Nama : Eko Prasetyo Wijiyanto
NIM : 5111420039
Rombel : 1 (Satu)
Mata Kuliah : Persamaan Differensial dengan Aljabar
UJIAN AKHIR SEMESTER
SOAL :
1. Sebutkan metode penyelesaian persamaan differensial dan tuliskan ciri-ciri khusus setiap metode !
2. Tentukan nilai x, y, dan z dalam persamaan berikut ini dengan metode Gauss ! persamaan 1 3x + 6y = 6
persamaan 2 5x + 6z = 8 persamaan 3 y + z = 2
3. Buatlah transpose matriks yang dibentuk dari persamaan pada no. 2 !
4. Hitunglah determinan dan inverse matriks pada matriks di bawah ini dengan menggunakan program octave (screenshoot hasil running program octave dan copy script octave pada lembar pengerjaan UAS)
[
3431201301120110]
5. Jelaskan dan berikan contoh matriks simetri, matriks bujur sangkar, dan matriks identitas !
JAWAB :
1. Metode-metode penyelesaian persamaan differensial : A. Metode Euler
Adapun ciri-ciri dari metode Euler, yaitu sebagai berikut :
Merupakan salah satu bentuk metode satu langkah yang paling sederhana
Merupakan metode yang memiliki tingkat ketelitian yang rendah
Merupakan metode yang mudah dipahami dan sebagai pengantar untuk mempelajari metode lain yang lebih teliti
Mengandung dua macam galat, yaitu galat pemotongan dan galat longgokan
B. Metode Heun
Adapun ciri-ciri dari metode Heun, yaitu sebagai berikut :
Merupakan hasil modifikasi dari metode Euler
Metode ini memperkirakan dua turunan pada interval, yaitu pada ujung awal dan akhir
Pada metode ini, metode Euler dijadikan sebagai solusi perkiraan awal (predictor) dan diperbaiki dengan metode Heun (corrector)
Metode ini dapat diterapkan secara iterative pada saat menghitung slope di ujung akhir selang dan nilai yi+1 korektor
C. Metode Poligon
Adapun ciri-ciri dari metode Poligon, yaitu sebagai berikut :
Slope di selang antara xi dan di xi+1 ditetapkan sebagai nilai slope di titik tengah selang yaitu di xi+0,5
Metode ini memiliki nama lain yaitu Modified Euler Method D. Metode Runge-Kutta
Adapun ciri-ciri dari metode Runge-Kutta, yaitu sebagai berikut :
Merupakan metode yang memberikan ketelitian hasil yang lebih besar
Metode ini tidak memerlukan turunan dari fungsi
Bentuk umum dari metode Runge-Kutta yaitu : yi+1 = yi + Φ (xi ,yi, Δx) Δx
Metode Runge-Kutta merupakan metode yang efisien dalam hitungan karena nilai k mempunyai hubungan yang berurutan
Mempunyai beberapa tipe yang tergantung pada nilai n yaitu:
- Untuk n = 1 Metode Runge-Kutta Order Satu - Untuk n = 2 Metode Runge-Kutta Order Dua - Untuk n = 3 Metode Runge-Kutta Order Tiga - Untuk n = 4 Metode Runge-Kutta Order Empat
2. Metode Eliminasi Gauss Diketahui :
persamaan 1 → 3x + 6y = 6
persamaan 2 →5x + 6z = 8
persamaan 3 →y + z = 2 Penyelesaian :
1. Mengubah persamaan linear tersebut menjadi sebuah matriks yang teraugmentasi :
[
350601061|
682]
Baris ke-1 didapat dari 3x + 6y = 6 Baris ke-1 didapat dari 5x + 6z = 8 Baris ke-1 didapat dari y + z = 2
2. Mengubah baris pertama kolom pertama (a11) menjadi angka 1 : b1
b2
b3
[
350601061|
682]
(1/3 x b1)[
150201061|
282]
3. Mengubah baris ke-2 pada kolom pertama (a21) menjadi angka nol dan mengubah baris ke-2 pada kolom ke-2 (a22) menjadi angka 1 :
b1 b2
b3
[
150012061|
282]
(-5b1 + b2)[
100−2110601|
−222]
b1 b2
b3
[
150012061|
282]
(-1/10 x b2)[
100211−001,6|
022,2]
4. Mengubah baris ke-3 pada kolom pertama (a31) dan baris ke-3 pada kolom ke-2 (a32) menjadi angka nol dan baris ke-3 pada kolom ke-3 (a33) menjadi angka 1 :
Karena baris ke-3 pada kolom pertama (a31) sudah bernilai nol, maka kita akan mengubah (a32) menjadi nol dan (a33) menjadi angka 1
b1 b2
b3
[
100211−001,6|
022,2]
(-b2 + b3)[
100210−010,6,6|
012,,82]
b1 b2
b3
[
100102−010,6,6|
102,,28]
(0,625 x b3)[
100210−001,6|
10,1252,2]
5. Setelah melengkapi ciri-ciri dari Eliminasi Gauss dan mendapatkan matriks yang eselon baris, kemudian melanjutkan dengan mencari nilai variabel x, y, dan z dengan substitusi :
[
100210−001,6|
1,12502,2]
dari matriks di samping, maka didapatkan SPL 3 variabel yang baru yaitu : x + 2y = 2y – 0,6z = 0,2
z = 1,125
Karena variabel z sudah diketahui yaitu z = 1,125, maka untuk mencari variabel y dilakukan dengan mensubstitusikannya dengan persamaan linear pada baris ke-2, yaitu :
y – 0,6z = 0,2
y – 0,6(1,125) = 0,2
y = 0,675 + 0,2
y = 0,875
Sedangkan untuk variabel x didapatkan dengan mensubstitusikannya dengan persamaan linear pada baris ke-1, yaitu :
x + 2y = 2
x + 2(0,875) = 2
x = 2 – 1,75
x = 0,25
Jadi, nilai nilai dari variabel x = 0,25; y = 0,875; z = 1,125 3. Transpose matriks persamaan 1, 2, dan 3
Kita misalkan matriks persamaan 1, 2, dan 3 menjadi matriks A, maka :
A =
[
3 6 05 0 60 1 1]
Maka, transpose matriks A yaitu :
AT ¿
[
3 5 06 0 10 6 1]
Transpose matriks nilai x, y, dan z
Kita misalkan matriks persamaan x, y, dan z menjadi matriks B, maka :
B =
[
0,8751,1250,25]
Maka, transpose matriks A yaitu : BT = [0,25 0,875 1,125]
4. A. Screenshoot hasil running program octave
B. Copy script octave
%% Menghitung determinan dan inverse matriks ordo 4 x 4
%% Nama : Eko Prasetyo Wijiyanto
%% NIM : 5111420039
%% Rombel : 1 (Satu)
%% Mata Kuliah : Persamaan Differensial dengan Aljabar
%% UJIAN AKHIR SEMESTER
%% Membuat matriks A dengan ordo 4 x 4 A = [1 2 0 0; 3 0 1 1; 4 1 1 1; 3 3 2 0];
%% Menghitung determinan matriks A detA = det (A);
%% Menghitung inverse matriks A inA = inv (A);
5. A. Matriks Simetri
Merupakan salah satu jenis matriks yang memiliki elemen matriks baris ke-I sama dengan elemen matriks kolom ke-j untuk I = j. Atau dapat dikatakan elemen aij sama dengan elemen aj i.
Contoh : A =
[
124235745]
Dapat dilihat bahwa elemen baris ke-1 sama dengan kolom ke-1, baris ke-2 sama dengan kolom ke-2, dan baris ke-3 sama dengan kolom ke-3.
B. Matriks Bujur Sangkar
Merupakan salah satu jenis matriks yang memiliki jumlah kolom dan baris yang sama atau bisa disebut sebagai matriks persegi. Matriks ini memiliki ordo n.
Contoh : A =
[
123456789]
C. Matriks Identitas
Merupakan salah satu jenis matriks yang matriks diagonal dengan elemen- elemen diagonal utamanya bernilai 1. Umumnya matriks ini dinotasikan dengan “I”.
Contoh : I =
[
100010001]
~~ TERIMA KASIH ~~
