PERSAMAAN DIFFERENSIAL

(1)

PERSAMAAN DIFFERENSIAL

(DIFFERENTIAL EQUATION)

Suatu persamaan dimana terdapat hubungan antara variabel bebas, variabel tak bebas dan turunan-turunannya dinamakan persamaan differensial.

Contoh : , dx y d , dx dy 2 2 f (x, y, ………….. ) = 0 g (x, y, z, , y x z , x z 2 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ……… ) = 0

Ada 2 jenis persamaan differensial :

- Persamaan differensial biasa → x ₂ 0

2 = + + y dx dy xy dx y d

- Persamaan differensial partial → 0

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 2 = + + + x y y x z x z

Pembahasan hanya dibatasi pada persamaan differensial biasa.

PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA.

- Turunan tertinggi di dalam suatu persamaan differensial (PD) disebut orde dari persamaan differensial tersebut

Definisi : ₃ 0 ⇒ 3 3 2 2 orde al differensi persamaan y dx dy dx y d y dx y d x + + + =

- Pangkat tertinggi dari turunan tertinggi persamaan differensial disebut pangkat dari persamaan differensial tersebut.

3 3 2 3 . ⇒ 0 6 2 3 3 3 2 2 pangkat orde pangkat orde diff persamaan y dx dy dx y d y dx y d x  + =      +       +      

(2)

PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 PANGKAT 1

I. Persamaan differensial dengan variabel yang dapat dipisahkan

Bentuk Pers. Diff. f(x,y) dx

dy = → dipisahkan menjadi M(x) dx + N(y) dy=0

Dengan demikian variabel x dipisahkan dengan variabel y

1. Contoh : o y x dx dy = + 2 ydy + x2dx = 0

∫

2 c dx x dy y + = 2 ₃1 3 ( ) 2 1 _y + _x =_C _Jawab_umum 2. ex dy 0 x y dx y 1− 2 + = � 𝑥𝑥𝑒𝑒𝑥𝑥_{𝑑𝑑𝑥𝑥 + �} 𝑦𝑦𝑑𝑑𝑦𝑦 �1 − 𝑦𝑦2 = 𝐶𝐶 � 𝑥𝑥𝑑𝑑(𝑒𝑒𝑥𝑥_{) −}1 2� 𝑑𝑑(1 − 𝑦𝑦2₎ �1 − 𝑦𝑦2 = 𝐶𝐶 𝑥𝑥𝑒𝑒𝑥𝑥 _{− � 𝑒𝑒}𝑥𝑥_{𝑑𝑑𝑥𝑥 −}1 2 2 �1 − 𝑦𝑦2 = 𝐶𝐶 𝑒𝑒𝑥𝑥_{(𝑥𝑥 − 1) − �1 − 𝑦𝑦}2 _{= 𝐶𝐶\} 3. 𝑥𝑥2(𝑦𝑦2+ 1)𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑦𝑦√𝑥𝑥3 + 1 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 𝑥𝑥2(𝑦𝑦2+ 1)𝑑𝑑𝑥𝑥 = −𝑦𝑦√𝑥𝑥3 + 1 𝑑𝑑𝑦𝑦 � 𝑥𝑥2𝑑𝑑𝑥𝑥 √𝑥𝑥3_{+ 1}+ � 𝑦𝑦𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑦𝑦2_{+ 1 = 0} 1 3� 𝑑𝑑(𝑥𝑥3_{+ 1)} √𝑥𝑥3_{+ 1} + 1 2� 𝑑𝑑(𝑦𝑦2_{+ 1)} 𝑦𝑦2_{+ 1 = 𝐶𝐶} 2₃√𝑥𝑥3+ 1 +1₂𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑦𝑦2+ 1) = 𝐶𝐶

(3)

Carilah jawaban umum persamaan differensial berikut : Soal-soal : 1. 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 = sin2𝑥𝑥 sin 𝑦𝑦 2. dx dy y x y dx dy x2 − 2 = 2 3. x x dx dy y dx dy 2 sec tan ln + = 4. x dx e dy y y ) 1 ( arcsin 1 − =

II. Persamaan Differensial Homogen (PDH)

Suatu f(x, y) dikatakan homogen, bila mempunyai sifat f(λx, λy) = λn

f(x, y) Definisi :

Dimana λ = konstanta dan n = suatu bilangan

a) f(x, y) = Contoh : ) ( ) , ( 4 4 4 4 4 y x y x f y x + → λ λ = λ + = λ2 4 4 y x + = λ2 f(x, y) → orde 2 b) f(x, y) = ) xy ( ) y x ( ) y , x ( f xy y x 2 2 2 2 2 2 λ + λ = λ λ → + = λo nol orde ) y , x ( f xy y x o 2 2 λ =       +

Persamaan differensial M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0, disebut Persamaan Diferensial homogen bila berlaku M(x, y) dan N(x, y) adalah fungsi homogen dengan orde yang sama.

a) (x2 + y2) dx + x3 dy = 0 → bukan PDH karena orde N(x, y) ≠ M(x, y) Contoh :

b) (x2 + xy) dx + x2 dy = 0 → PDH dimana M(x, y) dan N(x, y) adalah fungsi homogen orde 2

(4)

Bentuk persamaan differensial ) y , x ( Q ) y , x ( P dx

dy = juga disebut persamaan diferensial

homogen bila terpenuhi fungsi homogen f(x, y) =

) y , x ( Q ) y , x ( P

mempunyai orde nol.

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL HOMOGEN

Untuk penyelesaian persamaan differensial homogen maka dapat digunakan: - permisalan y = ux dimana u = u(x) , sehingga didapat dy = x du + u dx - permisalan x = vy dimana v = v(y) , sehingga didapat dx = y dv + v dy

Pecahkan persamaan differensial berikut : Contoh :

1) (x2 + xy) dx + x2 dy = 0

M(x,y) = x2 + xy adalah fugsi homogen orde dua Jawab :

N(x,y) = x2 adalah fungsi homogen orde dua juga, dengan demikian persamaan differensial diatas adalah pers. diff. Homogen

Misal : y = ux → dy = x du + u dx Sehingga : (x2 + ux2) dx + x2 (x du + u dx) = 0 (x2 + ux2 + ux2) dx + x3 du = 0 x2 (1 + 2u) dx + x3 du = 0 3 1 2 1 2

C

dx

du_u x x

+

=

∫

+ ln x + ln (1 2 ) ₁ 2 1 C u = + ln x (1 + 2u)1/2 = ln C x (1 + 2u)1/2 = C x C x y 2 1  =      + (jawab umum)

(5)

2) Carilah jawab umum dari : 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 3𝑦𝑦3−𝑥𝑥3 3𝑥𝑥𝑦𝑦2 Jawab: f(x,y) = 3𝑦𝑦3−𝑥𝑥3

3𝑥𝑥𝑦𝑦2 adalah fungsi homogen orde nol, sehingga pers. diff.

diatas adalah pers diff homogen misal : y = ux → dx du x u dx dy + = 𝑢𝑢 + 𝑥𝑥𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 3𝑢𝑢3_𝑥𝑥3_−𝑥𝑥3 3𝑢𝑢2_𝑥𝑥3 𝑢𝑢 + 𝑥𝑥𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 3𝑢𝑢3₋₁ 3𝑢𝑢2 𝑥𝑥𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 3𝑢𝑢3_{−1−3𝑢𝑢}3 3𝑢𝑢2 𝑥𝑥𝑑𝑑𝑢𝑢_{𝑑𝑑𝑥𝑥 =}_3𝑢𝑢−1₂ �𝑑𝑑𝑥𝑥_{𝑥𝑥 + � 3𝑢𝑢}2_{𝑑𝑑𝑢𝑢 = 0} 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑥𝑥 + 𝑢𝑢3 = 𝐶𝐶 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑥𝑥 + �𝑦𝑦_𝑥𝑥�3 = 𝐶𝐶 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑥𝑥 + 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑒𝑒�𝑦𝑦𝑥𝑥�3 = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝐶𝐶 𝑥𝑥𝑒𝑒�𝑦𝑦𝑥𝑥�3 = 𝐶𝐶 1.

Pecahkan soal-soal berikut: x x y y dx dy x y x  = −      cos cos 2. x y dx dy y x+ ) = − ( 3. x y x y dx dy ₌ − 2− 2 4. x y x y x y dx dy ln + =

(6)

Rumus-rumus Differensial yang dapat dipergunakan untuk pemecahan persamaan differensial 1. d(xy) = xdy + y dx 2. ₂ x dx y dy x x y d = −      3. ₂ y dx y dy x y x d _ = −     ₋ 4. tan 1 ₂ ₂ y x dx y dy x x y d + − =             − 5. ln ₂ ₂ 2 1 y x dx y dy x y x y x d − − =       − + 6. ₂ 2 2 2 x dx y dy xy x y d _= −      7. ln ( 2 2) ₂ ₂ 2 1 y x dx y dx x y x d + + =       ₊ 1. xdy + ydx = 2 x2 y dx Contoh soal : dx x 2 y x dx y dy x = +

∫ d {ln (xy)} =∫ 2x dx dengan demikian : ln (xy) = x2 + C 2. x2 (xdx + y dy) + y (x dy – y dx) = 0 x dx + y dy = Jawab : ) ( 2 1 2 2 y x d + dan x dy – y dx = x2 d (y/x) Persamaan menjadi : x2 . 2 1 d(x2 + y2) + yx2 d(y/x) = 0

(7)

Sehingga didapat :

2 1

r2 Cos 2 θ dr + r2 3 Sin θ Cos2 θ .

θ θ 2 Cos d = 0 r3 Cos2ϴ dr + r3 Sin θ dθ = 0

∫

dr +

∫

θ θ 2 Cos Sin dθ = C r + θ Cos 1 = C r + x r _{= C ⇒ r ( 1 +} x 1 ) = C C x x y x =      + + 2 1 2 (x2 + y2) (1 + x)2 = Cx2

Carilah Jawab dari Persamaan Differensial berikut : 1. (x + e-x Sin y) dx – (y + e-x cos y) dy = 0

2. x dy – y dx = 2 x3 dx

III. PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER

Bentuk umum : dx dy + P(x) y = Q(x) ………. ( 1 ) pers. Bernoulli Cara pemecahan : Misalkan : y = uv …………... ( 2 ) dimana : u = u (x) dan v = v (x)

dengan demikian didapat:

dx dv u dx du v dx dy + = …………... ( 3 )

Dari (1), (2) dan (3) diperoleh :

) ( ) (x uv Q x P dx du v dx dv u + + = P(x).u Q(x) dx du v dx dv u =     ₊ + ………… ( 4 )

(8)

   _Q₍_x₎_e∫P(x)dx _dx

Dengan demikian y = uv dapat diselesaikan.

Contoh soal :

Selesaikan persamaan differensial berkut :

1. (x 1)5/2 1 x y 2 dx dy ₌ ₊ + − Jawab : 2 / 5 ) 1 x ( y 1 x 2 dx dy + = + − 2 / 5 ) 1 ( ) ( 1 2 ) ( : dimana = + + − = dan Q x x x x P Misal : y = uv dx du v dx dv u dx dy ₌ ₊

(9)

2 / 5 ) 1 ( 1 2 ₌ ₊       + − + x x v dx dv u dx du v

Pilihlah v sedemikian rupa sehingga : 0 1 2 ₌ + − x v dx dv

∫

=

∫

₊ 1 2 x dx v dv ln v = 2 ln x + 1 + C1 → ambil C1 = 0 ∴ v = (x + 1)2 v 5/2 ) 1 ( + = x dx du 2 / 5 2 ) 1 ( ) 1 ( + = x+ dx du x du = (x + 1)1/2 dx u= (x+1)3/2 +C 3 2 Maka : y = u v

[

3 3/2

]

2 2

₍

+

₁

₎

+

₍

+

₁

₎

=

x

C

x

y

2. e xy dx dy x 2 : dari jawab Tentukan = − 2 − Jawab: menjadi an disederhak 2 2 y x e dx dy = −x − 2 2xy e x dx dy ₊ ₌ − Misal : y = uv → dx dv u dx du v dx dy ₌ ₊ 2ux e x2 dx du v dx dv u = −      ₊ +

Pilihlah u sedemikian rupa sehingga :

0

2 =

+ ux dx

(10)

dx x u du 2 − = ln u = - x2 + C1 → ambil C1=0 2 x e u = − 2 2 2 maka x x x e dx dv e e dx dv u = − − = − dv = dx v = x + C

y=uv jadijawabumumnya y=(x+c)e−x2

Soal-soal :

Pecahkan Persamaan Differensial berikut : 1. x y x dx dy ₌ 2 + 2 3. ( 2 1) 2xy x2 dx dy x + + = 2. x y x dx dy cos cos3 − = 4. 1 1 2 + − = x y dx dy

IV. PERSAMAAN DIFFERENSIAL NON LINIER YANG DAPAT DIJADIKAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER

n y x Q y x P dx dy ) ( ) ( = + ……….………. ( 1 )

Disebut persamaan differensial non linier.

Pemecahan dilakukan dengan memisalkan : Z = y-n+1 ………..… ( 2 )

maka , ) 1 ( karena . . n y n dy dz dx dy dy dz dx dz dx dz dz dy dx dy ₌ _⇒ ₌ ₌ ₋ ₊ − didapat : dx dy y ) 1 n ( dx dz = − + −n dx dz y 1 n 1 dx dy n + − = ………. ( 3 )

Dari (1), (2) dan (3) maka diperoleh :

didapat sehingga dengan kalikan , ) ( ) ( 1 1 n n n y y x Q y x P dx dz y n − = + + −

(11)

didapat sehingga 1 dengan kalikan ) ( ) ( 1 1 1 ) (-n x Q y x P dx dz n n = + + + − + − ( n 1)P(x)y 1 ( n 1)Q(x) dx dz + − + −n+ = − + ( n 1)P(x).Z ( n 1)Q(x) dx dz ₊ ₋ ₊ ₌ ₋ ₊ + H(x).z=W(x)⇒ dx dz

persamaan differensial inier.

Dengan memisalkan z=uv maka persamaan differensial dapat diselesaikan.

1. Contoh soal :  =  ⇒ + → = + 3 ) ( 1 3 ) (x y x y P dx dy xy y dx dy x Q

persamaan differensial non linier Misalkan z = y-n+1 sehingga z= y-3+1 atau z= y-2 , dengan demikian maka

y x dx dz 2 2 2 =− − − z x dx dz 2 2 =− − Mis : z = uv ⇒ uv x dx du v dx dv u + −2 =−2 u x dx du v dx dv u 2 =−2     ₋ +

Pilihlah u sedemikian rupa sehingga :

0 2 = − u dx du _⇒ dx u du

∫

= 2

ln u = 2 x + C1 , ambil C1= 0 sehingga didapat u = e2x x dx dv e x dx dv u =−2 ⇒ 2x =−2 dv = -2x e-2x dx v =

∫

x d e-2x

(12)

v = x e-2x + 2 1 e-2x + C = e-2x (x + ½) + C ∴ Z = e2x [e-2x (x + ½) + C] y-2 = x + 2 1 + C e2x 2. 1₆ 1₅ x2 xy dx dy y + = → =       + ⇒ = + 2 6 2 6 ) ( 1 y x y x dx dy y x x y dx dy

pers. differensial non linier Dengan memisalkan : z = y-5 maka didapat :

→ − = − 2 5 5 x x z dx dz

persamaan differensial linier

Persamaan differensial diselesaikan dengan mengambil z = uv

1. Soal-soal : 0 2 2 = + − x y x y dx dy 2. y y x dx dy x + = 2 ln 3. ₂ 2 2 x 1 y x x 1 xy dx dy − = − −

V. PERSAMAAN DIFFERENSIAL EXACT

Suatu persamaan differensial : N(x, y) dx + M (x, y) dy = 0, disebut persamaan differensial exact bila mempunyai sifat bahwa :

x M y N ∂ ∂ = ∂ ∂

Misalkan F (x, y) = C merupakan jawaban persamaan differensial tersebut. maka

0 ≡ ∂ ∂ + ∂ ∂ = dy y F dx x F dF

(13)

bila N(x,y) x F = ∂ ∂ ⇒ N (x, y) dx + M(x, y) dy = 0 M(x,y) y F = ∂ ∂ x y F y N ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ 2 ∴ x M y N ∂ ∂ = ∂ ∂ y x F x M ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ 2 Dari x F ∂ ∂

= N (x, y) didapat : F(x, y) =

∫

APLIKASI PERSAMAAN DIFFERENSIAL PADA RANGKAIAN LISTRIK

1.

pada t < 0, saklar s di 1 Pada t > 0, saklar s di 2 Tentukan i(t) pada t>0

Pada t > 0, rangkaian menjadi : Penyelesaian (R1 + R2) i(t) + L 0 ) ( ₌ dt t di ) ( ) ( ) ( 2 1 R i t R dt t di L =− + dt L R R ) t ( i ) t ( di ₁+ ₂ − = Jadi :

∫

=− +

∫

dt L R R i di ₁ ₂ ln i = t k L R R +       + − 1 2 L t R R

ke

t

i

) 2 1 (

)

(

+ −

=

Dari rangkaian diatas untuk t = 0 maka didapat i(0) =

1

R E

(16)

i(t) t 1 R E R2 R1 1 E _C 2 R2 R1 C i(t)

sedangkan dari perhitungan untuk t=0 maka didapat i(0) = k

dengan demikian L t R R e t i k _RE R E ( 1 2) 1 1 sehingga didapat ( ) + − = =

Sehingga dapat digambarkan sebagai berikut :

2. Selesaikan rangkaian berikut :

Pada t < 0, saklar di 1

Pada t > 0, saklar di 2 Tentukan i(t) pada t > 0

Pada t > 0, rangkaian menjadi : Penyelesaian : (R1 + R2) i(t) + idt 0 C 1 =

∫

(R1 + R2) 0 C ) t ( i dt di ₊ ₌ sehingga : C ) R R ( ) t ( i dt di 2 1 + − =

∫

+

∫

− = dt C R R t i t di ) ( 1 ) ( ) ( 2 1 ln i = k C R R t + + − ) ( ₁ ₂ R R C t

e

k

t

i

( ₁ ₂)

)

(

=

− +

Dari persamaan diatas didapat, pada t = 0 maka 𝑖𝑖(0) = 𝑘𝑘 , sedangkan dari rangkaian pada t=0 didapat 𝑖𝑖(0) = 𝐸𝐸

𝑅𝑅1+𝑅𝑅2 , sehingga 𝑘𝑘 =𝑅𝑅1+𝑅𝑅2𝐸𝐸 jadi dengan

demikian akan diperoleh 𝑖𝑖(𝑡𝑡) = 𝐸𝐸

𝑅𝑅1+𝑅𝑅2 𝑒𝑒

(17)

E R1 R2 L S R2 L i(t) E 3.

Pada t < 0, saklar s dibuka Pada t > 0, saklar s ditutup Tentukan i(t) pada t > 0

Pada t > 0, rangkaian seperti terlihat disebelah : Jawab :

sehingga didapat R2 i(t) + L E

dt di = L E t i L R dt t di = + ( ) ) ( : didapat demikian dengan 2 Misalkan : i = pq → dt dq p dt dp q dt di + = L E pq L R dt dq p dt dp q + + 2 = L E q L R dt dq p dt dp q =     ₊ + 2

Pilih q sedemikian rupa sehingga : 0 2 = + q L R dt dq k t L R q dt L R q dq ₌₋ ₂ _⇒ ₌₋ ₂ ₊ ln L t R e q 2 − = L E dt dp e L E dt dp q L t R = = sehingga − 2

∫

=

∫

e dt L E dp Lt R2 ₂ 2 2 . e k R L L E p Lt R + =

(18)

E R1 R2 L S R2 R1 _S E 1 2 C ₂ 2 2 k e R E p Lt R + =

Dengan demikian didapat : _

     + = − ₂ 2 2 2 ) ( e k R E e t i Lt R t L R Lt R e k R E t i 2 2 2 ) ( = + − Untuk t = 0 ⇒ 2 1 ) 0 ( R R E i + = Jadi : ₂ 2 2 1 k R E R R E + = + _      − + = 2 2 1 2 1 1 R R R E k _      + − − = ) ( 1 2 2 2 1 2 R R R R R R E jadi : 2 2 1 1 2 ) (R R R R E k + − = maka _      + − = −Lt R e R R R R E t i 2 2 1 1 2 1 ) (

Carilah penyelesaian rangkaian berikut ini:

TUGAS 1 (dikumpulkan minggu depan)

1. pada t < 0, s ditutup pada t > 0, s dibuka Tentukan i( t ) pada t > 0 2. pada t < 0, s di 1 pada t > 0, s di 2 Tentukan i( t ) pada t > 0

(19)

m

F

X

-ky

Perhatikan gambar berikut, bagaimanakah persamaan diffrensial

penyelesaiannya ?

VI. PERSAMAAN DIFFERENSIAL DENGAN ORDE LEBIH DARI SATU

I. Bentuk : f(x) x(x) dx y d n n ≡ =

Penyelesaian dengan menurunkan ordenya. Ambil : dx dp dx y d p dx dy 2 2 = ⇒ = ₂ 2 3 3 dx p d dx y d ₌ ₁ 1 − − = n_n n n dx p d dx y d Bila : q = ₂ 2 dx p d dx dq dx dp = ⇒ ∴ n−_n1₋₁ = n−_n2₋₂ dx p d dx q d ... dst.

Selesaikan persamaan differensial : Contoh : x 3 3 e x dx y d = misal : p = Jawab : 2 2 dx y d dx dp dx dy _⇒ ₌ ₃ 3 2 2 dx y d dx p d =

(20)

(*) ... ... ) ( ) ( ... ) ( ) ( ₁ ₁ ₀ 1 1 a y g x dx dy x a dx y d x a dx y d x a _n n n n n n + − + + + = − −

bila : g(x) = 0 ⇒ disebut persamaan differensial homogen g(x) ≠ 0 ⇒ disebut persamaan differensial in-homogen

1. Jika y1 merupakan jawaban persamaan * dan y2 juga merupakan jawaban persamaan *, maka y1+y2 juga merupakan jawaban persamaan *.

Sifat Persamaan Differensial Homogen

) ( ) ( ... ) ( ) ( 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 y y a dx y y d a dx y y d a dx y y d a n o n n n n n + + + + + + + + − − − Bukti :       + + + +       + + + ₋ − ₋ ₋ −n₋1 o 2 2 1 n 1 n n 2 n n 1 o 1 n 1 1 n 1 n n 1 n n ... a y dx y d a dx y d a y a ... dx y d a dx y d a

2. Jika y1 merupakan jawaban persamaan *, maka cy1, juga merupakan jawaban persamaan *. = + + + + − − ₋ o 1 1 1 1 n 1 1 n 1 n n 1 n n a cy dx dcy a ... dx ) cy ( d a dx ) cy ( d a Bukti : 0 y a dx dy a ... dx y d a dx y d a C o 1 1 1 1 n 1 1 n 1 n n 1 n n =       + + + + ₋ − ₋

3. Jika y1 dan y2 adalah jawaban persamaan *, maka y=c1y1+c2y2 juga merupakan jawaban persamaan *.

Bukti : dari sifat 1 dan 2 dapat disimpulkan bahwa y=c1y1+ c2y2 merupakan juga persamaan *.

(23)

4. Suatu persamaan differensial orde n akan mempunyai n jawaban yang bebas linier dan n jawaban yang linier. Bila y1, y2, y3, y4, ..., yn merupakan jawaban persamaan * maka y = c1 y1 + c2 y2 + c3 y3 + ... + cn yn juga merupakan jawaban.

VII. PEMECAHAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL HOMOGEN DENGAN MENGGUNAKAN OPERATOR D

Didefinisikan : D = dx d Sehingga : D2 = ₂ 2 dx d D3 = ₃ 3 dx d Dn = _n n dx d D sin x = cos x D2 x2 = D . Dx2 Contoh : Dx2 = 2 x = D.2x= 2

D3 cos x = - D2 sin x (Dx2) sin x = 2 x sin x

= - D cos x x2 D sin x = x2 cos x

= sin x ∴ Dx2 ≠ x2 D

Hitung : θ2_{sin x bila θ sin x = x cos x} θ2_{sin x = θ . θ sin x} Jawab : = θ . x cos x = (xcosx) dx d x = x (cos x - x sin x) = x cos x – x2 sin x

(24)

Dengan menggunakan operator D persamaan diferensial homogen dapat ditulils : 0 ... 1 1 1 1 + + + = + ₋ −₋ a y dx dy a dx y d a dx y d a n o n n n n n an Dny + an-1 Dn-1 y + ... + a1 Dy + ao y = 0 atau (an Dn + an-1 Dn-1 + ... + a1 D + ao) y = 0 Dapat ditulis pula sebagai:

Φ (D) y = 0

Sehingga persamaan differensial ln-homogen dapat ditulis : Φ (D) y = g(x)

I. (Dr + Ds) u = (Ds + Dr) u ⇒ Hk. Komutatif

SIFAT-SIFAT OPERATOR D

II. {Dr + (Ds + Dt)} u = {(Dr + Ds) + Dt} u ⇒ Hk. Asosiatip

III. (Dr . Ds) u = (Ds . Dr) u ⇒ Hk. Komutatif Perkalian

IV. Dr (Ds . Dt) u = (Dr Ds) . Dt u ⇒ Hk. Asosiatip V. Dr (Ds + Dt) u = (Dr Ds + Dr Dt) u ⇒ Hk. Distributip

VI. (Dr Ds) u= Dr+s u ⇒ Rumus Pangkat

VII. Dr (cu) = c Dr u ⇒ Sifat Turunan

r, s, t = konstanta SIFAT-SIFAT DARI φ (D) I. φ (D) emx_{= φ (m) e}mx (m = konst) Bukti : D2 emx = m2 emx D emx = m emx D3 emx = m3 emx Dn emx = mn emx

(25)

Sedangkan : φ(D) emx = (an Dn + an-1 Dn-1 + ... + a1 D + ao) emx = (an mn + an-1 mn-1 + ... + a1 m + ao) emx = φ (m) emx (q e d) a). (D2 – 2.D + 3) e2x = (22 – 2.2 + 3) e2x Contoh : = 3 e2x b). (D3 – D2 – D + 6) e3x = (33 – 32 – 3 + 6) e3x = (27 – 9 – 3 + 6) e3x = 21 e3x II. φ(D) (u.emx ) = emx φ(D + m) u dimana u = f(x) Du emx = emx Du + mu emx Bukti : = emx (D + m) u D2 (emxu) = D[D (emx.u)]

= D[emx (D + m) u] misalkan (D+m)u = v = D(emx v) = emx (D + m)v = emx (D + m) (D + m) u = emx (D + m)2 u φ(D) (u. emx ) = (an Dn + an-1 Dn-1 + ... + a1.D + ao) (u emx) Jadi : = emx [an (D+m) n + an-1 (D+m)n-1 + ... + a1 (D+m) + ao ]u = emx φ (D + m) u (q . e . d) 1. (D2 – D + 6) e2x . x2 = e2x {(D + 2)2 – (D + 2) + 6} x2 Contoh : = e2x (D2 + 3 D + 8) x2 = e2x (2 + 6 x + 8 x2)

(26)

2. (D2 + 2 D-3) (tan x - x 2 ) = D2 (tan x - x 2 ) +2D(tan x - x 2 ) – 3 (tan x - x 2 ) = D (sec2 x + 2₂ x ) + 2 (sec 2 x + 2₂ x ) – 3 tan x + x 6 = 2 tan x sec2 x - 4₃ x + 2 sec 2 x + 4₂ x - 3 tan x + x 6

= 2 sec2 x + 2 sec2 x tan x - 3 tan x + 1₃

x (4 x + 6 x 2

- 4)

1) (D2 + 2 D – 3) (e2x sin x + ex cos x+ e-3x x2) Kerjakan Soal berikut :

2) (D2 – 3 D +2) ex (x2 – 3 sin x) 3) (3 D2 + D + 2) e2x (ln 2 x - 1₂

x )

PERSAMAAN KARAKTERISTIK

Telah diketahui bahwa bila φ(D)y=0 disebut persamaan differensial homogen sedangkan bila φ(D) y = g(x) disebut persamaan differensial in homogen Bila φ(D) = (D - m1) (D - m2) ... (D - mn) = 0

Maka φ(m) = (m – m1) (m – m2) .... (m – mn) = 0, sehingga :

m = m1, m = m2 ..., m = mn

Jadi bila φ(D) y = A (D – m1) (D – m2) ... (D – mn) y = 0 sedang A = konstanta ≠ 0, maka akan berlaku :

(D – m1) (D – m2) ... (D – mn) y = 0 ... ( 1 )

Misalkan: (D – m1) y1 = 0 memenuhi persamaan ini, maka

1 ₁ ₁ 0 1 m₁ y₁ dx dy y m dx dy ₋ ₌ _→ ₌ m dx y m x y dy 1 1 1 1 1 = → _ln = y1 = c1 em1x

Jelaskan bahwa y1 memenuhi φ(D)y = 0

Demikian pula jika (D – m2) y2 = 0 memenuhi persamaan (1) Maka y2 = c2 em2x akan memenuhi φ(D) y = 0

Sehingga : Didapat jawaban umum dari φ(D) y = 0 adalah : y = C1 em1x + C2 em2x + C3 em3x + ... + Cn emnx

(27)

Tentukan jawaban umum dari : Contoh soal: 1. (D – 1) (D + 2) (D – 3) (D + 1) y = 0 y = c1 ex + c2 e-2x + c3 e3x + c4 e-x Jawab : 2. ₂ 5 6 0 2 = + + y dx dy dx y d (D2 + 5D + 6) y = 0 Jawab : (D + 3) (D + 2) y = 0 ∴ y = c1 e-3x + c2 e-2x atau y = Ae-2x + Be-3x 3. ₂ 4 4 0 ( 2 4 4) 0 2 = + + ⇒ = + + y D D y dx dy dx y d (D + 2)2 y = 0

maka y = ce-2x bukan jawaban lengkapnya karena akar harus ada dua jadi misalkan jawaban umumnya y = u(x) e-2x

Substitusi ke (D + 2)2 y = 0 didapat (D + 2)2 u(x) e-2x = 0

Dengan menggunakan sifat : φ(D) u emx

= emx φ (D + m) u Didapat : e-2x [D – 2 + 2]2 u(x) = 0 ⇒ e-2x D2u= 0 D2u = 0 Du = A u = Ax + B ∴ y = (Ax + B) e-2x

(28)

Secara umum dapat diperoleh :

Bila ∅(D) y = A (D – m1) (D – m2) ... (D – ms)s ... (D – mn) y = 0 Maka jawaban dari (D – ms)s ys = 0 adalah ys = u emsx

∴ (D – ms)s u emsx = emsx (D + ms – ms)s = 0 emsx Ds u = 0 ⇒ Dsu = 0 u = co + c1 x + c2 x2 + ... + cs-1 xs-1 ∴ Jawaban umumnya : ys = (co + c1 x + c2 x2 + ... + cs-1 xs-1) ems x 1. (D – 1) (D + 2)3 (D – 3) (D + 1) y = 0 Contoh : Jawab umumnya: x x rangkap Karena x x e c e c e x c x c c e c y= + + + − + ₅ 3 + ₆ − 3 2 2 4 3 2 1 (_______)__ 2. (D – 1)2 (D + 1)3 (D – 2)2 Dy = 0 Akan mempunyai jawaban umum :

y = (c1 + c2 x) ex + (c3 + c4 x + c5 x2) e-x + (c6 + c7x) e2x + C8 3. (D – 3)2 (D + 1)3 D5 y = 0

Akan mempunyai jawaban umum :

y = (c1 + c2 x) e3x + (c3 + c4 x+ c5 x2) e-x + c6 + c7 x + c8 x2 + c9 x3 + c10 x4

Bila persamaan karakteristik mempunyai akar kompleks : m1 = α + i β atau m2 = α - i β, maka jawaban umum : y = c1 em1x + c2 em2x

= c1 e(α+iβ)x + c2 e(α-iβ)x = c1 eαx eiβx + c2 eαx e-iβx = eαx (c1 eiβx + c2 e-iβx)

(29)

= eαx (c1 cos βx + i c1 sin βx + c2 cos βx – i c2 sin βx) = eαx [(c1 + c2) cos βx + i(c1 – c2) sin βx]

= eαx [A cos βx + B sin βx)] dimana : A = c1 + c2 B = i(c1 – c2) ∴ y = eαx_{(A cos βx + B sin βx)}

Jika α = 0 ⇒ y = A cos βx + B sin βx

1. (D2 – 4D + 13) y = 0 ⇒ {(D – 2)2 + 9} y = 0 Contoh : {(D – 2) +i3} {(D – 2) –i3} y = 0 (D – 2 + 3i) (D – 2 – 3i) y = 0 ∴ y = e2x (A cos 3x + B sin 3x) 2. (D6 + 4D4) y = 0 ⇒ D4 (D2 + 4) y = 0 D4 (D + 2i) (D – 2i) y = 0 ∴ y = (c0 + c1 x + c2 x2 + c3 x3) + (A cos 2x + B sin 2x)

Jika persamaan karakteristik φ(m) = 0 atau m2

+ pm + q = 0, mempunyai akar-akar sebagai berikut :

DAPAT DISIMPULKAN :

a. m1 dan m2 riel, maka : y = c1 em1x + c2 em2x

b. m1 = m2 = m (riel rangkap), maka : y = (c1 + c2 x) emx

c. m1 = α + iβ & m2 = α-iβ, maka : y = eαx (A cos βx + B sin βx) dan bila α = 0 ⇒ y = A cos βx + B sin βx

(30)

1. (D2 – 4 D + 4) y = 0 6. (D3 – 3 D2 – D + 3) y = 0 Kerjakan Soal-soal berikut :

2. (D3 + 3D2 + 3D + 1) y = 0 7. (4D3 – 3D2 + D) y = 0

3. (D3 + 9D) y = 0 8. (D2 – 2D + 4) y = 0

4. (D4 – 2D3) y = 0 9. (D2 – 6 D + 10) y = 0

5. (D6 – 4D4+ 4D2) y = 0 10. (D3 – 1) y = 0

PERSAMAAN DIFFERENSIAL IN HOMOGEN

) ( ... ₁ ₀ 1 1 1 a y g x dx dy a dx y d a dx y d a _n n n n n n + − + + + = − − ... ( I ) Sifat-sifat:

a. Bila yc = c1 y1 + c2 y2 + ... + cn yn merupakan salah satu jawaban persamaan I (yc = jawaban complementer) dan yp merupakan jawaban lain dari persamaan I (jawaban partikelir / khusus), maka y = yc + yp merupakan jawaban umum dari persamaan I.

yc didapat dengan mengambil g(x) = 0 , sedangkan yp tergantung dari g(x)

= + + + + + + − − − ... a (y y ) dx ) y y ( d a dx ) y y ( d a _nc ₁ p _o _c _p 1 n 1 n n p c n n Bukti :                               ) ( 1 1 1 1 1 1 ... ... ) ( x g p o n p n n n p n n O c o n c n n n c n n a y dx y d a dx y d a y a dx y d a dx y d a         + + + +       + + + ₋ − − − − − b. Dari persamaan an ... a y g (x) g (x) dx y d a dx y d 2 1 o 1 n 1 n 1 n n n + = + + + ₋ −₋ ... ( II )

Bila yp1 dan yp2 merupakan jawaban khusus dari persamaan II maka yp = yp1 + yp2 merupakan jawaban khusus persamaan II.

) ( ... ) ( ) ( 2 1 1 2 1 1 1 2 1 yp yp a dx yp yp d a dx yp yp d a _n _o n n n n n + + + + + + − − − Bukti : = 0 ... 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 =         + + + +         + + ₋ − − − − − n o p p n n n p n n p o n p n n n p n n a y dx y d a dx y d a y a dx y d a dx y d a

(31)

φ (D) y = g(x) ⇒ A (D – m1) (D – m2) ... (D – mn) y = g(x) Dapat diselesaikan dengan metode reduksi sebagai berikut :

A (D – m1) (D – m2) (D – m3) ... (D – mm) y = g(x) Mis : A (D – m2) (D – m3) ... (D – mn) y = u(x)

Shg : (D – m1) u(x) = g(x), merupakan persamaan differensial linier. Maka : u(x) dapat diperoleh.

Dengan cara yang sama dapat dimisalkan : A (D – m3) D – m4) ... (D – mn) y = v(x) Shg: (D – m2) v(x) = u(x) ⇒ v(x) diperoleh Demikian seterusnya sehingga akhirnya diperoleh :

(D – mn) y = w(x) ⇒ y dapat dicari. (D + 1) (D – 1) (D + 2) y = x Contoh : Dengan mengambil : (D+1)(D−1)(D+2)yc=0 maka didapat : x x x c ce c e c e y = ₁ − + ₂ + ₃ −2

untuk mencari yp ambil : (D−1)(D+2)y=u(x) sehingga didapat

u x dx du x x u D+1) ( )= ,maka + =

( (persamaan differensial linier)

Misalkan : u = p . q x q p dx dp q dx dq p + + . = x p dx dp q dx dq p =      ₊ +

Pilih q sedemikian rupa sehingga : + p=0

dx dp dx p dp − = p = e-x x dx dq e x dx dq p = ⇒ −x =

(32)

sehingga

∫

dq=

∫

xexdx q=xex exdx 1) -(x q=xex ex =ex didapat sehingga ) 1 ( jadi u= x− (D−1)(D+2)y=x−1

sekarang misalkan (D+2)y=v(x) sehingga diperoleh (D−1)v(x)=x−1

maka −v=x−1

dx dv

(persamaan differensial linier) Misalkan : v = p . q 1 . = − − + pq x dx dp q dx dq p 1 − =       ₋ + p x dx dp q dx dq p

Pilih q sedemikian rupa sehingga : p 0

dx dp ₋ ₌ dx p dp = p = ex 1 1⇒ = − − = x dx dq e x dx dq p x ) 1 ( sehingga ) 1 (

∫

₌

∫

₋ − ₌₋ ₋ − ₊ − dx e e x q dx e x dq x x x ) 1 ( q=− x− e−x−e−x =−xe−x Jadi v=−x x y D+ )2 =− ( : demikian dengan Misalkan : y = p . q x q p dx dp q dx dq p + + 2 . =− x p dx dp q dx dq p =−      ₊ + 2

Pilih q sedemikian rupa sehingga : + p2 =0

dx dp

(33)

dx p dp 2 − = p = e-2x x dx dq e x dx dq p = −1⇒ −2x =− ) ( sehingga ₂1 2 2 2

∫

dq=−

∫

xe xdx q=− xe x− e xdx ) ( ₄1 2 2 1 2 4 1 2 2 1 x x x e x e xe q=− + = − + Jadi ₄1 2 1 + − = x y_p

Dengan demikian jawab umumnya adalah :

4 1 2 1 2 3 2 1 + + − + = + = − − x e c e c e c y y y x x x p c

MENCARI

y

p DENGAN KOEFISIEN TAK TENTU

Untuk mencari

y

_p tergantung daripada bentuk persamaan diferensial inhomogen yang ingin dicari {tergantung dari g(x)}.

I. a). ɸ(𝐷𝐷)𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑟𝑟 atau (𝑎𝑎_𝑙𝑙𝐷𝐷𝑙𝑙 + 𝑎𝑎_𝑙𝑙−1𝐷𝐷𝑙𝑙−1+. . +𝑎𝑎_{𝑙𝑙−𝑚𝑚}𝐷𝐷𝑙𝑙−𝑚𝑚)𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑟𝑟

pada ruas kiri pangkat

x

yang tertinggi ditentukan oleh

a

0

y

dengan

a

0

≠

0

yang berarti bahwa pangkat tertinggi dari polynom ypadalah

r

x

sehingga

p

y dapat dimisalkan sebagai : 𝑦𝑦_𝑝𝑝 = (𝑏𝑏₀+ 𝑏𝑏₁𝑥𝑥 + 𝑏𝑏₂𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏₃𝑥𝑥3+ ⋯ + 𝑏𝑏_𝑟𝑟𝑥𝑥𝑟𝑟) Contoh:

Pecahkan persamaan diferensial: (𝐷𝐷2− 5𝐷𝐷 + 6)𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥3+ 5𝑥𝑥 − 6

ambil : (𝐷𝐷2− 5𝐷𝐷 + 6)𝑦𝑦_𝑐𝑐=0 sehingga 𝑦𝑦_𝑐𝑐 = 𝐴𝐴𝑒𝑒2𝑥𝑥 + 𝐵𝐵𝑒𝑒3𝑥𝑥 Penyelesaian: misal : 𝑦𝑦_𝑝𝑝 = (𝑐𝑐₀+ 𝑐𝑐₁𝑥𝑥 + 𝑐𝑐₂𝑥𝑥2+ 𝑐𝑐₃𝑥𝑥3) 𝑦𝑦_𝑝𝑝′ = (𝑐𝑐₁+ 2𝑐𝑐₂𝑥𝑥 + 3𝑐𝑐₃𝑥𝑥2) 𝑦𝑦_𝑝𝑝′′ = (2𝑐𝑐₂+ 6𝑐𝑐₃𝑥𝑥) jadi: (𝐷𝐷2− 5𝐷𝐷 + 6)𝑦𝑦_𝑝𝑝 = 2𝑐𝑐₂+ 6𝑐𝑐₃𝑥𝑥 − 5𝑐𝑐₁− 10𝑐𝑐₂𝑥𝑥 − 15𝑐𝑐₃𝑥𝑥2+ 6𝑐𝑐₀+ 6𝑐𝑐1𝑥𝑥 + 6𝑐𝑐2𝑥𝑥2+ 6𝑐𝑐3𝑥𝑥3 = 6𝑐𝑐₃𝑥𝑥3− (15𝑐𝑐₃− 6𝑐𝑐₂)𝑥𝑥2+ (6𝑐𝑐₃− 10𝑐𝑐₂ + 6𝑐𝑐₁)𝑥𝑥 +(2c2− 5c1+ 6c0) ≡ 2𝑥𝑥3 + 5𝑥𝑥 − 6

(34)

dari koefisien 𝑥𝑥3 didapat 6c₃=2 jadi c₃=1 3 𝑥𝑥2_didapat_−15c 3 + 6𝑐𝑐2=0 jadi c2=5₆ 𝑥𝑥1 _didapat_6c 3−10𝑐𝑐2+ 6c1=5 jadi c1=17₉ 𝑥𝑥0_didapat_2c 2−5𝑐𝑐1 + 6c0 = −6 jadi c0=₂₇8 dengan demikian didapat 𝑦𝑦_𝑝𝑝=₂₇8 +17₉𝑥𝑥+5₆𝑥𝑥2+1₃𝑥𝑥3

jadi jawab umumnya adalah 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦_𝑐𝑐+ 𝑦𝑦_𝑝𝑝

=𝐴𝐴𝑒𝑒2𝑥𝑥 _{+ 𝐵𝐵𝑒𝑒}3𝑥𝑥 ₊ 8 27+ 17 9 𝑥𝑥+ 5 6𝑥𝑥2+ 1 3𝑥𝑥3 b). Bila ∅(𝐷𝐷)𝑦𝑦 = ∅₁(𝐷𝐷)𝐷𝐷𝑠𝑠𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑟𝑟

dimana ∅₁(𝐷𝐷) ≠ 0 yang berarti bahwa pangkat tertinggi polynom ∅(𝐷𝐷)𝑦𝑦 ditentukan oleh orde turunan terendah 𝐷𝐷𝑠𝑠𝑦𝑦

∅₁(𝐷𝐷)𝐷𝐷𝑠𝑠𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑟𝑟 maka 𝐷𝐷𝑠𝑠𝑦𝑦_𝑝𝑝 = (𝑏𝑏₀+ 𝑏𝑏₁𝑥𝑥 + 𝑏𝑏₂𝑥𝑥2+ 𝑏𝑏₃𝑥𝑥3+ ⋯ + 𝑏𝑏_𝑟𝑟𝑥𝑥𝑟𝑟), dengan mengintegralkan 𝐷𝐷𝑠𝑠𝑦𝑦 sampai s kali maka didapat :

𝑦𝑦_𝑝𝑝 = 𝑥𝑥𝑠𝑠(𝑐𝑐₀+ 𝑐𝑐₁𝑥𝑥 + 𝑐𝑐₂𝑥𝑥2+ 𝑐𝑐₃𝑥𝑥3+ ⋯ + 𝑐𝑐_𝑟𝑟𝑥𝑥𝑟𝑟) Contoh :

1. Pecahkan persamaan diferensial: (𝐷𝐷 − 1)(𝐷𝐷 + 1)𝐷𝐷2𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2

ambil : (𝐷𝐷 − 1)(𝐷𝐷 + 1)𝐷𝐷2𝑦𝑦_𝑐𝑐=0 sehingga 𝑦𝑦_𝑐𝑐 = 𝐴𝐴𝑒𝑒𝑥𝑥+ 𝐵𝐵𝑒𝑒−𝑥𝑥 + (𝐶𝐶 + 𝐷𝐷𝑥𝑥) Penyelesaian: misal : 𝑦𝑦_𝑝𝑝 = 𝑥𝑥2(𝑔𝑔₀+ 𝑔𝑔₁𝑥𝑥 + 𝑔𝑔₂𝑥𝑥2) = 𝑔𝑔₀𝑥𝑥2+ 𝑔𝑔₁𝑥𝑥3+ 𝑔𝑔₂𝑥𝑥4 𝑦𝑦_𝑝𝑝′ = (2𝑔𝑔₀𝑥𝑥 + 3𝑔𝑔₁𝑥𝑥2 + 4𝑔𝑔₂𝑥𝑥3) 𝑦𝑦_𝑝𝑝′′ = (2𝑔𝑔₀+ 6𝑔𝑔₁𝑥𝑥 + 12𝑔𝑔₂𝑥𝑥2 ) 𝑦𝑦𝑝𝑝′′′ = (6𝑔𝑔1+ 24𝑔𝑔2𝑥𝑥) 𝑦𝑦𝑝𝑝′′′′ = 24𝑔𝑔2 jadi: (𝐷𝐷4− 𝐷𝐷2)𝑦𝑦_𝑝𝑝 = 24𝑔𝑔₂− 2𝑔𝑔₀− 6𝑔𝑔₁𝑥𝑥 − 12𝑔𝑔₂𝑥𝑥2 ≡ 𝑥𝑥2

dari koefisien 𝑥𝑥2 didapat −12𝑔𝑔₂=1 jadi 𝑔𝑔₂ = − 1 12 𝑥𝑥 didapat −6𝑔𝑔₁=0 jadi 𝑔𝑔₁=0 𝑥𝑥0 _didapat_24𝑔𝑔

2− 2𝑔𝑔0 = 0 jadi 𝑔𝑔₀= − 1 dengan demikian didapat 𝑦𝑦_𝑝𝑝=−𝑥𝑥2₋1

12𝑥𝑥4

jadi jawab umumnya adalah 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦_𝑐𝑐+ 𝑦𝑦_𝑝𝑝

=𝐴𝐴𝑒𝑒𝑥𝑥 _{+ 𝐵𝐵𝑒𝑒}−𝑥𝑥 _{+ (𝐶𝐶 + 𝐷𝐷𝑥𝑥)} _{− 𝑥𝑥}2 ₋ 1 12𝑥𝑥4 2. Pecahkan PD: (𝐷𝐷 + 1)(𝐷𝐷 + 3)(𝐷𝐷 − 2)𝐷𝐷2𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥3 + 5𝑥𝑥2 + 6 𝑦𝑦𝑐𝑐 = 𝐴𝐴𝑒𝑒−𝑥𝑥 + 𝐵𝐵𝑒𝑒2𝑥𝑥 + 𝐶𝐶𝑒𝑒−3𝑥𝑥+ (𝐷𝐷 + 𝐸𝐸𝑥𝑥) 𝑦𝑦𝑝𝑝 = 𝑥𝑥2(𝐹𝐹𝑥𝑥3+ 𝐺𝐺𝑥𝑥2+ 𝐻𝐻𝑥𝑥 + 𝐼𝐼) II. a) Bentuk ɸ(𝐷𝐷)𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑟𝑟𝑒𝑒𝑞𝑞𝑥𝑥

(35)

karena ruas kanan mengandung

e

qx _{, maka permisalan yang diambil}

)

(

dimana

u

x

ue

y

_p

=

qx

=

ini berarti bahwa:

∅(𝐷𝐷)𝑢𝑢𝑒𝑒𝑞𝑞𝑥𝑥 _{= 𝑥𝑥}𝑟𝑟_𝑒𝑒𝑞𝑞𝑥𝑥_sehingga_𝑒𝑒𝑞𝑞𝑥𝑥_{∅(𝐷𝐷 + 𝑞𝑞)𝑢𝑢} _{= 𝑥𝑥}𝑟𝑟_𝑒𝑒𝑞𝑞𝑥𝑥 ∅(𝐷𝐷 + 𝑞𝑞)𝑢𝑢 = 𝑥𝑥𝑟𝑟 misal ∅(𝐷𝐷 + 𝑞𝑞)𝑢𝑢 = 𝐹𝐹(𝐷𝐷)𝑢𝑢 sehingga 𝐹𝐹(𝐷𝐷)𝑢𝑢 = 𝑥𝑥𝑟𝑟 𝑢𝑢𝑝𝑝 = 𝑔𝑔0+ 𝑔𝑔1𝑥𝑥 + 𝑔𝑔2𝑥𝑥2+ ⋯ + 𝑔𝑔𝑟𝑟𝑥𝑥𝑟𝑟, sehingga 𝑦𝑦𝑝𝑝 = (𝑔𝑔0 + 𝑔𝑔1𝑥𝑥 + 𝑔𝑔2𝑥𝑥2+ ⋯ + 𝑔𝑔𝑟𝑟𝑥𝑥𝑟𝑟)𝑒𝑒𝑞𝑞𝑥𝑥

b). Bila ∅₁(𝐷𝐷)𝐷𝐷𝑠𝑠𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑟𝑟𝑒𝑒𝑞𝑞𝑥𝑥 dan D=0 maka ∅(𝑞𝑞) = 𝐹𝐹(0) = 0, mempunyai 𝑞𝑞rangkap s kali, sehingga:

𝑦𝑦𝑝𝑝 = 𝑥𝑥𝑠𝑠(𝑏𝑏0+ 𝑏𝑏1𝑥𝑥 + 𝑏𝑏2𝑥𝑥2+ 𝑏𝑏3𝑥𝑥3+ ⋯ + 𝑏𝑏𝑟𝑟𝑥𝑥𝑟𝑟)𝑒𝑒𝑞𝑞𝑥𝑥 Contoh:

1.(𝐷𝐷 + 1)(𝐷𝐷 + 3)𝑦𝑦 = 2𝑒𝑒2𝑥𝑥,karena 𝑦𝑦_𝑐𝑐 tidak mengandung 𝑒𝑒2𝑥𝑥 , maka misalkan : 𝑦𝑦𝑝𝑝 = 𝐴𝐴𝑒𝑒2𝑥𝑥

2.(𝐷𝐷 + 1)(𝐷𝐷 + 2)𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥2𝑒𝑒2𝑥𝑥,karena 𝑦𝑦_𝑐𝑐 tidak mengandung 𝑒𝑒2𝑥𝑥 , maka misalkan : 𝑦𝑦𝑝𝑝 = (𝐴𝐴𝑥𝑥2 + 𝐵𝐵𝑥𝑥 + 𝐶𝐶)𝑒𝑒2𝑥𝑥

3.(𝐷𝐷 + 1)(𝐷𝐷 − 1)(𝐷𝐷 − 2)𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥2𝑒𝑒2𝑥𝑥,karena 𝑦𝑦_𝑐𝑐 mengandung 𝑒𝑒2𝑥𝑥 , maka misalkan : 𝑦𝑦𝑝𝑝 = 𝑥𝑥(𝐴𝐴𝑥𝑥2+ 𝐵𝐵𝑥𝑥 + 𝐶𝐶)𝑒𝑒2𝑥𝑥

4.(𝐷𝐷 + 2)(𝐷𝐷 − 3)(𝐷𝐷 − 4)3𝑦𝑦 = 4𝑒𝑒4𝑥𝑥,karena 𝑦𝑦_𝑐𝑐 mengandung 𝑒𝑒4𝑥𝑥 , maka misalkan : 𝑦𝑦𝑝𝑝 = 𝐴𝐴𝑥𝑥3𝑒𝑒4𝑥𝑥

5.(𝐷𝐷 − 1)(𝐷𝐷 + 1)3𝐷𝐷2𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2𝑒𝑒−𝑥𝑥,karena 𝑦𝑦_𝑐𝑐 mengandung 𝑒𝑒−𝑥𝑥 , maka misalkan : 𝑦𝑦𝑝𝑝 = 𝑥𝑥3(𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝑥𝑥 + 𝐶𝐶𝑥𝑥2)𝑒𝑒−𝑥𝑥

6.(𝐷𝐷 − 1)(𝐷𝐷 + 1)3𝐷𝐷2𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2𝑒𝑒−𝑥𝑥+ 𝑥𝑥3,karena 𝑦𝑦_𝑐𝑐 mengandung 𝑒𝑒−𝑥𝑥 , maka misalkan : 𝑦𝑦𝑝𝑝 = 𝑥𝑥3(𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝑥𝑥 + 𝐶𝐶𝑥𝑥2)𝑒𝑒−𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2(𝐷𝐷 + 𝐸𝐸𝑥𝑥 + 𝐹𝐹𝑥𝑥2+ 𝐺𝐺𝑥𝑥3) III. a) Bentuk ɸ(𝐷𝐷)𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑞𝑞𝑥𝑥

karena

cos

qx

=

₂1

(

e

iqx

+

e

−iqx

)

_{,maka berarti bahwa:} ∅(𝐷𝐷)𝑦𝑦 = 1₂𝑥𝑥𝑟𝑟_𝑒𝑒𝑖𝑖𝑞𝑞𝑥𝑥 ₊ 1 2𝑥𝑥𝑟𝑟𝑒𝑒−𝑖𝑖𝑞𝑞𝑥𝑥 atau ∅(𝐷𝐷)𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑟𝑟𝑒𝑒𝑖𝑖𝑞𝑞𝑥𝑥 + 𝑥𝑥𝑟𝑟𝑒𝑒−𝑖𝑖𝑞𝑞𝑥𝑥 Jadi 𝑦𝑦_𝑝𝑝 = (𝑎𝑎₀+ 𝑎𝑎₁𝑥𝑥 + ⋯ + 𝑎𝑎_𝑟𝑟𝑥𝑥𝑟𝑟)𝑒𝑒𝑖𝑖𝑞𝑞𝑥𝑥 + (𝑏𝑏₀+ 𝑏𝑏₁𝑥𝑥 + ⋯ + 𝑏𝑏_𝑟𝑟𝑥𝑥𝑟𝑟)𝑒𝑒−𝑖𝑖𝑞𝑞𝑥𝑥 sehingga : 𝑦𝑦𝑝𝑝 = (𝑎𝑎0+ 𝑎𝑎1𝑥𝑥 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑥𝑥𝑟𝑟)(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑞𝑞𝑥𝑥 + 𝑖𝑖𝑠𝑠𝑖𝑖𝑙𝑙 𝑞𝑞𝑥𝑥) + (𝑏𝑏0+ 𝑏𝑏1𝑥𝑥 + ⋯ + 𝑏𝑏𝑟𝑟𝑥𝑥𝑟𝑟)(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑞𝑞𝑥𝑥 − 𝑖𝑖𝑠𝑠𝑖𝑖𝑙𝑙 𝑞𝑞𝑥𝑥) dengan demikian : 𝑦𝑦𝑝𝑝 = (𝑐𝑐0+ 𝑐𝑐1𝑥𝑥 + ⋯ + 𝑐𝑐𝑟𝑟𝑥𝑥𝑟𝑟)(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑞𝑞𝑥𝑥) + (𝑑𝑑0+ 𝑑𝑑1𝑥𝑥 + ⋯ + 𝑑𝑑𝑟𝑟𝑥𝑥𝑟𝑟)(𝑠𝑠𝑖𝑖𝑙𝑙 𝑞𝑞𝑥𝑥)

(36)

maka : 𝑦𝑦𝑝𝑝 = (𝑔𝑔0+ 𝑔𝑔1𝑥𝑥 + ⋯ + 𝑔𝑔𝑟𝑟𝑥𝑥𝑟𝑟)(𝐴𝐴𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑞𝑞𝑥𝑥 + 𝐵𝐵𝑠𝑠𝑖𝑖𝑙𝑙 𝑞𝑞𝑥𝑥) b). Bila ∅₁(𝐷𝐷)𝐷𝐷𝑠𝑠𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑞𝑞𝑥𝑥

maka : 𝑦𝑦𝑝𝑝 = 𝑥𝑥𝑠𝑠(𝑔𝑔0+ 𝑔𝑔1𝑥𝑥 + ⋯ + 𝑔𝑔𝑟𝑟𝑥𝑥𝑟𝑟)(𝐴𝐴𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑞𝑞𝑥𝑥 + 𝐵𝐵𝑠𝑠𝑖𝑖𝑙𝑙 𝑞𝑞𝑥𝑥) Contoh:

1.(𝐷𝐷 + 1)(𝐷𝐷 − 1)𝑦𝑦 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 2𝑥𝑥, karena 𝑦𝑦_𝑐𝑐tidak mengandung 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 2𝑥𝑥 , maka misalkan : 𝑦𝑦𝑝𝑝 = 𝐴𝐴𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 2𝑥𝑥 + 𝐵𝐵𝑠𝑠𝑖𝑖𝑙𝑙 2𝑥𝑥

2.(𝐷𝐷 + 1)(𝐷𝐷 + 2)𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 2𝑥𝑥,karena 𝑦𝑦_𝑐𝑐 tidak mengandung 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 2𝑥𝑥 , maka misalkan : 𝑦𝑦_𝑝𝑝 = (𝐴𝐴𝑥𝑥 + 𝐵𝐵)(𝐶𝐶𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 2𝑥𝑥 + 𝐷𝐷𝑠𝑠𝑖𝑖𝑙𝑙 2𝑥𝑥)

3.(𝐷𝐷 + 1)(𝐷𝐷 − 1)2(𝐷𝐷 + 2)𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥3𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 2𝑥𝑥, karena 𝑦𝑦_𝑐𝑐 tidak mengandung 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 2𝑥𝑥 , maka

misalkan : 𝑦𝑦𝑝𝑝 = (𝐴𝐴𝑥𝑥3 + 𝐵𝐵𝑥𝑥2+ 𝐶𝐶𝑥𝑥 + 𝐷𝐷)(𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 2𝑥𝑥 + 𝑄𝑄𝑠𝑠𝑖𝑖𝑙𝑙 2𝑥𝑥) 4.(𝐷𝐷 − 1)(𝐷𝐷 − 2𝑖𝑖)2(𝐷𝐷 + 2𝑖𝑖)2(𝐷𝐷 + 4)𝐷𝐷2𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥3𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 2𝑥𝑥,

karena 𝑦𝑦_𝑐𝑐 mengandung 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 2𝑥𝑥 , maka misalkan : 𝑦𝑦𝑝𝑝 = (𝐴𝐴𝑥𝑥2+ 𝐵𝐵𝑥𝑥 + 𝐶𝐶)(𝐷𝐷𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑥𝑥 + 𝐸𝐸𝑠𝑠𝑖𝑖𝑙𝑙 𝑥𝑥) +

𝑥𝑥2_{(𝐹𝐹𝑥𝑥}3_{+ 𝐺𝐺𝑥𝑥}2_{+ 𝐻𝐻𝑥𝑥 + 𝐼𝐼)(𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 2𝑥𝑥 + 𝑄𝑄𝑠𝑠𝑖𝑖𝑙𝑙 2𝑥𝑥)} Soal-soal yang diselesaikan

1. (𝐷𝐷2− 1)𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2 maka (𝐷𝐷 + 1)(𝐷𝐷 − 1)𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2 𝑦𝑦𝑐𝑐 = (𝐴𝐴𝑒𝑒−𝑥𝑥 + 𝐵𝐵𝑒𝑒𝑥𝑥)

misalkan : 𝑦𝑦𝑝𝑝 = (𝐶𝐶𝑥𝑥2 + 𝐷𝐷𝑥𝑥 + 𝐸𝐸)

maka didapat : 𝑦𝑦 = 𝐴𝐴𝑒𝑒−𝑥𝑥 + 𝐵𝐵𝑒𝑒𝑥𝑥− (𝑥𝑥2+ 2)

2. (𝐷𝐷4+ 𝐷𝐷2)𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 maka 𝐷𝐷2(𝐷𝐷2+ 1)𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥, sehingga dapat ditulis sebagai (𝐷𝐷 + 𝑖𝑖)(𝐷𝐷 − 𝑖𝑖)𝐷𝐷2𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥

𝑦𝑦𝑐𝑐 = (𝐴𝐴𝑥𝑥 + 𝐵𝐵) + (𝐶𝐶 cos 𝑥𝑥 + 𝐷𝐷 sin 𝑥𝑥) misalkan : 𝑦𝑦𝑝𝑝 = 𝑥𝑥2(𝐸𝐸𝑥𝑥 + 𝐹𝐹)

maka didapat : 𝑦𝑦 = (𝐴𝐴𝑥𝑥 + 𝐵𝐵) + (𝐶𝐶 cos 𝑥𝑥 + 𝐷𝐷 sin 𝑥𝑥) +1 3 𝑥𝑥2 3. (𝐷𝐷2− 3𝐷𝐷 + 2)𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑒𝑒2𝑥𝑥 maka (𝐷𝐷 − 2)(𝐷𝐷 − 1)𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑒𝑒2𝑥𝑥 𝑦𝑦𝑐𝑐 = (𝐴𝐴𝑒𝑒2𝑥𝑥 + 𝐵𝐵𝑒𝑒𝑥𝑥) misalkan : 𝑦𝑦𝑝𝑝 = 𝑥𝑥(𝐶𝐶 + 𝐷𝐷𝑥𝑥)𝑒𝑒2𝑥𝑥 maka didapat : 𝑦𝑦 = ( 1 2𝑥𝑥2− 𝑥𝑥 + 𝐴𝐴)𝑒𝑒2𝑥𝑥 + 𝐵𝐵𝑒𝑒𝑥𝑥 4. (𝐷𝐷2− 1)𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 + 2𝑒𝑒𝑥𝑥 maka (𝐷𝐷 + 1)(𝐷𝐷 − 1)𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥2− 4𝑥𝑥 + 2𝑒𝑒𝑥𝑥 , sehingga didapat 𝑦𝑦𝑐𝑐 = (𝐴𝐴𝑒𝑒−𝑥𝑥 + 𝐵𝐵𝑒𝑒𝑥𝑥)

(37)

misalkan : 𝑦𝑦𝑝𝑝 = (𝐶𝐶 + 𝐷𝐷𝑥𝑥 + 𝐸𝐸𝑥𝑥2) + 𝐹𝐹𝑥𝑥𝑒𝑒𝑥𝑥 maka didapat : 𝑦𝑦 = 𝐴𝐴𝑒𝑒−𝑥𝑥 + (𝑥𝑥 + 𝐵𝐵)𝑒𝑒𝑥𝑥 − (3𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 + 6) Kerjakan dirumah : 1. (𝐷𝐷2− 5𝐷𝐷 + 6)𝑦𝑦 = 12𝑥𝑥2 − 20𝑥𝑥 + 4 + 𝑒𝑒2𝑥𝑥 2. (𝐷𝐷2+ 1)𝑦𝑦 = 2 cos 𝑥𝑥 − 3 cos 2𝑥𝑥 3. (𝐷𝐷2+ 5𝐷𝐷 + 5)𝑦𝑦 = 3 𝑒𝑒−𝑥𝑥sin 𝑥𝑥 − 10 4. (𝐷𝐷4− 2𝐷𝐷3+ 𝐷𝐷2)𝑦𝑦 = 6𝑒𝑒𝑥𝑥− 2 5. (𝐷𝐷3− 4𝐷𝐷)𝑦𝑦 = 24𝑥𝑥2+ 12 + 8 sin 2𝑥𝑥 6. (2𝐷𝐷2− 3𝐷𝐷 − 2)𝑦𝑦 = (15𝑥𝑥2+ 12𝑥𝑥 − 5)𝑒𝑒2𝑥𝑥 − 18𝑒𝑒𝑥𝑥 7. (𝐷𝐷4+ 𝐷𝐷2)𝑦𝑦 = 18𝑥𝑥 − 4 sin 𝑥𝑥

IX. PERSAMAAN DIFFERENSIAL EULER

Persamaan Differensial Euler adalah suatu persamaan differensial dengan bentuk umum: (an XnDn + an-1Xn-1Dn-1+… + a1XD + ao)y = g(x), atau dapat pula ditulis sebagai

φ

(

XD

)

y

=

g

(

x

)

2 2 2 2 3 3 3

7

6

3 :

contoh

y

x

dx

dy

x

dx

y

d

x

dx

y

d

x

+

=

Untuk memecahkan Persamaan Differensial Euler dapat dilakukan dengan memisalkan : x = ez sehingga ln x = z, Jadi :

_x

dx

dz

₌

1

_{, sedangkan}

Dengan cara yang sama akan didapat :

=D D D D D n D Xn n _z _z _z _z _z Contoh :

1. Selesaikan Persamaan Diferensial : (X3D3 + X2D2 – 4XD) y = 0

Misal : ez = x maka z= lnx Jawab : XD = Dz X2D2 = Dz (Dz – 1) X3D3 = Dz (Dz – 1) (Dz – 2) Dengan demikian : {Dz (Dz – 1) (Dz – 2) +Dz (Dz – 1) – 4 Dz} y = 0 Dz [D2z– 3Dz + 2 + Dz – 1 – 4] y = 0 Dz (D2z– 2Dz – 3) y = 0 Dz (Dz – 3) (Dz + 1) y = 0 Sehingga jawabannya : y = c1 + c2 e3z + c3 e-z y = c1 + c2 x3 + c3 x-1 2. Carilah Jawab Umum PD : (X2D2 – XD + 5) y = x + 1

Jawab:

Misalkan: x = ez ⇒ z = ln x, dengan demikian (X2D2 – XD + 5) y = x + 1 menjadi: [Dz (Dz-1) – Dz + 5] y = x + 1

(39)

Sekarang ambil : (D2z – 2 Dz + 5)yc = 0 p.k : m2 – 2 m + 5 = 0 m1,2 = 2 5 . 4 4 2± − = 1 + 16 2 1 ₋ = 1 + 2 i

Jadi : yc = ez [A cos 2 z + B sin 2 z]

= x [A cos 2 (ln x) + B sin 2 (ln x)] misal : yp = cez +E y'p = cez y''p = cez Jadi : (D2z - 2Dz + 5)yp = ez + 1 cez – 2 cez + 5 cez +5E = ez + 1 4 cez +5E = ez + 1

dari koefisien ez didapat 4 c = 1 → c = ¼ dan E=1/5 ∴ yp = ¼ ez +1/5

Sehingga : y = x [A cos 2 (ln x) + B sin 2 (ln x)] + 4 1

x +1/5

Kerjakan soal-soal berikut ini dirumah: 1. (X2D2 + 2XD - 2) y = 0 2. (X3D3–3X2D2 +7 XD - 8) y = 0 3. (X2D2 – 3XD + 5) y = 0 4. (X2D2 – XD + 3) y = 4x 5. (X2D2 – XD + 1) y = 6x + 2x3 6. (X2D2 + 2XD – 5) y = 4 + x2

X. PERSAMAAN DIFFERENTIAL SIMULTAN

Untuk mencari persamaan diferensial simultan :

(x) f (D)z y (D) (x) f z (D) y (D) 2 4 2 1 3 1 = + = + φ φ φ φ , maka dilakukan hal sebagai berikut

[

− =

]

− = + = + (x) f (D) -(x) f (D) z (D)} (D) (D) (D) { (x) f (D) z (D) (D) y (D) (D) (x) f (D) z (D) (D) y (D) (D) 2 1 1 2 1 4 2 3 2 1 1 4 2 1 1 2 2 3 2 1 φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ

melalui eliminasi y akan diperoleh nilai z, dengan demikian nilai y dapat pula dicari.

(40)

Contoh soal :

1. Selesaikan Persamaan Diferensial (D – 1) y – (2D + 1)z = (1 – x) Dy + (D + 4)z = 1 + 4x Penyelesaian:

(D – 1) y – (2 D + 1) z = (1 – x) kalikan D

Dy + (D + 4) z = 1 + 4x kalikan D – 1, sehingga didapat:

(

)

(

)

(

)

(

) (

)(

)

(

)(

)

(

) (

)(

)

[

+ + − +

]

=

(

−

)(

+

) (

− −

)( )

− + − = − + + − − = + − − x D x D z D D D D x D z D D y D D x D z D D y D D 1 4 1 1 4 1 1 2 4 1 1 1 4 1 1 . 1 2 1 (3D2 + 4D – 4) z = 4 –1 – 4x + 1 (3D – 2) (D + 2) z = 4 – 4x (3D – 2) (D + 2) zc = 0 → zc = c1 e2/3 x + c2 e-2x Misal : zp = Ax + B z'p = A z''p = 0 sehingga didapat : (3D2 + 4D – 4) zp = 4 – 4x 4A – 4Ax – 4B = 4 – 4x pada komponen x didapat -4A= -4 → A= 1 pada komponen x0 didapat 4 – 4B= 4 → B= 0 jadi zp= x

Maka jawab umum adalah : z = c1 e 2/3 x + c2 e-2x + x

Untuk mencari y maka subsitusi z ke salah satu persamaan sehingga didapat: Dy + (D + 4) z = 1 +4 x Dy = 1 + 4 x – (D + 4) (c1 e2/3 x + c2 e-2x + x) dengan demikian y =

∫

c e x c e x_dx      − − −2 2 3 2 1 2 3 14 = 3x+c₂e−2x+c 2 1e c 7

(41)

_

     =             − − −x e z y D D D D 4 1 1 1 1

Dengan cara crammer didapat : D e 4 1 1 y D 1 D 1 ) 1 D ( D x − = − − ……….. ( 1 ) , dan x e 4 1 D 1 ) 1 D ( D z D 1 D 1 ) 1 D ( D − − − = − − ...……… ( 2 )

(42)

Dari (1) didapat: {D2 (D-1) – (D-1) } y = 0 – 4 e-x (D3 – D2 – D+1) y = - 4 e-x (D2 – 1) (D – 1) y = - 4 e –x (D + 1) (D-1)2 y = - 4 e-x Ambil : (D+1)(D-1)2 yc = 0 ∴ yc = A e-x + (Bx + C) ex Missal : yp = Px e-x y'p = P e-x – Px e-x

y''p = -Pe-x - Pe-x + Pxe-x = -2 Pe-x + Pxe-x y'''p = 2Pe-x + Pe-x – Pxe-x = 3Pe-x – Pxe-x

(D3-D2–D+1)yp =-4e-x jadi 3Pe-x–Pxe-x+2Pe-x–Pxe-x–Pe-x+Pxe-x+Pxe-x = -4e-x maka 4Pe-x = -4e-x , sehingga didapat P = -1 , jadi : yp = -xe-x

Jawab umum PD adalah: y = yc + yp

= Ae-x + (Bx + C) ex – xe-x = (A-x) e-x + (B x+ C) ex

Dari persamaan 2 maka z dapat dicari (cari sendiri dirumah)

Soal : Selesaikan Persamaan Diferensial dibawah ini 1. (D+1) y + Dz = ex sin x (D+3) y + (D+2) z = ex cos x 2. Dy = z Dz = w Dw = y 3. Dy + 3 Z = 4 X D2y + (2 D + 1) Z = 3 4. 2y + DZ = e3x (2D-3) y + D2 z = 2e2x – 6 5. 8 ) 1 ( ) 2 2 ( ) 3 2 ( ) 2 3 3 ( 2 2 2 2 = + + + − − = + + + + + z D D y D D e z D D y D D x