BAB I PENDAHULUAN. Olimpiade Matematika Mahasiswa Persamaan Kuadrat 1

(1)

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang

Matematika merupakan salah satu disiplin ilmu yang sarat dengan suatu bilangan. Matematika juga merupakan suatu bahasa dimana bahasa pada matematika tidak memiliki makna yang ambigu atau pemaknaan dari bahasa matematika tidak menimbulkan makna ganda yaitu selalu pasti,misalnya : 1 + 1 =2, hasilnya pasti 2, bukan 10 atau 100.

Matematika sebagai suatu disiplin ilmu memiliki berbagai macam cabang, salah satu diantaranya adalah aljabar. Aljabar merupakan suatu cabang matematika yang erat kaitannya dengan penjabaran-penjabaran suatu konsep pada matematika. Salah satu konsep yang terdapat pada aljabar adalah konsep persamaan kuadrat.

Persamaan kuadrat merupakan suatu persamaan dimana pangkat tertinggi variabelnya adalah 2 atau dalam bentuk matematis dapat ditulis yaitu ax2 + bx + c = 0, a,b,cRdana0.. Persamaan kuadrat sering juga disebut sebagai persamaan pangkat dua.

Dalam kehidupan sehari-hari kita tidak menyadari bahwa konsep persamaan kuadrat ini sering kita jumpai, bahkan suatu hal yang kita sering lakukan pun tidak pernah kita pikirkan bahwa terdapat suatu konsep yang mendukung dari kegiatan tersebut konsep persamaan kuadrat, misalnya saja dalam permainan bola basket yaitu bagaimana kelengkungan bola yang dilemparkan ke ring sehingga bisa masuk dengan tepat. Oleh karenanya, dari hal seperti ini memunculkan ide untuk menyusun suatu makalah yang dipresentasikan pada saat olimpiade matematika tingkat mahasiswa agar pengetahuan kita tentang persamaan kuadrat bisa beratambah.

B. Rumusan Masalah

Rumusan masalah yang diangkat adalah :

1. Apa itu persamaan kuadrat dan bagaimana bentuknya? 2. Bagaimana Mencari akar-akar persamaan kuadrat?

(2)

3. Bagaimana menyusun persamaan kuadrat baru jika diketahui akar-akarnya?

4. Bagaimana membuat grafik persamaan kuadrat?

5. Bagaimana membentuk fungsi kuadrat jika diketahui grafiknya?

C. Tujuan

Tujuan dari penulisan makalah ini adalah :

1. Untuk mengetahui apa itu persamaan kuadrat dan bagaimana bentuknya. 2. Untuk mengetahui cara-cara mencari akar-akar persamaan kuadrat.

3. Untuk mengetahui cara-cara menyusun persamaan kuadrat baru jika diketahui akar-akarnya.

4. Untuk mengetahui cara-cara membuat grafik fungsi kuadrat.

5. Untuk mengetahui cara-cara membentuk fungsi kuadrat jika diketahui grafiknya.

(3)

BAB II

PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT A. Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

Definisi : Misalkan a,b,cRdana0, maka persamaan yang berbentuk ax2+ bx + c = 0 dinamakan persamaan kuadrat dalam peubah x.

Berkaitan dengan nilai-nilai dari a, b, c dikenal beberapa persamaan kaudrat diantaranya adalah :

1. Jika a = 1, maka persamaan menjadi x2+ bx + c = 0 dan persamaan seperti ini disebut Persamaan Kuadrat Biasa.

2. Jika b = 0, maka persamaan menjadi x2+ c = 0 dan persamaan seperti ini disebut Persamaan Kuadrat Sempurna.

3. Jika c = 0, maka persamaan menjadi x2+ bx = 0 dan persamaan seperti ini disebut Persamaan Kuadrat Tak Lengkap.

4. Jika a, b, c bilangan-bilangan real, maka ax2 + bx + c = 0 disebut Persamaan Kuadrat Real.

5. Jika a, b, c bilangan-bilangan rasional, maka ax2 + bx + c = 0 disebut Persamaan Kuadrat Rasional.

B. Akar – Akar Persamaan Kuadrat

Ada beberapa cara untuk menentukan akar persamaan kuadrat, diantaranya :

1. Dengan Pemfaktoran

Menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara pemfaktoran menggunakan sebuah sifat yang berlaku pada sistem bilangan real. Sifat itu dapat dinyatakan sebagai berikut :

Jika a, b  R dan berlaku a – b = 0, maka a = 0 atau b = 0. Catatan : Pengertian a = 0 atau b = 0 dapat ditafsirkan sebagai berikut :

a). a = 0 dan b  0 b). a  0 dan b = 0 c). a = 0 dan b = 0 Menentukan akar-akar persamaan kuadrat daengan pemfaktoran artinya meyelesaikan persamaan kuadrat dengan mengubahnya menjadi bentuk perkalian.

(4)

a. Untuk a = 1 x2+ bx + c = 0

(x + x1) (x + x2) = 0 dengan x1 + x2 = b dan x1 . x2= c

x + x1= 0 atau x + x2= 0

x = -x1 atau x = -x2

Jadi, akar-akar dari x2+ bx + c = 0 adalah -x1 dan -x2

Contoh : x2– 2x – 8 = 0 (x – 4) (x + 2) = 0 x = 4 atau x = -2

Jadi, akar-akar dari x2– 2x – 8 = 0 adalah -2 dan 4. b. Untuk a  1 ax2+ bx + c = 0







ac x x dan b x x dengan a x ax x ax       2 1 2 1 2 1 ₀_, _. ax + x1= 0 atau ax + x2= 0 a x x atau a x x_  1 _  2

Jadi, akar-akar dari ax2+ bx + c = 0 adalah

a x₁  atau a x₂  . Contoh : 3x2-2x -5 = 0













0 3 5 3 1 3 0 3 5 3 3 3 1 1       x x x x (x + 1) (3x – 5) = 0 x = -1 atau x = 3 5

Jadi, akar-akar dari 3x2-2x -5 = 0 adalah -1 dan

3 5

. 2. Dengan Melengkapkan Bentuk Kuadrat Sempurna

Untuk Menyelesaikan ax2 + bx + c = 0 dengan melengkapkan kuadrat sempurna, maka :

(5)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 4 2 2 2 0 a ac b a b x a b a c a b x a b a c a b x a b x a c x a b x a c x a b x                                           Contoh : 2x2+2x – 3 = 0 7 2 1 2 1 7 2 1 2 1 7 2 1 2 1 4 7 2 1 4 7 2 1 4 1 2 3 2 1 2 1 2 3 2 1 0 2 3 2 1 12 2 2 2 2 2 2                                                 x atau x x x x x x x x x 3. Dengan Rumus

Misalkan a,b,cRdana0, maka akar-akar persamaan kuadrat ax2+ bx + c = 0 ditentukan oleh : a ac b b x atau a ac b b x 2 4 2 4 2 2 2 1         Bukti : a. ax2+ bx + c = 0, a  0 4a2x2 + 4abx + 4ac = 0 4a2x2 + 4abx + b2-b2+ 4ac = 0 (2ax + b)2– (b2- 4ac) = 0

(6)

(2ax + b)2= b2- 4ac 2ax + b =  b2-4ac 2ax = -b  b2-4ac x12= a ac 2 4 b b - _ 2 _ b. ax2+ bx + c = 0, a  0 a ac b b x ac b a a b x a ac b a b x a ac b a b x a b a c a b x a b a c a b x a b x a c x a b x a c x a b x 2 4 4 2 1 2 4 4 2 4 4 2 4 2 2 2 0 2 12 2 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2                                                       c. ax2+ bx + c = 0, a  0, misal b = b1+ b2, b1  0 dan b2  0 ax2+ b1x + b2x + c = 0, misal b1x = u + v 1 b v u x   , maka :



2







0 0 2 0 2 0 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1                                                        v v b b b av u b b b av au c b v b b u b b v b u b av auv au c b v b u b v u b v uv u a c b v u b b v u b b v u a Misal : 2 2 ₁ ₂ 0 1   b bb av

(7)



b b



av b av b b b 2 2 2 1 1 2 1 2 1       a b b v av b b 2 2 1 1     0 0 2 0 . 2 . 0 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2             c b av au c b av av au c b v av av u au









a ac b b x b a ac b b b x b a ac b b a b b x maka b u v b v u x ana a ac b b u a ac b b u a ac b b au a c ab b b au c b a b b au c b a b b a au c b av au 2 4 2 4 2 4 2 : , dim 2 4 4 4 4 4 4 4 4 2 2 12 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2            _ _ _                               

Contoh : Tentukan HP dari y2+ 7y -30 = 0

Jawab : y2+ 7y -30 = 0, a = 1, b = 7 dan c = -30 1 . 2 ) 30 .( 1 . 4 7 7 2 4 2 2 12          a ac b b y

(8)

10 3 2 13 7 2 169 7 2 120 49 7 2 1 12              y atau y y

C. Diskriminan Persamaan Kuadrat

Dari rumus tampak bahwa penyelesaian atau akar-akar suatu persamaan kuadrat sangat ditentukan oleh nilai-nilai b2 - 4ac. Bentuk b2 - 4ac disebut

diskriminan dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = D dan dikembangkan

dengan huruf D, sehingga D = b2- 4ac. Pemberian nama diskriminan D = b2 -4ac masuk akal, sebab nilai D = b2 - 4ac inilah yang membedakan (mendiskriminasikan) jenis akar-akar suatu persamaan kuadrat.

Dengan melihat nilai D, akr-akar suatu persamaan kuadrat dapat dibedakan menjadi 3 jenis yakni sbb:

a. Bila D > 0, maka ada dan bernilai positif. Akar-kar persamaan itu

a D b x 2 1    dan a D b x 2 2    terlihat bahwa 2 ` 1 x x 

Jadi, persamaan itu mempunyai dua akar nyata yang berlainan. b. Bila D = 0, maka D = 0

Akar-akar persamaan itu

a b x 2 0 1    dan a b x 2 0 2    terlihat bahwa a b x x 2 2 1    .

Jadi persamaan itu mempunyai dua akar nyata yang sama.

c. Bila D < 0 maka D bukan merupakan bilangan nyata, melainkan bilangan khayal. Jadi, persamaan itu tidak mempunyai akar nyata.

D. Jumlah Dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Jika x1dan x2adalah akar-akar persamaan kuadrta ax2+bx+c = 0, dengan 0



a , jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat itu ditentukan dengan rumus : x  x b dan x .x c

(9)

Dimana a b x x₁ ₂  dan a c x x₁. ₂  diperoleh dari  a D b a D b x x 2 2 2 1        a b a a_   2 2  a D b a D b x x 2 2 . ₂ 1      





a c a ac a ac b b a D b        2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4

Sifat jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat 1. Akar-akarnya berlawanan (x1= x2)  b = D 2. Akar-akarnya berkebalikan a c x x _        2 1 1

3. Sebuah akarnya sama dengan nol (x1= 0)  c = 0 dan x2 = a

b 

4. Kedua akarnya bertanda sama 

a c

< 0 5. Kedua akarnya berlainan tanda 

a c

> 0

E. Menyusun Persamaan Kuadrat

1. Menyusun persamaan kuadrat jika diketahui akar-akarnya a. Dengan perkalian faktor

Jika akar-akar persamaan kuadrat ax2+ bx + c = 0 ax2+ bx + c = 0 







0 0 2 1 2       x x x x a c x a b x

(10)

dengan a c x x dan a b x x₁ ₂ ₁  ₂ 

b. Dengan rumus jumlah dan hasil kali

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya x1 dan x2 adalah











0 0 0 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 1              x x x x x x x x x x x x x x x x x

2. Menyusun persamaan kuadrat jika akar-akarnya mempunyai hubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat lainnya.

Jika akar-akar suatu persamaan kuadrat mampunyai hubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat lainnya, maka persamaan kuadrat itu ditentukan dengan 2 cara, yaitu :

a. Memakai rumus jumlah dan hasil kali akar-akar b. Penghapusan indeks, jika akar-akarnya simetri Contoh :

Akar-akar persamaan kuadrat 3x2+ 6x – 8 = 0 adalah dan. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya

  1 1 dan Jawab

a. Memakai rumus jumlah dan hasil kali akar-akar 3x2+ 6x – 8 = 0 ;  2; 3 8    

Misalkan persamaan kuadrat yang diminta mempunyai akar-akar x1

dan x2, maka : 8 3 3 8 1 1 1 1 4 3 3 8 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1                              x x x x x dan x Subtitusikan (x1+ x2) = 3 8 4 3 2 1x  x dan ke persamaan



₁ ₂



₁ ₂ 0 2_ _x __x _x__x __x _ x diperoleh :

(11)

0 3 6 8 0 8 3 4 3 2 2             x x x x

Jadi, persamaan kuadrat yang diminta adalah 8x2– 6x – 3 = 0 b. Dengan penghapusan indeks

Akar-akar   1 1 2 1 dan x 

x dikataklan simetri, sebab jika indeks 1 dan 2 dihapuskan akan memberikan bentuk yang sama.



1

1 

x , jika indeks dihapus didapat

 1  x atau x 1    1 2  x , jika indeks dihapus didapat  1  x atau x 1   dengan demekian x 1    .

Oleh karena  merupakan akar dari persamaan kuadrat 3x2+ 6x – 8 = 0, maka berlaku 0 3 6 8 0 8 6 3 0 8 6 3 0 8 1 6 1 3 0 8 6 3 2 2 2 2 2                            x x x x x x x x x 

Jadi, persamaan kuadrat yang diminta adalah 8x2– 6x – 3 = 0

F. Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat

Definisi : misalkan a,b, dan c bilangan real dan a  0, maka fungsi yang dirumuskan oleh f (x) = ax2 + bx + c dinamakan fungsi kuadrat dalam peubah x.

Grafik fungsi kuadrat ditulis dengan notasi y = f (x) = ax2+ bx + c dan grafik kuadrat disebut sebagai parabola.

Untuk melukis grafik fungsi y = ax2+ bx + c diperlukan hal-hal berikut : 1. Titik potong dengan sumbu x

(12)

Jika akar-akarnya x1 dan x2, maka titik potong dengan sumbu x adalah

(x1,0) dan (x2, 0)

Ada atau tidaknya akar-akar tergantung dari diskriminan persamaan itu a. Kalau D>0, grafik memotong sumbu x, didua buah titik (x1,0) dan

(x2,0).

b. Kalau D=0, grafik menyinggung disebuah titik pada sumbu x di (x1,0)

atau        _,₀ 2a b .

c. Kalau D < 0, grafik tidak memotong sumbu x 2. Titik potong dengan sumbu y

Hal ini didapat apabila x = 0, jadi y = c, maka titik potong dengan sumbu y adalah (0,c)

a. Jika c > 0, maka grafik memotong sumbu y di atas titik asal. b. Jika c = 0, maka grafik memotong sumbu y tepat di titik asal. c. Jika < 0, maka grafik memotong sumbu y di bawah titik asal. 3. Titik Puncak atau Titik Balik

Fungsi y = ax2 + bx + c, dengan a,b,cRdana0, mempunyai titik puncak atau titik balik _

       a ac b a b 4 4 , 2 2 .

Jika a > 0, titik baliknya adalah titik balik minimum dan jika a < 0, titik baliknya adalah titik balik maksimum.

4. Sumbu simetri

Persamaan sumbu simetri fungsi kuadrat y = ax2+ bx +c adalah

a b x 2   5. Menggambar grafik

Contoh : Gambarlah grafik fungsi kuadrat dari y = x2– 4x +4

Jawab : a = 1, b = -4, c = 4

a. Titik potong dengan sumbu x, maka y = 0

x2– 4x +4 = 0  (x – 2) (x – 2) = 0  x1= x2= 2

Jadi, titik potongnya dengan sumbu x adalah (2, 0) b. Titik potong dengan sumbu y, maka x = 0

(13)

Jadi, titik potongnya dengan sumbu y adalah (0, 4). c. Koordinat titik puncak atau titik balik

P = _        a ac b a b 4 4 , 2 2 = _         1 . 4 4 . 1 . 4 ) 4 ( , 1 . 2 ) 4 ( 2 = (2, 0) Oleh karena a = 1, maka P merupakan titik ballik minimum d. Persamaan Sumbu simetri

2 1 . 2 ) 4 ( 2       a b x e. Menggambar grafik y f(x) = x2– 4x + 4 sumbu simetri x = 2 4 (0, 4) 0 2 (2,0) x

(14)

G. Membentuk Fungsi Kuadrat

Jika sketsa grafik suatu fungsi kuadrat diketahui, maka kita dapat menentukan rumus fungsi kuadratnya. Keterangan-keterangan yang diketahui pada sketsa grafik fungsi kuadrat seringkali mempunyai ciri-ciri tertentu. Ciri-cirinya adalah :

1. Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu x di A(x1, 0) dan B(x2, 0, serta

melalui sebuah titik tertentu. Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai :



1



2



) (x a x x x x f y   

Dengan nilai a ditentukan kemudian

2. Grafik fungsi kuadrat menyinggung sumbu x di A(x1, 0) dan melalui

sebuah titik tertentu. Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai :





2 1 ) (x a x x f y  

3. Grafik fungsi kuadrat melalui titik puncak atau titik balik P (xp, yp) dan



x xp



yp a x f y   2 ) (

4. Grafik fungsi kuadrat melalui titik – titik A(x1, y1), B(x2, y2), dan (x3, y3).

Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai : c bx ax x f y ₍ ₎ 2 

(15)

BAB III KESIMPULAN

1. Misalkan a,b,cRdana0, maka persamaan yang berbentuk ax2+bx +c= 0 dinamakan persamaan kuadrat dalam peubah x.

2. Cara untuk menentukan akar persamaan kuadrat, diantaranya : a. Dengan Pemfaktoran

b. Dengan Melengkapkan Bentuk Kuadrat Sempurna c. Dengan Rumus

3. Akar-akar suatu persamaan kuadrat sangat ditentukan oleh nilai-nilai b2 - 4ac. Bentuk b2- 4ac disebut diskriminan dari persamaan kuadrat ax2+ bx + c = D, a. Bila D > 0, maka mempunyai dua akar nyata yang berlainan.

b. Bila D = 0, maka mempunyai dua akar nyata yang sama.

c. Bila D < 0 maka D bukan merupakan bilangan nyata, melainkan bilangan khayal. Jadi, persamaan itu tidak mempunyai akar nyata. 4. Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat adalah:

a b x x₁ ₂  dan a c x x₁. ₂ 

5. Sifat jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat a. Akar-akarnya berlawanan (x1= x2)  b = D b. Akar-akarnya berkebalikan a c x x _        2 1 1

c. Sebuah akarnya sama dengan nol (x1= 0)  c = 0 dan x2 = a

b 

d. Kedua akarnya bertanda sama 

a c

< 0 e. Kedua akarnya berlainan tanda 

a c

> 0

6. Menyusun persamaan kuadrat jika diketahui akar-akarnya dapat dilakukan dengan cara :

a. Dengan perkalian faktor

b. Dengan rumus jumlah dan hasil kali

7. Menyusun persamaan kuadrat jika akar-akarnya mempunyai hubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat lainnya dapat dilakukan dengan cara :

(16)

a. Memakai rumus jumlah dan hasil kali akar-akar b. Penghapusan indeks, jika akar-akarnya simetri

8. Untuk melukis grafik fungsi y = ax2+ bx + c diperlukan hal-hal berikut : a. Titik potong dengan sumbu x, maka y = 0

b. Titik potong dengan sumbu y, maka x = 0 c. Titik Puncak atau Titik Balik _

       a ac b a b 4 4 , 2 2 . d. Sumbu simetri a b x 2   e. Menggambar grafik

9. Jika sketsa grafik suatu fungsi kuadrat diketahui, maka kita dapat menentukan rumus fungsi kuadratnya, diantaranya :

a. Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu x di A(x1, 0) dan B(x2, 0, serta

melaluisebuah titik tertentu. Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai :



1



2



) (x a x x x x f y   

b. Grafik fungsi kuadrat menyinggung sumbu x di A(x1, 0) dan melalui

sebuahtitik tertentu. Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai :





2 1 ) (x a x x f y  

c. Grafik fungsi kuadrat melalui titik puncak atau titik balik P (xp, yp) dan



x xp



yp a x f y ₍ ₎  2

d. Grafik fungsi kuadrat melalui titik – titik A(x1, y1), B(x2, y2), dan (x3, y3).

Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai : c bx ax x f y ₍ ₎ 2 

(17)

DAFTAR PUSTAKA

Aldres, C.J. 1987. Aljabar Untuk SMTA Dan Yang Setingkat Jilid 2. Jakarta : Pradnya Paramita.

Joko S., Tri. 1997. Aljabar. Pancor : STKIP Hamzanwadi Selong.

Kartini, dkk.. 2004. Matematika Untuk Kelas X. Klaten : Intan Pariwara. Kurnianingsih Sri, dkk..1996. Matematika SMU. Jakarta : Yudhistira. Wirodikromo, Sartono. 2004. Matematika SMA. Jakarta : Erlangga.