Reduksi ke Persamaan Differensial Eksak.docx

BAB I BAB I PENDAHULUAN PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang 1.1 Latar Belakang Pe

Persamrsamaan aan diferdiferensiaensial l adalaadalah h salah satu salah satu ilmu ilmu matemmatematikatikaa yan

yang g banbanyak yak digdigunaunakakan n untuntuk uk menmenjeljelaskaskan an masmasalaalah-mh-masaasalahlah sis

sis. . MasaMasalah-mlah-masalaasalah h sisi sisi terstersebut ebut dapadapat t dimoddimodelkan elkan dalamdalam b

beennttuuk k ppeerrssaammaaaan n ddiiffeerreennssiiaall..JJiikka a mmooddeell matem

matematikatikaberaberbentubentukperkpersamaasamaandifendiferenrensial, sial, makmaka a masalmasalahnyahnyaa adalah bagaimana menentukan solusi (penyelesaian) persamaan adalah bagaimana menentukan solusi (penyelesaian) persamaan dif

difererensensial ial ituitu.Mi.Misalsalnya nya untuntuk uk perpersamsamaan aan difediferrensensial ial dendengangan k

koeoessieien n kkononststananakakan an sasangngat at mumudadah h ununtutuk k memenenentntukukanan sol

solusiusinyanya, , tettetapi api daldalam am penpeneraerapanpannya nya padpada a dundunia ia nyanyata, ta, adaada persamaan diferensial yang memiliki koesien berupa variabel. persamaan diferensial yang memiliki koesien berupa variabel. 

aammuunn, , hhaarruus s ddiissaaddaarri i jjuugga a bbaahh!!a a ttiiddaak k sseemmuua a mmooddeell matematika yang berbentuk persamaan diferensial mempunyai matematika yang berbentuk persamaan diferensial mempunyai solusi.

solusi.

Persamaan "eferensial yang berbentuk disebut Persamaan Persamaan "eferensial yang berbentuk disebut Persamaan "eferensial #ksak jika dan hanya jika dan terdapat fungsi yang "eferensial #ksak jika dan hanya jika dan terdapat fungsi yang defer

deferensiensial al totatotalnya. lnya. $alu $alu mermeredukseduksi i perspersamaan amaan di%erdi%erensial ensial keke persamaan di%erensial eksak

persamaan di%erensial eksak Bai

Baik k perpersamsamaan aan difdifferferensensial ial biabiasa sa maumaupupun n parparsial sial dapdapat at digdigoloolongkngkanan sebagai linier atau nonlinier. Sebuah persamaan differensial disebut linier apabila sebagai linier atau nonlinier. Sebuah persamaan differensial disebut linier apabila fungsi yang tidak diketahui dan turunannya muncul dalam pangkat satu (hasilkali fungsi yang tidak diketahui dan turunannya muncul dalam pangkat satu (hasilkali tidak dibolehkan). Bila tidak memenuhi syarat ini, persamaan tersebut adalah tidak dibolehkan). Bila tidak memenuhi syarat ini, persamaan tersebut adalah nonlinier.

nonlinier. Mel

Melihaihat t sebseberaperapa a besbesar ar penpentinting g perpersamsamaan aan difdifferferensensial ial dardari i berberbagbagaiai macam

macam ilmu, baik dalam bidang SAINS maupuilmu, baik dalam bidang SAINS maupun teknologin teknologi. M. Makalah ini sangatakalah ini sangat  berguna untuk

 berguna untuk dibuat demi dibuat demi untuk membantu untuk membantu dalam memahami dalam memahami materi materi persamaanpersamaan differensial. idak hanya itu makalah ini dibuat sebagai salah satu kelengkapan differensial. idak hanya itu makalah ini dibuat sebagai salah satu kelengkapan mengikuti mata kuliah persamaan differensial biasa yang telah ditugaskan oleh mengikuti mata kuliah persamaan differensial biasa yang telah ditugaskan oleh dosen pembimbing mata kuliah !ersamaan "ifferensial #.

dosen pembimbing mata kuliah !ersamaan "ifferensial #.

& &

1.2 Rumusan Masalah 1.2 Rumusan Masalah

'e

'errdadasasarkrkan an lalatatar r bebelalakakang ng mamasasalalah h agagar ar pepengngururaiaianan makalah lebih terarah dan terfokus maka rumusan masalahnya, makalah lebih terarah dan terfokus maka rumusan masalahnya, seperti 

seperti  &)

&) 'a'agagaimimanana a fafaktktor or inintetegrgrasasi i papada da rrededukuksi si kke e pepersrsamamaaaann di%erensial eksak 

di%erensial eksak  *)

*) 'a'agagaimimanana a lalangngkakah h lalangngkakah h pepenynyelelesesaiaian an rrededukuksi si kke e P"P" eksak 

eksak  +)

+) 'ag'agaimaimana ontoana ontoh h dan pembadan pembahashasan an reredukduksi si kke e perpersamsamaanaan di%erensial eksak 

di%erensial eksak  

)) ''agagaiaimamanna a lalangngkkah ah lalanngkgkah ah ppenenyeyelelesasaiaian n ppererssamamaaanan di%erensial linier orde pertama 

di%erensial linier orde pertama  )

) 'agai'agaimana ontmana ontoh dan pembahasoh dan pembahasan persaman persamaan di%eraan di%erensiaensiall linier orde pertama 

linier orde pertama  2.3

2.3 TTujuanujuan

/dapun tujuan dari pembuatan makalah ini,

/dapun tujuan dari pembuatan makalah ini, seperti seperti  &)

&) 0ntuk memen0ntuk memenuhi tugas uhi tugas mata kmata kuliah Puliah Persamaan ersamaan "i%erensial"i%erensial *)

*) MeMemamahahami mi fafaktktor or inintetegrgrasasi i papada da rrededukuksi si kke e pepersrsamamaaaann di%erensial eksak

di%erensial eksak +

+)) MMeenngguuaassaai i llaannggkkaah h llaannggkkaah h ppeennyyeelleessaaiiaan n rrededuukkssi i kkee persamaan eksak

persamaan eksak )

) MamMampu pu menmenyelyelesaesaikikan an onontoh toh dan pembadan pembahashasan an reredukduksi si kkee persamaan di%erensial eksak

persamaan di%erensial eksak 

)) MeMengnguuasasai ai lalanngkgkah ah lalanngkgkah ah ppenenyeyelelesasaiaian n ppererssamamaaaann di%rensial linier orde pertama

di%rensial linier orde pertama 1)

1) MamMampu pu menmenyelyelesaesaikikan an onontoh toh dan dan pempembahbahasaasan n di%di%rrensensialial linier orde pertama

linier orde pertama

* *

BAB II PEMBAHASAN

2.1 Reuks! ke Persamaan D!"erens!al Eksak  2.1.1 Ma#am$macam %akt&r !ntegras!

$ika M(%, y) d2 3 (2, y) dy 4 5 adalah persamaan tidak eksak dan dapat ditemukan suatu fungsi 6(2, y) sedemikian sehingga P"  6(2, y) 7M(2, y) d2 3 (2, y) dy8 4 5 merupakan P" eksak maka fungsi 6(2, y) dinamakan faktor integrasi dari P" di atas.

/da beberapa jenis fator integrasi antara lain 

&) Jika

∂ M  ∂ y

−

∂ N  ∂ x

 N 

=

f 

 (

 x

)

  suatu fungsi dari 2 saja, maka

e∫f  ( x)dx  _{adalah suatu faktor integrasi P" itu.}

*) Jika

∂ M  ∂ y

−

∂ N  ∂ x

 M 

=

f 

 (

 x

)

suatu fungsi dari g saja, maka

e∫f  ( y)dy  _{adalah suatu fator integrasi dari P" itu.}

+) Jika M(2, y) d2 3 (2, y) dy 4 5 merupakan P"

homogen dan 2M 3 y 9 5, maka

1

 xM 

+

 yN    adalah suatu faktor integrasi P" tersebut.

) Jika M(2, y) d2 3 (2, y) dy 4 5 dapat ditulis didalam bentuk y f(2y) d2 3 2 g(2y) dy 4 5 dimana f(2y) 9

g(2y), maka

1

 xM 

−

 yN   adalah suatu faktor integrasi P" itu.

) Persamaan 2p _y: _{(my d2 3 n2 dy) 3 2}r _ys _{(uy d2 3 v2d}

y) 4 5 dimana p, :, r, s, m, n, u, v, adalah konstanta

dan mv ; nu 9 5 mempunyai faktor integrasi berbentuk  xα  y β .

1) <aktor integrasi yang lain biasanya ditentukan dengan ara menoba-oba sedemikian sehingga pada kelompok bagian tertentu dapat menjadi diferensial eksak.

Misalnya

=elompok bagian

<ator

integrasi "iferensial eksak

(

 x dy

−

 y dx

)

1  x2  x dy

−

 y dx  x2

=

d

(

 y  x

)

(

 x dy

−

 y dx

)

1  y2  y dx

−

 x dy  y2

=

d

(

−

 y  x

)

2.1.2 Langkah$langkah mena'atkan 'en(elesa!an umum PD

$angkah-langkah mendapatkan penyelesaian umum P" 

&) Periksa dahulu apakah P" nya merupakan P" eksak. =alau merupakan P" eksak pakailah langkah P" eksak.

=alau bukan merupakan P" eksak, arilah faktor integrasi yang ook agar P" semula dapat tereduksi ke P" eksak.

*) /pabila faktor integrasi yang ook tersebut adalah salah satu dari jenis & ; jenis , maka pakailah langkah P" eksak untuk menentukan penyelesaian umum P". +) /pabila menggunakan faktor integrasi jenis , maka

ada prosedur tersendiri yaitu menari diferensial eksak dari kelompok bagian pertama dan kedua untuk mendapatkan harga > dan ?.

<aktor integrasi yang diperoleh yaitu setelah dan disubstitusikan pada  xα  y β akan mereduksi P"

semula (tidak eksak) menjadi P" eksak. @unakan langkah P" eksak.

) /pabila menggunakan faktor integrasi oba-oba, maka tidak ada prosedur tertentu hanya pada dasarnya P" semula menjadi lebih sederhana dan mudah diselesaikan.

2..1.3 )&nt&h *&al an Pem+ahasan Selesaikan setiap !." diba&ah ini '

#. ( y   x 3  ) d% * % dy +  . -  x2  y2  d% * (   x3  y / # ) dy +  -. y ( % * y ) d%   x 2  dy + .

(

 x 2

 y3

+

2 _y

)

_dx

+

(

2 _x

−

2 _x3 _y2

)

_dy

=

0

0.

(

8 y dx

+

8 x dy

)

+

 x 2  y3

(

4 _{y dx}

+

5 _{x dy}

)

=

0 1.  x

(¿¿

3

+

 _{x y}2

)

dx

+

(

 y3

+

 x2 y

+

 x

)

dy

=

0

¿

!embahasan '

#) "ari bentuk !." ' ( y   x3  ) d% * % dy + . Berarti ' M + y x3

,

∂ M 

∂ y + 

 N + % , ∂ N _{∂ x} + #

2arena ∂ M _{∂ y} ≠ ∂ N _{∂ x} maka merupakan !." tidak eksak 

Selan3utnya mencari factor integrasi yang dapat meredaksi !." tidak eksak  men3adi !." eksak. ∂ M  ∂ y –   ∂ N  ∂ x  N 

=

2

−

1  x

=

1

 x

=

f 

 (

 x

)

 maka faktor integrasinya adalah

e

∫

 x1 d% + e

ln| _x|

 + %

selan3utnya !." semula tereduksi men3adi

%

[

(

2 y

−

 x

3

)

dx

+

 x dy

]

 _{+ }

↔

(

2 _xy

−

 _x4

)

 _{d% *  x}2  _{dy + }

"ari persamaanini, berarti bah&a ' M + %y  x4  , ∂ M  ∂ y + %  N +  x2 , ∂ N  ∂ x + % 2arena ∂ M  ∂ y

+

∂ N 

∂ x maka !." yang telah tereduksi ini merupakan !." eksak. 4ntuk mendapatkan solusi umum !." ini dapat menggunakan langkah !" eksak.

5(%,y) + c 2arena

∂ f 

∂ x + M, maka f (%,y) +

∫

(

2 xy

−

 x

4

)

 d% + x2 y / 1 5  x 5 * ϕ

(

 y

)

5ungsi φ

(

 y

)

dicari dengan mendifrensialkan parsil fungsi f(%,y) ini terhadap y

∂ f 

∂ y

 +

 x

2

 *

_{∂ y}∂  ϕ

(

 y

)

2arena _{∂ y}∂ f  + N maka  x2  * _{∂ y}∂ ϕ

(

 y

)

+  x2

↔ ∂ ∂ y ϕ

(

 y

)

 + 

↔ϕ

(

 y

)

_{+ k (konstanta)} Sehingga f(%,y) + x2

y 

1 5 x 5

 * k

+ c

Solusi umum !." eksak ini adalah merupakan solusi umum !." semula yang tereduksi ke !." eksak.

Sehingga solusi umum !." semula adalah

 x2

_{y }

1₅ x5

 _{+ c}

) "ari bentuk !." ' - x2 y2  d% * ( x3 y / #) dy +  M + - x2 y2 , ∂ M _{∂ y}  + 1 x2 y  N +  x3 y / #, ∂ N _{∂ x}  + # x2 y3 2arena ∂ M  ∂ y + ∂ N 

∂ x maka !." semula tereduksi men3adi !." eksak. 6leh karena itu gunakan langkah -.1 untuk mendapatkan solusi umum !." ini. f (%,y) + c 2arena ∂ f  ∂ x  + M maka f (%,y) +

∫

 _x 3 x 2  y4  _d% +  x3 y4  * (y)

5ungsi (y) dicari dengan mendiferensialkan persiil fungsi f(%,y) ini terhadap y

∂ f 

∂ y  + N maka  x

3

 y3  _{* ∂ y}∂ _ (y)

2arena _{∂ y}∂ f   + N maka  x3 y3  # y

2 ↔ ∂ ∂ y ϕ (y) + # y 2 ↔ ϕ _{(y) +}

∫

−

12 _y2  dy 7 ϕ (y) +  y3  * k  Sehingga f(%,y) +  x3 y4    y3  k 

+ c

Solusi umum !." eksak ini merupakan solusi umum !." semula yang tereduksi men3adi !." eksak 

2esimpulan solusi umum !." semula adalah  x3 y4  _{ } y3  _{+ c}

-) "ari bentuk !." ' y (%*y) d%   x

2

 dy +  dapat ditulis dalam bentuk  !."'

(y% *  y2 )d%   x2  dy +  yang merupakan !." homogen berdera3at dua

"ari sini berarti' M + y% * y2 , ∂ M  ∂ y  + %y  N+ %, ∂ N _{∂ x}  + % 2arena ∂ M  ∂ y 8 ∂ N 

∂ x  maka merupakan !." tidak eksak.

Selan3utnya mencari factor integrasi yang dapat mereduksi !." tidak eksak  itu men3adi !." eksak.

2arena !." tersebut adalah homogen dan %M *yN + y x2 * y x

2

 y  x2  _{+ y} x2 _{maka factor integrasinya adalah} 1

 y2 x Sehingga !." semula tereduksi men3adi

1

 y2 x

[

(

 xy

+

 y

2

)

dx

−

 x2dy

]

 _{+ } ↔

(

 1  y

+

1  x

)

dx

−

x  y2 dy  + 

"ari persamaan baru ini berarti bah&a' M + 1  y

 +

1  x  , ∂ M  ∂ y  +  1  y2  N +   x  y2 , ∂ N  ∂ x  +  1  y2 2arena ∂ M  ∂ y + ∂ N 

∂ x  maka !." semula telah tereduksi men3adi !." eksak.

6leh karena itu, gunakan langkah -.1 untuk mendapatkan solusi umum !."'

f(%,y)+ c

2arena _{∂ y}∂ f   + M maka f (%,y) +

∫

 x ❑

(

1  y

 +

1  x

)

 d% +  x  y  * ln

|

 x

|

 *k  + c

Solusi umum !." eksak ini merupakan solusi umum !." semula yang tereduksi men3adi !." eksak 

2esimpulan solusi umum !." semula adalah  x

 y  * ln % c

0. Bentuk !." ' (9y d% * 9% dy) * %_y- _{(y d% * 0% dy) + }

Mempunyai faktor integrasi yang berbentuk %: _y;

%: _y; _{(9y d% * 9% dy) * %}: _y; _%_y- _{(y d% * 0% dy) + }

(9 %: _y;*# _{d% * 9 %}:*# _y; _{dy) * ( %}:* _y;* _{d% * 0 %}:*- _y;*- _{dy) + }

Bagian pertama bagian kedua

<angkah selan3utnya mencari besarnya α    dan  β pada bagian  pertama

d (%:*# _y;*#_{) + (} α   _{* -) %}: _y;*# _{d% * (}  β  _{* #) %}:*# _y; _dy

=ang berarti bah&a' α 

+

1

8

=

 β

+

1

8 α 

−

 β

=

0

!ada bagian kedua

d (%:*- _y;*_{) + (} α   _{* -) %}:* _y;* _{d% * (}  β  _{* ) %}:*- _y;*- _dy

yang berarti bah&a '

α 

+

3

4

=

 β

+

4

5 5α 

−

4 β

=

1

"ari kedua bagian ini, diperoleh hubungan bah&a α 

−

 β

=

0 % +> 4α 

−

4 β

=

0 5_α 

−

4 _β

=

1 +> 5α 

−

4 β

=

1

−

α 

=−

1_{, α} 

=

1 ?  β

=

1

∴  _{faktor integrasinya adalah %y}

Maka !." semula akan terekduksi men3adi ' %y @(9y d% * 9% dy) * %_y- _{(y d% * 0% dy) + }

(9%y _{d% * 9%}_{y dy) * (%}- _y0 _{d% * 0%}_y _{dy) + }

(9%y _{* %}- _y0_{) d% * (9%}_{y * 0%}_y_{)dy + }

"ari bentuk !." baru ini, berarti '

M + 9%y _{* %}- _y0 _, ∂ M  ∂ y  + #1%y *  %-y  N + 9%_{y * 0%}_y , ∂ M  ∂ x  + #1%y *  %-y 2arena ∂ M  ∂ y + ∂ M 

∂ x  maka !." semula tereduksi men3adi !." eksak 

untuk mendapatkan solusi umum !.", gunakan langkah -.1 f(%,y) + c

2arena

∂ M 

∂ x  + M maka  ∫ 

% (9%y * 0%y) d% + %y * %y0 * ϕ (y)

5ungsi ϕ (y) dicari dengan mendiferensialkan parsiil fungsi f(%,y) ∂ M  ∂ y  + 9%y * 0%y * ∂ ∂ y ϕ (y) 2arena _{∂ y}∂  + N maka, 9%_{y * 0%}_y _* ∂ ∂ y ϕ (y) + 9%y * 0%y &5

∂

∂ y ϕ (y) +  ϕ (y) + k (konstanta) Sehingga f(%,y) + %_y _{* %}_y0 _{* k + c}

Solusi umum !." eksak ini merupakan solusi umum !." semula

∴  _{solusi umum !." semula adalah %}_y _{* %}_y0 _{+ c}

1. Bentuk !." ' (%- _{* %y} _{/ y) d% * (y}- _{/ %}_{y * %) d% + }

"apat di tulis dalam bentuk !." '

(% _{* y}_{) ( % d% * y dy) * ( % dy  y d%) + }

dalam persamaan ini terlihat bah&a suku (% dy  y d%) menandakan kemungkinan adanya beberapa faktor integrasi.

"engan mencobacoba, ditentukan faktor integrasinya adalah

1

 x2

+

 y2

Bentuk !." terekduksi men3adi

1  x2

+

 y2

@

(% * y) ( % d% * y dy) * ( % dy  y d%)



 +  % d% * y dy  x dy

+

 y dx  x2

+

 y2 +  % d% * y dy  y  x

¿

¿

1

+¿

 x dy

+

 y dx  x2

¿

+  % d% * y dy * d( arc tan  y  x ) + 

dengan mengintegralkan bagian demi bagian, didapatkan solusi umum !."  ∫  _{% d% *}  ∫  _{y dy *}  ∫   _{d( arc tan}  y

 x ) +  1 2 % * 1 2 y * arc tan  y  x  + k  &&

% _{* y} _{* arc tan}  y

 x  + k 

% _{* y} _{* arc tan}  y

 x  + c, ( c+ k)

∴  _{solusi umum !." semula adalah ' %} _{* y} _{* arc tan}  y

 x  + c

2.2 Persamaan D!"erens!al L!n!er ,re Pertama 2.2.1 Met&e *&lus!

Persamaan linier orde satu memiliki bentuk umum dy

dx

+

 P

(

 x

)

 y

=

Q

(

 x

)

dengan syarat ruas kanan 9 5 <ator integrasi e∫ P ( x)dx

Dolusi umum  y e∫ P( x)dx

=

∫

Q

(

 x

)

e∫ P ( x)dxdx

+

C 

$angkah langkah mendapatkan penyelesaian umum P"  &) Eentukan faktor integrasi

*) "apatkan penyelesaian umum P" dengan melakukan integrasi pada ruas kanan dari bentuk penyelesaian umum P" di atas.

2.2.2 )&nt&h *&al an Pem+ahasan &) dy_dx

+

 y

=

2

+

2 x

Penyelesaian 

'entuk P"  dy_dx

+

 y

=

2

+

2 x

"ari sini   P

(

 x

)

=

1,Q

=¿

2

+

2 x

<aktor Fntegrasi  e∫ P ( x)dx

=

e∫dx

=

e x

Dolusi umum P" linier orde satu ini adalah   y .e x

=

∫

(

2

+

2 _x

)

_e x_dx

¿

2

∫

_e x_dx

+

2

∫

 _{x e} x_dx

¿

2_e x

+

2

[

 _xe x

−

∫

_e x_dx

]

¿

2e x

+

2 xe x

−

2e x

+

C 

¿

2 _xe x

+

_C 

 y

=

(

2 xe x

+

C 

)

2e− x

Dolusi 0mum P" ini adalah   y

=

2 x

+

c e− x

*)  x dy

−

2 y dx

=

(

 x

−

2

)

e x  d2 Penyelesaian

'entuk P" 2 dy ; *y d2 4

(

 x

−

2

)

e xdx  dapat ditulis dalam bentuk P" 

 x dy dx

−

2 y

=(

 x

−

2

)

e  x dx  x dy dx

−

2  y  x

=

(

 x

−

2

)

 x e  x dx  x dy dx

−

2  y  x

=

(

1

−

2  x

)

e  x dx "ari sini   P

(

 x

)

=−

2  x ; Q

(

 x

)

=

(

1

−

2  x

)

e  x <aktor integrasi  e∫ P ( x)dx

=

e∫ 1  xdx

₌

_e−2 ln| x|

₌

_eln x−2

=

 x−2

Dolusi P" linier orde satu ini adalah  y . x−2

=

∫

(

1

−

2  x

)

e  x . x−2dx

¿

∫

(

e x  x2

−

2_e x  x3

)

dx

¿

∫

 x e  x

−

2_e x  x3 dx &

¿

∫

d

(

e  x  x2

)

=arena d

(

e  x  x2

)

=

 x2e x

−

2_e x _x  x4

=

 x e x

−

2_e x  x3  y . x−2

=

e  x  x2

+

C   y

=

e x

+

C x2

Dolusi 0mum P" ini adalah  y

=

e x

+

C x2 ) dy_dx

+

4 y

=

 x

−

2 x 2 Penyelesaian  P

(

 x

)

=

4 Q

(

 x

)

=

 x

−

 x2 Dolusi umum  e∫ P ( x)dx

=

e∫4dx

=

e4 x e4 x y

=

∫

 x

−

 x2e4 x

+

C   y

=

(

 x

−

 x 2 4

−

1

−

4 x 16

−

1 16

)

+

C  e4 x  y

=

(

4 x

−

8 x 2

−

1

+

4 _x

−

1 16

)

+

c e4 x &

 y

=

(

4 x

−

4 x 2

−

1 8

)

+

c e4 x )  y' 

+

 y

=

(

1

+

 x

)

2 Penyelesaian dy dx

+

 y

=

(

1

+

 x

)

2  P

(

 x

)

=

1 Q

(

 x

)

=

(

1

+

 _x

)

2 <aktor integrasi  e∫ P ( x)dx

=

e∫1dx

=

e1 x Dolusi umum  e∫ P ( x)dx y

=

∫

Q

(

 x

)

e∫ P ( x)dx

+

C  e x y

=

∫

(

1

+

 _x

)

2_e x

+

_C  e x y

=

e x

(

1

+

 _x

)

2

−

2_e x

(

1

+

 _x

)

+

2_e x

+

_C   y

=

(

1

+

 x

)

2

−

2

(

1

+

 x

)

+

2

+

 C  e x &1

BAB III PENUTUP

3.1 -es!m'ulan

DATAR PU*TA-A

SM, Nababan.(0). Persamaan Diferensial Biasa (Edisi Satu). $akarta' 4niCersitas erbuka

5iniDio and <adas.(#E99).Persamaan Diferensial Biasa dengan Penerapan Modern (Edisi Kedua).$akarta'Frlangga

SchaumGs.(H).Persamaan Diferensial (Edisi Ketiga).$akarta' Frlangga arberg, !urcell, Jigdom.(-).Kalkulus Jilid . $akarta' Frlangga

-. "ari bentuk !" ' y(%*y) d% / % _{dy +  dapat ditulis dalam bentuk !" ' (y% *}

y_{) d% / %} _{dy +  yang merupakan !" homogen berdera3ad dua.}

"ari sini berarti '

M + y% * y_, ∂ M 

∂ y

=

 x

−

2 y

 N +  % _, ∂ N 

∂ x

 =−

2 x

2arena ∂ M _{∂ y} ≠ ∂ N _{∂ x} maka merupakan !" tidak eksak.

Selan3utnya mencari faktor integrasi yang dapat mereduksi !" itu men3adi !" eksak. 2arena !" tersebut !" homogen dan %M *yN + y %_{* y %}_{ y %}_+y_%

maka faktor integrasinya adalah

1

 y2 _x . sehingga !" semula tereduksi

men3adi '

1

 y2 x

 [

(

 xy

+

 y

2

)

dx

−

 x2dy

]

=

0 ⟺

(

 1  y

+

1  x

)

dx

−

x  y2 dy

=

0

"ari persamaan baru ini, berarti bah&a '

M + 1  y

 +

1  x , ∂ M  ∂ y

=−

1  y2  N +   x  y2 , ∂ N  ∂ x

 =

−

1  y2

2arena ∂ M _{∂ y}

=

∂ N _{∂ x}   maka !" semula telah tereduksi men3adi !" eksak. 6leh karena itu gunakan langkah -.1 untuk mendapatkan solusi umum !" ' f(%,y)+c.

2arena _{∂ y}∂ f 

=

 M   maka f(%,y) +  ∫  x

(

1

 y

+

1

 x

)

dx +  x _y  * ln K%K * ϕ

(

 y

)

5ungsi ϕ

(

 y

)

dicari dengan mendiferensialkan parsiil fungsi f(%,y) ini terhadap y ∂ f  ∂ y

=−

 x  y2

 +

∂ ∂ y ϕ

(

 y

)

2arena _{∂ y}∂ f 

=

 N   maka   x  y2

+

∂ ∂ y ϕ

(

 y

)

=−

 x  y2 &C

∂ ∂ y ϕ

(

 y

)

=

0 ϕ

(

 y

)

=

k   _(konstanta) Sehingga f(%,y) +  x  y  * ln K%K * k  + c

Solusi umum !" eksak ini merupakan solusi umum !" semula yang tereduksi men3adi !" eksak.

∴ _{solusi umum !" semula adalah}  x

 y

 +

ln x c

. Bentuk !" ' (%_y- _{* y) d% * (%%}-_y_{) dy + , yang berarti '}

M + %_y- _{* y ,} ∂ M  ∂ y

=¿

-%y*  N + %%-_y _, ∂ N  ∂ x  + 1%y 2arena ∂ M  ∂ y ≠  ∂ N 

∂ x maka merupakan !" tidak eksak.

Selan3utnya mencari faktor integrasi yang dapat mereduksi !" itu men3adi !" eksak. Bentuk !" diatas dapat ditulis dalam bentuk !" '

y f(%y) d% * %g(%y) dy +  dengan f(%y) ≠  g (%y) yaitu ' y (%_y _{* ) d% * % (%}_y_{) dy + }

6leh karena itu faktor integrasinya adalah '

1

 xM 

−

 yN 

=

1

 x

(

 x2 y2

+

2 y

)

−

 y

(

2 x

−

2 x3 y2

)

+

1 3 x2 y3 !" diatas berubah men3adi '

1

3 x2 y3

 [

(

 x

2

 y3

+

2 y

)

dx

+

(

2 x

−

2 x3 y2

)

dy

]

=

0

⟺

(

1 3 x

 +

2 3 x3 y2

)

dx

+

(

2 3 x2 y3

−

2 3 y

)

dy

=

0 "ari !" baru ini dapat diperoleh bah&a '

M + 1 3 _x

+

2 3 x3 y2 , ∂ M  ∂ y

= −

4 3 x3 y3  N + 2 3 _x2 _y3

−

2 3 _y , ∂ N  ∂ x

 =

−

4 3 x3 y3 2arena ∂ M  ∂ y

=

−

4 3 x3 y3 + ∂ N 

∂ x maka !" semula tereduksi men3adi !" eksak '

4ntuk mendapatkan solusi umum !" ini, gunakanlah langkah -.1 f(%,y) +c.

2arena ∂ f  ∂ x

=

 M   maka f(%,y) +  ∫  x

(

1 3 _x

+

2 3 x3 y2

)

dx +

|

 x

|

−

1 3 _x2 _y2

+¿

ϕ

(

 y

)

1 3 ln

¿

5ungsi ϕ

(

 y

)

dicari dengan mendiferensialkan parsiil fungsi f(%,y) ini terhadap y ∂ f  ∂ y

= −

2 3 x2 y3

+

∂ ∂ y ϕ

(

 y

)

2arena _{∂ y}∂ f 

=

 N   maka 2 3 _x2 _y3

+

∂ ∂ y ϕ

(

 y

)

=

2  x2 y3

−

2 3 y ∂ ∂ y ϕ

(

 y

)

=−

2 3 y ⟺ϕ

(

 y

)

=−

2 3 ∫  1  y dy ⟺ϕ

(

 y

)

=

−

2 3 ln

|

 y

|

+

k  *&

Sehingga f(%,y) + 1 3  * ln K%K  1 3 x2 y2   2 3 ln

|

 y

|

+

k  + c

Solusi umum !" eksak ini merupakan solusi umum !" semula.

∴ _{solusi umum !" semula adalah '} 1_{3 * ln K%K } 1

3 x2 y2  2 3 ln

|

 y

|

=

lnc1 atau % + cy e1/ x 2  y2 . **