Kumpulan Soal dan Jawaban Persamaan Kuadrat

(1)

(2)

(3)

SOAL-SOAL:

1. Diketahui bentuk umum dari persamaan x2 – 3 = 4(x – 2) adalah ax2 + bx + c = 0. Tentukan nilai a, b, dan c dari persamaan kuadrat tersebut!

Jawaban: nilai a, b, dan c dari persamaan x2 – 3 = 4(x – 2) berturut-turut adalah 1, -4, dan 5.

2. Diketahui salah satu akar dari persamaan kuadrat x2 – 6x + c = 0 adalah 3.

Tentukan nilai c yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut.

Jawaban: nilai c yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut adalah 9.

3. Diketahui salah satu akar dari persamaan kuadrat x2 + 3x + c = 0 adalah 4.

Tentukan nilai akar lainnya!

Jawaban: akar lainnya dari persamaan kuadrat tersebut adalah -7.

4. Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 – 8x + 15 = 0 !

Jawaban: himpunan penyelesaian dari x2 – 8x + 15 = 0 adalah {3, 5}

5. Diketahui akar-akar persamaan x2 + 4x – 12 = 0 adalah x1 dan x2. Tentukan hasil dari x1 + x2!

Jawaban: hasil dari x1 + x2 adalah -4.

6. Salah satu akar dari persamaan 2x2 + 4x+ c = 0 adalah -3, akar lainnya adalah … Jawaban:

Dengan mensubstitusikan nilai x = 3 akan diperoleh 2x2 + 4x+ c = 0

2(-3)2 + 4(-3)+ c = 0 2(9) – 12 + c = 0 18 – 12 + c = 0 6 + c = 0 c = -6

Substitusi nilai c ke persamaan, lalu faktorkan:

2x2 + 4x+ c = 0 2x2 + 4x – 6 = 0 (2x-2)(x+3) = 0

x = 2/2 = 1 atau x = -3

Jadi, akar lainnya dari persamaan tersebut adalah 1.

7. Diketahui nilai akar-akar dari persamaan x2+ bx + c = 0 adalah 3 dan -1.

Berapakah nilai b yang memenuhi persamaan tersebut?

Jawaban: Nilai b yang memenuhi persamaan tersebut adalah -2.

8. Carilah bentuk kuadrat sempurna dari persamaan x2 – 6x – 7 = 0 !

(4)

Jawaban: Bentuk kuadrat sempurna dari persamaan x2 – 6x – 7 = 0 adalah (x-3)2 = 16.

9. Jika diketahui sebuah persamaan kuadrat x2 – 6x + 9 = 0. Maka Jenis akar-akarnya adalah …

x2 – 6x + 9 = 0 (x – 3)(x – 3) = 0 x = 3 atau x = 3

Berarti, akarnya real kembar.

Cara kedua :

Temukan nilai diskriminannya:

D = b2 – 4ac D = (-6)2 – 4(1)(9) D = 36 – 36

D = 0

Karena D = 0, maka akar-akarnya adalah real kembar.

10. Suatu persamaan kuadrat memiliki akar-akar 4 dan -7. Maka persamaan kuadratnya adalah…

Jawaban: Persamaan kuadratnya adalah:

(x – x1)(x – x2) = 0 (x – (4))(x – (-7)) = 0 (x – 4)(x + 7) = 0 x2 – 4x + 7x – 28 = 0 x2 +3x – 28 = 0

Jadi, persamaan yang akar-akarnya bernilai 4 dan -7 adalah x² +3x – 28 = 0.

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

Soal 1

Dari persamaan kuadrat , tentukan jenis akar persamaan kuadratnya!

Jawab:

D = b² – 4ac

D = D = 25 – 24 D = 1

Diketahui nilai diskriminan adalah 1 atau D = 1 > 0, maka persamaan kuadrat tersebut memiliki akar- akar real dan berlainan.

Soal 2

Persamaan kuadrat memiliki akar-akar yang berlainan, maka tentukan nilai b!

Jawab:

D =

D = b² + 4b + 4 -16 D = b² + 4b – 12

b² + 4b – 12 > 0 (b + 6)(b – 2) > 0

Jadi, b < -6 atau b > 2

(12)

Kuadrat Sempurna

Persamaan kuadrat tidak selalu dapat diselesaikan dengan cara pemfaktoran. Terdapat cara selain pemfaktoran untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, yaitu dengan cara melengkapi kuadrat sempurna. Dari cara melengkapi kuadrat sempurna, dihasilkan bilangan rasional dengan rumus sebagai berikut.

atau

Soal 1

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya sebagai berikut: ! Jawab:

(x – 5) (x + 5) = 0 x = 5 atau x = -5

Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat di atas adalah {5, -5}

Soal 2

(13)

Tentukan nilai x dari persamaan kuadrat ! Jawab:

(x – 2) (x – 3) = 0

x – 2 = 0 atau x – 3 = 0 x = 2 atau x = 3

Jadi nilai x dari persamaan kuadrat di atas adalah 2 atau 3.

Soal 3

Dari persamaan kuadrat , himpunan penyelesaiannya menggunakan kuadrat sempurna adalah …

Jawab:

x = 1 + 3 = 4 atau x = -1 + 3 = 2

Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat di atas adalah {4, 2}

Conroh Soal IV

Tentukan persamaan kuadratnya adalah 3x² - bx + 8 dan salah satu akarnya adalah = 2 Penyelesaian:

(14)

Substitusikan x 2 ke dalam persamaan kuadrat: 3(2)² - b(2) + 8 = 0 Sehingga, 12 - 2b + 8 = 0

Simplifikasi menjadi 20 - 2b = 0, dan hasilnya b = 10 Persamaan kuadrat menjadi 3x² 10x +8 = 0

Faktorkan persamaan: (3x - 2)(x 4) = 0 Akar-akarnya adalah x1 = 4/3 dandan x2 = 4.

Jadi, nilai akar lain dari persamaan 3x² 2 10x + 8 = 0 adalah 2/3

5. Contoh Soal V

Tentukan nilai a, b, dan c pada persamaan kuadrat 3(4x²-2x)=12-2x Penyelesaian:

3(4x²-2x) = 12-2x 12x² - 6x = 12 – 2x 12x² - 4x - 12 = 0 3x² - x - 3 = 0

Jadi nilai a = 3, b = -1, dan c = -3

6. Contoh Soal VI

Tentukan nilai a, b, dan c pada persamaan kuadrat 3(2x²-4x)-9-5x Penyelesaian:

3(2x²-4x) = 9-5x 6x² - 12x = 9 - 5x 6x² + 5x - 9 = 0

Jadi nilai a = 6, b = 5, dan c = -9.

7. Contoh Soal VII

Tentukan nilai a, b, dan c pada persamaan kuadrat 2(5z²-3z)=10-4z Penyelesaian:

2(5z²-3z) = 10-4z 10z² - 6z = 10 - 4z 10z² + 4z - 10 = 0

(15)

8. Contoh Soal VIII

Tentukan nilai a, b, dan c pada persamaan kuadrat 4(2y²-3y)-16-2y Penyelesaian:

4(2y²-3y) = 16-2y 8y² - 12y = 16 - 2y 8y² + 2y - 16 = 0

9. Contoh Soal IX

Tentukan nilai maksimum dari fungsi kuadrat y= bx2 + 4x + (b+2) dengan sumbu simetri x = -2.

Penyelesaian:

y = bx² + 4x + (b + 2) Sumbu simetri Xe

= -b/-2a = -2

= -2 = -4/-2b b = 1

y = bx² + 4x + (b + 2) y = x² + 4x + 3 Nilai maksimum:

ye = f(xe) = f(- 2)

ye = (- 2)² + 4(- 2) + 3 = 1

Jadi, nilai maksim, mnya adalah 1.

10. Contoh Soal X

Tentukan nilai y dari (3y + 2)(y - 1) = 0.

Penyelesaian:

Gunakan sifat pada sistem bilangan real berikut:

a.b = 0, dengan a, b ∈ ℝ hanya dipenuhi a=0 atau b=0.

Sehingga:

(3y + 2)(y - 1) = 0

(3y + 2) = 0 atau (y - 1) = 0 y = -2/3 atau y = 1

Jadi nilai y adalah y = -2/3 dan x = 1 11. Contoh Soal XI

Tentukan nilai z dari (z + 3)(2z - 4) = 0.

Penyelesaian:

(16)

Gunakan sifat pada sistem bilangan real berikut:

a.b = 0, dengan a, b ∈ ℝ hanya dipenuhi a=0 atau b=0.

Sehingga:

(z + 3)(2z - 4) = 0

(z + 3) = 0 atau (2z - 4) = 0 z = -3 atau z = 2

Jadi, nilai z adalah z = -3 dan z = 2 12. Contoh Soal XII

Hitunglah nilai q dari persamaan 2y² + (3y - q)y + (q + 4) = 0 yang akarnya saling berkebalikan.

Penyelesaian:

2y² + (3y - q)y + (q + 4) = 0

Ingat! Akarnya saling berkebalikan, maka:

y₁ = 1/y₂ atau y₁.y₂ = 1 y₁.y₂ = 1 ⟶ (q + 4) / 2 = 1 q + 4 = 2

q = -2

Jadi, nilai konstan q adalah -2 13. Contoh Soal XIII

Hitunglah nilai s dari persamaan 3w² + (2w + s)w + (s - 8) = 0 yang akarnya saling berkebalikan.

Penyelesaian:

3w² + (2w + s)w + (s - 8) = 0

w₁ = 1/w₂ atau w₁.w₂ = 1 w₁.w₂ = 1 ⟶ (s - 8) / 3 = 1 s - 8 = 3

s = 11

Jadi, nilai konstan s adalah 11.

14. Contoh Soal XIV

Hitunglah nilai k dari persamaan 2x² + (3x + k)x + (k - 5) = 0 yang akarnya saling berkebalikan.

Penyelesaian:

2x² + (3x + k)x + (k - 5) = 0

(17)

x₁ = 1/x₂ atau x₁.x₂ = 1 x₁.x₂ = 1 ⟶ (k - 5) / 2 = 1 k - 5 = 2

k = 7

Jadi, nilai konstan k adalah 7.

15. Contoh Soal XV

Tentukan nilai p, q, dan r pada persamaan kuadrat 3(4w² - 2w) - 12 - 2w.

Penyelesaian:

3(4w² - 2w) = 12 - 2w 12w² - 6w = 12 - 2w 12w² + 2w - 12 = 0

Jadi, nilai p = 12, q = 2, dan r = -12.

16. Contoh Soal XVI

Tentukan nilai m, n, dan p pada persamaan kuadrat 2(3x² - 4x) - 6 - 5x.

Penyelesaian:

2(3x² - 4x) = 6 - 5x 6x² - 8x = 6 - 5x 6x² + 5x - 6 = 0

Jadi, nilai m = 6, n = 5, dan p = -6.

17. Contoh Soal XVII

Tentukan nilai d, e, dan f pada persamaan kuadrat 4(2y² - 3y) - 8 - y.

Penyelesaian:

4(2y² - 3y) = 8 - y 8y² - 12y = 8 - y 8y² + y - 8 = 0

Jadi, nilai d = 8, e = 1, dan f = -8.

17. Contoh Soal XVII

Tentukan nilai akar lainnya dari persamaan kuadrat 2y² + 5y - 12 = 0, jika salah satu nilai akarnya adalah -3.

Penyelesaian:

2y² + 5y - 12 = 0 Jika y = -3,

2(-3)² + 5(-3) - 12 = 0 18 - 15 - 12 = 0 0 = 0 (terpenuhi)

(18)

Sehingga, satu akar persamaan adalah y = -3.

Dengan menyelesaikan persamaan kuadrat dengan rumus kuadratik, D = b² - 4ac = (5)² - 4(2)(-12) = 25 + 96 = 121

Maka, akar lainnya dapat dihitung menggunakan rumus kuadratik:

y = [-b ± √(D)] / (2a) y = [-5 ± √121] / (2 × 2) y = [-5 ± 11] / 4

Sehingga, nilai akar lainnya adalah y = 1 dan y = -4.

18. Contoh Soal XVIII

Tentukan nilai akar lainnya dari persamaan kuadrat 3z² - 4z - 7 = 0, jika salah satu nilai akarnya adalah 1.

Penyelesaian:

3z² - 4z - 7 = 0 Jika z = 1,

3(1)² - 4(1) - 7 = 0 3 - 4 - 7 = 0 0 = 0 (terpenuhi)

Sehingga, satu akar persamaan adalah z = 1.

Dengan menyelesaikan persamaan kuadrat dengan rumus kuadratik, D = b² - 4ac = (-4)² - 4(3)(-7) = 16 + 84 = 100

z = [-b ± √(D)] / (2a) z = [4 ± √100] / (2 × 3) z = [4 ± 10] / 6

Sehingga, nilai akar lainnya adalah z = 2/3 dan z = -3.

19. Contoh Soal XIX

Tentukan nilai akar lainnya dari persamaan kuadrat 2w² + 3w - 5 = 0, jika salah satu nilai akarnya adalah -1.

Penyelesaian:

2w² + 3w - 5 = 0 Jika w = -1,

2(-1)² + 3(-1) - 5 = 0 2 - 3 - 5 = 0

0 = 0 (terpenuhi)

Sehingga, satu akar persamaan adalah w = -1.

(19)

Dengan menyelesaikan persamaan kuadrat dengan rumus kuadratik, D = b² - 4ac = (3)² - 4(2)(-5) = 9 + 40 = 49

w = [-b ± √(D)] / (2a) w = [-3 ± √49] / (2 × 2) w = [-3 ± 7] / 4

Sehingga, nilai akar lainnya adalah w = 1 dan w = -5/2.

20. Contoh Soal XX

Tentukan nilai akar lainnya dari persamaan kuadrat 4x² - 6x - 9 = 0, jika salah satu nilai akarnya adalah 3.

Penyelesaian:

4x² - 6x - 9 = 0 Jika x = 3,

4(3)² - 6(3) - 9 = 0 36 - 18 - 9 = 0 9 = 9 (terpenuhi)

Sehingga, satu akar persamaan adalah x = 3.

Dengan menyelesaikan persamaan kuadrat dengan rumus kuadratik, D = b² - 4ac = (-6)² - 4(4)(-9) = 36 + 144 = 180

x = [-b ± √(D)] / (2a) x = [6 ± √180] / (2 × 4) x = [6 ± 6√5] / 8

Sehingga, nilai akar lainnya adalah x = (3 + 3√5) / 4 dan x = (3 - 3√5) / 4.

(20)

MASUK UGM

(21)

MASUK UI

(22)

MASUK UGM

(23)

(24)

(25)