Reduksi Menjadi Bentuk Persamaan Terpisah

Persamaan differensial orde 1 tertentu, yang bukan persamaan terpisah, dapat diubah menjadi persamaan terpisah dengan suatu pengubahan variabel yang sederhana. Hal ini terjadi pada persamaan berikut :

a. Bentuk 𝒚’ = 𝒇 ^𝒚_𝒙

Dengan 𝑓 adalah suatu fungsi dari ^𝑦_𝑥 yang diberikan. Bentuk persaman ini mengaharuskan suatu substitusi : 𝑣 =^𝑦_𝑥, atau 𝑦 = 𝑣𝑥

Integralkan, diperoleh : 𝑦^′ = 𝑣 + 𝑣′𝑥

Dengan substitusi persamaan ke dalam persamaan semula, diperoleh : 𝑣^′𝑥 + 𝑣 = 𝑓(𝑣)

32 Pendahuluan Persamaan Differensial Sekarang persamaannya merupakan persamaan terpisah, yang solusinya dapat ditentukan dengan metode pemisahan variabel.

𝑑𝑣

𝑑𝑥𝑥 = 𝑓 𝑣 − 𝑣 ⇒ 𝑑𝑣

𝑓 𝑣 − 𝑣 =𝑑𝑥 𝑥

Integralkan, kemudian hasilnya substitusikan kembali 𝑣 =^𝑦_𝑥

Contoh 2.13

Tentukan solusi persamaan differensial berikut ! 2𝑥𝑦𝑦^′ − 𝑦²+ 𝑥² = 0

Jawab :

Bagi terlebih dahulu persamaan dengan 𝑥², diperoleh : 2 𝑦

𝑥 𝑦^′ − 𝑦 𝑥

2+ 1 = 0

Misalkan : 𝑣 =^𝑦_𝑥 , maka : 𝑦^′ = 𝑣 + 𝑣′𝑥 Substitusikan pada persamaan, diperoleh :

2𝑣 𝑣 + 𝑣^′𝑥 − 𝑣²+ 1 = 0 2𝑥𝑣𝑣^′ + 𝑣²+ 1 = 0

2𝑥𝑣𝑑𝑣

𝑑𝑥= −(1 + 𝑣²) Dengan pemisahan variabel, diperoleh : ^2𝑣

1+𝑣²

𝑑𝑣 = −

¹

𝑥

𝑑𝑥

Integralkan, diperoleh :

ln(1 + 𝑣²) = − ln 𝑥 + c

= − ln 𝑥 + ln a

Pemakaian konstanta ln 𝑎, untuk penyederhanaan, sehingga menjadi : 1 + 𝑣² = 𝑐𝑥⁻¹

Pendahuluan Persamaan Differensial 33 b. Persamaan Homogen

Tinjau persamaan differensial berikut : 𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 𝑥 + 3𝑦 2𝑥

………..………. (2.8) Persamaan tersebut diatas tidak dapat dipecahkan dengan pemisahan variabel. Dalam hal ini, lakukan substitusi 𝑦 = 𝑣𝑥, dengan 𝑣 adalah fungsi 𝑥 .

Differensialkan 𝑦 = 𝑣𝑥 terhadap 𝑥 , diperoleh : 𝑑𝑦 Dengan pemisahan variabel, diperoleh :

2

“kunci untuk memecahkan persamaan homogen adalah dengan mensubtitusi 𝑦 = 𝑣𝑥 , dengan 𝑣 adalah fungsi 𝑥. subtitusi ini akan mengubah persamaan

menjadi bentuk yang dapat dipecahkan dengan pemisahan variabel.”

34 Pendahuluan Persamaan Differensial Persamaan (2.8) adalah persamaan homogen, karena pangkat 𝑥 dan 𝑦 yang terlibat dalam masing-masing suku, berderajat sama.

c. Persamaan Bernoulli

Perhatikan persamaan Bernoulli berikut : 𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑃𝑦 = 𝑄𝑦^𝑛

Untuk menentukan solusi dari persamaan Bernoulli, perhatikan langkah-langkah berikut:

a. Bagi kedua ruasnya dengan 𝑦^𝑛, diperoleh

𝑦

^{−𝑛 𝑑𝑦}_𝑑𝑥

+ 𝑃𝑦

^1−𝑛

= 𝑄

b. Misalkan 𝑧 = 𝑦^1−𝑛 𝑑𝑧

𝑑𝑥 = (1 − 𝑛)𝑦^−𝑛𝑑𝑦 𝑑𝑥

Kalikan persamaan (𝑎) dengan (1 − 𝑛), diperoleh : 1 − 𝑛 𝑦^−𝑛𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 1 − 𝑛 𝑃𝑦^1−𝑛 = 1 − 𝑛 𝑄 Substitusikan dengan persamaan (𝑏), diperoleh : 𝑑𝑧

𝑑𝑥+ 𝑃₁𝑧 = 𝑄₁

Dengan 𝑃₁ = 1 − 𝑛 𝑃 dan 𝑄₁ = 1 − 𝑛 𝑄, yang merupakan fungsi 𝑥.

c. Integrasikan persamaan baru tersebut, kemudian substitusikan kembali 𝑧 = 𝑦^1−𝑛

Contoh 2.14

Selesaikan persamaan differensial berikut ! 𝑑𝑦

𝑑𝑥+1

𝑥𝑦 = 𝑥𝑦²

Jawab :

Bagi terlebih dahulu persamaan dengan 𝑦², diperoleh : 𝑦⁻²𝑑𝑦

𝑑𝑥+1

𝑥𝑦⁻² = 𝑥

Misalkan 𝑧 = 𝑦^1−𝑛, dalam hal ini 𝑛 = 2 ⇒ 𝑧 = 𝑦⁻¹

Pendahuluan Persamaan Differensial 35 Differensialkan : ^𝑑𝑧_𝑑𝑥 = −𝑦^{2 𝑑𝑦}_𝑑𝑥 , dan substitusikan ke persamaan yang telah dibagi dengan 𝑦², diperoleh :

𝑦⁻²𝑑𝑦 𝑑𝑥+1

𝑥𝑦⁻¹ = 𝑥 ⇒ −𝑦²𝑑𝑦 𝑑𝑥−1

𝑥𝑦⁻¹= −𝑥 𝑑𝑧

𝑑𝑥−1

𝑥𝑧 = −𝑥

Selesaikan dengan faktor integrasi, diperoleh : 𝑧 = 𝑐𝑥 − 𝑥² Substitusikan kembali 𝑧 = 𝑦⁻¹ :

𝑦⁻¹ = 𝑐𝑥 − 𝑥² 𝑦 = 𝑐𝑥 − 𝑥^{2 −1}

LATIHAN 2.4

1. Tentukan solusi persamaan differensial berikut!

a. 𝑥^𝑑𝑦_𝑑𝑥 = 𝑥²+ 2𝑥 − 3 b. 1 − 𝑥 ^{2 𝑑𝑦}_𝑑𝑥 = 1 + 𝑦² c. ^𝑑𝑦_𝑑𝑥 + 2𝑦 = 𝑒^3𝑥

d. 𝑥^𝑑𝑦_𝑑𝑥 − 𝑦 = 𝑥²

e. 𝑥^{2 𝑑𝑦}_𝑑𝑥 = 𝑥³sin 3𝑥 + 4 f. 𝑥 cos 𝑦^𝑑𝑦_𝑑𝑥 − sin 𝑦 = 0 g. 𝑥³ + 𝑥𝑦^{2 𝑑𝑦}_𝑑𝑥 = 2𝑦³ h. 𝑥² − 1 ^𝑑𝑦_𝑑𝑥 + 2𝑥𝑦 = 𝑥 i. ^𝑑𝑦_𝑑𝑥 + 𝑦 tanh 𝑥 = 2 sinh 𝑥 j. 𝑥^𝑑𝑦_𝑑𝑥 − 2𝑦 = 𝑥³cos 𝑥

k.

^𝑑𝑦_𝑑𝑥

+

^𝑦_𝑥

= 𝑦

³

l. 𝑥

^𝑑𝑦_𝑑𝑥

+ 3𝑦 = 𝑥

²

𝑦

²

36 Pendahuluan Persamaan Differensial 2. Tentukan solusi persamaan homogen berikut!

a. ^𝑑𝑦_𝑑𝑥 = ^𝑥2_𝑥𝑦^+𝑦2 (masing – masing suku berderajat sama) b. ^𝑑𝑦_𝑑𝑥 = ^{2𝑥𝑦+3𝑦}_{𝑥2+2𝑥𝑦}² (masing – masing suku berderajat sama) c. 𝑥² + 𝑦^{2 𝑑𝑦}_𝑑𝑥 = 𝑥𝑦

d. 𝑥 − 𝑦 ^𝑑𝑦_𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝑦 e. 2𝑥^{2 𝑑𝑦}_𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝑦

f. 𝑥² + 𝑥𝑦 ^𝑑𝑦_𝑑𝑥 = 𝑥𝑦 − 𝑦²

g. 2𝑦 − 𝑥 ^𝑑𝑦_𝑑𝑥 = 2𝑥 + 𝑦 ; 𝑦 = 3 pada 𝑥 = 2 h. 𝑥𝑦 + 𝑦² + 𝑥² − 𝑥𝑦 ^𝑑𝑦_𝑑𝑥 = 0

i. 𝑥³ − 𝑦³ = 3𝑥𝑦^{2 𝑑𝑦}_𝑑𝑥

j. 𝑦 − 3𝑥 + 4𝑦 + 3𝑥 ^𝑑𝑦_𝑑𝑥 = 0 k. 𝑥³ + 3𝑥𝑦^{2 𝑑𝑦}_𝑑𝑥 = 𝑦³+ 3𝑥²𝑦

3. Tentukan solusi persamaan linier berikut dengan menggunakan metode faktor integrasi!

a. ^𝑑𝑦_𝑑𝑥 + 5𝑦 = 𝑒^2𝑥 b. ^𝑑𝑦_𝑑𝑥 − 𝑦 = 𝑥 c. 𝑥^𝑑𝑦_𝑑𝑥 + 𝑦 = 𝑥³

d. ^𝑑𝑦_𝑑𝑥 + 𝑦 cot 𝑥 = cos 𝑥 e. 𝑥 + 1 ^𝑑𝑦_𝑑𝑥 + 𝑦 = (𝑥 + 1)² f. 𝑥^𝑑𝑦_𝑑𝑥 − 5𝑦 = 𝑥⁷

g. 1 − 𝑥^{2 𝑑𝑦}_𝑑𝑥 − 𝑥𝑦 = 1

h. 𝑥 − 2 ^𝑑𝑦_𝑑𝑥 − 𝑦 = 𝑥 − 2 ³ ; 𝑦 = 10 bila 𝑥 = 4 i. ^𝑑𝑦_𝑑𝑥 + 3𝑦 = 𝑒^4𝑥

j. 𝑥^𝑑𝑦_𝑑𝑥 + 𝑦 = 𝑥 sin 𝑥 k. tan 𝑥^𝑑𝑦_𝑑𝑥 + 𝑦 = sec 𝑥

Pendahuluan Persamaan Differensial 37 l. 𝑥^𝑑𝑦_𝑑𝑥 − 𝑦 = 𝑥³+ 3𝑥²− 2𝑥

m. ^𝑑𝑦_𝑑𝑥 + 𝑦 tan 𝑥 = sin 𝑥

n. 𝑥^𝑑𝑦_𝑑𝑥 − 𝑦 = 𝑥³cos 𝑥 ; 𝑦 = 0 pada 𝑥 = 𝜋 o. 1 + 𝑥^{2 𝑑𝑦}_𝑑𝑥 + 3𝑥𝑦 = 5𝑥 ; 𝑦 = 2 pada 𝑥 = 1 p. ^𝑑𝑦_𝑑𝑥 + 𝑦 cot 𝑥 = 5𝑒^{𝑐𝑜𝑠𝑥} ; 𝑦 = −4 pada 𝑥 =^𝜋₂

4. Tentukan solusi persamaan differensial berikut dengan pemisahan variabel ! a. 𝑥 𝑦 − 3 ^𝑑𝑦_𝑑𝑥 = 4𝑦

b. 1 + 𝑥^{3 𝑑𝑦}_𝑑𝑥 = 𝑥²𝑦 ; 𝑦 = 2 pada 𝑥 = 1 c. 𝑥³+ 𝑦 + 1 ^{2 𝑑𝑦}_𝑑𝑥 = 0

d. cos 𝑦 + 1 + 𝑒^−𝑥 sin 𝑦^𝑑𝑦_𝑑𝑥 = 0 ; 𝑦 =^𝜋₂ pada 𝑥 = 0 e. 𝑥² 𝑦 + 1 + 𝑦² 𝑥 − 1 ^𝑑𝑦_𝑑𝑥 = 0

5. Gunakan substitusi yang diberikan dan kerjakan seperti memecahkan persamaan homogen.

a. 3𝑥 + 3𝑦 − 4 ^𝑑𝑦_𝑑𝑥 = − 𝑥 + 𝑦 ; 𝑥 + 𝑦 = 𝑣 b. 𝑦 − 𝑥𝑦² = 𝑥 + 𝑥²𝑦 ^𝑑𝑦_𝑑𝑥 ; 𝑦 =^𝑣_𝑥

c. 𝑥 − 𝑦 − 1 + 4𝑦 + 𝑥 − 1 ^𝑑𝑦_𝑑𝑥 = 0 ; 𝑣 = 𝑥 − 1 d. 3𝑦 − 7𝑥 + 7 + 7𝑦 − 3𝑥 + 3 ^𝑑𝑦_𝑑𝑥 = 0 ; 𝑣 = 𝑥 − 1 e. 𝑦 𝑥𝑦 + 1 + 𝑥 1 + 𝑥𝑦 + 𝑥²𝑦^{2 𝑑𝑦}_𝑑𝑥 = 0 ; 𝑦 =^𝑣_𝑥 6. Tentukan solusi persamaan Bernoulli berikut !

a. ^𝑑𝑦_𝑑𝑥 + 𝑦 = 𝑥𝑦³ b. ^𝑑𝑦_𝑑𝑥 + 𝑦 = 𝑦⁴𝑒^𝑥

c. 2^𝑑𝑦_𝑑𝑥 + 𝑦 = 𝑦³(𝑥 − 1) d. ^𝑑𝑦_𝑑𝑥 − 2𝑦 tan 𝑥 = 𝑦²tan²𝑥 e. ^𝑑𝑦_𝑑𝑥 + 𝑦 tan 𝑥 = 𝑦³sec⁴𝑥

38 Pendahuluan Persamaan Differensial 2.5 Persamaan Differensial Eksak

Suatu persamaan differensial orde 1 berbentuk : 𝑀 𝑥, 𝑦 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑦^′ = 0 Substitusikan persamaan (2.10) ke dalam persamaan (2.9), diperoleh :

𝑑

𝑑𝑥𝛹 𝑥, 𝛷 𝑥 = 0

……… (2.11) Persamaan (2.9) dinamakan persamaan differensial eksak. Solusinya diperoleh dengan mengintegralkan persamaan (11), yaitu :

𝛹 𝑥, 𝛷 𝑥 = 𝑐 Dengan 𝑐 konstanta .

Dalam hal yang lebih umum, persamaan (2.9) ditulis : 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0

Dari persamaan (2.10), diperoleh pengertian bahwa suatu persamaan differensial dikatakan eksak, apabila terdapat suatu fungsi 𝛹 (𝑥, 𝑦), sehingga :

𝛹_𝑥 =𝑑𝛹

𝑑𝑥 = 𝑀 𝑥, 𝑦 , 𝛹_𝑦 =𝑑𝛹

𝑑𝑦 = 𝑁(𝑥, 𝑦)

Andaikan 𝑀 dan 𝑁 terdefinisi dan mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu dalam suatu daerah 𝑥𝑦, maka diperoleh :

𝜕𝑀

Pendahuluan Persamaan Differensial 39 Jadi,

Jika persamaan differensial eksak, maka fungsi 𝛹(𝑥, 𝑦) dapat ditentukan dengan cara sistematis berikut :

Dari persamaan : ^𝑑𝛹_𝑑𝑥 𝑥, 𝑦 = 𝑀 𝑥, 𝑦 , ^𝑑𝛹_𝑑𝑦 (𝑥, 𝑦) = 𝑁(𝑥, 𝑦)

Integralkan terhadap 𝑥, dengan menganggap 𝑦 konstanta, diperoleh : 𝛹 𝑥, 𝑦 = 𝑀 𝑡, 𝑦 𝑑𝑡 + 𝑕(𝑦)

𝑥

Fungsi 𝑕(𝑦) berperan sebagai konstanta integrasi. Untuk menentukan 𝑕(𝑦), differensialkan persamaan diatas terhadap 𝑦, diperoleh :

𝑑𝛹

Integralkan 𝑕^′(𝑦) untuk memperoleh 𝑕(𝑦); dimana

𝑕 𝑦 = 𝑁 𝑥, 𝑦 − 𝑑

𝑑𝑠 𝑀 𝑡, 𝑠 𝑑𝑠

𝑥

𝑑𝑠

𝑦

Jadi solusi persamaan differensial eksak adalah :

𝛹 𝑥, 𝑦 = 𝑀 𝑡, 𝑦 𝑑𝑡 + 𝑁 𝑥, 𝑠 − 𝑑

Adalah persamaan differensial eksak pada bidang 𝑥𝑦, jika hanya jika:

40 Pendahuluan Persamaan Differensial Contoh 2.15

Tentukan solusi persamaan differensial berikut 2𝑥𝑦³+ 3𝑥²𝑦^{2 𝑑𝑦}_𝑑𝑥 = 0

jawab

dengan metode inspeksi (metode ini hanya digunakan untuk persamaan-persamaan sederhana, dan dapat diperoleh dengan cepat), persamaan pasa ruas kiri merupakan turunan dari persamaan 𝑥²𝑦³. jadi persamaan tersebut dapat ditulis :

2𝑥𝑦³+ 3𝑥²𝑦²𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑

𝑑𝑥 𝑥²𝑦³ = 0

Solusi implisitnya ditentukan dengan pengintegralan langsung, dan diperoleh 𝑥²𝑦² = 𝑐 atau solusi eksplisitnya adalah : 𝑦 = 𝑐𝑥⁻

2 3

Contoh 2.16

Selesaikanlah persamaan differensial berikut :

(𝑦 cos 𝑥 + 2𝑥𝑒^𝑦) + (sin 𝑥 + 𝑥²𝑒^𝑦 + 2)𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 0

Jawab

Dari persamaan differensial diatas, diperoleh : 𝑀 𝑥, 𝑦 = 𝑦 cos 𝑥 + 2𝑥𝑒^𝑦

𝜕𝑀

𝜕𝑦 = 𝑀, cos 𝑥 + 2𝑥𝑒^𝑦 dan 𝑁 𝑥, 𝑦 = sin 𝑥 + 𝑥²𝑦²+ 𝑒^𝑦

𝜕𝑁

𝜕𝑥 = 𝑁_𝑥 = cos 𝑥 + 2𝑥𝑒^𝑦

Ternyata ^𝜕𝑀_𝜕𝑦 = ^𝜕𝑁_𝜕𝑥 , dengan demikian persamaan differensial tersebut merupakan persamaan differensial eksak.

Pendahuluan Persamaan Differensial 41 Jadi 𝛹(𝑥, 𝑦) , sehingga:

𝛹_𝑥 𝑥, 𝑦 = 𝑦 cos 𝑥 + 2𝑥𝑒^𝑦 dan

𝛹_𝑦 𝑥, 𝑦 = sin 𝑥 + 𝑥²𝑒^𝑦 + 2

Integralkan persamaan pertama di atas terhadap 𝑥, diperoleh : 𝛹 𝑥, 𝑦 = 𝑦 sin 𝑥 + 𝑥²𝑒^𝑦 + 𝑕(𝑦)

Differensialkan terhadap 𝑦, dan pilih 𝛹𝑦 = 𝑁, diperoleh :

𝛹_𝑦 𝑥, 𝑦 = sin 𝑥 + 𝑥²𝑒^𝑦 + 𝑕^′ 𝑦 = sin 𝑥 + 𝑥²𝑒^𝑦 + 2 Sehingga : 𝑕’(𝑦) = 2 , atau 𝑕(𝑦) = 2𝑦

Konstanta integrasi dapat diabaikan, karena setiap solusi persamaan differensial sebelumnya telah mencukupi.

Substitusikan persamaan 𝑕(𝑦) = 2𝑦 pada 𝛹(𝑥, 𝑦), diperoleh : 𝛹 𝑥, 𝑦 = 𝑦 sin 𝑥 + 𝑥²𝑒^𝑦 + 2𝑦

Dengan demikian, solusi persamaan differensial secara implisit adalah 𝑦 sin 𝑥 + 𝑥²𝑒^𝑦 + 2𝑦 = 𝑐

Contoh 2.17

Selesaikanlah persamaan differensial berikut : (3𝑥² + 2𝑥𝑦) + (𝑥 + 𝑦²)𝑦’ = 0

Jawab:

Dari persamaan differensial di atas, diperoleh : 𝑀 𝑥, 𝑦 = 3𝑥²+ 2𝑥𝑦

𝑀𝑦 =𝜕𝑀

𝜕𝑦 = 2𝑥 𝑁 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 𝑦²

𝑁_𝑥 = 𝜕𝑁

𝜕𝑥 = 1

Karena ^𝜕𝑀_𝜕𝑦 ≠ ^𝜕𝑁_𝜕𝑥 , maka persamaan differensial tersebut tidak eksak.

42 Pendahuluan Persamaan Differensial Untuk membuktikan persamaan differensial tidak dapat diselesaikan dengan cara diatas, pilih fungsi 𝛹(𝑥, 𝑦), sehingga :

𝛹_𝑥(𝑥, 𝑦) = 3𝑥² + 2𝑥𝑦, dan 𝛹𝑦(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦² Integralkan persamaan pertama terhadap 𝑥, diperoleh :

𝛹(𝑥, 𝑦) = 𝑥³ + 𝑥²𝑦 + 𝑕(𝑦) Dengan 𝑕 adalah fungsi terhadap 𝑦 saja.

Differensialkan 𝛹(𝑥, 𝑦) terhadap 𝑦, kemudian substitusikan 𝛹𝑦 = 𝑁, diperoleh:

𝛹𝑦(𝑥, 𝑦) = 𝑥² + 𝑕’(𝑦) = 𝑥 + 𝑦²

Sehingga : 𝑕′(𝑦) = 𝑥 + 𝑦² − 𝑥², yang merupakan persamaan yang bergantung terhadap 𝑥 dan 𝑦. dengan demikian tidak ada 𝛹(𝑥, 𝑦) yang memenuhi persamaan differensial :

(3𝑥² + 2𝑥𝑦) + 2𝑥𝑦 + (𝑥 + 𝑦²)𝑦’ = 0

Contoh 2.18

Tentukan apakah persamaan differensial ^𝑑𝑦_𝑑𝑥 = −^{a𝑥+𝑏𝑦}_{𝑏𝑥 +𝑐𝑦} eksak atau tidak. Jika persamaan eksak, tentukan solusinya !

Jawab :

Persamaan differensial di atas dapat ditulis menjadi :

a𝑥 + 𝑏𝑦 𝑑𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑦 𝑑𝑦 = 0 , atau a𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑦 ^𝑑𝑦_𝑑𝑥 = 0 Sehingga : 𝑀 𝑥, 𝑦 = a𝑥 + 𝑏𝑦

𝑀𝑦 =𝜕𝑀

𝜕𝑦 = 𝑏 𝑁 𝑥, 𝑦 = 𝑏𝑥 + 𝑐𝑦

𝑁_𝑥 =𝜕𝑁

𝜕𝑥 = 𝑏

Karena 𝑀𝑦 = 𝑁𝑥 , maka persamaan differensial tersebut merupakan persamaan differensial eksak.

Pendahuluan Persamaan Differensial 43 Untuk menentukan solusinya, pilih :

𝛹_𝑥 = a𝑥 + 𝑏𝑦 , dan 𝛹𝑦 = 𝑏𝑥 + 𝑐𝑦

Integralkan persamaan pertama diatas terhadap 𝑥, diperoleh : 𝛹 =1

2𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥𝑦 + 𝑕(𝑦)

Differensialkan terhadap 𝑦, kemudian substitusikan 𝛹𝑦 = 𝑁, diperoleh : 𝛹_𝑦 = 𝑏𝑥 + 𝑕^′ 𝑦 = 𝑏𝑥 + 𝑐𝑦 sehingga: 𝑕^′ 𝑦 = 𝑐𝑦 Integralkan terhadap 𝑦, diperoleh : 𝑕 𝑦 =¹₂𝑐𝑦²

Substitusikan persamaan 𝑕 𝑦 =¹₂𝑐𝑦² Pada 𝑦, diperoleh : 𝛹 =1

2𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥𝑦 +1 2𝑐𝑦²

Jadi, solusi umum persamaan differensial tersebut adalah :

1

2𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥𝑦 +¹₂𝑐𝑦² = 𝑐 atau 𝑎𝑥² + 2𝑏𝑥𝑦 + 𝑐𝑦² = 𝑘 Dengan 𝑘 adalah konstanta baru.

Contoh 2.19

Tentukan nilai 𝑏 agar persamaan differensial :

𝑥𝑦²+ 𝑏𝑥²𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥 + 𝑦 𝑥²𝑑𝑦 = 0 , merupakan persamaan eksak, kemudian tentukan solusinya!

Jawab:

Persamaan differensial diatas dapat ditulis menjadi : 𝑥𝑦²+ 𝑏𝑥²𝑦 + 𝑥 + 𝑦 𝑥²𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 0 Dan diperoleh : 𝑀_𝑦 = 2𝑥𝑦²+ 𝑏𝑥² dan 𝑁_𝑥 = 3𝑥²+ 2𝑥𝑦

Agar persamaan differensial tersebut eksak, maka 𝑀𝑦 = 𝑁_𝑥 , atau 2𝑥𝑦 + 𝑏𝑥² = 3𝑥²+ 2𝑥𝑦

Dan diperoleh 𝑏 = 3, sehingga persamaan differensialnya menjadi : 𝑥𝑦²+ 3𝑥²𝑦 + 𝑥³𝑥²𝑦 𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 0

44 Pendahuluan Persamaan Differensial Untuk menentukan solusinya, pilih :

𝛹_𝑥 = 𝑥𝑦²+ 3𝑥²𝑦 , dan 𝛹𝑦 = 𝑥³ + 𝑥²𝑦 Integralkan persamaan pertama diatas terhadap 𝑥, diperoleh :

𝛹 =1

2𝑥²𝑦²+ 𝑥³𝑦 + 𝑕(𝑦)

Differensialkan terhadap 𝑦, kemudian substitusikan 𝛹𝑦 = 𝑁, diperoleh : 𝛹_𝑦 = 𝑥²𝑦 + 𝑥³+ 𝑕^′ 𝑦 = 𝑥³ + 𝑥²𝑦

Sehingga : 𝑕’(𝑦) = 0

Integralkan terhadap 𝑦, diperoleh : 𝑕(𝑦) = 𝑐 Substitusikan persamaan 𝑕(𝑦) pada 𝛹,diperoleh :

𝛹 =1

2𝑥²𝑦²+ 𝑥³𝑦 + 𝑐

Jadi, solusi umum persamaan differensial tersebut adalah :

1

2𝑥²𝑦²+ 𝑥³𝑦 = 𝑐 atau 𝑥²𝑦²+ 2𝑥³𝑦 = 𝑘

LATIHAN 2.5

1. Tentukan apakah setiap persamaan differensial berikut eksak atau tidak. Jika persamaan eksak, tentukan solusinya !

a. 2𝑥 + 3 + 2𝑦 − 2 𝑦^′ = 0 b. 2𝑥 + 4𝑦 + 2𝑦 − 2 𝑦^′ = 0 c. 9𝑥²+ 𝑦 − 1) − 4𝑦 − 𝑥 𝑦^′ = 0 d. 2𝑥𝑦²+ 2𝑦 + 2𝑥²+ 2𝑥 𝑦^′ = 0 e. ^𝑑𝑦_𝑑𝑥 = ^{a𝑥−𝑏𝑦}_{𝑏𝑥−𝑐𝑦}

f. 𝑒^𝑥sin 𝑦 − 2𝑦 sin 𝑥)𝑑𝑥 + (𝑒^𝑥cos 𝑦 + 2 cos 𝑥)𝑑𝑦 = 0 g. 𝑒^𝑥sin 𝑦 + 3𝑦)𝑑𝑥 − (3𝑥 − 𝑒^𝑥sin 𝑦)𝑑𝑦 = 0

h. 𝑦𝑒^𝑥𝑦 cos 2𝑥 − 2𝑒^𝑥𝑦 sin 2𝑥 + 2𝑥)𝑑𝑥 + (𝑥𝑒^𝑥𝑦cos 2𝑥 − 3)𝑑𝑦 = 0 i. ^𝑦_𝑥+ 𝑏𝑥 𝑑𝑥 + (ln 𝑥 − 2)𝑑𝑦 = 0

j. (𝑥 ln 𝑦 + 𝑥𝑦)𝑑𝑥 + (𝑦 ln 𝑥 + 𝑥𝑦)𝑑𝑦 = 0 , 𝑥 > 0 dan 𝑦 > 0 k. ^𝑥𝑑𝑥

𝑥²+𝑦^{2 32}+ ^𝑦𝑑𝑦

𝑥²+𝑦^{2 32}= 0

Pendahuluan Persamaan Differensial 45 2. Tentukan nilai 𝑏 pada persamaan differensial : 𝑦𝑒^2𝑥𝑦 + 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑏𝑥𝑒^2𝑥𝑦𝑑𝑦 = 0, agar menjadi persamaan eksak. Kemudian dengan menggunakan nilai 𝑏 tersebut, tentukan solusinya!