑦 + 𝑥² + 1 𝑑𝑥 + 𝑥²𝑑𝑦 = 0 𝑦 + 𝑥 +_𝑥¹ 𝑑𝑥 + 𝑥 𝑑𝑦 = 0 M= 𝑦 + 𝑥 +¹_𝑥 N = x

𝜕𝑀

𝜕𝑦 = 1 ^𝜕𝑁_𝜕𝑥 = 1

Karena ^𝜕𝑀_𝜕𝑦 = ^𝜕𝑁_𝜕𝑥 maka PD diatas adalah PD eksak

 _∂x^∂f = 𝑦 + 𝑥 +¹_{𝑥 ∂y}^∂f = x

 f(x,y) = 𝑦 + 𝑥 +^{𝑥 1}_𝑥 𝑑𝑥 + 𝜑(𝑦) = 𝑦𝑥 +¹₂ 𝑥²+ ln 𝑥 + 𝜑(𝑦)

 ^𝜕𝑓_𝜕𝑦 = _𝜕𝑦^𝜕 𝑦𝑥 +¹₂𝑥²+ ln 𝑥 +^𝑑𝜑_𝑑𝑦

𝜕𝑓

𝜕𝑦 = 𝑥 +^𝑑𝜑_𝑑𝑦

 Karena _𝜕𝑦 ^𝜕𝑓 = 𝑥 maka x = 𝑥 +^𝑑𝜑_𝑑𝑦

𝑑𝜑 𝑑𝑦 = 0

𝑑𝜑

𝑑𝑦 = 0 𝑑𝑦 𝜑 𝑦 = 𝑘

Jadi, solusi umum untuk PD eksak tersebut adalah f(x,y) = 𝑦𝑥 +¹₂ 𝑥²+ ln 𝑥 + 𝑘

𝑦𝑥 +¹₂ 𝑥²+ ln 𝑥 = 𝐶 dengan C = −𝑘 f(x,y) = C

1.8 Persamaan Diferensial Linier Orde 1 Bentuk umum ^𝑑𝑦_𝑑𝑥 + 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑄(𝑥) Contoh

𝑑𝑦

𝑑𝑥 + 3𝑥𝑦 = sin 𝑥

Untuk menyelesaikan PD linier orde 1ada tiga metode yang dapat digunakan yaitu:

 Metode Faktor Integral

 Metode Variasi Konstanta Lagrange

 Metode Bernouli

Metode Faktor Integral Bentuk PD ^𝑑𝑦

𝑑𝑥 + 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑄(𝑥) Faktor integralnya adalah 𝑒 ^{𝑝 𝑥 𝑑𝑥} Penyelesaian umum PD ini :

y 𝑒 ^{𝑝 𝑥 𝑑𝑥} = 𝑄 𝑥 𝑒 ^{𝑝 𝑥 𝑑𝑥} 𝑑𝑥 + 𝐶 𝑦 = 𝑄 𝑥 𝑒 ^{𝑝 𝑥 𝑑𝑥} 𝑑𝑥 + 𝐶 𝑒^{− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥}

Langkah-langkah mendapatkan penyelesaian umum PD ini adalah : o Tentukan faktor integral

o Dapatkan penyelesaian umum PD dengan melakukan integrasi pada ruas kanan dari bentuk penyelesaian umum diatas.

Contoh :

Selesaikan PD berikut !

𝑑𝑦

𝑑𝑥 + 𝑦 = 2𝑥 + 2𝑥 𝑗𝑎𝑤𝑎𝑏:

𝑃 𝑥 = 1 Q(x) = 2 + 2x

Faktor integral 𝑒 ^{𝑝 𝑥 𝑑𝑥} = 𝑒 ^𝑑𝑥 = 𝑒^𝑥 𝑦𝑒^𝑥 = 2 + 2𝑥 𝑒^𝑥𝑑𝑥 + 𝐶

= 2𝑒^𝑥𝑑𝑥 + 2𝑥𝑒^𝑥𝑑𝑥 + 𝐶

= 2 𝑒^𝑥𝑑𝑥 + 2 𝑥𝑒^𝑥𝑑𝑥 + 𝐶

= 2𝑒^𝑥 + 2[𝑥𝑒^𝑥− 𝑒^𝑥𝑑𝑥]

= 2𝑒^𝑥 + 2 𝑥𝑒^𝑥− 𝑒^𝑥 + 𝐶

= 2𝑒^𝑥 + 2𝑥𝑒^𝑥 − 2𝑒^𝑥+ 𝐶 𝑦𝑒^𝑥 = 2𝑥𝑒^𝑥+ 𝐶

𝑦 = 2𝑥 + 𝐶𝑒^−𝑥

Jadi solusi umum PD tersebut adalah 𝑦 = 2𝑥 + 𝐶𝑒^−𝑥