PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT
Oleh Shahibul Ahyan
A. Bentuk Umum Persamaan Kuadrat
Definisi : Misalkan a,b,cRdana0, maka persamaan yang berbentuk ax2+ bx + c = 0 dinamakan persamaan kuadrat dalam peubah x.
Berkaitan dengan nilai-nilai dari a, b, c dikenal beberapa persamaan kaudrat diantaranya adalah :
1. Jika a = 1, maka persamaan menjadi x2+ bx + c = 0 dan persamaan seperti ini disebut Persamaan Kuadrat Biasa.
2. Jika b = 0, maka persamaan menjadi x2+ c = 0 dan persamaan seperti ini disebut Persamaan Kuadrat Sempurna.
3. Jika c = 0, maka persamaan menjadi x2+ bx = 0 dan persamaan seperti ini disebut Persamaan Kuadrat Tak Lengkap.
4. Jika a, b, c bilangan-bilangan real, maka ax2 + bx + c = 0 disebut Persamaan Kuadrat Real.
5. Jika a, b, c bilangan-bilangan rasional, maka ax2 + bx + c = 0 disebut Persamaan Kuadrat Rasional.
B. Akar – Akar Persamaan Kuadrat
Ada beberapa cara untuk menentukan akar persamaan kuadrat, diantaranya :
1. Dengan Pemfaktoran
Menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara pemfaktoran menggunakan sebuah sifat yang berlaku pada sistem bilangan real. Sifat itu dapat dinyatakan sebagai berikut :
Jika a, b R dan berlaku a – b = 0, maka a = 0 atau b = 0. Catatan : Pengertian a = 0 atau b = 0 dapat ditafsirkan sebagai berikut :
Menentukan akar-akar persamaan kuadrat daengan pemfaktoran artinya meyelesaikan persamaan kuadrat dengan mengubahnya menjadi bentuk perkalian. a. Untuk a = 1 x2+ bx + c = 0 (x + x1) (x + x2) = 0 dengan x1 + x2 = b dan x1 . x2= c x + x1= 0 atau x + x2= 0 x = -x1 atau x = -x2
Jadi, akar-akar dari x2+ bx + c = 0 adalah -x1 dan -x2 Contoh : x2– 2x – 8 = 0
(x – 4) (x + 2) = 0 x = 4 atau x = -2
Jadi, akar-akar dari x2– 2x – 8 = 0 adalah -2 dan 4. b. Untuk a 1 ax2+ bx + c = 0
ac x x dan b x x dengan a x ax x ax 2 1 2 1 2 1 0, . ax + x1= 0 atau ax + x2= 0 a x x atau a x x 1 2Jadi, akar-akar dari ax2+ bx + c = 0 adalah
a x1 atau a x2 . Contoh : 3x2-2x -5 = 0
0 3 5 3 1 3 0 3 5 3 3 3 1 1 x x x x (x + 1) (3x – 5) = 0 x = -1 atau x = 3 5Jadi, akar-akar dari 3x2-2x -5 = 0 adalah -1 dan 3 5 . 2. Dengan Melengkapkan Bentuk Kuadrat Sempurna
Untuk Menyelesaikan ax2 + bx + c = 0 dengan melengkapkan kuadrat sempurna, maka :
ax2+ bx + c = 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 4 2 2 2 0 a ac b a b x a b a c a b x a b a c a b x a b x a c x a b x a c x a b x Contoh : 2x2+2x – 3 = 0 7 2 1 2 1 7 2 1 2 1 7 2 1 2 1 4 7 2 1 4 7 2 1 4 1 2 3 2 1 2 1 2 3 2 1 0 2 3 2 1 12 2 2 2 2 2 2 x atau x x x x x x x x x 3. Dengan Rumus
Misalkan a,b,cRdana0, maka akar-akar persamaan kuadrat ax2+ bx + c = 0 ditentukan oleh : a ac b b x atau a ac b b x 2 4 2 4 2 2 2 1 Bukti :
a. ax2+ bx + c = 0, a 0 4a2x2 + 4abx + 4ac = 0 4a2x2 + 4abx + b2-b2+ 4ac = 0 (2ax + b)2– (b2- 4ac) = 0 (2ax + b)2= b2- 4ac 2ax + b = b2-4ac 2ax = -b b2-4ac x12= a ac 2 4 b b - 2 b. ax2+ bx + c = 0, a 0 a ac b b x ac b a a b x a ac b a b x a ac b a b x a b a c a b x a b a c a b x a b x a c x a b x a c x a b x 2 4 4 2 1 2 4 4 2 4 4 2 4 2 2 2 0 2 12 2 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c. ax2+ bx + c = 0, a 0, misal b = b1+ b2, b1 0 dan b2 0 ax2+ b1x + b2x + c = 0, misal b1x = u + v 1 b v u x , maka :
2
0 0 2 0 2 0 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 v v b b b av u b b b av au c b v b b u b b v b u b av auv au c b v b u b v u b v uv u a c b v u b b v u b b v u a Misal : 2 2 1 2 0 1 b bb av
b b
av b av b b b 2 2 2 1 1 2 1 2 1 a b b v av b b 2 2 1 1 0 0 2 0 . 2 . 0 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 c b av au c b av av au c b v av av u au
a ac b b x b a ac b b b x b a ac b b a b b x maka b u v b v u x ana a ac b b u a ac b b u a ac b b au a c ab b b au c b a b b au c b a b b a au c b av au 2 4 2 4 2 4 2 : , dim 2 4 4 4 4 4 4 4 4 2 2 12 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 Contoh : Tentukan HP dari y2+ 7y -30 = 0 Jawab : y2+ 7y -30 = 0, a = 1, b = 7 dan c = -30 1 . 2 ) 30 .( 1 . 4 7 7 2 4 2 2 12 a ac b b y 10 3 2 13 7 2 169 7 2 120 49 7 2 1 12 y atau y y
C. Diskriminan Persamaan Kuadrat
Dari rumus tampak bahwa penyelesaian atau akar-akar suatu persamaan kuadrat sangat ditentukan oleh nilai-nilai b2 - 4ac. Bentuk b2 - 4ac disebut diskriminan dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = D dan dikembangkan
dengan huruf D, sehingga D = b2 - 4ac. Pemberian nama diskriminan D = b2 -4ac masuk akal, sebab nilai D = b2 - 4ac inilah yang membedakan (mendiskriminasikan) jenis akar-akar suatu persamaan kuadrat.
Dengan melihat nilai D, akr-akar suatu persamaan kuadrat dapat dibedakan menjadi 3 jenis yakni sbb:
a. Bila D > 0, maka ada dan bernilai positif. Akar-kar persamaan itu
a D b x 2 1 dan a D b x 2 2 terlihat bahwa 2 ` 1 x x
Jadi, persamaan itu mempunyai dua akar nyata yang berlainan. b. Bila D = 0, maka D = 0
Akar-akar persamaan itu
a b x 2 0 1 dan a b x 2 0 2 terlihat bahwa a b x x 2 2 1 .
Jadi persamaan itu mempunyai dua akar nyata yang sama.
c. Bila D < 0 maka D bukan merupakan bilangan nyata, melainkan bilangan khayal. Jadi, persamaan itu tidak mempunyai akar nyata.
D. Jumlah Dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat
Jika x1dan x2adalah akar-akar persamaan kuadrta ax2+bx+c = 0, dengan 0
a , jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat itu ditentukan dengan rumus : a b x x1 2 dan a c x x1. 2 Dimana a b x x1 2 dan a c x x1. 2 diperoleh dari a D b a D b x x 2 2 2 1 a b a a 2 2 a D b a D b x x 2 2 . 2 1
a c a ac a ac b b a D b 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4Sifat jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat 1. Akar-akarnya berlawanan (x1= x2) b = D 2. Akar-akarnya berkebalikan a c x x 2 1 1
3. Sebuah akarnya sama dengan nol (x1= 0) c = 0 dan x2 =
a b
4. Kedua akarnya bertanda sama
a c < 0
5. Kedua akarnya berlainan tanda
a c > 0
E. Menyusun Persamaan Kuadrat
1. Menyusun persamaan kuadrat jika diketahui akar-akarnya a. Dengan perkalian faktor
Jika akar-akar persamaan kuadrat ax2+ bx + c = 0
ax2+ bx + c = 0
0 0 2 1 2 x x x x a c x a b x dengan a c x x dan a b x x1 2 1 2b. Dengan rumus jumlah dan hasil kali
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya x1 dan x2 adalah
0 0 0 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x2. Menyusun persamaan kuadrat jika akar-akarnya mempunyai hubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat lainnya.
Jika akar-akar suatu persamaan kuadrat mampunyai hubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat lainnya, maka persamaan kuadrat itu ditentukan dengan 2 cara, yaitu :
a. Memakai rumus jumlah dan hasil kali akar-akar b. Penghapusan indeks, jika akar-akarnya simetri Contoh :
Akar-akar persamaan kuadrat 3x2+ 6x – 8 = 0 adalah dan. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya
1 1 dan Jawab
a. Memakai rumus jumlah dan hasil kali akar-akar 3x2+ 6x – 8 = 0 ; 2; 3 8
Misalkan persamaan kuadrat yang diminta mempunyai akar-akar x1 dan x2, maka : 8 3 3 8 1 1 1 1 4 3 3 8 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 x x x x x dan x Subtitusikan (x1+ x2) = 3 8 4 3 2 1x x dan ke persamaan
1 2
1 2 0 2 x x xx x x diperoleh : 0 3 6 8 0 8 3 4 3 2 2 x x x xJadi, persamaan kuadrat yang diminta adalah 8x2– 6x – 3 = 0 b. Dengan penghapusan indeks
Akar-akar 1 1 2 1 dan x
x dikataklan simetri, sebab jika indeks
1 dan 2 dihapuskan akan memberikan bentuk yang sama.
1
1
jika indeks dihapus didapat 1 x atau x 1 1 2 x , jika indeks dihapus didapat 1 x atau x 1 dengan demekian x 1 .
Oleh karena merupakan akar dari persamaan kuadrat 3x2+ 6x – 8 = 0, maka berlaku 0 3 6 8 0 8 6 3 0 8 6 3 0 8 1 6 1 3 0 8 6 3 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x
Jadi, persamaan kuadrat yang diminta adalah 8x2– 6x – 3 = 0
F. Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat
Definisi : misalkan a,b, dan c bilangan real dan a 0, maka fungsi yang dirumuskan oleh f (x) = ax2 + bx + c dinamakan fungsi kuadrat dalam peubah x.
Grafik fungsi kuadrat ditulis dengan notasi y = f (x) = ax2+ bx + c dan grafik kuadrat disebut sebagai parabola.
Untuk melukis grafik fungsi y = ax2+ bx + c diperlukan hal-hal berikut : 1. Titik potong dengan sumbu x
Titik potong dengan sumbu x, maka y = 0
Jika akar-akarnya x1 dan x2, maka titik potong dengan sumbu x adalah (x1,0) dan (x2, 0)
Ada atau tidaknya akar-akar tergantung dari diskriminan persamaan itu a. Kalau D>0, grafik memotong sumbu x, didua buah titik (x1,0) dan
(x2,0).
b. Kalau D=0, grafik menyinggung disebuah titik pada sumbu x di (x1,0) atau ,0 2a b .
2. Titik potong dengan sumbu y
Hal ini didapat apabila x = 0, jadi y = c, maka titik potong dengan sumbu y adalah (0,c)
a. Jika c > 0, maka grafik memotong sumbu y di atas titik asal. b. Jika c = 0, maka grafik memotong sumbu y tepat di titik asal. c. Jika < 0, maka grafik memotong sumbu y di bawah titik asal. 3. Titik Puncak atau Titik Balik
Fungsi y = ax2 + bx + c, dengan a,b,cRdana0, mempunyai titik
puncak atau titik balik a ac b a b 4 4 , 2 2 .
Jika a > 0, titik baliknya adalah titik balik minimum dan jika a < 0, titik baliknya adalah titik balik maksimum.
4. Sumbu simetri
Persamaan sumbu simetri fungsi kuadrat y = ax2+ bx +c adalah
a b x 2 5. Menggambar grafik
Contoh : Gambarlah grafik fungsi kuadrat dari y = x2– 4x +4 Jawab : a = 1, b = -4, c = 4
a. Titik potong dengan sumbu x, maka y = 0
x2– 4x +4 = 0 (x – 2) (x – 2) = 0 x1= x2= 2 Jadi, titik potongnya dengan sumbu x adalah (2, 0) b. Titik potong dengan sumbu y, maka x = 0
y = 02– 4.0 + 4 = 4
Jadi, titik potongnya dengan sumbu y adalah (0, 4). c. Koordinat titik puncak atau titik balik
P = a ac b a b 4 4 , 2 2 = 1 . 4 4 . 1 . 4 ) 4 ( , 1 . 2 ) 4 ( 2 = (2, 0)
Oleh karena a = 1, maka P merupakan titik ballik minimum d. Persamaan Sumbu simetri
2 1 . 2 ) 4 ( 2 a b x e. Menggambar grafik
y
f(x) = x2– 4x + 4 sumbu simetri x = 2
4 (0, 4)
0 2 (2,0) x
G. Membentuk Fungsi Kuadrat
Jika sketsa grafik suatu fungsi kuadrat diketahui, maka kita dapat menentukan rumus fungsi kuadratnya. Keterangan-keterangan yang diketahui pada sketsa grafik fungsi kuadrat seringkali mempunyai ciri-ciri tertentu. Ciri-cirinya adalah :
1. Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu x di A(x1, 0) dan B(x2, 0, serta melalui sebuah titik tertentu. Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai :
1
2
) (x a x x x x f y Dengan nilai a ditentukan kemudian
2. Grafik fungsi kuadrat menyinggung sumbu x di A(x1, 0) dan melalui sebuah titik tertentu. Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai :
2 1 ) (x a x x f y Dengan nilai a ditentukan kemudian
3. Grafik fungsi kuadrat melalui titik puncak atau titik balik P (xp, yp) dan melalui sebuah titik tertentu. Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai :
x xp
yp a x f y ( ) 2Dengan nilai a ditentukan kemudian
4. Grafik fungsi kuadrat melalui titik – titik A(x1, y1), B(x2, y2), dan (x3, y3). Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai :
c bx ax x f y ( ) 2
Dengan nilai a, b, dan c ditentukan kemudian
Referensi:
Aldres, C.J. 1987. Aljabar Untuk SMTA Dan Yang Setingkat Jilid 2. Jakarta : Pradnya Paramita.
Joko S., Tri. 1997. Aljabar. Pancor : STKIP Hamzanwadi Selong.
Kartini, dkk.. 2004. Matematika Untuk Kelas X. Klaten : Intan Pariwara. Kurnianingsih Sri, dkk..1996. Matematika SMU. Jakarta : Yudhistira. Wirodikromo, Sartono. 2004. Matematika SMA. Jakarta : Erlangga.
