PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA MENG GUNAKAN

PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA

MENGGUNAKAN METODE DERET TAYLOR

Makalah Fisika Komputasi

LOFRINA NATHANIA (32151157--)

NURFITRIANA H.A. (3215116239)

Dosen Pembimbing : Handjoko Permana , S.pd,

M.Si

Pendidikan Fisika Non Regular 2011

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan

2013

Kata Pengantar

Puji syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan YME yang telah memberikan rahmat serta karunia-Nya kepada kami sehingga kami berhasil menyelesaikan makalah ini yang berjudul “Solusi Persamaan Deret Taylor”. Makalah ini berisikan tentang informasi seputar Persamaan Deferensial Biasa (PDB) dan lebih dikhususkan lagi makalah ini membahas solusi Persamaan Deret Taylor. Diharapkan makalah ini dapat memberikan informasi kepada kita semua tentang Solusi Persamaan Deret Taylor. Kami menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna, Oleh karena itu kritik dan saran dari semua pihak yang bersifat membangun selalu kami harapkan demi kesempurnaan makalah ini. Akhir kata, kami sampaikan terima kasih kepada semua pihak yang telah berperan serta dalam penyusunan makalah ini dari awal sampai akhir. Semoga bermanfaat bagi pembaca.

Jakarta, 27 Mei 2013

BAB I

PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG

Persamaan diferensial biasa adalah persamaan diferensial di mana fungsi yang tidak

diketahui (variabel terikat) adalah fungsi dari variabel bebas tunggal. Dalam bentuk paling sederhana fungsi yang tidak diketahui ini adalah fungsi riil atau fungsi kompleks, namun secara umum bisa juga berupa fungsi vektor maupun matriks. Lebih jauh lagi, persamaan diferensial biasa digolongkan berdasarkan orde tertinggi dari turunan terhadap variabel terikat yang muncul dalam persamaan tersebut.

Contoh sederhana adalah hukum gerak kedua Newton, yang menghasilkan persamaan diferensial

a. dy/dx = x +5

b. d2y/dx2 + 3 dy/dx + 2 y = 0 c. x dy/dx + y = 3

d. d3y/dx3 + 2 (d2y/dx2)2 + dy/dx = cos x e. (d2y/dx2)2 + (dy/dx)3+ 3 y = x2

Persamaan differensial linier umumnya dapat diselesaikan dengan menggunakan cara analitik, tetapi pada bentuk yang kompleks persamaan differensial biasa ini menjadi sulit diselesaikan. Metode numerik dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan differensial dengan menggunakan bantuan komputer sebagai alat hitung, ketika metode analitik sulit digunakan. Pada beberapa bentuk persamaan differensial, khususnya pada differensial non-linier, penyelesaian analitik sulit sekali dilakukan sehingga metode numerik dapat menjadi metode penyelesaian yang disarankan. Sebagai contoh perhatikan bentuk persamaan differensial yang sederhana berikut ini:

x(dy/dx)^2+dy/dx- y=1

menggunakan cara analitik, tidak dapat ditemukan penyelesaian. Sehingga pemakaian metode-metode pendekatan dengan metode-metode numerik menjadi suatu alternative yang dapat digunakan.

Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan differensial, antara lain: metode Euler, metode pendekatan dengan deret Taylor, metode runge-kutta dan metode-metode prediktor-korektor seperti metode Adam Moulton. Dan pada kelompok kami, kami akan membahas dengan metode pendekatan dengan deret Taylor atau kami menyebutnya dengan Solusi Persamaan Deret Taylor.

B. RUMUSAN MASALAH

 Cara Menghitung Persamaan Diferensial Biasa dengan metode Deret Taylor

 Mengubah Persamaan Deret Taylor dari perhitungan secara analitik ke perhitungan dengan menggunakan bantuan komputer sebagai alat hitung.

C. TUJUAN

 Mengetahui Sistem Persamaan Diferensial Biasa dengan menggunakan metode Solusi

Persamaan Deret Taylor

BAB II

PEMBAHASAN

Deret Taylor, Fungsi Analitik

Misalkanf sebuah fungsi C∞dari suatu variabel xpadainterval bukaI⊂R1 dan misalkan x0

sembarangtitik di I. Deret

(1.1)

∑

n=0

∞ _f(n)

(x0)

n ! (x−x0)n

Disebut deret Taylor dari fungsifdi sekitar titik x0.

f(n)

menyatakan turunan ke-ndari f. Untuk sembarang fungsi f∈C∞_{, Deret Taylor (1.1) mungkin}

tidak konvergen atau jika ia konvergen, belum tentu konvergen terhadapf(x). FungsiC∞ khusus

yang memiliki deret Taylor yang konvergen terhadap f(x) untuk semua x di sekitar x0, disebut

analitik pada x0.

Definisi 1.1

Misalkanf∈C∞(I), dimana I adalah interval terbuka dari R1, dan misalkan x0 sembarang titik

pada I. Jika deret Taylor (1.1) dari fdi sekitarx0 konvergen terhadap f(x) untuk setiap x pada

persekitaran x0, maka f disebut analitik pada x0. Jika f analitik di setiap titik pada I maka f

disebut fungsi analitik pada interval I.

Contoh

Deret Taylor darifungsif(x)=exdi sekitar titik asal adalah

∑

Selanjutnya, fungsi tersebut analitik di seluruh garis bilangan real R1sehingga

cosx=1−x

sembarang titik pada Ω. Deret

(1.2)

∑

(α1, …, αn)

D1α1D2α2… Dnαnf(x0)

α₁!α₂!… α_n! (x1−x10)α1(x2−x20)α2…(xn−xn0)αn

Disebut deret Taylor darifdisekitarx0_.

Dj=∂/∂ xj, dan αj bilangan bulat non-negatif, j=1,… ,n .

Deret (1.2) dapat dituliskan dalam bentuk yang lebih singkat dengan notasi

α=(α₁, α₂, … , α_n)

xα=x1α1x2α2… xnαn

Dα=D1α1D2α2… Dnαn

α !=α1! α2!… αn!

|α|=α1+α2+…+αn

maka deret Taylor (1.2) darifdisekitarx0 _{dapat dituliskan dalam bentuk}

(1.3)

∑

persekitaran di titik asal diRn+1 _{dan solusinya unik dalam kelas fungsi analitik.}

(2.1)du_dt=F(t , u) (2.2)u(0)=u0

adalah masalahnilaiawaluntukpersamaan diferensial biasa berordesatudenganvariabel yang tidakdiketahuiu dan variabel bebas t.

Akan dicari solusi u(t)darimasalah (2.1)-(2.2) yang terdefinisi di beberapa interval padasumbu-t

yang memuattitikt=0_.

Asumsikan bahwa fungsi F analitik pada persekitaran titik (t , u)=(0, u)∈R2, sehingga F

memiliki deret Taylor yang konvergen terhadap F(t , u) untuk setiap titik (t ,u) pada persekitaran

titik (0,u0). Maka teorema Cauchy-Kovalevsky menunjukkan masalah nilai awal (2.1)-(2.2)

memiliki solusi u(t) yang terdefinisi dan analitik pada interval yang memuat titik t=0_.

Bagaimana mencari deret Taylor u(t) di sekitar titik t=0_?

Selanjutnya, misalkan diketahui

(2.4)∂ u_∂t=F

(

t , x , u ,_{∂ x}∂u

)

(2.5)u(0, x)=ϕ(x).

Adalah masalah nilai awal atau masalah Cauchy untuk persamaan diferensial parsial berorde satu dengan variabel tidak diketahui u dan dua variabel bebas t dan x. Diberikan fungsi ϕ yang terdefinisi pada beberapa interval C dari sumbu-x yang memuat titik asal. Akan dicari suatu solusi u(t , x) dari masalah Cauchy (2.4)-(2.5) yang terdefinisi untuk (t , x) di beberapa domain Ω

pada bidang-(t , x) yang memuat kurva awal C.

Asumsikan bahwa fungsiϕ(x) yang diberikan, analitik pada persekitaran titik asal di sumbu-x.

Maka,dari kondisi awal (2.5) dapat dihitung seluruh turunan parsial dar iu terhadap x pada titik asal,

∂n_u

∂ xn(0,0)=ϕ

(n)

(0), n=0,1,2,…

Asumsikan juga bahwa fungsiF analitik di persekitarantitik

(0,0,ϕ(0),ϕ(1)(0)) di R4. Maka teorema Cauchy-Kovalevsky

menyatakan bahwa masalah (2.4)-(2.5) memiliki solusiu(t , x)

yang terdefinisi dan analitik pada persekitaran titik asal dari bidang –(t , x).

Untuk mencari deret Taylor dari u(t , x) di sekitar titik asal, harus dihitung nilai dari

Turunan dari ∂n_u

/∂ xn dapat dihitung dari kondisi awal (2.5). Dengan mensubstitusikan

pada (2.4) nilai t=0_, x=0 _{dan nilai} u _{yang telah diperoleh sebelumnya. dan} ∂ u_{∂ x pada (0,0),}

diperoleh nilai turunan ∂u_{∂ t} pada titik asal.

∂u

∂ t (0,0)=F

(

0,0,ϕ(0),ϕ(1)(0)

)

untuk memperoleh nilai ∂2_u

/∂ x ∂ t, turunkan (2.4) terhadap x sehingga diperoleh diperoleh semua nilai turunan parsial dari u pada titik asal.

Deret Taylor untuk u(t , x) di sekitar titik asal adalah

∑

(αt, αx)

DtαtDαxxu(0,0)

α_t! α_x! tαtxαx

Teorema Cauchy-Kovalevsky menunjukkan bahwa deret ini konvergen untuk semua (t , x) di

beberapa persekitaran U dari domain asli dan mendefinisikan solusi

(2.6)u(t , x)=

∑

(αt, αx)

DtαtDαxxu(0,0)

α_t!α_x! tαtxαx

fungsi yang didefinisikan oleh (2.6) memenuhi p.d.p. (2.4) untuk setiap(t , x)∈U dan kondisi

Teorema (Cauchy-Kovalevsky)

Misalkan fungsi ϕ analitik pada persekitaran titik asal dari Rn _{dan misalkan fungsi F}

analitik pada persekitaran titik (0,0,… ,0,ϕ(0,,… ,0),ϕx1(0,,… ,0),… ,ϕxn(0,,… ,0))dariR

2n+2_.

Maka masalah Cauchy (2.7)-(2.8) memiliki solusi u(t , x1, … , xn) yang terdefinisi dan

analitik pada persekitaran di titik asal di Rn+1

dan solusinya unik dalam kelas fungsi analitik. Teorema ini menyatakan 2 hal yaitu :

1. Terdapat solusi analitik di beberapa persekitaran titik asal 2. Solusi unik pada kelas fungsi analitik

Maksud dari keberadaan adalah terdapat sebuah fungsi u(t , x1, … , xn) yang terdefinisi dan

analitik di persekitaran U dari titik asal di Rn+1 _{sehingga pada setiap titik (}t , x

1, … , xn) dari U ,

memenuhi u(t , x1, … , xn) memenuhi (2.7) dan pada setiap titik (0,x1, … , xn) pada bagian S yang

termuat di U memenuhi (2.8) kondisi awal.

bukti keberadaan menunjukan bahwa koefisien deret taylor adalah

(2.9)

∑

Temukan semua suku yang berorde ≤ 3 dalam deret Taylor di sekitar titik asal dari solusi masalah nilai awal

(2.10) ut=u ux

(2.11) u(0, x)=1+x2

Pada masalah iniϕ(x)=1+x2dan fungsi adalah fungsiϕ analitik pada persekitaran titik asal dari

sumbu-x (pada kenyataannya analitik di seluruh sumbu-x). ux(0,0)=ϕ '(x)

=0.

Selain itu,F(t , x ,u , p)=updan fungsi ini analitik di persekitaran dari (0,0,1,0) diR4_(pada

kenyataannya fungsi tersebut analitik di seluruh R4 _{). Oleh karena itu, dengan menggunakan}

teorema Cauchy-Kovalevsky, masalah Cauchy (2.10)-(2.11) memiliki solusi analitik di

persekitaran titik asal pada bidang(t , x). Kita harus menghitung semua turunan dariuberorde ≤ 3

di titik asal.

u(0, x)=1+x2,ux(0, x)=2x , uxx(0, x)=2,uxxx(0, x)=0

Oleh karena itu,

u(0,0)=1,ux(0,0)=0,uxx(0,0)=2,uxxx(0,0)=0

dari (2.10) kita mempunyai

ut=uux, utx=uuxx+u

2

x ,utxx=3uxuxx+uuxxx

dan dengan menggunakan nilai yang telah diperoleh sebelumnya kita diperoleh

ut(0,0)=0,utx(0,0)=2,utxx(0,0)=0

dari (2.10) didapat

utt=utux+u utx,uttx=utuxx+2uxutx+uutxx

dan dengan menggunakan nilai yang telah dperoleh sebelumnya diperoleh

utt(0,0)=2,uttx(0,0)=0.

akhirnya dari (2.10) didapat

uttt=uttux+2ututx+uuttx

oleh karena itu

uttt(0,0)=0.

Deret Taylor untuk u(t , x) di sekitar titik asal adalah

u(t , x)=

∑

(αt,αx)

DtαtDxαxu(0,0)

α_t!α_x! tαtxαx

¿1+t2+2tx+x2+…

Contoh Soal:

Diketahui PDB

dy/dx=1₂x−1₂ y

dengan y(0)=1. Tentukan y(0.50) dengan metode deret Taylor (h=0.25) Penyelesaian:

x0=0→ y0=1

x1=0.25→ y1=?

Misal kita hanya menghitung y(x1) sampai orde ke-4 saja.

y'

(x)=1₂x−1₂ y

y left (x right ) = {dy} over {dx} ( { 1} over {2} x- {1} over {2} ₎

¿1/2+f .(−1/2)

¿1/2−

(

1₂x−1₂ y

)

.1/2

¿1/2−

(

₄1x−₄1 y

)

y' left (x right ) = {dy} over {dx} left ({1} / {2} - left ({1} over {4} x- {1} over {4} y right ) right

¿−1/4+f .(1/4)

¿−1/4+

(

1₂x−1₂ y

)

.1/4

¿−1/4+

(

1₈x−1₈ y

)

y(4)

(x)=dy_dx

(

−1/4+

(

1₈x−1₈ y

)

)

¿1/8+f .(−1/8)

¿1/8+

(

1₂x−1₂ y

)

.−1/8

¿1/8−

(

₁₆1 x−₁₆1 y

)

Diperoleh:

y(x0)=y(0)=1

y'

(x0)=y'

(0)

=1/2×0−1/2×1=−1/2

y} left ({x} rsub {0} right ) = {3} / {4¿

y(3)

(x0)=−3/8

y(4)

(x0)=3/16

Sehingga

y(x1)=0.8974915

y(x2)=0.8364037

Jadi,

BAB III

ALGORITMA dan FLOW CHART

Algoritma:

1. Cetak Judul

2. Definisikan f(x,y) = ½ x – ½ y def f(x,y):

o=0.5*x-0.5*y return o

def deriv(x,y): h=0.000001

z=round(((f(x+h,y)-f(x,y))/h)+(f(x,y)*(((f(x,y+h)-f(x,y))/h))),4) return z

4. Definisikan faktorial def fakt(p): faktor=1

for i in range (p): i=i+1

faktor=faktor*i return faktor 5. Inisiasi y=1 6. Inisiasi x=0

7. Input x yang ingin dicari 8. Input nilai h

9. while h<=x1: a=f(x,y) aa=f(h,y) c=deriv(x,y) cc=deriv(h,y) d=(c*a) dd=(cc*aa) ee=(dd*aa) e=(d*a) kk=[]

kk.append(a) kk.append(c) kk.append(d) kk.append(e) jumlah=0

Def faktorial (p):

faktor=1

Return faktor for i in range (p):

i=i+1

faktor=faktor*i

Def deriv(x,y):

h=0.000001

z=round(((f(x+h,y)-f(x,y))/h)+ (f(x,y)*(((f(x,y+h)-f(x,y))/h))),4)

Return z

Start

Cetak Judul

Def f(x,y):

Def deriv(x,y):

Def faktorial(p):

Cetak galat dan hasilnya End

g=h

for i in range (len(kk)):

dd=float(kk[i]*g/fakt(i+1)) jumlah+=dd

g=g*h

hasil=jumlah+y+galat h+=h

10. Cetak nilai galat 11. Cetak Hasil

Def f(x,y):

o=0.5*x-0.5*y

Return o Input x1 yang ingin dicari dan h Inisias

i y=1 x=0

While h<=x1:

a=f(x,y) aa=f(h,y) c=deriv(x,y) cc=deriv(h,y) d=(c*a) dd=(cc*aa) ee=(dd*aa) e=(d*a) kk=[]

kk.append(a) kk.append(c) kk.append(d) kk.append(e) jumlah=0

galat=((h)**(len(kk))*(ee-kk[3]))/fakt(len(kk)+1) g=h

for i in range (len(kk)): dd=float(kk[i]*g/fakt(i+1)) jumlah+=dd

g=g*h

hasil=jumlah+y+galat h+=h