ANALISIS PERBANDINGAN METODE PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL PADA KELELAHAN UMUR BAJA
Restra Dova Audora1, Miftahul Fadillah Respati2, Ardelia Irena3 , Muhammad Imam Muttaqiin4, Retna Juriyah5, Supriyono6
Program Studi Elektro Mekanika, Sekolah Tinggi Teknologi Nuklir, Jalan Babarsari PO BOX 6101 YKBB Yogyakarta 55281
ABSTRAK
ANALISIS PERBANDINGAN METODE PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL PADA KELELAHAN UMUR BAJA. Telah dilakukan analisis tentang perbandingan metode penyelesaian persamaan differensial pada kelelahan umur baja yang tujuannya adalah mencari metode terbaik untuk menyelesaikan persoalan differensial numerik. Penyelesaian persoalan differensial numerik dapat membantu untuk menentukan hubungan antara Stress yang diberikan terhadap umur suatu baja melalui kurva S-N.
Dalam melakukan analisis ini dipilih tiga metode, yaitu metode Euler, metode Runge-Kutta (RK), dan metode Ode45. Ketiga metode tersebut dicari errornya kemudian dibandingkan. Hasil analisis menunjukkan bahwa metode Ode45 dan Runge-Kutta (RK) memiliki keakuratan yang lebih baik dibandingkan metode Euler.
Kata kunci: Differensial numerik, Ode45, Runge-Kutta (RK), Euler, Kelelahan baja
ABSTRACT
METHOD COMPARISON ANALYSIS OF DIFFERENTIAL EQUATION COMPLETION ON FATIGUE LIFE OF STEEL. An analysis has been done on the comparison of the methods of differential equations solving on the fatigue life of steel which purpose is to find the best method to solve numerical differential problems. Numerical differential problems solving can help to determine the relationship between stress given and the number cycles to failure of a steel through the S-N curve. In conducting this analysis three methods were chosen, which is the Euler method, the Runge-Kutta (RK) method, and the Ode45 method. The three methods have errors, then are compared. The results show that Ode45 and Runge- Kutta (RK) methods have better accuracy than Euler method
Keywords: Numerical differential, Ode45, Runge-Kutta (RK), Euler, Fatigue life of steel
PENDAHULUAN Latar Belakang
Ada beberapa masalah yang timbul dalam pengerjaan mekanis di lapangan yang dialami oleh para ahli teknis di bidangnya seperti masalah fatik pada baja yang sulit untuk dideteksi tanda-tanda awal kelelahannya hingga diperkirakan kapan terjadinya patah pada suatu baja. Apabila hal tersebut terjadi tanpa diketahui tentunya akan sangat merugikan. Sehingga untuk mengantisipasi kejadian tersebut perlu
dilakukan suatu proses analisis terhadap pengujian umur fatik.
Hasil data pengujian tersebut akan dimodelkan untuk memudahkan dalam memahami masalah dengan memberikan gambaran uji fatik. Selain itu, pemodelan
juga mempermudah dalam
mengkomunikasikan gambaran kerja tersebut kepada orang-orang yang terlibat.
Selanjutnya, pemodelan uji fatik akan menghasilkan tampilan kurva S-N yang merupakan persamaan diferensial numerik.
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat paling sedikit satu derivatif dari fungsi yang tidak diketahui. [1]
Dalam menyelesaikan persamaan diferensial pada uji fatik, digunakan tiga metode yaitu metode Euler, metode Runge- Kutta (RK), dan metode Ode45. Dimana pemrograman metode Euler dan Runge-Kutta (RK) menggunakan algoritma masing- masing dan Ode45 menggunakan toolbox MATLAB. Sehingga perlu dilakukan analisis perbandingan ketiga metode tersebut untuk mendapatkan metode yang terbaik dalam penyelesaian persamaan diferensial numerik.
Dasar Teori
Istilah fatik diartikan perilaku logam yang bilamana dibebani tegangan variabel siklis yang cukup besar (seringkali di bawah tegangan luluh) akan mengalami perubahan yang terdeteksi pada sifat mekaniknya. [2]
Hukum pendinginan Newton menyatakan bahwa laju perubahan suhu suatu benda sebanding dengan perbedaan antara suhu benda dan suhu sekitarnya sehingga grafik perbandingan waktu dan suhu merupakan persamaan diferensial. [3]
seperti yang ditunjukkan pada persamaan berikut ini: [4]
) (
T T0 dt kdT
Jika, Pers. (1) disesuaikan dengan variabel yang terdapat pada kasus uji fatik maka persamaannya berubah menjadi
) (
S S0 dN kdS (2)
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang menghubungkan antara variabel tidak bebas dengan 1 atau lebih variabel bebas dengan adanya koefisien pada masing-masing suku bentuk diferensialnya.
[5]
The Euler method is one of the earliest techniques developed for the solution of ordinary differential equation. This equation simply states that the next value of y is obtained from the previous value by moving a step of width h in the tangential direction of y .[6]
,...
2 , 1 , 0 );
,
1 (
y hf x y i
yi i i i
The most widely used methods of integration for ordinary differential equations are the series of methods called
Runge-Kutta second, third, and fourth order, plus a number of other techniques that are variation on the Runge-Kutta theme. [6]
)
...
, (
. . .
, ) , (
...
1 1 .
2 2 1 1
1 21 2
2 1
2 2 1 1 1
m m m
m m
i m i m
i i
i i
m m i
i
k a
k a k a y h c x hf k
k a y h c x hf k
y x hf k
k w k
w k w y y
MATLAB’s standard solver for ordinary differential equations (ODEs) is the function ode45. [7] The solver ode45 implements the Runge-Kutta (4,5) method.
[8]
METODE
Tahapan Analisis Data
Tahapan-tahapan dalam menganalisis perbandingan metode penyelesaian persamaan diferensial adalah sebagai berikut:
1. Menentukan data uji fatik.
2. Mensubstitusi nilai pada data ke persamaan Hukum Pendinginan Newton.
3. Memodelkan data menjadi persamaan diferensial.
4. Menyelesaikan persamaan diferensial diatas pada program MATLAB menggunakan metode Euler, RK, dan ode45.
5. Membandingkan data ketiga metode dengan data uji fatik sebenarnya.
6. Menentukan nilai error pada ketiga metode sebagai penentu tingkat akurasi.
HASIL DAN PEMBAHASAN Pemodelan Data
Tabel. 1. Data uji fatik [9]
Beban Tekanan (S) Siklus (N)
650 MPa 0
640 MPa 1 x 104
570 MPa 3 x 104
500 MPa 1 x 105
420 MPa 3 x 105
340 MPa 1 x 106
340 MPa 3 x 104
340 MPa 1 x 107
340 MPa 1 x 108
Data di atas kemudian disubstitusikan ke dalam Pers. (2) sehingga diperoleh persamaan akhir berupa persamaan diferensial.
270514425
17891783
27051442517891783 17772660
101954149
N
e dN
dS
Penyelesaian Persamaan
Persamaan (5) diselesaikan pada program MATLAB menggunakan tiga metode penyelesaian dengan hasil sebagai berikut.
Tabel. 2. Perbandingan Metode Euler, RK, dan Ode45 dengan n=100
Siklus (N)
Beban Tekanan (S) dengan n = 100
Euler Runge-Kutta Ode45
0 650.0000000000000000 650.0000000000000000 650.0000000000000000
1 x 104 629.4966470740250000 630.1599866245080000 629.4966470740250000 3 x 104 588.4899412220750000 594.2079505613080000 588.4899412220750000 1 x 105 444.9664707402500000 499.9901617252700000 444.9664707402500000 3 x 105 228.4106589684490000 382.5348973703470000 228.4106589684490000 1 x 106 212.8521499231500000 340.3850023087020000 212.8521499231500000 3 x 104 221.9479560371940000 339.9767362697570000 221.9479560371940000 1 x 107 225.0023928424510000 339.9788389014240000 225.0023928424510000 1 x 108 226.1391098182690000 339.9795864107300000 226.1391098182690000
Tabel. 3. Perbandingan Metode Euler, RK, dan Ode45 dengan n=1000
Siklus (N)
Beban Tekanan (S) dengan n = 1000
Euler Runge-Kutta Ode45
0 650.0000000000000000 650.0000000000000000 650.0000000000000000
1 x 104 629.4966470740250000 630.1599866245080000 629.4966470740250000 3 x 104 588.4899412220750000 594.2079505613080000 588.4899412220750000 1 x 105 444.9664707402500000 499.9901617252700000 444.9664707402500000 3 x 105 228.4106589684490000 382.5348973703470000 228.4106589684490000 1 x 106 212.8521499231500000 340.3850023087020000 212.8521499231500000 3 x 104 221.9479560371940000 339.9767362697570000 221.9479560371940000 1 x 107 225.0023928424510000 339.9788389014240000 225.0023928424510000 1 x 108 226.1391098182690000 339.9795864107300000 226.1391098182690000
Gambar. 1.
Perbandingan Metode Euler, RK, dan Ode45 dengan n=100Gambar. 2. Perbandingan Metode Euler, RK, dan Ode45 dengan n=1000
Perbandingan Error
Selanjutnya dihitung error masing- masing metode terhadap data uji fatik pada Tabel.1 dengan hasil sebagai berikut:
Tabel. 4. Error(%) Metode Euler, RK, dan Ode45 dengan n=100
Siklus (N)
Error(%)
Euler Runge-Kutta Ode45
0 0 0 0
1 x 104 1.6411488946836000 1.5375020899206300 1.5375020693254600
3 x 104 3.2438493372061400 4.2470088704049200 4.2470141321994800
1 x 105 11.0067058519500000 0.0019676549459973 0.0000000285666033
3 x 105 45.6165097694169000 8.9202625308697700 8.8994598774873800
1 x 106 37.3964264931912000 0.1132359731476430 0.1222945766600040
3 x 104 34.7211894008253000 0.0068422736008830 0.0052085869979337
1 x 107 33.8228256345732000 0.0062238525223493 0.0143805416902865
1 x 108 33.4884971122738000 0.0060039968441154 0.0147285976188313
Tabel. 5. Error(%) Metode Euler, RK, dan Ode45 dengan n=1000
Siklus (N)
Error(%)
Euler Runge-Kutta Ode45
0 0 0 0
1 x 104 1.6411488946836000 1.5375020899206300 1.5375020693254600
3 x 104 3.7534508492207000 4.2470138030482400 4.2470141321994800
1 x 105 1.1158310381892000 0.0000002751404054 0.0000000285666033
3 x 105 11.1021653390293000 8.8994603283090400 8.8994598743485700
1 x 106 2.9531230658732400 0.1223104561414760 0.1222948026317700
3 x 104 3.0587406732549900 0.0000003500873484 0.0026705606808765
1 x 107 3.0515187421314700 0.0000005644782377 0.0115594476697070
1 x 108 3.0487421574632300 0.0000005622914714 0.0120286516202922
Rata-rata error masing-masing metode adalah sebagai berikut.
Tabel. 6. Rata-rata Error (%)
Metode
Rata-rata Error (%)
Euler 12,81454851
Runge Kutta 1,646963093
Ode45 1,648506554
KESIMPULAN
Berdasarkan hasil penelitian yang telah dilakukan dapat diambil beberapa kesimpulan diantaranya memperoleh persamaan diferensial dari pemodelan data uji fatik sebagai berikut.
270514425
17891783
27051442517891783 17772660
101954149
N
e dN
dS
Hasil perbandingan ketiga metode tersebut menunjukkan bahwa metode Ode45 dan Runge-Kutta (RK) memiliki ketelitian yang akurat dalam penyelesaian diferensial numerik dibandingkan metode Euler.
UCAPAN TERIMAKASIH
Penulis mengucapkan terimakasih kepada semua pihak yang terlibat dalam penyusunan makalah ini, khususnya kepada Ir. Aliq, Ph.D., Halim Hamadi, S.Si., M.Sc., dan Haerul Ahmadi, M.Si.
DAFTAR PUSTAKA
1. D. Moentiarsanto dan B. T. Cahyono, Persamaan Defferensial: ANANDA, 1982.
2. R. E. Smallman, Metalurgi Fisik Modern: PT Gramedia Pustaka Utama, 1991.
3. N. Suryani dan Ign. E. Santosa,
“Pengukuran Konstanta Pendinginan Newton”, pada Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains IX, 2014, vol. 5, pp. 386-390
4. T. Rustamaji. (30 September 2014).
Penerapan Persamaan Diferensial dlm Kehidupan Sehari-hari. Available:
http://www.rustamaji.net/en/matematika /penerapan-persamaan-diferensial-dlm- kehidupan-sehari-hari
5. B. Murachman, Aplikasi Matematika Analtis untuk Bidang Teknik: Gadjah Mada University Press, 2013.
6. A. Constantinides and N. Mostoufi, Numerical Methods for Chemical Engineers with MATLAB Applications:
Prentice Hall PTR, 1999.
7. N. A. F. Senan, A Brief Introduction to Using Ode45 in MATLAB: Department of Mechanical Engineering, University of California at Berkeley.
8. Franco. (3 Oktober 2006). What Does the 45 Mean in Ode45?.Available:
https://www.cds.caltech.edu/~murray/wi ki/index.php/What_does_the_45_mean_
in_ode45%3F
9. R. Rivandy. (29 Desember 2011). Tugas
Fatigue. Available:
https://blog.ub.ac.id/rizkirivandy/categor y/material-teknik/
LAMPIRAN 1
Daftar pertanyaan dan jawaban
1. Data apa yang menjadi perbandingan terhadap data hasil model untuk menentukan error?
Jawab:
Error yang dihasilkan merupakan perbandingan data hasil model terhadap data sebenarnya pada uji fatik.
2. Mengapa jumlah angka di belakang koma pada perbandingan ketiga metode yang tertera cukup banyak dan tidak menggunakan empat angka di belakang koma saja?
Jawab:
Karena agar hasil perbandingannya akurat. Apabila menggunakan empat angka di belakang koma selain alasannya kurang akurat maka metode Runge-Kutta (RK) dan Ode45 akan terlihat sama.
