Bab 2
Fungsi dan Persamaan
Kuadrat
Secara umum persamaan kuadrat satu variabel adalah suatu persamaan yang pangkat tertingginya dua dan biasanya dituliskan sebagai ax² + bx + c = 0 dengan a ≠ 0 dan a, b, c ∈ R. Bilangan a, b, c pada persamaan kuadrat tersebut disebut sebagai koefsien. Akar-akar atau penyelesaian dari ax²+ bx + c = 0 adalah nilai x yang memenuhi persamaan tersebut.
Pengertian
Cara Menentukan Akar
Faktorisasi1.
Faktorisasi adalah penjumlahan suku aljabar menjadi bentuk perkalian faktornya. Jika kamu melakukan faktorisasi persamaan kuadrat, artinya kamu membuat perkalian dua buah persamaan linear. ax² + bx + c = 0 Keterangan :
b = hasil penjumlahan antara suku ke-1 dan ke-2 c = hasil perkalian antara suku ke-1 dan ke-2
Perhatikan contoh berikut.
Bentuk persamaan kuadrat: x² + 5x + 6 = 0 Bentuk faktorisasi: (x + 3) (x + 2) = 0
Akar: x = -3 atau x = -2
Bentuk persamaan kuadrat: x² – 9 = 0 Bentuk faktorisasi: (x – 3)(x + 3) = 0 Akar: x = 3 atau x = -3
2. Melengkapi Kuadrat Sempurna
Bentuk ax² + bx + c = 0 bisa kamu jabarkan menjadi seperti berikut.(x + p)² = q
Perhatikan contoh berikut. Bentuk persamaan kuadrat: x² + 5x + 6 = 0x2 + 8x + 6 = 0 (x² + 8x) = -6 x² + 8x +16 = -6 +16(x + 4)2 = 10(x + 4) = ± √10x = √10 – 4 atau x = -√10 – 4
3. Rumus ABC
Sebelum membahas tentang jenis akar persamaan kuadrat, kamu akan dikenalkan terlebih dahulu dengan istilah diskriminan. Apa itu diskriminan? Diskriminan atau biasa dilambangkan D adalah hubungan antarkoefisien yang menentukan besar dan jenis akar persamaan kuadrat. Pada pembahasan sebelumnya, kamu sudah mengenal rumus abc, yaitu sebagai berikut.
Jenis - Jenis Akar
Persamaan Kuadrat
Dari persamaan di atas, besaran yang dimaksud diskriminan adalah b²– 4ac.
Berikut ini penjelasannya
Jika nilai D > 0, maka suatu persamaan kuadrat akan memiliki dua akar real yang tidak sama besar (x1 ≠ x2).
Jika nilai D = 0, maka suatu persamaan kuadrat akan memiliki dua akar real dan kembar.
Jika nilai D < 0, maka suatu persamaan kuadrat tidak memiliki akar real (akarnya imajiner).
Nah, jenis akar persamaan kuadrat ternyata bergantung pada nilai dari determinannya (D).
Dalam kehidupan sehari - hari, persamaan kuadrat sering digunakan untuk menyelesaikan permasalahan sehari – hari.
Contoh :
Keliling suatu taman kota yang berbentuk persegi panjang adalah 90 m. Jika luas taman 450 m², berapa panjang dan lebarnya?
Aplikasi Persamaan Kuadrat
Penyelesaian : Misalkan
panjang = p
Grafik Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat y = ax² + bx + c dapat digambarkan ke dalam koordinat kartesius sehingga diperoleh suatu grafik fungsi kuadrat. Sumbu x adalah domain dan sumbu y adalah kodomain. Grafik dari fungsi kuadrat berbentuk seperti parabola sehingga sering disebut grafik parabola. Grafik dapat dibuat dengan memasukan nilai x pada interval tertentu sehingga didapat nilai y. Kemudian pasangan nilai (x, y) tersebut menjadi koordinat dari yang dilewati suatu grafik. Sebagai contoh, grafik dari fungsi: f(x) = x² - 2x - 3 adalah
Persamaan :
panjang × lebar = luas p(45 – p) = 450 45p – p2 = 450 p2 – 45p + 450 = 0 (p – 15) (p – 30) = 0 p – 15 = 0 atau p – 30 = 0 p = 15 p = 30
Untuk p = 15, maka lebar adalah 45 – 15 = 30 Untuk p = 30, maka lebar adalah 45 – 30 = 15
1. Grafik fungsi y = ax²
Jika pada fungsi y = ax² + bx +c memiliki nilai b dan c sama dengan nol, maka fungsi kuadratnya:
y = ax²
Pada grafik fungsi ini akan selalu memiliki garis simetris pada x = 0 dan titik puncak y = 0. Sebagai contoh f(x) = 2x²,
Maka grafiknya adalah:
2. Grafik fungsi y = a(x-h)² + k
Grafik ini merupakan hasil perubahan bentuk dari y = ax²+ bx + c.
Pada fungsi kuadrat ini grafik akan memiliki titik puncak (x, y) sama
b. Titik Puncak
Grafik kuadrat mempunyai titik puncak atau titik balik. Jika grafik terbuka kebawah, maka titik puncak adalah titik maksimum. Jika grafik terbuka ke atas maka, titik puncak adalah titik minimum.
c. Sumbu Simetri
Sumbu simetri membagi grafik kuadrat menjadi 2 bagian sehingga tepat berada di titik puncak. Karena itu, letaknya pada grafik ax²+ bx + c berada pada:
a. Grafik terbuka
Grafik y = ax² + bx + c dapat
terbuka ke atas atau ke bawah. Sifat ini ditentukan oleh nilai a.
Sifat - Sifat Grafik Fungsi
Kuadrat
d. Titik potong sumbu y
Grafik y = ax² + bx + c memotong sumbu y di x = 0. Jika nilai x = 0 disubstitusikan ke dalam fungsi, diperoleh y = c. Maka titik potong berada di (0, c).
e. Titik potong sumbu x
Grafik kuadrat akan memotong sumbu x di y = 0, sehingga membentuk persamaan: ax² + bx + c
Akar-akar dari persamaan tersebut adalah absis dari titik potong. Oleh karena itu, nilai diskriminan (D) berpengaruh pada keberadaan titik potong sumbu x .
PENTING !!
Jika D > 0, grafik memotong sumbu x di dua titik
Jika D = 0, grafik menyinggung sumbu x
Jika D < 0, grafik tidak memotong sumbu x Jika digambarkan, sebagai berikut:
Persamaan grafik fungsi kuadrat dapat dibentuk dengan syarat:
1. Diketahui tiga titik koordinat
(x, y) yang dilalui oleh grafik Ketiga koordinat tersebut,
masing-masing disubstitusikan kedalam persamaan grafik: y = ax² + bx + c
Sehingga didapat tiga persamaan berbeda yang saling memiliki variabel a, b dan c. Selanjutnya dilakukan teknik eliminasi aljabar untuk memperoleh nilai dari a, b dan c. Setelah diperoleh nilai-nilai itu, kemudian masing-masing disubstitusikan ke dalam persamaan
y = ax² + bx + c sebagai koefisien.
2. Diketahui titik potong dengan
Sumbu x dan satu titik yang dilalui jika titik potong sumbu x adalah dan , maka rumus fungsi kuadrat nya adalah:
Dengan nilai a didapat dari mensubstitusikan titik (x, y) yang dilalui. 3. Diketahui titik puncaknya dan satu titik yang dilalui Jika titik puncaknya adalah , maka rumus fungsi kuadrat nya adalah:
3. Apabila akar - akar persamaan x² - 3x – 10 = 0 ialah X1 dan X2, maka hasil dari X1 + X2 adalah
4. Diberikan fungsi-fungsi kuadrat sebagai berikut ini: a) f(x) = x² + 9x − 36
b) y = 2x² −7x −15
Tentukan koordinat dari titik-titik potong fungsi di atas untuk sumbu x pada bidang kartesius!
5. Diberikan sebuah persamaan kuadrat x² −8x + 15 = 0 dengan akar-akarnya adalah p dan q. Jika p lebih besar dari q, maka nilai dari 2p²+ q2 −pq adalah
6.Suatu persegi panjang kelilingnya 60 cm. Tentukan ukuran persegi panjang agar mempunyai luas maksimum.
7. Sebuah Peluru ditembakkan vertikal ke atas. Tinggi peluru h (dalam meter) sebagai fungsi waktu t (dalam detik)
dirumuskan dengan h(t) = -4t² + 40t. Tentukan tinggi maksimum yang dapat dicapai peluru dan waktu yang ditentukan.
8. Salah satu akar dari persamaan 2x² + 4x+ c = 0 adalah -3, akar lainnya adalah …
1.Tentukan jenis akar persamaan kuadrat x² + 16x + 64 = 0!
2. Nilai diskriminan dari persamaan 2x² - 3x – 5 = 0 adalah
10. Suatu persamaan kuadrat memiliki akar-akar 4 dan -7. Maka persamaan kuadratnya adalah
11. Diketahui salah satu akar dari persamaan kuadrat x² – 6x + c = 0 adalah 3. Tentukan nilai c yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut.
12. Diketahui bentuk umum dari persamaan x² – 3 = 4(x – 2) adalah ax² + bx + c = 0. Tentukan nilai a, b, dan c dari persamaan kuadrat tersebut!
13. Tentukan apakah grafik y = x² - 2x – 8 memotong sumbu x atau tidak
14. Gambarkan Sketsa grafik fungsi kuadrat y = x² - 2x – 8
15. Diketahui persamaan kuadrat x² + 2ax +b = 0 memiliki akar yang berlawanan X1 = -X2. tentukanlah a dan b
9. (m + 3)x² + 2(m - 7)x + m-3 = 0 akan mempunyai akar-akar positif jika
A. -3< m <3
B. 3< m < 29/7 C. -3 < m < 7 D. -7 < m < 3