50
PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL PARTIAL NON LINIEAR DENGAN METODE BARU YANG LEBIH EFISIEN
Muhammad Khudzaifah
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Pasuruan
Abstract: Fenomena alam sering kali dapat dimodelkan menjadi suatu persamaan differensial terutama persamaan differensial parsial. Seringkali persamaan differensial parsial sulit ditemukan solusi analitiknya, oleh karena itu disini akan dihitung solusinya dengan pendekatan numerik. Perhitungan numerik dari penyelesaian suatu persamaan diferensial parsial (PDP) seringkali merupakan salah satu langkah dalam memecahkan suatu masalah fisika. Kata Kunci: persamaan differensial, non liniear, metode
PENDAHULUAN
Fenomena alam sering kali dapat dimodelkan menjadi suatu persamaan differensial terutama persamaan differensial parsial. Seringkali persamaan differensial parsial sulit ditemukan solusi analitiknya, oleh karena itu disini akan dihitung solusinya dengan pendekatan numerik. Perhitungan numerik dari penyelesaian suatu persamaan diferensial parsial (PDP) seringkali merupakan salah satu langkah dalam memecahkan suatu masalah fisika. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut beberapa langkah perlu dilakukan. Salah satu langkah yang dilakukan yang berhubungan dengan praktikum mata kuliah PDPN ini adalah pembentukan model matematika dimana persamaan-persamaan matematika tersebut menjelaskan permasalahan yang diturunkan dari sifat-sifat fisika yang selanjutnya model tersebut
diimplementasikan ke dalam model numerik dalam program komputer. Sehingga dari sini kita dapat menemukan beberapa penyelesaian sederhana dari permasalahan atau penyelesaian dari permasalahan yang disederhanakan dimana kondisi batas disederhanakan atau bentuk-bentuk khusus diabaikan.
Persamaan burgers pada praktikum kali ini merupakan model
aliran fluida yang
sederhana.persamaan tersebut menjelaskan bentuk fuida kental tak termampatkan satu dimensi dan bentuk persamaannya adalah:
2 2 x u x u u t u
Persamaan burger adalah persamaan differensial parsial nonlinier, yang mana tidak mudah diselesaikan dengan pendekatan numerik. Maka dalam makalah ini persamaan burger yang mana merupakan persamaan differensial parsial nonlinier akan dilinierkan
51 menjadi persamaan difusi dengan tranformasi Hopf-Cole, dan akan ditingkatkan akurasinya dengan ektrapolasi Richardson.
Rumusan Masalah
Bagaimana penyelesaian numerik persamaan Burger dengan melinierisasikan menggunakan Transformasi Hopf-Cole yang mana akan diselesaikan dengan Metode Beda Hingga dan Crank-Nicholson? Tujuan
Menyelesaikan persamaan Burger secara numerik dengan melinierisasikannya menggunakan Transformasi Hopf-Cole yang mana akan diselesaikan dengan Metode Beda Hingga dan Crank-Nicholson. KAJIAN TEORI
Model Persamaan Burgers
Persamaan Burgers adalah aliran fluida yang sederhana. Persamaan tersebut menjelaskan fluida kental tak termampatkan satu dimensi. Bentuk persamaannya adalah : 2 2 x u x u u t u
dimana u adalah kecepatan aliran fluida dalam arah x dan μ adalah konstanta viskositas. Persamaan non linier Burgers merupakan persamaan translasi non linier dimana ruas kanannya memuat suatu konstanta dikalikan sengan turunan kedua dari u terhadap x. Suku kedua dari ruas kiri menyatakan efek perpindahan non linier karena perubahan bentuk persamaan translasi linier ke bentuk non linier, sedangkan ruas kanan merupakan efek disipasi yaitu
hilangnya energi. Kedua efek tersebut merupakan dua efek yang penting dari Persamaan Navier-Stokes. Persamaan Burgers mempunyai solusi eksak yang berbentuk: ] 2 ) ( tanh[ ) , ( t V x V V V t x U
solusi di atas merupakn gelombang muka (front-wave) yang bergerak dengan kecepatan V. Nilai V menyatakan kecepatan perambatan gelombang muka sekaligus berpengaruh pada ketajaman gelombang muka. TransformasiHopf-Cole Cole (1950) danHopf (1951) menemukanbahwasuatupersamaan burger yang manamerupakanpersamaandifferensi alparsialnonlinierbisaditransformasik ankepersamaanpanas linier denganmenggunakanTransformasibe rikut: = −2 … . . (1) (Whitham, 1999)
Metode Crank Nicholson Skema Crank-Nicholson
merupakanpengembangandariskema eksplisitdanimplisit, yaitu. Dalam skema eksplisit, ruas kanan dari Persamaan difusi tsb
( = ) ditulis pada waktu ke-n. Dalamskemaimplisit, ruaskanandaripersamaantersebutditul isuntukwaktu n+1.Dalamkeduaskematersebutdifere nsialterhadapwaktuditulisdalambentu k: ∆ =
52
∆ ……
……….(2) yang
berartidiferensialterpusatterhadapwa ktu n+1/2. Skema Crank-Nicholson menulisruaskanandariPersamaan (2) padawaktu n+1/2 yang merupakan nilai reratadari skema eksplisit dan implisit. (Yang, 2005)
Metode Beda Hingga
Suatuteorimengenaihampirannumeri kuntukdapatdiperolehmelaluiekspans iderettaylordari ( + ℎ) di sekitar : ( + ℎ) = ( ) + ℎ ′( ) + ! "(x)+ h3 3!F ′′′( ) + ⋯ … … .. (3)
Pengurangan ( ) dari kedua sisi dan membagi kedua sisi dengan ukuran langkah h menghasilkan
( , ℎ) = ( ) ( ) = ′( ) + ! "( ) + ! ′′′( )+……. = ′( ) + (ℎ)
Dengan (ℎ) menyatakan suku galat pemotongan yang sebanding dengan ℎ untuk |ℎ| < .
Dari sinididapathampiranbedamaju (forward difference approximation) untuk ′( )
( , ℎ) =
( ) ( )
(4)
Yang memiliki galat sebanding denganukuran langkah h atau ekivalen dalam orde h. Berikutnya dengan mensubtitusikan –h untuk h
dalam persamaan4)
diperolehhampiranbedamundur (backward difference approximation) untuk ′( )
( , ℎ)
= ( ) − ( − ℎ)
ℎ (5)
Untuk menurunkan rumus hampiran lain untuk turunan pertama, diambil derettaylordari ( + ℎ) dan
( − ℎ)sampai orde kelima: ( + ℎ) = ( ) + ℎ ′ +ℎ 2! "(x)+ h3 3!F ′′′( ) +h 4 4!F ′′′′( ) +h 5 5!F ′′′′′( )+. .. ( − ℎ) = ( ) − ℎ +ℎ 2! "(x)-h3 3!F ′( ) +h 4 4!F ( ) −h 5 5!F ( )+. .. Dan membagiselisihantarakeduapersamaa ndengan2ℎ untuk mendapatkan hampiranbedapusat (central difference approximation) untuk ′( ): ( , ℎ) = ( ) ( ) = ′( ) + ! "( ) + ! ′′′( )+……. = ′( ) + (ℎ ) yangsebandingdenganℎ , serupadengan (4) dan (5) PEMBAHASAN Persamaan Burger + = , ∈ (0,1), ∈ (0, ) NilaiAwal ( , 0) = ( ), 0 ≤ ≤ 1,
53 Kondisi Batas (0, ) = ( ), (1, ) = ( ), ∈ (0, ), Transformasi Hopf-Cole ( , ) = −2 ( , ) ( , ) + = = − Karena = Maka disubtitusikan = = − 2 Akan disubtitusikan = −2 Makadidapatkan = − + = = Sehinggadidapatkanpersamaanpanas = , 0 < < 1, ∈ (0, ) DenganNilaiAwal ( , 0) −2 = ( , 0) ( , 0) − ( ) 2 = ln ( , 0) ( , 0) = exp − ( ) 2 , 0 ≤ ≤ 1, DanKondisi Batas ( ) = (0, ) = −2 (0, ) (0, ) 2 (0, ) + ( ) (0, ) = 0, > 0, ( ) = (1, ) = −2 (1, ) (1, ) 2 (1, ) + ( ) (1, ) = 0, > 0. MetodeBaru 1 PersamaanpanashasilTransformasiHopf-Cole = , 0 < < 1, ∈ (0, ) akan diselesaikan dengan Crank Nicholson − ∆ =2ℎ + , = 1,2, … , , = 0,1, … , − 1, Kondisi Batasdihitungdenganmetodebedahingga 2 − 2ℎ + ( ) = 0 2 − 2ℎ + ( ) = 0 Makaakandidapatkan = +ℎ ( ) = −ℎ ( ) ( ) dihitungdenganBeda PusatOrde 2 ( ) = − 2ℎ , = 1,2, … , . Makaakandidapatkan = −2 ( ) , = 1,2, … , . Dan akandioptimalkandenganektrapolasi Richardson = 4 / ∆ / − ∆ 3 , MetodeBaru 2 PersamaanpanashasilTransformasiH opf-Cole
54 = , 0 < < 1, ∈ (0, ) akandiselesaikandengan Crank Nicholson − ∆ =2ℎ ( + ), = 1,2, … , , = 0,1, … , − 1, DenganNilaiAwal ( , 0) = exp − ( ) 2 , 0 ≤ ≤ 1, DanKondisi Batas = +ℎ ( ) = −ℎ ( ) Diasumsikanbahwa ( , ) = = = = MakadiperolehPersamaanPanas =
Dan diselesaikandengan Crank Nicholson − ∆ = 2ℎ ( + ), = 2, . . , − 1, = 0,1, … , − 1 NilaiAwal ( , 0) = − ( , 0) ( ) (2 ) , = 1,2, … , , Kondisi Batas = − ( ) 2 , = − ( ) 2 Makadidapatkan = −2 , = 1,2, … , . Dan akandioptimalkandenganektrapolasi Richardson = 4 / ∆ / − ∆ 3 , Simulasi Contoh ( , 0) = sin( ) , ∈ [0,1], ( ) = (0, ) = 0, ( ) = (1, ) = 0, > 0. MakabisadidapatkanNilaiAwal ( , 0) = exp cos( ) − 1 2 Kondisi Batas = +ℎ ( ) = + 0 = = −ℎ ( ) = − 0 = NilaiAwal v ( , 0) = −exp cos( ) − 1 2 sin ( ) 2 Kondisi Batas v = − ( ) 2 = 0 = − ( ) 2 = 0 Listing Program
55 function [u,x,t] = heat_CN(a,xf,T,it0,M,N) h=xf/M; dx = xf/M; x = [0:M]'*dx; dt = T/N; t = [0:N]*dt; nu=a*dt/dx/dx; %initial Condition
for i = 1:M+1, u(i,1) = it0(x(i)); end r = a*dt/dx/dx;
r1 = 2*(1 - r); r2 = 2*(1 + r); for i = 1:M - 1
A(i,i) = r1; %Eq.(9.2.17)
if i > 1, A(i - 1,i) = -r; A(i,i - 1) = -r; end end for k = 2:N + 1 %boundary Condition u(1,k) = u(3,k-1)+(nu*(u(2,k-1)-2*u(3,k-1)+u(4,k-1))); u(M+1,k)= u(M-1,k-1)+(nu*(u(M-2,k-1)-2*u(M-1,k-1)+u(M,k-1))); %calculate matrix b(right side) b = [r*u(1,k); zeros(M - 3,1); r*u(M + 1,k)] ... + r*(u(1:M - 1,k - 1) + u(3:M + 1,k - 1)) + r2*u(2:M,k - 1); %Calculatetridiagonal matrix u(2:M,k) = trid(A,b); end function [v,x,t] = CN(a,xf,T,it0,bx0,bxf,M,N) h=xf/M; dx = xf/M; x = [0:M]'*dx; dt = T/N; t = [0:N]*dt;
for i = 1:M + 1, v(i,1) = it0(x(i)); end for n = 2:N + 1, v([1 M + 1],n) = [bx0(t(n)); bxf(t(n))]; end r = a*dt/dx/dx; r1 = 2*(1 - r); r2 = 2*(1 + r); for i = 1:M - 1 B(i,i) = r1; %Eq.(9.2.17)
if i > 1, B(i - 1,i) = -r; B(i,i - 1) = -r; end end for k = 2:N + 1 c = [r*v(1,k); zeros(M - 3,1); r*v(M + 1,k)] ... + r*(v(1:M - 1,k - 1) + v(3:M + 1,k - 1)) + r2*v(2:M,k - 1); v(2:M,k) = trid(B,c); end function x = trid(A,b)
% solve tridiagonal system of equations
N = size(A,2);%m = size(X,dim) returns the size of the dimension of X specified by scalar dim.
for m = 2:N % Upper Triangularization
tmp = A(m,m - 1)/A(m - 1,m - 1); A(m,m) = A(m,m) -A(m - 1,m)*tmp; A(m,m - 1) = 0; b(m,:) = b(m,:) -b(m - 1,:)*tmp; end x(N,:) = b(N,:)/A(N,N); for m = N - 1: -1: 1 % Back Substitution x(m,:) = (b(m,:) -A(m,m + 1)*x(m + 1))/A(m,m); end function [f,x] = Method1(M,N) clc; a = 0.1; %parameter E it0 = inline('exp((cos(pi*x)-1)/(0.2*pi))','x'); %initial condition xf = 1; T = 1;
h=xf/M;
%Calculate w with crank Nicholson [w,x,t] = heat_CN(a,xf,T,it0,M,N); %Calculatewx with central finite difference for i=2:M for j=1:N+1 wx(i,j)=w(i+1,j)-w(i-1,j)/(2*h); end end for i=2:M for j=1:N+1 u(i,j)=-2*a*(wx(i,j)/w(i,j));
56 end end dx = xf/M; x = [0:M]'*dx; for i=1:M+1 u(i,1)=sin(pi*x(i)); end for j=1:N+1 u(1,j)=0; u(M+1,j)=0; end f=u; function f = Method2(M,N) clc; a = 0.001; %the parameter of E it1 = inline('((exp((cos(pi*x)- 1)/(0.002*pi)))*sin(pi*x))/-0.002','x'); %initial condition v it0 = inline('exp((cos(pi*x)-1)/(0.002*pi))','x'); %initial condition w
bx1 = inline('0'); bxf = inline('0'); %boundary condition v
%bx0 = inline('0'); bxf0 = inline('0'); xf = 1; T = 1; M=100;N=100;
%Calculate w with crank Nicholson [w,x,t] = heat_CN(a,xf,T,it0,M,N); %Calculate v=wx with crank Nicholson [v,x,t] = CN(a,xf,T,it1,bx1,bxf,M,N); for i=1:M+1 for j=1:N+1 u(i,j)=-2*a*(v(i,j)/w(i,j)); end end f=u;
Program Richard Method 1 clear all M=100; N=100; g=method1(M,N); h=method1(2*M,2*N); for i=1:M+1 for j=1:N+1 L(i,j)=(4*h((2*i)-1,(2*j)-1)-g(i,j))/3; end end dx =1/M; x = [0:M]'*dx; for it=1:M+1 figure(1); plot(x,L(:,it)); drawnow; end
Program Richard Method 2 clear all M=100; N=100; g=method2(M,N); h=method2(2*M,2*N); for i=1:M+1 for j=1:N+1 L(i,j)=(4*h((2*i)-1,(2*j)-1)-g(i,j))/3; end end dx =1/M; x = [0:M]'*dx; for it=1:M+1 figure(1); plot(x,L(:,it)); drawnow; end HasilSimulasiuntuk = , MetodeBaru 1 MetodeBaru 2
57 Perbandingan HasilSimulasiuntuk = , MetodeBaru 1 MetodeBaru 2 Perbandingan KESIMPULAN
Persamaan burger adalah persamaan differensial parsial nonlinier, yang mana tidak mudah diselesaikan dengan pendekatan numerik. Persamaan burger yang mana merupakan persamaan differensial parsial nonlinier dilinierkan menjadi persamaan difusi dengan tranformasi Hopf-Cole, kemudian pada metode baru 1 akan diselesaikan dengan Crank-Nicholson dan diselesaikan dengan beda pusat, dan akan ditingkatkan akurasinya dengan ektrapolasi Richardson. Pada metode baru 2 akan diselesaikan dengan Crank-Nicholson dan akan di misalkan = dan diturunkan lagi
58 terhadap t, sehingga diperoleh persamaan panas dan diselesaikan dengan Crank-Nicholson, dan akan ditingkatkan akurasinya dengan ektrapolasi Richardson.
DalammakalahiniPersamaan burger yang mana merupakan persamaan differensial parsial nonlinier dilinierkan menjadi persamaan difusi dengan tranformasi Hopf-Cole, dan selanjutnya akan dilakukan pendekatan numerik dengan crank-nicholson dan metode beda hingga. Saya saran kan kepada pembaca agar mengembangkan makalah ini dengan pendekatan numerik yang lain sehingga bisa memperoleh hasil yang akurasinya lebih tinggi.
DAFTAR PUSTAKA
Liao, Wenyuandan Zhu, Jianping, 2011, Efficient and accurate finite difference schemes for solving one-dimensional Burgers’ equation, International Journal of Computer Mathematics, 88:12, 2575-2590.
Whitham, G.B., 1999, Linear and Nonlinear Waves, John Wiley, New York.
Yang, Won Young, dkk., 2005, Applied Numerical Method Using Matlab, John Wiley and Son, Inc., New York.
