perpindahan, kita peroleh persamaan differensial berikut :

Pendahuluan Persamaan Differensial 1 1.1 Pengertian Persamaan Differensial

Banyak sekali masalah terapan (dalam ilmu teknik, ilmu fisika, biologi, kimia, sosial, dan lain-lain), yang telah dirumuskan dengan model matematika dalam bentuk persamaan yang mengandung fungsi dan turunannya. Suatu persamaan yang mengandung fungsi dan turunannya dinamakan persamaan differensial. Jika mengandung turunan parsial dinamakan persamaan differensial parsial. Selain persamaan differensial parsial, dikenal persamaan differensial yang lain yang dinamakan persamaan differensial biasa.

Dalam bab ini akan dijelaskan beberapa metode penyelesaian persamaan differensial biasa yang sering muncul dalam ilmu-ilmu terapan. Sebagai gambaran, perhatikan contoh sederhana berikut :

(i) Hukum II Newton dalam bentuk vektor adalah 𝐹 = 𝑚. 𝑎 . Jika percepatan 𝑎 ditulis sebagai ^𝑑𝑣 _𝑑𝑡, dengan 𝑣 adalah kecepatan, atau ditulis sebagai ^𝑑²𝑟 _𝑑𝑡² , dengan 𝑟 adalah perpindahan, kita peroleh persamaan differensial berikut :

𝐹 = 𝑚𝑑²𝑣

𝑑𝑡 = 𝑚𝑑²𝑟 𝑑𝑡²

……….………..………... (1.1) Definisi :

Persamaan Differensial adalah persamaan yang mengandung fungsi dan turunannya.

Persamaan Differensial Biasa adalah persamaan yang mengandung turunan biasa, yaitu turunan dengan satu peubah bebas. Persamaan Differensial Parsial adalah persamaan yang mengandung turunan parsial, yaitu turunan dengan peubah bebas lebih dari satu.

2 Pendahuluan Persamaan Differensial Jadi masalah mekanika di atas yang digunakan untuk menentukan gerak benda (misalnya elektron, mobil atau satelit) karena pengaruh gaya, mengandung persamaan differensial.

(ii) Laju perubahan panas 𝒬 yang berkurang melalui jendela atau dari pipa air panas sebanding dengan luas permukaan 𝛢 dan sebanding dengan perubahan temperatur 𝛵 terhadap jarak 𝜒, dapat ditulis :

𝑑𝒬

𝑑𝑡 = 𝑘𝐴𝑑𝑇 𝑑𝑥

………..………..………... (1.2) dengan 𝑘 adalah konduktivitas panas yang bergantung pada material/bahan yang dilalui panas. Persamaan (1.2) di atas mengandung 2 turunan yang berbeda, yaitu

𝑑𝑇

𝑑𝑥 dan ^𝑑𝒬_𝑑𝑡 , dan penyelesaiannya adalah menentukan fungsi 𝑇 sebagai fungsi 𝑥, atau 𝒬 sebagai fungsi 𝑡.

(iii) Perhatikan rangkaian sederhana berikut (gambar 1.1), yang terdiri dari resisitor R, kapasitor C dan induktor L yang dihubungkan dengan tegangan AC.

Gambar 1.1

Rangkaian RLC seri, dihubungkan dengan tegangan AC, V

Jika arus yang mengalir pada rangkaian suatu saat adalah 𝐼(𝑡) dan muatan pada kapasitor adalah 𝑞(𝑡) , diperoleh hubungan 𝐼 𝑡 = ^𝑑𝑞_𝑑𝑡 . Tegangan diujung-ujung resistor 𝑅 adalah 𝐼. 𝑅, tegangan pada kapasitor 𝐶 adalah ^𝑞_𝐶, dan tegangan pada induktor 𝐿 adalah 𝐿^𝑑𝐼_𝑑𝑡 , maka tegangan setiap saatnya adalah :

𝐿𝑑𝐼

𝑑𝑡+ 𝑅. 𝐼 +𝑞 𝐶 = 𝑉

Pendahuluan Persamaan Differensial 3 Jika persamaan tersebut kita turunkan terhadap fungsi 𝑡 dengan mensubstitusikan 𝐼 𝑡 = ^𝑑𝑞_𝑑𝑡 , diperoleh :

𝐿.𝑑²𝐼

𝑑𝑡²+ 𝑅.𝑑𝐼 𝑑𝑡+ 𝐼

𝐶 =𝑑𝑉 𝑑𝑡

……….………. (1.3)

Masih banyak lagi masalah-masalah fisika dan ilmu terapan lainnya yang mengandung persamaan differensial.

Contoh 1.1

Manakah dari persamaan-persamaan berikut yang termasuk persamaan differensial biasa.

a. 𝑥² x 𝑦² = 25 b. ^𝑑𝑦_𝑑𝑥 + 𝑦 + 6 = 0 c. 𝑥𝑦 + 𝑦 ′ + 𝑥 = 0

d. 𝑥𝑦′′ + 𝑥²𝑦 ′ + 6𝑦 = 𝑒^𝑥 e. ^𝜕𝑢_𝜕𝑖 + 𝑢 = ^𝜕𝑢_𝜕𝑧

f. ^𝜕²𝑢_{𝜕𝑥 ²}+ ^𝜕²𝑢_{𝜕𝑦 ²}= 0

Jawab

a. Bukan Persamaan Differensial Biasa (PDB), karena tidak mengandung turunan fungsi.

b. PDB, dengan peubah bebas 𝑥 dan peubah tak bebas 𝑦.

c. PDB (ingat : 𝑦 ′ = ^𝑑𝑦_𝑑𝑥 ), dengan peubah bebas 𝑥 dan peubah tak bebas 𝑦.

d. PDB ( 𝑦 ′′ = ^𝑑²𝑦_𝑑𝑥² ), dengan peubah bebas 𝑥 dan peubah tak bebas 𝑦.

e. Termasuk persamaan differensial parsial, karena peubah bebasnya ada dua, yaitu 𝑖 dan 𝑧.

f. Termasuk persamaan differensial parsial, karena peubah bebasnya ada dua, yaitu 𝑥 dan 𝑦.

4 Pendahuluan Persamaan Differensial 1.2 Persamaan Differensial Biasa

Tingkat/orde suatu persamaan differensial adalah turunan tertinggi yang terdapat dalam persamaan tersebut. Secara umum, persamaan differensial biasa orde 𝑛 mempunyai bentuk :

𝐹 𝑥, 𝑢 𝑥 , 𝑢^′ 𝑥 , 𝑢′′(𝑥), …, 𝑢^𝑛 𝑥 = 0

………...……….……….………..…. (1.4) Persamaan (1.4), menyatakan hubungan antara peubah bebas 𝑥, fungsi 𝑢 dan turunannya 𝑢^′, 𝑢^′′, 𝑢^′′′, … , 𝑢^𝑛. Untuk selanjutnya akan digunakan variabel 𝑦 sebagai pengganti 𝑢 𝑥 , dan 𝑦^′, 𝑦^′′, 𝑦^′′′, … , 𝑦^𝑛 sebagai pengganti 𝑢^′ 𝑥 , 𝑢^′′(𝑥), 𝑢^′′′ 𝑥 , …, 𝑢^𝑛 𝑥 , sehingga persamaan (1.4) dapat ditulis dalam bentuk :

𝐹 𝑥, 𝑦^′, 𝑦^′′, … , 𝑦^𝑛 = 0

……….……….……….……. (1.5) Sebagai contoh, perhatikan persamaan differensial berikut :

a. 𝑦^′ + 𝑥𝑦² = 1, dimana 𝑦^′ = ^𝑑𝑦_𝑑𝑥 b. 𝑥𝑦^′+ 𝑦 = 𝑒^𝑥

c. ^𝑑𝑣_𝑑𝑡 = −g d. ^𝐿𝑑𝐼_𝑑𝑡^{+ 𝑅𝐼 = 𝑉}

Persamaan a, b, c dan d di atas adalah persamaan differensial orde satu, karena persamaan-persamaan tersebut mengandung turunan pertama sebagai turunan tertinggi.

e. 𝑚^𝑑²𝑟_𝑑𝑡² = −𝑘𝑟, adalah persamaan differensial orde dua, karena persamaan tersebut mengandung turunan kedua sebagai turunan tertinggi.

Derajat/pangkat suatu persamaan differensial yang berbentuk polinom dalam peubah tak bebas dan turunan-turunannya adalah derajat/pangkat tertinggi polinom tersebut.

Sebagai gambaran, perhatikan contoh-contoh berikut :

a. 𝑦^′′′ + 2𝑥𝑦 𝑦^{′ 3} = 0, merupakan PD berderajat empat, karena mengandung 𝑦(𝑦^′)³ b. 𝑦^′′ + 5𝑦^′ + 6𝑥𝑦 = sin 𝑥, merupakan persamaan differensial berderajat satu.

c. 𝑦^′′ =^(𝑥2+1)

𝑦 , merupakan persamaan differensial berderajat dua.

Perhatikan bahwa persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk 𝑦. 𝑦^′′ = 𝑥²+ 1 d. 3𝑥 − 2𝑦 𝑦^′ = 1 − 𝑥 − 𝑥², merupakan persamaan differensial berderajat tiga.

e. 3𝑥 + 5𝑦 𝑑𝑦 = 2𝑥 + 2 𝑑𝑥, merupakan persamaan differensial berderajat dua.

Pendahuluan Persamaan Differensial 5 1.3 Persamaan Differensial Linier dan Tak Linier

Suatu persamaan differensial linier (dengan 𝑥 adalah peubah bebas dan 𝑦 adalah peubah tak bebas) adalah salah satu bentuk dari persamaan :

𝑎₀𝑦 + 𝑎₁𝑦^′ + 𝑎₁𝑦^′′ + ⋯ + 𝑎_𝑛𝑦^𝑛 = 𝑏

…..………..………..….……… (1.6) Sebagai contoh, perhatikan persamaan differensial berikut :

a. 𝑦^′ + 𝑥𝑦² = 1, (tidak linier, karena terdapat pangkat 2 dari 𝑦) b. 𝑦^′ = cot 𝑦, (tidak linier, karena terdapat fungsi transenden cot 𝑦) c. 𝑦𝑦^′ = 1, (tidak linier, karena terdapat perkalian 𝑦 dan 𝑦’)

d. 𝑦^{′ 2} = 𝑥𝑦, (tidak linier, karena terdapat pangkat 2 pada 𝑦’)

Dengan demikian, persamaan differensial biasa disebut linier, jika memenuhi kriteria sebagai berikut :

(i) Tidak terdapat fungsi transenden dalam peubah tak bebas

(ii) Tidak terdapat perkalian antara peubah tak bebas dengan turunannya (iii) Peubah tak bebas dan turunannya paling tinggi berpangkat Satu (iv) 𝑎_𝑛(𝑥) adalah fungsi kontinu

Sebaliknya persamaan differensial biasa yang tidak memenuhi kriteria tersebut di atas, disebut persamaan differensial tak linier.

Sebagian besar persamaan differensial yang muncul dalam masalah-masalah terapan adalah linier dengan orde 1 atau orde 2. Untuk itu kita akan membahas secara khusus mengenai persamaan differensial linier orde 1 dan orde 2.

Contoh 1.2

Tentukan apakah persamaan differensial berikut termasuk persamaan differensial biasa atau parsial? Tentukan orde, pangkat dan kelinierannya!

a. 𝑥𝑦^′ + 𝑒^𝑥 = 𝑦

b. (sin 𝑥)𝑦^′′ + 4𝑥²− 𝑦 = 0 c. 𝑦𝑦^′′ + 𝑦²+ 4𝑥𝑦 = sin 𝑥

6 Pendahuluan Persamaan Differensial d. 𝑥²+ 1 𝑑𝑥 = 𝑥 − 𝑦 + 4 𝑑𝑦

e. ¹_𝑦𝑦^′ + 4𝑥 + 1 = 0 f. ^𝑥_𝑦𝑑𝑥 = 2𝑑𝑦

g. 𝑦^′sin 𝑥 + 𝑦 cos 𝑥 = 5

h. 𝑥 sin 𝑦 + 𝑦^′cos 5𝑥 + 3 = 𝑒^𝑥 i. U_𝑥𝑥 + 𝑥𝑦U_𝑥𝑦 − 𝑦U_x = 0

j. 𝑦^′′′ + 𝑦^′′ cos 𝑥. sin 𝑥 + 𝑦^′tan 𝑥 − 2𝑦 = 0 k. _𝜕𝑥^𝜕²𝑢₂+_𝜕𝑦^𝜕²𝑢₂= 𝑥²

l. ^𝑑_𝑑𝑡^4𝑥₄ + ^𝑑_𝑑𝑡^2𝑥₂ ⁵+ 5𝑦 = 0

Jawab :

a. Persamaan differensial biasa, orde 1, pangkat 1, dan linier b. Persamaan differensial biasa, orde 2, pangkat 1, dan linier c. Persamaan differensial biasa, orde 2, pangkat 2, dan tak linier d. Persamaan di atas dapat ditulis :

𝑥²+ 1 𝑑𝑥

𝑑𝑦= (𝑥 − 𝑦 + 4)

yang merupakan PDB, orde 1, pangkat 3, dan tak linier 𝑥²+ 1 = (𝑥 − 𝑦 + 4)𝑑𝑦

𝑑𝑥

yang merupakan PDB, orde 1, pangkat 2, dan tak linier e. Persamaan differensial biasa, orde 1, pangkat 1, dan linier f. Persamaan differensial biasa, orde 1, pangkat 1, dan tak linier g. Persamaan differensial biasa, orde 1, pangkat 1, dan linier h. Persamaan differensial biasa, orde 1, pangkat 1, dan tak linier i. Persamaan differensial parsial, orde 2, pangkat 1, dan tak linier j. Persamaan differensial biasa, orde 3, pangkat 1, dan linier k. Persamaan differensial parsial, orde 2, pangkat 2, dan linier l. Persamaan differensial biasa, orde 4, pangkat 5, dan linier

Pendahuluan Persamaan Differensial 7 1.4 Solusi Persamaan Differensial

Perhatikan persamaan differensial biasa orde 𝑛 berikut : 𝐹 𝑥, 𝑦^′, 𝑦^′′, … , 𝑦^𝑛 = 0

Solusi persamaan tersebut pada interval terbuka 𝛼 < 𝑥 < 𝛽 adalah suatu fungsi 𝜙 dimana 𝜙^′, 𝜙^′′, 𝜙^′′′, … , 𝑓^𝑛 ada, dan memenuhi persamaan 𝐹 𝜙^′, 𝜙^′′, 𝜙^′′′, … , 𝜙^𝑛 = 0 untuk setiap 𝑥 pada interval di atas. Kecuali ada pernyataan lain, kita anggap bahwa 𝐹 pada persamaan (1.5) adalah fungsi nilai riil dan 𝑦 = 𝜙(𝑥) juga bernilai riil.

Sebagai contoh, fungsi 𝜙₁ 𝑥 = cos 𝑥 dan 𝜙₂ 𝑥 = sin 𝑥 adalah solusi persamaan 𝑦^′′ + 𝑦 = 0 untuk setiap 𝑥, karena jika 𝜙₁ 𝑥 dan/atau 𝜙₂ 𝑥 disubstitusikan kedalam persamaan 𝑦^′′ + 𝑦 = 0_, akan diperoleh kesamaan. Contoh lain yang agak rumit, 𝜙₁ 𝑥 = 𝑥²ln 𝑥 adalah solusi persamaan 𝑥²𝑦^′′ − 3𝑥𝑦^′ − 4𝑦 = 0, 𝑥 > 0

Bukti :

𝜙₁ 𝑥 = 𝑥²ln 𝑥 𝜙₁ 𝑥 = 𝑥².1

𝑥+ 2𝑥 ln 𝑥 𝜙₁ 𝑥 = 𝑥 + 2𝑥 ln 𝑥 𝜙₁^′′ 𝑥 = 1 + 2 ln 𝑥 + 2𝑥.1

𝑥 𝜙₁^′′ 𝑥 = 3 + 2 ln 𝑥

Substitusikan pada persamaan differensial di atas, diperoleh :

𝑥² 3 + 2 ln 𝑥 − 3𝑥 𝑥 + 2𝑥 ln 𝑥 + 4 𝑥²ln 𝑥 = 3𝑥²+ 2 − 6 + 4 𝑥²ln 𝑥 = 0 Terbukti bahwa 𝜙₁ 𝑥 = 𝑥²ln 𝑥 merupakan solusi persamaan differensial 𝑥²𝑦^′′ − 𝑥𝑦^′ + 4𝑦 = 0 di atas.

Jadi :

Suatu penyelesaian (solusi) persamaan differensial (dalam peubah 𝑥 dan 𝑦) adalah suatu hubungan antara 𝑥 dan 𝑦, yang jika disubstitusikan kedalam persamaan itu, akan

memberikan kesamaan (identitas).

8 Pendahuluan Persamaan Differensial Contoh 1.3

Persamaan 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑐, adalah penyelesaian persamaan differensial 𝑦’ = 𝑐𝑜𝑠 𝑥, sebab jika disubstitusika𝑛 akan diperoleh kesamaan 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥.

Contoh 1.4

Persamaan 𝑦’’ = 𝑦 mempunyai penyelesaian : 𝑦 = 𝑒^𝑥 atau 𝑦 = 𝑒^−𝑥 atau 𝑦 = 𝐴𝑒^𝑥 + 𝐵𝑒^−𝑥. (Buktikan dengan mensubstitusikannya!).

Jawab :

(i) 𝑦 = 𝑒^𝑥 𝑦′ = 𝑒^𝑥 𝑦′′ = 𝑒^𝑥

Substitusikan pada persamaan 𝑦^′′ = 𝑦 ⟹ 𝑒^𝑥 = 𝑒^𝑥 (terbukti) (ii) 𝑦 = 𝑒^−𝑥

𝑦′ = −𝑒^−𝑥 𝑦′′ = 𝑒^−𝑥

Substitusikan pada persamaan 𝑦^′′ = 𝑦 ⟹ 𝑒^−𝑥 = 𝑒^−𝑥 (terbukti) (iii) 𝑦 = 𝑒^𝑥 + 𝑒^−𝑥

𝑦′ = 𝑒^𝑥 − 𝑒^−𝑥 𝑦^′′ = 𝑒^𝑥 + 𝑒^−𝑥

Substitusikan pada persamaan 𝑦^′′ = 𝑦 ⟹ 𝑒^𝑥 + 𝑒^−𝑥 = 𝑒^𝑥 + 𝑒^−𝑥 (terbukti)

Suatu pertanyaan yang mungkin muncul adalah apakah ada solusi lain disamping solusi yang telah dibahas di atas? Atau bahkan timbul pertanyaan lebih lanjut, apakah persamaan di atas mempunyai suatu solusi? Ini adalah pertanyaan tentang keujudan suatu solusi persamaan differensial. Tidak semua persamaan differensial mempunyai solusi. Jika suatu masalah yang telah dirumuskan dengan model matematika dan mengandung suatu persamaan differensial, kemudian masalah tersebut tidak mempunyai solusi, maka kita harus menguji kembali keabsahan model matematika itu.

Pendahuluan Persamaan Differensial 9 Kedua, jika persamaan yang diberikan mempunyai suatu solusi, apakah ada solusi yang lainnya? Ini adalah pertanyaan tentang ketunggalan suatu solusi persamaan diferensial.

Pertanyaan yang ketiga adalah bagaimana cara menentukan solusi suatu persamaan differensial?

Jika kita mengitegralkan 𝑦^′ = 𝑓(𝑥) diperoleh : 𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐 yang mengandung satu tetapan integrasi, yaitu 𝑐. Jika kita mengitegralkan 𝑦^′′ = g(𝑥) dua kali untuk mendapatkan 𝑦, 𝑦 mengandung dua tetapan integrasi. Secara umum, suatu persamaan differensial orde n akan mempunyai penyelesaian yang mengandung n buah tetapan integrasi. Penyelesaian seperti ini dinamakan solusi umum dari persamaan differensial tak linier. Solusi yang diperoleh dari solusi umum dengan mengambil konstanta/tetapan yang sesuai, dinamakan solusi khusus.

Dalam penerapannya, diinginkan solusi khusus yang sesuai dengan persamaan differensial tersebut yang memerlukan syarat-syarat tertentu. Perhatikan contoh berikut :

Contoh 1.5

(Penerapan pada bidang Fisika)

Tentukan jarak benda jatuh karena gravitasi sebagai fungsi waktu 𝑡, jika benda mula-mula diam.

Jadi :

Solusi umum suatu persamaan differensial adalah solusi yang mengandung tetapan integrasi, sedangkan solusi khusus suatu persamaan differensial adalah solusi yang di peroleh dari suatu solusi umum dengan menentukan

konstanta yang sesuai.

10 Pendahuluan Persamaan Differensial Jawab :

Misalkan 𝑥 adalah jarak benda jatuh sebagai fungsi waktu 𝑡, percepatan benda karena pengaruh gravitasi adalah g, sehingga diperoleh persamaan : ^𝑑²𝑥_𝑑𝑡² = g, dengan mengintegralkan, diperoleh :

𝑑𝑥

𝑑𝑡 = g. 𝑡 + 𝑐 = g. 𝑡 + 𝑣₀ kemudian,

𝑥 =¹₂g𝑡² + 𝑐₁𝑡 + 𝑐₂, dengan 𝑐₁ = 𝑣₀ dan 𝑐₂ = 𝑥₀, atau 𝑥 =1

2g. 𝑡² + 𝑣₀. 𝑡 + 𝑥₀

…………....………..……….. (1.7) dengan 𝑣₀ dan 𝑥₀ adalah nilai 𝑣 dan 𝑥 pada 𝑡 = 0, persamaan (1.7) adalah solusi umum dari persamaan differensial ^𝑑²𝑥_𝑑𝑡² = g, karena penyelesaian persamaan differensial linier orde 2 tersebut mengandung 2 konstanta, yaitu 𝑣₀ dan 𝑥₀ Untuk mendapatkan solusi khusus, kita masukkan nilai 𝑣₀ = 0 (benda mula-mula diam), dan 𝑥₀ = 0 (jarak benda jatuh nol pada 𝑡 = 0), sehingga solusi khusus yang diinginkan adalah : 𝑥 =¹₂g𝑡²

Contoh 1.6

(Penerapan pada bidang Geometri)

Tentukan solusi dari persamaan 𝑦′′ = 𝑦 yang melalui pusat koordinat dan titik (ln 2 ,³₄)

Jawab :

Solusi umum dari persamaan differensial tersebut adalah 𝑦 = 𝐴𝑒^𝑥+ 𝐵𝑒^−𝑥.

(lihat contoh 1.4). persamaan kurva 𝑦 = 𝐴𝑒^𝑥 + 𝐵𝑒^−𝑥 melalui titik pusat koordinat (𝑦 = 0 dan 𝑥 = 0) dan melalui titik (ln 2 ,³₄) (𝑦 =³₄ dan 𝑥 = ln 𝑥).

Dengan mensubstitusikan titik-titik tersebut, diperoleh : 0 = 𝐴 + 𝐵, atau 𝐵 = −𝐴

3

4= 𝐴. 𝑒^{ln 2}+ 𝐵. 𝑒^{− ln 2}

Pendahuluan Persamaan Differensial 11

3

4 = 𝐴. 2 + 𝐵.¹₂, karena 𝐵 = −𝐴, maka : 3

4= 2𝐴 −1 2𝐴

3

4 =³₂𝐴 → 𝐴 = ¹₂ dan 𝐵 = −¹₂ Solusi khusus yang diinginkan adalah :

𝑦 =¹₂𝑒^𝑥−¹₂𝑒^−𝑥, atau 𝑦 =1

2(𝑒^𝑥 − 𝑒^−𝑥) 𝑦 = sinh 𝑥

{ingat bahwa sinh 𝑥 =¹₂(𝑒^𝑥 − 𝑒^−𝑥) dan cosh 𝑥 = (𝑒^𝑥+ 𝑒^−𝑥)}

Kondisi yang diberikan untuk mendapatkan solusi khusus dinamakan syarat batas, sedangkan kondisi yang diberikan pada 𝑡 = 0 dinamakan syarat awal. Umumnya (tetapi tidak selalu untuk persamaan differensial tak linier), solusi khusus yang diinginkan diperoleh dari solusi umum dengan menentukan nilai konstantanya.

LATIHAN 1.1

1. Untuk setiap persamaan differensial berikut, tentukan orde dan derajatnya ! Tentukan juga apakah persamaan differensial linier atau tak linier ?

a. 𝑥^{2 𝑑²𝑦}_𝑑𝑥²+ 𝑥^𝑑𝑦_𝑑𝑥 + 2𝑦 = sin 𝑥 b. 1 + 𝑦^{2 𝑑}_𝑑𝑥^2𝑦₂+ 𝑥^𝑑𝑦_𝑑𝑥 + 𝑦 = 𝑒^𝑥 c. ^𝑑_𝑑𝑥^4𝑦₄+^𝑑_𝑑𝑥^3𝑦₃+^𝑑_𝑑𝑥^2𝑦₂+ 𝑥^𝑑𝑦_𝑑𝑥 + 𝑦 = 1 d. ^𝑑𝑦_𝑑𝑥 + 𝑥𝑦² = 0

e. ^𝑑_𝑑𝑥^2𝑦₂+ sin 𝑥 + 𝑦 = sin 𝑥 f. ^𝑑_𝑑𝑥^3𝑦₃+ 𝑥^𝑑𝑦_𝑑𝑥 + 𝑦 cos² 𝑥 = 𝑥³

2. Buktikan bahwa fungsi-fungsi yang diberikan merupakan solusi persamaan differensial.

a. 𝑦^′′ − 𝑦 = 0 ; 𝑦₁ 𝑥 = 𝑒^𝑥, 𝑦₂ 𝑥 = cosh 𝑥 b. 𝑦^′′′ + 2𝑦^′ − 3𝑦 = 0 ; 𝑦₁ 𝑥 = 𝑒^−3𝑥, 𝑦₂ 𝑥 = 𝑒^𝑥

12 Pendahuluan Persamaan Differensial c. 𝑦^𝑖𝑣+ 4𝑦^′′′ + 3𝑦 = 𝑥 ; 𝑦₁ 𝑥 =^𝑥₃, 𝑦₂ 𝑥 = 𝑒^−𝑥 +^𝑥₃

d. 2𝑥²𝑦^′′ + 3𝑥𝑦^′ − 𝑦 = 0, 𝑥 > 0 ; 𝑦₁ 𝑥 = 𝑥^½, 𝑦₂ 𝑥 = 𝑒^−𝑥 e. 𝑥²𝑦^′′ + 5𝑥𝑦^′ + 4𝑦 = 0, 𝑥 > 0 ; 𝑦₁ 𝑥 = 𝑥⁻², 𝑦₂ 𝑥 = 𝑥⁻²ln 𝑥 f. 𝑦^′′ + 𝑦 = sec 𝑥 , 0 < 𝑥 <^𝜋₂; 𝑦 𝑥 = (cos 𝑥) ln cos 𝑥 + 𝑥 sin 𝑥 g. 𝑦^′ − 2𝑥𝑦 = 1 ; 𝑦 𝑥 = 𝑒^𝑥2 𝑒_∩^{𝑥 −𝑡2}𝑑𝑡 +𝑒^𝑥²

3. Pada contoh 1.4, buktikan bahwa 𝑦 = cosh 𝑥 dan 𝑦 = sinh 𝑥 adalah penyelesaian persamaan differensial 𝑦′′ = 𝑦. [ingat : cosh 𝑥 = ¹₂(𝑒^𝑥+ 𝑒^−𝑥)]

4. Selesaikanlah contoh 1.6 dengan menggunakan solusi umum 𝑦 = 𝑎 sinh 𝑥 + 𝑏 cosh 𝑥

5. Buktikan bahwa 𝑦 = sin 𝑥, 𝑦 = cos 𝑥, 𝑦 = 𝑒^5𝑥, dan 𝑦 = 𝑒^−5𝑥 adalah solusi-solusi untuk persamaan differensial 𝑦^′′ = −𝑦

6. Tentukan jarak benda yang bergerak, sebagai fungsi waktu 𝑡, jika benda mula-mula diam dan percepatan benda ^𝑑²𝑥_𝑑𝑡² = g. 𝑒^−𝑘𝑡. Tunjukkan bahwa untuk 𝑡 kecil, hasilnya dapat dianggap sama dengan 𝑥 =¹₂g𝑡², dan untuk 𝑡 besar, kecepatan ^𝑑𝑥_𝑑𝑡 dapat dianggap konstan !

7. Tentukan posisi 𝑥 suatu partikel sebagai fungsi waktu 𝑡, jika percepatannya

𝑑²𝑥

𝑑𝑡² = 𝐴 sin 𝜔𝑡!

8. Momentum (𝑝) suatu elektron yang bergerak dengan kecepatan yang mendekati kecepatan cahaya naik menurut persamaan 𝑝 = ^{𝑚 0𝑣}

1−𝑣²𝑐²

,

dimana 𝑚₀ : massa diam elektron. Jika elektron tersebut dipengaruhi gaya konstan 𝐹, maka hukum Newton II menjadi :

𝑑𝑝 𝑑𝑡 = 𝑑

𝑑𝑡

𝑚₀𝑣 1−𝑣𝑐²²

= 𝐹

Tentukan kecepatan 𝑣 sebagai fungsi waktu 𝑡 dan tunjukkan bahwa limit kecepatan jika 𝑡 mendekati tak hingga adalah 𝑐. tentukan jarak 𝑥 yang ditempuh elektron pada waktu 𝑡, jika elektron mulai diam.

Pendahuluan Persamaan Differensial 13 2.1 Persamaan Differensial Linier

Jenis persamaan differensial orde 1 yang paling sederhana adalah 𝑦^′ = 𝑓(𝑥) dengan fungsi 𝑓 hanya bergantung pada 𝑥. Kita akan menentukan 𝑦 = 𝜙(𝑥), yang turunannya merupakan fungsi 𝑓 di atas. Dari teori kalkulus, diketahui bahwa 𝜙 adalah anti turunan 𝑓, ditulis :

𝑦 = 𝜙 𝑥 = 𝑓 𝑥 . 𝑑𝑥 dengan 𝑐 adalah konstanta yang sesuai.

Misalkan, jika 𝑦^′ = sin 2𝑥,

Maka 𝑦 = 𝜙 𝑥 = sin 2𝑥𝑑𝑥 𝑦 = −1

2cos 2𝑥 + 𝑐

Secara umum, persamaan differensial linier orde 1 mempunyai bentuk umum : 𝑦^′ + 𝑝 𝑥 𝑦 = g 𝑥

……….…… (2.1) dengan 𝑝 dan g adalah fungsi kontinu pada interval 𝛼 < 𝑥 < 𝛽. Pada bagian ini, kita akan memfokuskan pada metoda penyelesaian persamaan (2.1).

Perhatikan persamaan berikut : 𝑦^′ + 𝑎𝑦 = 0

dengan 𝑎 adalah konstanta riil. Persamaan ini dapat diselesaikan dengan metoda inspeksi.

Kita perlu suatu fungsi dengan turunannya yaitu 𝑦′ sama dengan (−𝑎) kali 𝑦. Salah satu persamaan yang mempunyai sifat seperti itu adalah :

14 Pendahuluan Persamaan Differensial

𝑦 = 𝑐𝑒

^−𝑎𝑥

……….. (2.2) dengan 𝑐 adalah konstanta.

Bukti :

𝑦 = 𝑐𝑒^−𝑎𝑥 𝑦^′ = 𝑑𝑦

𝑑𝑥 = −𝑎𝑐𝑒^−𝑎𝑥 = −𝑎𝑦

Substitusikan pada persamaan : 𝑦^′ + 𝑎𝑦 = 0, diperoleh :

−𝑎𝑦 + 𝑎𝑦 = 0 → 0 = 0

Karena 𝑐 suatu konstanta, persamaan (2.2) memberikan tak hingga banyaknya solusi.

Pertanyaan yang mungkin muncul, apakah ada bentuk solusi lain selain solusi pada persamaan (2.2) di atas ? Pada bagian lain akan dibuktikan bahwa tidak ada bentuk solusi lain selain persamaan (2.2).

Secara geometri, persamaan (2.2) menyatakan suatu keluarga kurva. Untuk 𝑎 = 1, beberapa anggota keluarga kurva digambarkan pada gambar 2.1.

Gambar 2.1

Keluarga kurva persamaan

Pendahuluan Persamaan Differensial 15 Akan lebih baik, jika kita menentukan suatu kurva yang melalui titik (𝑥0, 𝑦₀). Dalam hal ini, kita menentukan 𝑦 = 𝜙(𝑥) sedemikian sehingga 𝜙 𝑥0 = 𝑦₀, atau 𝑦 𝑥0 = 𝑦₀. Keadaan ini dinamakan syarat awal. Persamaan differensial orde 1 dengan syarat awal dinamakan Masalah Nilai Awal (Initial Value Problem).

Sebagai contoh, perhatikan persamaan differensial berikut : 𝑦^′ + 𝑎𝑦 = 0, dengan syarat awal 𝑦 0 = 2, yang mempunyai solusi seperti persamaan (2.2).

Solusi yang sesuai dengan syarat awal di atas ditentukan dengan mensubstitusikan 𝑥 = 0 dan 𝑦 = 2 pada persamaan (2.2), diperoleh 𝑐 = 2, sehingga solusi yang diinginkan adalah:

𝑦 = 𝜙 𝑥 = 2𝑒^−𝑎𝑥

Ini merupakan solusi khusus dari masalah nilai awal di atas. Sedangkan persamaan (2.2) merupakan solusi umum dari persamaan 𝑦^′ + 𝑎𝑦 = 0.

Sekarang perhatikan persamaan differensial berikut : 𝑦^′ + 𝑎𝑦 = g(𝑥)

……….……….……….. (2.3) Jika 𝑎 = 0, ruas kiri persamaan hanya mengandung turunan 𝑦. Persamaan (2.3) tersebut menjadi 𝑦^′ = g(𝑥), yang dimiliki solusi 𝑦 = 𝜙 𝑥 = g 𝑥 𝑑𝑥.

Jika 𝑎 ≠ 0, ruas kiri persamaan mengandung turunan 𝑦 dan 𝑦′.

Persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk : 𝑦′ + 𝑎𝑦 = 𝑑

𝑑𝑥(? ), dimana 𝑑

𝑑𝑥 (? ) = g(𝑥)

Selanjutnya kedua sisi kita integralkan. Salah satu cara bagaimana menentukan solusinya, perhatikan kembali persamaan differensial 𝑦^′ + 𝑎𝑦 = 0, yang mempunyai solusi 𝑦 = 𝑐. 𝑒^−𝑎𝑥 atau dalam bentuk lain 𝑐 = 𝑦𝑒^𝑎𝑥

Differensialkan, diperoleh :

𝑑

𝑑𝑥 𝑦𝑒^𝑎𝑥 = 0,

ingat bahwa 𝑐 = 𝑦𝑒^𝑎𝑥 dengan 𝑐 adalah konstanta dan turunan konstanta sama dengan nol, atau

𝑑𝑦

𝑑𝑥𝑒^𝑎𝑥 + 𝑎𝑒^𝑎𝑥. 𝑦 = 𝑒^𝑎𝑥 𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑎𝑦 = 0

16 Pendahuluan Persamaan Differensial Jadi,

𝑑

𝑑𝑥 𝑦𝑒^𝑎𝑥 = 𝑒^𝑎𝑥 𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑎𝑦 = 0 Jika persamaan (2.3) dikalikan dengan 𝑒^𝑎𝑥, diperoleh :

𝑒^𝑎𝑥 𝑦^′ + 𝑎𝑦 = 𝑒^𝑎𝑥. g(𝑥) 𝑑

𝑑𝑥 𝑦𝑒^𝑎𝑥 = 𝑒^𝑎𝑥. g(𝑥) Integralkan, diperoleh :

𝑦𝑒^𝑎𝑥 = 𝑒^𝑎𝑡

𝑥

. g 𝑡 𝑑𝑡

Jadi solusi persamaan (2.3) adalah : 𝑦 = 𝑒^−𝑎𝑥 𝑒^𝑎𝑡. g 𝑡 𝑑𝑡

𝑥

Contoh 2.1

Tentukan solusi umum persamaan differensial 𝑦^′ − 𝑦 = 2𝑒^𝑥

Jawab :

Bandingkan persamaan differensial di atas dengan bentuk umum persamaan differensial [persamaan (2.3)], diperoleh 𝑎 = −1.

Kalikan persamaan differensial dengan 𝑒^−𝑥 𝑒^−𝑥 𝑦^′ − 𝑦 = 2𝑒^𝑥. 𝑒^𝑥 𝑑

𝑑𝑥 𝑒^−𝑥𝑦 = 2 Integralkan, diperoleh :

𝑒^−𝑥𝑦 = 2𝑥 + 𝑐 𝑦 = 2𝑥𝑒^𝑥 + 𝑐𝑒^𝑥

Jadi solusi umum persamaan differensial tersebut adalah 𝑦 = 2𝑥𝑒^𝑥 + 𝑐𝑒^𝑥

Pendahuluan Persamaan Differensial 17 Contoh 2.2

Tentukan solusi masalah nilai awal berikut : 𝑦^′ + 2𝑦 = 𝑒^−𝑥

𝑦 𝑦𝑦 0 = 3

Jawab :

Bandingkan persamaan tersebut dengan persamaan (2.3), diperoleh 𝑎 = 2, kemudian kalikan persamaan dengan 𝑒^2𝑥, diperoleh :

𝑒^2𝑥𝑦^′ + 2𝑒^2𝑥𝑦 = 𝑒^2𝑥𝑒^−𝑥 𝑑

𝑑𝑥 𝑒^2𝑥𝑦 = 𝑒^𝑥 Integralkan, diperoleh :

𝑒^2𝑥𝑦 = 𝑒^𝑥𝑑𝑥 𝑒^2𝑥𝑦 = 𝑒^𝑥+ 𝑐

Solusinya : 𝑦 = 𝑒^−2𝑥𝑒^𝑥 + 𝑐𝑒^−2𝑥 Solusinya : 𝑦 = 𝑒^−𝑥 + 𝑐𝑒^−2𝑥

Substitusikan 𝑥 = 0 dan 𝑦 = 3, diperoleh 𝑐 = 2

Jadi solusi masalah nilai awal diatas adalah : 𝑦 = 𝑒^−𝑥 + 2𝑒^−2𝑥

Contoh 2.3

Tentukan solusi umum persamaan differensial 𝑦^′ + 3𝑦 = 𝑥 + 𝑒^−2𝑥

Jawab :

Dari persamaan diperoleh 𝑎 = 3. Solusi umum persamaan differensial diatas adalah : 𝑦 = 𝑒^−𝑎𝑥 𝑒^𝑎𝑡g 𝑡 𝑑𝑡

𝑥

18 Pendahuluan Persamaan Differensial 𝑦 = 𝑒^−3𝑥 𝑒^3𝑡g 𝑡 + 𝑒^−2𝑡 𝑑𝑡

𝑥

𝑦 = 𝑒^−3𝑥 𝑡𝑒^3𝑡𝑑𝑡 + 𝑒^𝑡𝑑𝑡

𝑥 𝑥

𝑦 = 𝑒^−3𝑥 1

3𝑥𝑒^3𝑥 −1

9𝑒^3𝑥 + 𝑐₁+ 𝑒^𝑥 + 𝑐₂ 𝑦 = 𝑒^−3𝑥 1

3𝑥𝑒^3𝑥 −1

9𝑒^3𝑥 + 𝑒^𝑥+ (𝑐₁+ 𝑐₂) 𝑦 = 𝑒^−3𝑥 1

3𝑥𝑒^3𝑥 −1

9𝑒^3𝑥 + 𝑒^𝑥+ 𝑐 𝑦 =1

3𝑥+ 𝑒^−2𝑥 −1

9+ 𝑐𝑒^−3𝑥

□ Faktor Integrasi

Kita perhatikan kembali persamaan differensial orde 1 berikut [persamaan(2.1)] : 𝑦^′ + 𝑝 𝑥 𝑦 = g(𝑥)

Analogi dengan cara di atas, kita akan memilih fungsi 𝜇 𝑥 sehingga jika persamaan (2.1) dikalikan dengan 𝜇 𝑥 , ruas kiri persamaan dapat ditulis dalam bentuk turunan fungsi 𝜇 𝑥 . 𝑦.

𝜇 𝑥 . 𝑦^′ + 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑑

𝑑𝑥 𝜇 𝑥 𝑦 𝜇 𝑥 . 𝑦^′ + 𝜇 𝑥 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝜇 𝑥 . 𝑦^′ + 𝜇^{′ 𝑥} . 𝑦 Jadi 𝜇 𝑥 yang sesuai harus memenuhi 𝜇 𝑥 . 𝑝 𝑥 = 𝜇′ 𝑥 Anggap 𝜇 𝑥 > 0, diperoleh : 𝑝 𝑥 =^{𝜇′ 𝑥} _{𝜇 𝑥}

Karena ^{𝜇′ 𝑥} _{𝜇 𝑥} adalah turunan dari ln 𝜇 𝑥 , maka,

ln 𝜇 𝑥 = 𝜇′ 𝑡

𝜇 𝑡 = 𝜇 𝑡 . g 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑐

𝑥 𝑥

𝑦 = 1

𝜇(𝑥) 𝜇 𝑡 . g 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑐 𝜇(𝑥)

𝑥

……….…. (2.4)

Pendahuluan Persamaan Differensial 19 Persamaan (2.4) adalah Solusi Eksplisit dari bentuk umum persamaan differensial linier orde 1 [persamaan(2.1)] dengan 𝑝 dan g adalah fungsi kontinu. Dua integrasi diperlukan, pertama, pada saat menentukan 𝜇(𝑥), dan kedua, pada saat menentukan 𝑦.

Dua hal penting yang harus diperhatikan dalam menentukan solusi persamaan (2.3).

1. sebelum menentukan faktor integrasi 𝜇(𝑥), kita perhatikan dahulu apakah persamaan betul-betul mempunyai bentuk seperti persamaan (2.3), dengan kata lain koefisien (𝑦^′) nya satu.

2. setelah memperoleh 𝜇(𝑥) dan mengalikannya dengan persamaan differensial terkait, apakah turunan 𝜇 𝑥 . 𝑦 ada atau tidak. Selanjutnya setelah solusi ditemukan, uji ulang dengan mensubstitusikannya pada persamaan differensial tersebut. Cara seperti diatas dinamakan Metode Integrasi.

Contoh 2.4

Tentukan solusi masalah nilai awal berikut ; 𝑦^′ − 2𝑥𝑦 = 𝑥, 𝑦 0 = 1

Jawab :

Untuk persamaan terebut, faktor integrasinya, 𝜇 𝑥 , diperoleh : 𝑒^−𝑥²𝑦^′ − 2𝑥𝑒^−𝑥²𝑦 = 𝑥𝑒^−𝑥² atau _𝑑𝑥^𝑑 𝑒^−𝑥2𝑦 = 𝑥𝑒^−𝑥² Integralkan, diperoleh :

𝑒^−𝑥²𝑦 = 𝑡𝑒^−𝑡2𝑑𝑡 + 𝑐

𝑥

𝑒^−𝑥²𝑦 = −1

2𝑒^−𝑥2+ 𝑐 𝑦 = −1

2+𝑐𝑒^𝑥2 Substitusikan 𝑦 0 = 1, diperoleh 𝑐 =²₃

Jadi solusi masalah nilai awal di atas adalah

𝑦 = −

¹₂

+

³₂

𝑒

^𝑥2

20 Pendahuluan Persamaan Differensial Contoh 2.5

Tentukan solusi masalah nilai awal berikut : 𝑦^′ − 2𝑥𝑦 = 1, 𝑦 0 = 1

Jawab :

Untuk persamaan tersebut, faktor integrasinya, 𝜇(𝑥) adalah :

𝜇 𝑥 = 𝑒

^{−2𝑥𝑑𝑥}

= 𝑒

^−𝑥2

𝑒

^−𝑥2

𝑦

^′

−2𝑥𝑒

^−𝑥2

𝑦 = 1. 𝑒

^−𝑥2

^𝑑

𝑑𝑥

𝑒

^−𝑥2

𝑦 = 𝑒

^−𝑥2

Integralkan, diperoleh :

𝑦 = 𝑒

^𝑥2

𝑒

^−𝑡2

𝑑𝑡 + 𝑐. 𝑒

^𝑥2

𝑥

Substitusikan 𝑦 0 = 1, diperoleh 𝑐 = 1, sehingga solusi masalah nilai awal diatas adalah:

𝑦 = 𝑒

^𝑥2

𝑒

^−𝑡2

𝑑𝑡 + 𝑒

^𝑥2

𝑥

Contoh 2.6

Tentukan solusi masalah nilai awal berikut :

𝑦

^′

− 𝑦 = 2𝑥𝑒

^2𝑥

, 𝑦 0 = 1

Jawab :

𝜇 𝑥 = 𝑒 ^−𝑑𝑥 = 𝑒^−𝑥

𝑒^−𝑥 𝑦^′ − 𝑦 = 𝑒^−𝑥(2𝑥. 𝑒^2𝑥) 𝑒^−𝑥 = 2𝑥𝑒^𝑥

_𝑑𝑥^𝑑 𝑒^−𝑥𝑦 = 2𝑥𝑒^𝑥

Pendahuluan Persamaan Differensial 21 𝑒^−𝑥𝑦 = 2𝑥𝑒^𝑥𝑑𝑥

𝑒^−𝑥𝑦 = 2𝑥𝑒^𝑥− 2𝑒^𝑥 + 𝑐 𝑒^−𝑥𝑦 = 2𝑥 − 2 𝑒^𝑥 + 𝑐 𝑦 = 2𝑥 − 2 𝑒^2𝑥 + 𝑐. 𝑒^𝑥

Substitusikan 𝑦 0 = 1, diperoleh 𝑐 = 3, sehingga solusi masalah nilai awal diatas adalah:

𝑦 = 2𝑥 − 2 𝑒^2𝑥 + 3𝑒^𝑥

LATIHAN 2.1

1. Untuk setiap persamaan differensial berikut, tentukanlah solusinya ! a. 𝑦^′ − 2𝑦 = 𝑥²𝑒^2𝑥

b. 𝑦^′ + 𝑦 = 𝑥𝑒^−𝑥 + 1

c. 𝑦^′ +¹_𝑥𝑦 = 3 cos 2𝑥, 𝑥 > 0 d. 𝑦^′ − 4𝑦 = 𝑥 − 2𝑥²

e. 𝑥𝑦^′ + 2𝑦 = sin 𝑥, 𝑥 > 0

(Petunjuk : bagi persamaan dengan 𝑥 untuk mendapatkan koefisien 𝑦′ sama dengan 1).

2. Untuk setiap masalah nilai awal berikut, tentukan solusinya ! a. 𝑦^′ + 2𝑦 = 𝑥𝑒^−2𝑥, 𝑦 1 = 0

b. 𝑦^′ + 𝑦 =_1+𝑥¹ ₂, 𝑦 1 = 0

c. 𝑦^′ +²_𝑥𝑦 =^{cos 𝑥}_𝑥2 , 𝑥 > 0, 𝑦 𝜋 = 0 d. 𝑦^′ − 2𝑦 = 𝑒^2𝑥, 𝑦 0 = 2

e. 𝑥𝑦^′ + 2𝑦 = sin 𝑥, 𝑥 > 0, 𝑦 ^𝜋₂ = 1 3. Tentukan solusi persamaan differensial berikut :

𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 1 𝑒^𝑦 − 𝑥

(petunjuk : Gunakan 𝑦 sebagai variabel bebas) 4. Buktikan masalah berikut ini :

a. Buktikan 𝜙 𝑥 = 𝑒^2𝑥 merupakan solusi persamaan differensial 𝑦 − 2𝑦 = 0.

Buktikan juga bahwa 𝑦 = 𝑐. 𝜙(𝑥) juga merupakan solusi persamaan differensial diatas, dimana 𝑐 adalah konstanta sembarang.

22 Pendahuluan Persamaan Differensial b. Buktikan bahwa 𝑓 𝑥 =¹_𝑥 adalah solusi persamaan differensial 𝑦^′ + 𝑦² =

0, 𝑥 > 0. Tetapi buktikan bahwa 𝑦 = 𝑐. 𝜙(𝑥) bukan merupakan solusi persamaan differensial diatas, dimana 𝑐 adalah konstanta sembarang.

(Catatan : persamaan 4.b. tidak linier, sedangkan persamaan 4.a. linier).

5. Jika 𝑦 = 𝜙₁(𝑥) adalah solusi persamaan differensial 𝑦^′ + 𝑝 𝑥 𝑦 = 0 dan 𝑦 = 𝜙2(𝑥) adalah solusi persamaan differensial 𝑦^′ + 𝑝 𝑥 𝑦 = g(𝑥), Buktikan bahwa :

𝑦 = 𝜙₁ 𝑥 + 𝑦 = 𝜙₂(𝑥) adalah solusi persamaan 𝑦^′ + 𝑝 𝑥 𝑦 = g(𝑥)

2.2 Masalah Nilai Awal

Pada bagian 2.1, telah dibahas bagaimana menentukan solusi persamaan differensial linier orde 1. Pada bagian ini, diberikan teorama penting masalah nilai awal persamaan differensial linier orde 1, yang selalu mempunyai satu buah solusi.

Untuk membuktikan teorema di atas, telah dibahas pada bagian sebelumnya bahwa : 𝑦 = 1

𝜇(𝑥) 𝜇 𝑡 . g 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑐

𝑥

……….……….. (2.4) dengan

𝜇 𝑥 = 𝑒

^{𝑝 𝑡 𝑑𝑡𝑥}

Anggap bahwa persamaan (2.1) mempunyai solusi. Karena 𝑝 kontinu pada interval 𝛼 < 𝑥 < 𝛽, maka 𝜇(𝑥) terdefinisi pada interval tersebut. Kalikan persamaan tersebut dengan 𝜇(𝑥), lalu differensialkan, diperoleh : _𝑑𝑥^𝑑 𝜇 𝑥 𝑦 = 𝜇 𝑥 . g(𝑥)

Teorema 2.1.

Jika fungsi 𝑝 dan g kontinu pada interval 𝛼 < 𝑥 < 𝛽 yang mengandung 𝑥 = 𝑥0, maka ada fungsi tunggal 𝑦 = 𝜙(𝑥) yang memenuhi persamaan differensial pada

interval tersebut, dan juga memenuhi syarat awal 𝑦 𝑥0 = 𝑦₀ dengan 𝑦0 adalah suatu nilai awal yang telah ditentukan.

Pendahuluan Persamaan Differensial 23 Fungsi 𝜇(𝑥). g(𝑥) mempunyai anti turunan, karena μ dan g kontinu. Anggapan awal bahwa ada sekurang-kurangnya satu solusi untuk persamaan (2.1), dapat dibuktikan dengan mensubstitusikan y pada persamaan (2.4) kedalam persamaan (2.1). akhirnya syarat awal yang diberikan dapat menentukan nilai tunggal konstanta 𝑐. karena persamaan (2.4) mengandung semua solusi persamaan (2.1), persamaan (2.4) dinamakan solusi umum untuk persamaan (2.1) tersebut.

Beberapa hal penting dari teorema 2.1 di atas menyatakan bahwa masalah nilai awal mempunyai solusi dan hanya mempunyai satu buah solusi. Dengan kata lain, teorema tersebut menegaskan keujudan (eksistensi) dan ketunggalan solusi dari masalah nilai awal persamaan (2.1) dan syarat awal yang diberikan.

Contoh 2.7

Perhatikan masalah nilai awal berikut : 𝑥𝑦′ + 2𝑦 = 4𝑥² , 𝑦 1 = 2

Tentukan solusi persamaan differensial tersebut dan memenuhi syarat awal yang diberikan.

Jawab :

Dengan membagi persamaan dengan 𝑥, diperoleh : 𝑦′ +²_𝑥𝑦 = 4𝑥 Kemudian kita mencari solusi dalam interval yang mengandung 𝑥 = 1.

Karena koefisien pada persamaan tersebut ( yaitu : ²_𝑥 ) kontinu, kecuali pada 𝑥 = 0, berdasarkan teorema 2.1, solusi dari masalah nilai awal diatas, sesuai pada interval 0 < 𝑥 < ∞. Untuk mendapatkan solusinya, kita tentukan :

𝜇 𝑥 = 𝑒

^{𝑥21𝑑𝑡}

= 𝑒

^{2𝐼𝑛 𝑥}

= 𝑥

²

Kalikan persamaan dengan 𝜇(𝑥) = 𝑥², diperoleh : 𝑒²𝑦^′ + 2𝑥𝑦 = 4𝑥³

_𝑑𝑥^𝑑 𝑥²𝑦 = 4𝑥³

24 Pendahuluan Persamaan Differensial Integralkan, diperoleh :

𝑥²𝑦 = 4𝑥³𝑑𝑥 + 𝑐 = 𝑥⁴+ 𝑐 𝑦 = 𝑥²+_𝑥^𝑐₄

Yang merupakan solusi umum masalah nilai awal tersebut.

Dengan mensubstitusikan syarat awal 𝑦(1) = 2, akan diperoleh 𝑐 = 1, jadi solusi masalah nilai awal tersebut adalah :

𝑦 = 𝑥²+ 1 𝑥⁴

Pada beberapa masalah, memberikan persamaan diferensial tak linier. Persamaan differensial tak linier ini dapat dipecahkan dengan cara substitusi, sehingga persamaan tersebut menjadi persamaan differensial linier. Salah satu jenis persamaan differensial seperti ini adalah persamaan Bernoulli.

Contoh 2.8

Perhatikan persamaan Bernoulli berikut : 𝑦^′ + 𝑝 𝑥 𝑦 = g(𝑥)𝑦^𝑛. Tentukan solusi umum persamaan Bernoulli tersebut, jika 𝑛 = 0 dan 𝑛 = 1.

Jawab :

(i) Jika 𝑛 = 0, persamaan menjadi 𝑦^′ + 𝑝 𝑥 𝑦 = g(𝑥)𝑦 Faktor integrasinya adalah : 𝜇 𝑥 = 𝑒 ^{𝑝 𝑥 𝑑𝑥}

Kalikan persamaan dengan 𝜇(𝑥), diperoleh : 𝜇 𝑥 𝑦^′ + 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝜇 𝑥 . g(𝑥) _𝑑𝑥^𝑑 𝜇 𝑥 . 𝑦 = 𝜇 𝑥 . g(𝑥) 𝜇 𝑥 . 𝑦 = 𝜇 𝑡 . g 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑐

𝑥

𝑦 = 1

𝜇(𝑥) 𝜇 𝑡 . g 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑐 𝜇(𝑥)

𝑥

(ii) Jika 𝑛 = 1, persamaan menjadi :

𝑦^′+ 𝑝 𝑥 𝑦 = g 𝑥 𝑦, atau 𝑦^′ + 𝑝 𝑥 − g 𝑥 𝑦 = 0

Pendahuluan Persamaan Differensial 25 Faktor integrasinya adalah : 𝜇 𝑥 = 𝑒 𝑝 𝑥 −𝑔(𝑥) 𝑑𝑥

Sehingga : 𝑦 =_{𝜇 (𝑥)}^𝑐

Jika 𝑛 ≠ 0 dan 𝑛 ≠ 1, persamaan Benoulli dapat dipecahkan dengan cara reduksi orde, yaitu mensubstitusikan 𝑣 = 𝑦^1−𝑛 pada persamaan, sehingga menjadi persamaan differensial linier. Metode seperti ini, ditemukan oleh Leibniz pada tahun 1969.

Contoh 2.9

Tentukan solusi persamaan differensial berikut : 𝑥²𝑦^′ + 2𝑥𝑦 − 𝑦³ = 0

Jawab :

Bagi persamaan differensial dengan 𝑥², diperoleh : 𝑦^′ +²_𝑥𝑦 −^𝑦_𝑥³₂ = 0 atau 𝑦^′ +²_𝑥𝑦 =_𝑥¹₂𝑦³

Bandingkan persamaan dengan bentuk umum persamaan Bernoulli, diperoleh : 𝑝 𝑥 =²_𝑥 , g 𝑥 =_𝑥¹₂ dan 𝑛 = 3

Oleh karena itu, substitusikan : 𝑣 = 𝑦^1−𝑛 = 𝑦⁻² Differensialkan, diperoleh : 𝑣^′ = −2𝑦⁻³. 𝑦′

Kalikan persamaan differensial dengan (1 − 𝑛)𝑦^−𝑛 dalam hal ini kalikan dengan −2𝑦⁻³ diperoleh :

−2𝑦⁻³ 𝑦^′ +2

𝑥𝑦 = −2𝑦⁻³ 1 𝑥²𝑦³ −2𝑦⁻³𝑦^′−4

𝑦𝑦⁻² = − 2 𝑥²

Substitusikan : 𝑣 = 𝑦⁻² dan 𝑣^′ = −2𝑦⁻³. 𝑦′ , diperoleh : 𝑣^′ −⁴_𝑥𝑣 = −_𝑥²₂ Sekarang, persamaannya merupakan persamaan differensial linier.

Faktor integrasinya :

𝜇 𝑥 = 𝑒 ^{−−4𝑥𝑑𝑥} 𝜇 𝑥 = 𝑒^{−4 𝑙𝑛 𝑥} 𝜇 𝑥 = 𝑥⁻⁴

26 Pendahuluan Persamaan Differensial Kalikan persamaan differensial 𝑣^′ −⁴_𝑥𝑣 = −_𝑥²₂ dengan 𝜇 𝑥 = 𝑥⁻⁴

𝑥⁻⁴ 𝑣^′ −4

𝑥𝑣 = − 2 𝑥²∙ 𝑥⁻⁴ 𝑑

𝑑𝑥 𝑥⁻⁴𝑣 = −2𝑥⁻⁶

𝑥⁻⁴𝑣 = −2𝑥⁻⁶𝑑𝑥 + 𝑐 𝑥⁻⁴𝑣 =2

5𝑥⁻⁵ + 𝑐 Subtitusikan kembali 𝑣 = 𝑦⁻², diperoleh :

𝑦⁻² = 2

5𝑥⁻¹ + 𝑐𝑥⁴ 1

𝑦² = 2

5𝑥⁻¹+ 𝑐𝑥⁴ 𝑦 = 2

5𝑥⁻¹ + 𝑐𝑥⁴

−1 2

LATIHAN 2.2

1. Untuk setiap persamaan differensial berikut, tentukanlah solusi umumnya ! a. 𝑦^′ +¹_𝑥𝑦 = sin 𝑥, 𝑥 > 0

b. 𝑥²𝑦^′ + 3𝑥𝑦 =¹_𝑥sin 𝑥, 𝑥 < 0

c. 𝑦^′ + (tan 𝑥)𝑦 = 𝑥 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 , −^𝜋₂ < 𝑥 <^𝜋₂ d. 𝑥𝑦^′ + 2𝑦 = 𝑒^𝑥, 𝑥 > 0

2. Tentukan solusi masalah nilai awal berikut. Tentukan integralnya, sehingga solusi tersebut tepat/benar.

a. 𝑥𝑦^′ + 2𝑦 = sin 𝑥 , 𝑦 ^𝜋₂ =_𝜋¹

b. 𝑦^′ + (cot 𝑥)𝑦 = 2 csc 𝑥 , 𝑦 ^𝜋₂ = 1

3. Dengan menggunakan metode reduksi orde, tentukan solusi persamaan differensial:

𝑦^′ = 𝜀. 𝑦 − 𝜎. 𝑦²; 𝜀 > 0, 𝜎 > 0

Pendahuluan Persamaan Differensial 27 2.3 Persamaan Differensial Peubah Terpisah

Beberapa persamaan differensial orde 1 dapat diubah kedalam bentuk : g 𝑦 𝑦^′ = 𝑓(𝑥) karena 𝑦^′ =^𝑑𝑦_𝑑𝑥 , persamaan diatas dapat ditulis : g 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 .

Persamaan demikian dinamakan persamaan dengan peubah terpisah, atau persamaan yang dapat dipisahkan, karena pada persamaan, peubah 𝑥 dan 𝑦 terpisah sehingga 𝑥 hanya muncul diruas kanan dan 𝑦 hanya muncul diruas kiri. Dengan mengintegrasikan kedua ruas, diperoleh : g 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐

Cara seperti ini dimana persamaan differensial diubah menjadi persamaan dengan peubah terpisah dinamakan metode pemisahan variabel.

Secara umum, jika suatu persamaan differensial berbentuk : 𝑀 𝑥 + 𝑁 𝑦 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 0

………..………(2.5) Dengan 𝑀(𝑥) adalah fungsi 𝑥 dan 𝑁(𝑦) adalah fungsi 𝑦, dinamakan persamaan terpisah dimana solusinya dapat ditentukan dengan metode pemisahan variabel.

Persamaan (2.5) dapat ditulis dalam bentuk : 𝑀 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑁 𝑦 𝑑𝑦 Misalkan 𝐻¹ dan 𝐻² adalah suatu fungsi sehingga :

𝐻₁^′ 𝑥 = 𝑀(𝑥) dan 𝐻₂^′ 𝑦 = 𝑁(𝑦) Substitusikan pada persamaan (2.5), diperoleh :

𝐻₁^′ 𝑥 + 𝐻₂^′ 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 0

………(2.6) Jika 𝑦 = 𝜙(𝑥) merupakan solusi persamaan differensial (2.5).

Maka menurut aturan rantai 𝐻₂^′ 𝑦 𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 𝑑

𝑑𝑥𝐻₂ 𝜙(𝑥) Persamaan (2.6) menjadi :

𝐻

₁^′

𝑥 +

_𝑑𝑥^𝑑

𝐻

₂

𝜙(𝑥) = 0 ,

atau ^𝑑

𝑑𝑥

𝐻

₁

𝑥 + 𝐻

₂

𝜙 𝑥 = 0

28 Pendahuluan Persamaan Differensial Integralkan, diperoleh :

𝐻₁ 𝑥 + 𝐻₂ 𝜙(𝑥) = 𝑐 atau 𝐻₁ 𝑥 + 𝐻₂ 𝑦 = 𝑐

……… (2.7) Dimana 𝑐 adalah konstanta. Jadi 𝑦 = 𝜙(𝑥) merupakan solusi persamaan differensial (2.5), yang dapat ditentukan dalam bentuk implisit [persamaan (2.7)], dengan 𝐻¹ dan 𝐻² adalah fungsi yang memenuhi persamaan 𝐻₁^′ 𝑥 = 𝑀(𝑥) dan 𝐻2′ 𝑦 = 𝑁(𝑦), dan merupakan anti turunan 𝑀 dan 𝑁.

Cara yang lebih sederhana, dapat diperoleh dengan mengintegralkan persamaan 𝑀 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑁 𝑦 𝑑𝑦 pada masing-masing ruas persamaan. Ruas kiri diintegralkan terhadap 𝑥, sedangakan ruas kanan diintegralkan terhadap 𝑦.

Jika persamaan (2.5) ditambahkan syarat awal 𝑥 = 𝑥₀ dan 𝑦 = 𝑦₀, maka persamaan (2.7) menjadi 𝑐 = 𝐻₁ 𝑥₀ + 𝐻₂(𝑦₀).

Kemudian substitusikan nilai ini pada persamaan (2.7), diperoleh : 𝐻₁ 𝑥 − 𝐻₁ 𝑥₀ = 𝑀 𝑡 𝑑𝑡 ,

𝑥

𝑥₀

𝐻₂ 𝑦 − 𝐻₂ 𝑦₀ = 𝑁 𝑡 𝑑𝑡

𝑦

𝑦₀

,

Solusi persamaan (2.5) menjadi :

M t dt+ N t dt=0 , yang merupakan solusi implisit.

y

y₀ x

x₀

Contoh 2.10

Tentukan solusi umum persamaan differensial berikut : 9𝑦𝑦^′ + 4𝑥 = 0

Pendahuluan Persamaan Differensial 29 Jawab :

Dengan pemisahan variabel, persamaan differensial tersebut dapat ditulis : 9𝑦𝑑𝑦 = −4𝑥𝑑𝑥

Untuk mendapatkan solusinya, integralkan kedua ruas, diperoleh :

9

2

𝑦

²

= −2𝑥

²

+ 𝑐

atau ^𝑥

2

9

+

^𝑦₄²

= 𝑐

Solusi diatas menggambarkan suatu keluarga ellips.

Contoh 2.11

Tentukan solusi masalah nilai awal berikut!

𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 3𝑥²+ 4𝑥 + 2

2(𝑦 − 1) , 𝑦 0 = −1

Jawab :

Persamaan differensial tersebut dapat ditulis dalam bentuk : 2 𝑦 − 1 𝑑𝑦 = 3𝑥²+ 4𝑥 + 2 𝑑𝑥

Integralkan ruas kiri persamaan terhadap 𝑦 dan ruas kanan terhadap 𝑥, diperoleh : 𝑦²− 2𝑦 = 𝑥³+ 2𝑥²+ 2𝑥 + 3

Substitusikan 𝑥 = 0 dan 𝑦 = −1, untuk memperoleh solusi yang sesuai dengan syarat awal yang diberikan, diperoleh 𝑐 = 3. Jadi, solusi implisit dari masalah nilai awal di atas adalah :

𝑦²− 2𝑦 = 𝑥³+ 2𝑥²+ 2𝑥 + 3

Untuk mendapatkan solusi eksplisitnya, kita tentukan 𝑦 dalam 𝑥.

𝑦 − 1 ² = 𝑥³+ 2𝑥²+ 4

𝑦 = 1 ± 𝑥³+ 2𝑥²+ 2𝑥 + 4

Persamaan di atas memberikan 2 buah solusi, tetapi hanya satu solusi yang sesuai dengan syarat awal. Jadi solusi yang tepat adalah :

𝑦 = 1 − 𝑥³+ 2𝑥² + 2𝑥 + 4

30 Pendahuluan Persamaan Differensial Contoh 2.12

Tentukan solusi masalah nilai awal berikut!

𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 𝑦 cos 𝑥

1 + 2𝑦² , 𝑦 0 = 1

Jawab :

Persamaan differensial tersebut dapat ditulis dalam bentuk : 1 + 2𝑦²

𝑦 𝑑𝑦 = cos 𝑥 𝑑𝑥 Integralkan, diperoleh : ln 𝑦 + 𝑦²= sin 𝑥 + 𝑐

Substitusikan 𝑥 = 0 dan 𝑦 = 1, diperoleh 𝑐 = 1. Jadi, solusi dari masalah nilai awal diatas adalah : ln 𝑦 + 𝑦² = sin 𝑥 + 1

LATIHAN 2.3

1. Tentukan solusi umum (yaitu, suatu penyelesaian yang mengandung konstanta) untuk setiap persamaan differensial berikut, dengan pemisahan variabel. Kemudian tentukan suatu solusi khususnya dengan syarat batas yang diberikan !

a. 𝑥𝑦^′ = 𝑦 ; 𝑦 = 3 pada 𝑥 = 2

b. 𝑥 1 − 𝑦²𝑑𝑥 + 𝑦 1 − 𝑥²𝑑𝑦 = 0 ; 𝑦 =¹₂ pada 𝑥 =¹₂ c. 𝑦^′sin 𝑥 = 𝑦 ln 𝑦 ; 𝑦 = 𝑒 pada 𝑥 =^𝜋₃

d. 1 − 𝑦² 𝑑𝑥 + 𝑥𝑦𝑑𝑦 = 0 ; 𝑦 = 0 pada 𝑥 = 5 e. 𝑥𝑦^′ − 𝑥𝑦 = 𝑦 ; 𝑦 = 1 pada 𝑥 = 1

f. 𝑦^′ =^2𝑥𝑦_{𝑥2𝑦−𝑦}^2+𝑥 ; 𝑦 = 0 pada 𝑥 = 2

g. 𝑦𝑑𝑦 + 𝑥𝑦²− 8𝑥 𝑑𝑥 = 0 ; 𝑦 = 3 pada 𝑥 = 1 h. 𝑦^′ + 2𝑥𝑦² = 0 ; 𝑦 = 1 pada x=2

i. 1 + 𝑦 𝑦^′ = 𝑦 ; 𝑦 = 1 pada 𝑥 = 1 j. 𝑦^′ − 𝑥𝑦 = 𝑥 ; 𝑦 = 1 pada 𝑥 = 0