PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

(1)

PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

Persamaan Kuadrat

a. Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

Misalkan a,b,c Є R dan a ≠ 0 maka persamaan yang berbentuk 0

2 _ _ _

c bx

ax dinamakan persamaan kuadrat dalam peubah x.

Dalam persamaan kuadrat ax2 bxc0, a adalah koefisien dari x2, b adalah koefisien dari x dan c adalah suku tetapan.

Contoh:

1. x2 – 4, nilai a = 1, b= 0, c = -4 2. x2 + 2x = 0 nilai a = 1, b =2, c = 0 3. x2_{– 5x + 2 = 0 nilai a = 2, b = -5, c = 2}

4. x2 + x – 2 = 0 nilai a = 1, b =2, c = -2

b. Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Persamaan ax2 bxc0 dapat diselesaikan dengan cara menentukan nilai pengganti x yang memenuhi persamaan itu, dan disebut penyelesaian atau akar dari persamaan kuadrat ax2 bxc0.

Untuk menyelesaikan (menentukan akar-akar) persamaan kuadrat ada beberapa cara, diantaranya adalah dengan cara:

1. Memfaktorkan

2. Melengkapkan bentuk kuadrat sempurna 3. Menggunakan rumus kuadrat

1. Memfaktorkan Contoh:

Selesaikan persamaan kuadrat berikut ini! a. x2_{– 9 = 0} b. x2  x3 20 c. 2x2  x10 Jawab: a. x2_{– 9 = 0} 0 ) 3 )( 3 (     x x 3    x atau x3 b. x2  x3 20 x2  x3 20 <=>



x2



x1



0 <=>



x2 



0 atau



x1 



0

(2)

<=> x2 atau x1 c. 2x2  x10 0 ) 1 )( 1 2 (     x x 0 ) 1 2 (    x atau (x1)0 2 1    x atau x1

2. Melengkapkan bentuk kuadrat sempurna

Bentuk seperti 16 = 42; 4x2 = (2x)2; (x + 1)2; (2x – 3)2 merupakan beberapa contoh bentuk kuadrat sempurna. Bentuk x2  x2 7 dapat dimanipulasi aljabar sbb.

7 2 2 _{ x}_ x 7 1 ) 1 2 ( 2      x x 8 ) 1 (  2 

 x memuat bentuk kuadrat sempurna ( x 1)2

Proses mengubah bentuk kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna semacam itu dinamakan melengkapkan kuadrat sempurna.

Contoh:

Selesaikan persamaan kuadrat berikut ini! a. x2 x3 20 b. x2 250 Jawab : a. x2  x3 20 <=> x2  x3 2 <=> 4 9 2 2 3 2          x <=> 4 9 4 8 2 3 2 __ _       x <=> 4 1 2 3 2        x <=> 4 1 2 3         x

(3)

<=> 2 3 2 1    x <=> x2 atau x1 b. x2 250 25 2   x  x 25  x5

3. Menggunakan rumus kuadrat

Metode yang paling umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat 0

2   

c bx

ax dengan menggunakann rumus kuadrat atau sering disebut rumus abc.

Rumus kuadrat diperoleh dengan proses melengkapkan kuadrat sempurna untuk persamaan kuadrat ax2 bxc0.

Prosesnya sbb: 0 2    c bx ax 0 2 _       _  x c a b x a 0 4 4 2 2 2 2                   c a b a b x a b x a 0 4 2 2 2            c a b a b x a c a b a b x a           4 2 2 2 2 2 2 4 4 2 a ac b a b x           ac b a a b x 4 2 1 2 2 2            ac b a a b x 4 2 1 2 2 _     a ac b b x 2 4 2     

(4)

Uraian di atas membuktikan berlakunya rumus kuadrat.

Misalkan a, b, c bilangan rela dan a0 maka akar-akar persamaan kuadrat ax2 bxc0 ditentukan oleh:

a ac b b x 2 4 2 12     Contoh:

Selesaikan persamaan kuadrat berikut ini! a. x2 x3 20 b. 3x2  x6 20 Jawab : a. x2 x3 20 <=> a = 1, b = 3, c = 2 <=> 1 . 2 2 . 1 . 4 3 3 2 12     x <=> 2 1 3 12    x <=> x2 atau x1 b. 3 2  x6 20 x a = 3, b = -6, c =2 3 . 2 2 . 3 . 4 ) 6 ( 6 2 12      x 6 3 2 6 6 12 6 6 24 36 6 12         x 3 3 1 1 6 3 2 6     x atau 3 3 1 1 6 3 2 6     x

(5)

c. Jenis akar-akar persamaan kuadrat dikaitkan dengan nilai diskriminan Penyelesaian persamaan kuadrat ax2 bxc0(a0) adalah

a ac b b x 2 4 2 12    

Tampak bahwa akar-akarnya ditentukan oleh nilai dari b2_{– 4ac yang}

disebut dengan diskriminan disingkat D.

Jenis akar-akar persamaan kuadrat ax2bxc0, ditentukan oleh nilai Diskriminannya (D) yaitu D =b24ac

 Jika D > 0 : mempunyai dua akar real yang berbeda Untuk D berupa bilangan kuadrat (k2) akarnya rasional Untuk D bukan berupa bilangan kuadrat akarnya rasional  Jika D = 0 : mempunyai dua akar real yang sama

 Jika D < 0 : akar-akarnya imajiner (khayalan) Contoh :

Tanpa menyelesaikan persamaan 2x2 x30 tentukan jenis akar-akarnya ! Jawab : 2x2 x30 <=> Db4ac = 12 4.2.(3) = 25 =52

Jadi 2x2 x30 mempunyai dua akar berlainan dan rasional d. Rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat

Akar-akar persamaan kuadrat ax2 bxc0 ( a 0)adalah

a D b x 2 1    atau a D b x 2 2   

Jumlah dan hasil kali akar-akar ditentukan dengan memanipulasi aljabar sbb:

1. Jumlah akar-akar persamaan kuadrat

a D b a D b x x 2 2 2 1       

(6)

a D b D b 2      a b  

2. Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat

     _ _      _ _   a D b a D b x x 2 2 2 1 2 2 4a D b   a c a ac a ac b b   _ _  2 2₂ ₂ 4 4 4 ) 4 ( Contoh

Jika x dan ₁ x akar-akar persamaan kuadrat ₂ 2 2 x3 50

x , tentukan nilai dari : 2 2 2 1 x x  Jawab : 4 1 7 5 4 9 2 5 2 2 3 2 ) ( 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1                     x x x x x x

e. Menyusun persamaan kuadrat yang diketahui akar-akarnya

Jika akar-akar sebuah persamaan kuadrat telah diketahui, persamaaan kuadrat tersebut dapat disusun dengan dua cara

a. Memakai faktor

Apabila persamaan kuadrat dapat difaktorkan menjadi (x-x1)(x-x2) = 0

maka x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat tersebut.

Sebaliknya apabila x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat,

maka persamaan kuadrat itu dapat ditentukan dengan rumus 0

) )(

(xx₁ xx₂  b. Memakai rumus jumlah dan hasil kali akar-akar

Persamaan kuadrat ax2 bxc0 bila kedua ruas dibagi dengan a diperoleh 0 2    a c x a b x 0 ) ( 2      a c x a b x

(7)

0 )

( ₁ ₂ ₁ ₂

2 _ _ _ _

 x x x x x x

Jadi persamaan ax2 bxc0 dapat dinyatakan dalam bentuk: 0 ) ( 1 2 1 2 2     x x x x x x Contoh :

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 dan -2 ! Jawab : a. Cara 1 0 )) 2 ( )( 5 (x x   0 ) 2 )( 5 (x x  0 10 3 2 x  x b. Cara 2 0 )) 2 .( 5 ( )) 2 ( 5 ( 2       x x 0 10 3 2 x  x

f. Menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya mempunyai hubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat lain

Contoh :

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 lebihnya dari akar-akar persamaan kuadrat x2 x40

Jawab : a. Cara 1

Misalkan akar-akar persamaan kuadrat x2 x40 adalah x dan ₁ x maka ₂ 1

2 1 x 

x dan x₁.x₂4. Akar-akar persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 lebihnya dari akar-akar persamaan kuadrat x2 x40 dimisalkan α dan β, maka 2 x ₁ dan  2 x ₂. Jadi: didapat jumlah akar

3 ) 1 ( 4 ) ( 4 2 2 ₁  ₂   ₁ ₂       x x x x

 dan hasil kali akar

2 4 ) 1 ( 2 4 ) ( 2 4 ) 2 )( 2 ( .  x₁ x₂   x₁x₂ x₁_.x₂      

Persamaan kuadrat yang ditanyakan sesuai rumus di atas adalah : jumlah

x2 ( akar) x (hasil kali) 0 <=> x2(3)x(2)0 <=> x2 x3 20 b. Cara 2 0 4 ) 2 ( ) 2 (x 2 x   <=> x24x4x240 <=> x2 x3 20

(8)

Bentuk baku dari pertidaksamaan kuadrat dalam variabel ada 4 macam, yaitu: 1. ax2 bxc0

2. ax2 bxc0 3. ax2 bxc0 4. ax2 bxc0

dengan a, b, c bilangan real dan a0.

Penyelesaian atau himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dalam variabel x dapat ditentukan dengan 2 cara, yaitu dengan menggunakan:

a. Dengan sketsa grafik fungsi kuadrat

Fungsi kuadrat yang ditentukan dengan rumus f(x) x2 3x4 grafiknya berbentuk parabbola dengan persamaan yx2 3x4. Sketsa grafik parabola y x2 3x4 diperlihatkan pada gambar berikut:

1. Parabola di atas sumbu x (y > 0) dalam selang x < -1 atau x > 4. Jadi x2  x3 40 dalam selang x < -1 atau x > 4.

2. Parabola tepat pada sumbu x (y = 0) untuk nilai x = -1 atau x = 4. Jadi x2  x3 40 untuk nilai x = -1 atau x = 4.

3. Parabola di bawah sumbu x (y < 0) dalam selang – 1 < x < 4. Jadi x2  x3 40 dalam selang – 1 < x < 4.

(9)

Dengan demikian sketsa grafik fungsi kuadrat f(x)x2 3x4 atau parabola y x2 3x4 dapat digunakan untuk menentukan penyelesaian atau himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat berikut.

a. Pertidaksamaan kuadrat x2  x3 40. Himpunan penyelesaiannya adalah:HP{x|1x4,xR}

b. Pertidaksamaan kuadrat x2  x3 40. Himpunan penyelesaiannya adalah:HP{x|1x4,xR}

c. Pertidaksamaan kuadrat x2  x3 40. Himpunan penyelesaiannya adalah:HP{x|x1 ataux4,xR}

d. Pertidaksamaan kuadrat 2  x3 40

x . Himpunan penyelesaiannya

adalah:HP{x|x1 ataux4,xR}

Berdasar uraian di atas dapat disimpulkan bahwa grafik fungsi kuadrat 0

)

(x ax2 bxc

f dapat digunakan untuk menentukan

penyelesaian pertidaksamaan kuadrat ax2 bxc0; ax2 bxc0; 0

2   

c bx

(10)

Contoh:

Dengan menggunakan sketsa grafik fungsi kuadrat f(x)x2 2x1, carilah himpunan penyelesaian tiap pertidaksamaan berikut.

a. x2  x2 10 b. x2  x2 10 c. x2  x2 10 d. x2  x2 10

Jawab:

Sketsa grafik fungsi kuadrat f(x) x2 2x1, atau parabola ,

1 2

2  

 x x

y diperlihatkan pada gambar berikut:

a. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat 2  x2 10 x

adalah Himpunan kosong ditulis 

b. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat x2  x2 10 adalah HP {x|x1}

c. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat 2  x2 10 x

adalah HP{x|xRdanx1}

d. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat x2  x2 10 adalah HP{x|x1atux1,xR} dapat juga ditulis

} |

{x x R

HP 

b. Dengan garis bilangan

(11)

Langkah 1

Carilah nilai-nilai nol (jika ada) dari bagian ruas kiri pertidaksamaan 0 4 3 2 x  x 0 ) 4 )( 1 (     x x 1    x atau x 4 Langkah 2

Gambarlah nilai-nilai nol yang diperoleh pada langkah 1 pada garis bilangan

Langkah 3

Tentukan tanda-tanda dalam interval untuk nilai-nilai x selain -1 dan 4. Misalnya:

2  

x maka nilai dari x2 x3 4(2)2 3(2)46 sehingga tanda dalam interval x < -1 (+) atau >0

1 

x maka nilai dari x2 x3 4(1)2 3(1)46 sehingga tanda dalam interval -1 < x < 4 (1) atau < 0

5 

x maka nilai dari x2 x3 4(5)2 3(5)46 sehingga tanda dalam interval x > 4 (+) atau > 0

Berdasar tanda-tanda interval, maka yang memenuhi pertidaksamaan 0

4 3

2 x 

x adalah x < -1 atau x > 4.

Jadi himpunan penyelesainnya adalah HP {x|x1 atau x > 4} III. Pertidaksamaan Rasional

Perhatikan bentuk-bentuk pertidaksamaan berikut.

i. 0 1 1   x ii. 0 2 1    x x

(12)

iii. 0 1 3 2 _   x x iv. 0 2 4 2 2     x x x

Tiap pertidaksamaan di atas memuat variabel x pada bagian penyebut dari suatu pecahan. Pertidaksamaan dengan ciri demikian disebut pertidaksamaan pecahan atau pertidaksamaan rasional.

Penyelesaian atau himpunan penyelesaian pertidaksamaan rasional dapat ditentukan dengan menggunakan garis bilangan. Sebagai contoh, penyelesaian pertidaksamaan rasional 0 3 1    x x

dapat ditentukan dengan langkah-langkah sbb. Langkah 1

Nilai nol pada bagian pembilang: x +1 = 0 x = -1. Nilai nol pada bagian penyebut: x – 3 = 0  x = 3.

Langkah 2

Nilai nol pada bagian pembilang dan penyebut ditempatkan pada diagram garis bilangan.

Langkah 3

Tentukan tanda-tanda dalam interval untuk nilai-nilai x selain -1 dan 3. Misal x = -2 maka nilai dari

4 1 4 1 3 1       x x

sehingga tanda dalam interval x < -1 (+) atau >0.

x = 0, maka nilai dari

3 1 3 1 3 1 __     x x

sehingga tanda dalam interval -1<x<3 (-) atau < 0.

x = 4, maka nilai dari 5

3 4 1 4 3 1 3 1 _        x

x _{sehingga tanda dalam interval –x >} 3 (+) atau > 0.

(13)

Tanda-tanda interval itu ditulis dalam interval yang bersesuaian seperti diperlihatkan gambar sbb.

Maka penyelesaian dari pertidaksamaan 0 3 1    x x _{adalah -1 < x < 3 dan} himpunan penyelesaiannya adalah HP{x|1x3}

Contoh 1:

Tentukan penyelesaian dari 0 2 2    x x x ! Jawab :

Harga nol pembilang Harga nol penyebut

0 2  x x x2 0 0 ) 1 (x  x x2 1 0 ₂ 1 x 

x Jadi penyelesaiannya adalah -2<x<0

atau x > 1 Contoh 2:

Tentukan penyelesaian dari 0 6 3 4 2 2      x x x x Jawab:

Harga nol pada pembilang 0 3 4 2 _{ x}_ _ x 0 ) 1 )( 3 (     x x 3   x atau x1

Harga nol penyebut 0 6 2  x  x 0 ) 2 )( 3 (     x x 3    x atau x =2

(14)

Jadi himpunan penyelesaian dari 0 6 3 4 2 2      x x x x adalah HP{x|x3 atau 2 1 x atau x >3}

IV. Penggunaan Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat

Segitiga ABC siku-siku di B, diketahui panjang sisi AB = x cm, BC = x+2 cm, AC = x+4 cm. Hitung panjang AB, BC, dan AC !

Jawab : A x+4 x B x+2 C 2 2 2 AC BC AB   2 2 2 ) 4 ( ) 2 (      x x x 16 8 4 4 2 2 2_ _ _ _ _ _  x x x x x 0 12 4 2_ _ _  x x 0 ) 2 )( 6 (     x x 6 

 x atau x2 (tidak memenuhi)

(15)

Petunjuk : Pilihlah satu jawaban yang paling tepat !

1. Akar-akar persamaan x2 3xm adalah α dan β. Bila diketahui α+3β = 5 maka nilai m adalah ...

A. -28 C. 0 E. 28 NO. 1. A

B. -20 D. 20

2. Diketahui α dan β merupakan akar-akar persamaan 4x2 x3 20. Persamaan kuadrat lain yang akarnya (α+3) dan (β+3) adalah ...

A. 4x227x430

B. 4x227x430 NO. 2. B

C. 4x227x430 D. 4x227x430 E. 4x227x430

3. Nilai maksimum fungsi f(x)(t3)x22tx5adalah 9. Persamaan sumbu simetrinya x =….. A. 3 2 atau 2 D. 2 3 atau -2 B. 3 2 atau -2 E. 2 3 atau 2 NO. 3. C

(16)

C. 3 2

 atau 2

4. 4) Jika fungsi kuadrat 2ax24x3a mempunyai nilai maksimum 1 maka 27a3 a9 

A. -2 C. 3 E. 18 NO. 4. E

B. -1 D. 6

5. Grafik f(x)ax2(2a6)x2a2 menyinggung sumbu x maka koordinat titik balik maksimum adalah...

A. (-3,0) C. (2,0) E. (5,0) NO. 5. D

B. (-2,0) D. (4,0)

6. Jika α dan β akar-akar persamaan x2nxn0 maka 22

mencapai minimum untuk .... A. -1 C. 2 1 E. 2 3 NO. 6. D B. 0 D. 1

7. Akar-akar persamaan kx2(2k4)x(k8)0 adalah sama. Hasil kali kedua akar persamaan tersebut adalah ….

A. 1 B. 4 C. 9 D. 16 E. 25 NO. 7. C

8. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya saling berlawanan tanda dari akar-akar persamaan x2 x60 adalah …. A. x2x60 B. x2x60 C. x2  x60 NO. 8. C D. x2 x60 E. x2 x60

9. Keliling suatu segiempat adalah 40cm dan luasnya 96 cm2 ukuran segiempat tersebut adalah …..

A. 12cm x 8cm C. 14cm x 6cm E. 16cm x 6cm

B. 13cm x 7cm D. 15cm x 5cm NO.9. A

10. Akar-akar persamaan kuadrat 2x2 qx(q1)0 adalah m dan n. Jikam2  n2 4 maka nilai q adalah ...

A. -6 dan 2 C. -4 dan 4 E. -2 dan 6

B. -5 dan 3 D. -3 dan 5 NO.10. E

(17)

A. x5 atau 2 1 1  x B. x5 atau 2 1 1  x C. 2 1 1  x atau x5 D. 5 2 1 1  x  E. 5 2 1 1    x Kunci: D

12. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 3x2 9xx2 4 adalah ....

A. 4 2 1 _{ x}_ B. 4 2 1    x C. 2 1 4   x D. 2 1  x atau x4 E. x4 atau 2 1  x Kunci: A

13. Himpunan penyelesaian dari persamaan 0 5 2    x x adalah .... A. HP {x|5x2} B. HP {x|5 x2} C. HP {x|x1 atau x2} D. HP{x|x5 atau x2} E. HP {x|x1 atau x1} Kunci: E

14. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

3 1 1 1    x x adalah .... A. HP {x|1 x2} B. HP {x|1 x2} C. HP {x|x1 atau x2} D. HP {x|x1 atau x2} E. HP{x|x2 atau x1} Kunci: C

(18)

15. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 0 15 8 4 2 2     x x x adalah .... A. HP {x|2x2 atau 3 x5} B. HP {x|2x2 atau 3 x5} C. HP{x|x2 atau 2 x3} D. HP{x|x2 atau 2 x3 atau x5} E. HP {x|x2 atau x5} Kunci: B