Persamaan Differensial (Modul 03) | Dwipurnomoikipbu's Blog bab 3 pd linear1

BAB III

PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINEAR

3.1 Bentuk Umum

Persamaan differensial linear dikategorikan sebagai persamaan

differensial tingkat satu derajat satu, sehingga bentuk umum persamaan

differensial linear dapat dinyatakan dengan M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0.

Dalam hal yang lebih khusus persamaan differensial linear tingkat satu

dinyatakan dalam bentuk umum

p1(x) dx dy

+ po(x) y = q(x)

dimana p1(x)



0, po(x), q(x) adalah fungsi x yang tidak bergantung

kepada y.

Jika masing-masing bagian pada persamaan differensial linear di atas

diballgi dengan p1(x) maka diperoleh bentuk:

dx dy

+ ₍( ₎) 1 x p

x p_o

y = (₍ )₎ 1 x p

x q

 dx

dy _{+ P(x) y = Q(x), dimana P(x) =}

) (

) (

1 x p

x

p_{o dan Q(x) =}

) (

) (

1 x p

x q

P(x) dan Q(x) kontinu dalam suatu interval I



Real.

Contoh

1. 

dx dy

2xy = 4x, P(x) = 2x, Q(x) = 4x

2.  dx dy

3. x3 _

Contoh persamaan 1-5 di atas adalah persamaan differensial linear

(tingkat 1). Selanjutnya perhatikan persamaan differensial tingkat satu

derajat satu di bawah ini.

6. 

Contoh 6-10 di atas bukan persamaan differensial linear karena Q(x)

disebutkan dalam bentuk umum dan tidak sesuai dengan bentuk

dx dy

+

P(x) y = Q(x).

3.2 Cara Menentukan Selesaian Persamaan Liner

Persamaan differensial linear

dx dy

+ P(x) y = Q(x) dapat ditentukan

selesaian umumnya dengan beberapa cara. Masing-masing cara

menggunakan pendekatan yang berbeda, walaupun pada akhirnya

diperoleh bentuk umum selesaian yang sama. Cara tersebut adalah: 1)

faktor integral, 2) metode Lagrange, 3) mengubah menjadi PD eksak,

dan 4) persamaan Bernoulli.

1. Cara Faktor Intregral

Misal selesaian

dx dy

+ P(x) y = Q(x) adalah y = uv, dimana u dan v

masing-masing fungsi dari x sehingga y’ = u’v + uv’. Dengan

mensubstitusikan y dan y’ ke persamaan

dx dy

+ P(x) y = Q(x).

 (u’v + uv’) + P(x) uv = Q(x)

 v(u’ + P(x)u) + uv’ = Q(x)

Jika dimisalkan u’ + P(x)u = 0 maka uv’ = Q(x), Akibatnya untuk u’ +

P(x) u = 0 diperoleh

dx du

= - P(x)u



u



_

u

du _{= -}



P(x) dx

 Ln u = -

_

P(x) dx

 u = P x dx

e ( )

Substitusikan u ke uv’ = Q(x), sehingga didapatkan

v’ =

u x

Q( )



dx dv ₌

u x

Q( )

 dv = dx

u x

Q( )

 v =

_

dx

u x

Q( )

= dx

u x Q( )



+ C

=

_

dx

e x Q

x P

  ( )

) (

v =

_

Q(x) P x dx

e ( ) dx + C

Karena selesaiannya y = uv, maka selesaian umum (primitif) persamaan

differensial linear

dx dy

+ P(x) y = Q(x) adalah

y = P x dx

e ( ) (



Q(x) eP(x)dx dx + C )

 y P x dx

e ( ) =



Q(x) eP(x)dx dx + C

selanjutnya P x dx

Contoh soal

Tentukan selesaian umum persamaan differensial liner di bawah ini

1.

dx

dy y = (2+2x)

Jawab

P(x) = 1 dan Q(x) = (2+2x)

Faktor integralnya I = dx

e 1 = ex

Sehingga selesaian umumnya persamaan 

dx dy

y = (2+2x) adalah

yex ₌

_

_{(22x) e}x_dx

y = _ex



2ex _{dx + e}x



2ex_{x dx}

= _ex _{( 2e}x _{+C) + 2e}x _(xex_{- e}x_+C)

= 2 + Cex+ 2x – 2 + Ce x

= 2x + 2ce x

= 2x + ce x

2. y ln y dx + (x-ln y) dy = 0

Jawab

y ln y dx + (x-ln y) dy = 0

 dy dx

+ _yln1 _y x = 1_y

Faktor integral eP(y)dy _{= e} y y

dy

ln = eLn(lny)= Ln y

Selesaian umumnya

xeP(y)dy ₌



Q(y)eP(y)dy dy

x Ln y = Ln

y



1 y dy

=

_

ln_{y d(ln y)}

= ½ ln2 y _{+ c}

Persamaan linear y ln y dx + (x-lny) dy = 0 mempunyai selesaian

umum

2x Ln y = Ln2 y _{+ c}

3. x3 _

dx dy

(2-3x2_{) y = x}3

Jawab

Persamaan di atas dibagi dengan x3 _{diperoleh persamaan linear}

baru

dx dy

+ (

x x

3 2

3  ) y = 1

P(x) = (

x x

3 2

3  ) dan Q(y) = 1

Sehingga faktor integralnya eP(x)dx _{= e}  dx x x )

3 2

( _{3 = e} 3

2

1 _Lnx

x 

Selesaian umumnya

yeP(x)dx =

=

_

1.e 3 2 1

Lnx x  dx

=

_

e 3 1

x e

3 Lnx dx

y e 3

2 1

Lnx

x  = (1/2 e 2

1

x

 _{+ c)}

Persamaan differensial linear x3 _

dx dy

(2-3x2 _{) y = x}3 _mempunyai

selesaian

y e 3

2

1 _Lnx

x  = (1/2 e 2

1

x

 _{+ c)}

2. Cara LAGRANGE

Menyelesaikan persamaan differensial linear

dx dy

+ P(x) y = Q(x)

dapat juga dilakukan dengan Cara Lagrange. Cara ini dilakukan dengan

mengubah persamaan linear sehingga ruas kanan sama dengan 0 dan

mengubah konstanta C menjadi fungsi dari x atau C(x).

Perhatikan kembali persamaan

dx dy

+ P(x) y = Q(x)

 y’ + P(x)y = Q(x)

Ambil y’ + P(x)y = 0, maka



dx

dy _{= -P(x)y}



_

dy_y =

_

-P(x) dx

Jika persamaan di atas didefferensialkan terhadap x, diperoleh:



dx x dc( )

= Q(x) eP(x)dx

 c(x) =

_

Q(x) eP(x)dx _dx

Dengan mensubtitusikannya ke dalam y = c(x) eP(x)dxC1(x) maka

diperoleh selesaian umum persamaan dengan metode Lagrange

y = eP(x)dx ₍

_

_{Q(x) e}P(x)dx _{dx )}

Contoh soal

Tentukan selesaian umum persamaan

1.

dx dy

+ y Cotgn x = 5eCosx

Jawab

P(x) = cotgn x dan Q(x) = 5ecos x

Sehingga faktor integralnya ecotgnxdx= eln sin x = sin x.

Selesaian umum persamaan yang dicari adalah:

yeP(x)dx ₌



Q(x)eP(x)dx dx

 y sin x =

_

_5ecosx _{sin x dx}

 y sin x =

_

x

ecos

5 _{d(-cos x)}

 y sin x = 5(-ecosx_{) + C}

2. (x-2)

dx dy

= y + 2(x-2)3

Jawab

3. Cara Mengubah menjadi Persamaan Differensial Eksak.

Karena

dx dy

+ P(x) y = Q(x) atau (P(x)y – Q(x)) dx + dy = 0 belum

merupakan persamaan differensial eksak untuk P(x)



0, maka perlu

mencari faktor integralnya.

Misal u(x) faktor integral, maka

u(x)[ (P(x)y – Q(x)) dx + dy = 0 ]

 [u(x)P(x)y – u(x)Q(x)] dx + u(x) dy = 0 merupakan persamaan

differensial eksak.

y

Selanjutnya jika nilai u(x) dikalikan dengan

dx

Dengan mengintegralkan persamaan terakhir terhadap x diperoleh

y = eP(x)dx



Q(x)_eP(x)dx_dx

Contoh

Tentukan selesaian umum persamaan

1.

dx dy x

1

- 2

2

x y

= x cos x

Jawab

Kalikan persamaan dengan x, sehingga didapat

dx dy

-

x y

2

= x2_{cos x}

P(x) =

x

2 

dan Q(x) = x2 _{cos x}

u(x) = e dx x

2

= e2Lnx

= 2

1

x

Jika persamaan

dx dy

-

x y

2

= x2_{cos x dikalikan dengan u(x) =}

2

1

x

diperoleh

x2

dx dy

- 2yx3 _{= cos x}

 (_x 2_y)

dx

d  _{= cos x}

 x2y =

_

_Cosx dx

2. y2 _{dx + (3xy-1) dy = 0}

Jawab

y2 _{dx + (3xy-1) dy = 0}

 _dydx + 3_yx = 2

1

y

P(y) = 3_y Q(y) = 2

1

y

u(x) = edy y 3

= y3

Selesaian umum persamaan di atas

xeP(y)dy ₌



Q(x)eP(y)dy dy

xy3 ₌

_

2

1

y y3 dy

xy3 _{= ½ y}2 _{+ c}

4. Persamaan BERNOULLI

Persamaan differensial linear disebut persamaan Bernoulli jika bentuk

umumnya

dx dy

+ P(x) y = yn _Q(x),

 yn

dx dy

+ P(x) y1n _{= Q(x)}

Untuk menentukan selesaian umumnya misalkan y1n_{= v.}

Dengan menurunkan terhadap variabel x, diperoleh

(1-n) _yn

dx dy

=

 yn

Contoh soal

Tentukan selesaian umum persamaan



Substitusikan ke persamaan semula, didapat:

Substitusikan ke persamaan semula, didapat:

-dx dv



dx dv

- v = -(cos x - sin x)

dimana p(x) = -1 , q(x) = (sin x - cos x) dan factor integral ep(x)dx₌

e x

selesaian umumnya

vep(x)dx ₌

_

_q(x)ep(x)dx _dx

ve x₌



_{(sinx cosx)e}x _dx

e_yx = -ex_{sin x + C adalah selesaian umumnya.}

3.3 Soal-soal

A. Selidiki apakah persamaan differensial tingkat satu derajat satu

dibawah ini termasuk persamaan differensial linear.

1.

dx dy

- 2y = 3 – 3x

2. x dy – 2y dx = (1+x)ex _dx

3. y dx + (xy + x – 3y) dy = 0,

 (xyx 3y)0 dy

dx y

x y_y x

dy

dx 

 

 3 _{, P(y) = 1, Q(y) = 3 -}

y x

,

y dx + (xy + x – 3y) dy = 0,

 (   3 ) 0

dx dy y x xy y

4. x dy – y dx = x _x2_{ y}2 dy

6. (2xy5 y) dx + 2x dy = 0

7.

dx dy

+ 2xy = 5x2_y3

8. (x2₊₁₎

dx dy

+ xy = x

9.

dx dy

- y = y3_x

10. xy’ = 2y + x3_ex

B. Tentukan selesaian umum persamaan linear berikut dengan

menggunakan cara yang sesuai.

1.

dx dy

+ 3xy = 2

2.

dx dy

=

x y

+ 2x + 1

Jawab

dx dy

=

x y

+ 2x + 1

  (2x1)

x y dx dy

Didapat P(x) =

x

1

 _{, Q(x) = (2x+1)}

Faktor integral (I) = eP(x)dx

= e dx x 1

= eln x

=

x

Primitif dari

dx dy

=

x y

+ 2x + 1 adalah

Iy = Q(x)Idx

 y = x_

_

 dx_ x x 1).1 2

(

 y = x

_



_

dx x dx 1

2

 y = x(2x +ln x C)

 y2x2xlnxCx

y’ = 4x + (ln x _{+1) +C}

3.

dx dy

+ 2xy = 5y3

4.

dx dy

+ 3y = 3x2_e 3x

5. Cos  dr + ( r sin  - cos4 _{ ) d = 0}

6. y2 _{dx + (3xy-1) dy = 0}

7. r dt – 2t dr = (r-2)er _dr

8.

dx dy

- 6y = 10 sin 2x

P(x) = -6, Q(x) = 10 sin 2x

I = e6x

Primitifnya

Iy =

_

Q(x)I _dx

y = e6x

_

_10sin2x(e6x_)dx

e6x

_

_10sin2x(e6x_)dx

= -5 cos 2x – 15 sin 2x – 15e6x



_sin2xe6x_dx

25_e6x



_sin2x(e6x_)dx

= -5 cos 2x – 15 sin 2x

_e6x

_

_sin2x(e6x_{)dx =}

25 1

(-5 cos 2x – 15 sin 2x+C)

Didapatkan primitif

Y =

25 10

(-5 cos 2x – 15 sin 2x+C)

9. dy + (2y cos x + sin 2x) dx = 0

10. (1+y2_{) dx = ( arc tan y – x) dy}

C. Tentukan selesaian masalah nilai awal

1.

dx dy

-

x y

= xex _{dengan y(1) =}

e

1

2. 

dx dy

4y - e x = 0 dengan y(0) =

3 4

3. 

dt dx

xy = sin 2t dengan x(0) = 0

4.

dx dy

+ y tan x = cos2_{x dengan y(}

4 

) 1

5. sin x

dx dy

+ y cos x = x sin x dengan y(

2 