TIU - Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat dalam x mempunyai bentuk umum:
ax2 + bx + c = 0 , a ? 0
a, b dan c adalah bilangan riil.
1. Menyelesaikan Persamaan kuadrat
Persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan beberapa cara, yaitu dengan:
1. memfaktorkan
2. melengkapkan kuadrat sempurna 3. menggunakan rumus
a. Memfaktorkan
Untuk nilai a = 1, pemfaktoran sebagai berikut :
Cari dua angka yang jika di tambahkan (+) menghasilkan b dan jika dikalikan (x) menghasilkan c.
Contoh
x2 + 7x + 12 = 0 (+) = 7
(x) = 12
angkanya : 3 dan 4 sehingga
x2 + 7x + 12 = 0 (x + 3)(x + 4) = 0 x = ? 3 atau x = ? 4
Untuk nilai a > 1, pemfaktoran sebagai berikut :
Cari dua angka (misalnya P dan Q), yang jika ditambahkan (+) menghasilkan b dan jika dikalikan (x) hasilnya adalah ac.
Kemudian masukkan dua angka tadi (P dan Q) ke pola berikut:
1/a (ax + P)(ax + Q) = 0 Contoh :
2x2 + x ? 6 = 0
a = 2, b = 1 dan c = ? 6 cari angka P dan Q P + Q = b = 1
P.Q = ac = (2)(?6) = ? 12 sehingga P = 4 dan Q = ? 3
masukkan pola 1/a (ax+P)(ax+Q)=0 1/2 (2x+4)(2x-3)=0
sederhanakan, (kalikan 1/2 dengan (2x + 4)) (x + 2)(2x ? 3) = 0
x = ?2 atau x = 3/2
b. Melengkapkan kuadrat sempurna
Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dapat diselesaikan dengan mengubahnya menjadi bentuk kuadrat sempurna (x + p)2 = q.
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 ? 2ab + b2 = (a ? b)2 Contoh :
x2 – 6x + 5 = 0 x2 – 6x + 9 – 4 = 0 x2 – 6 x + 9 = 4 (x – 3)2 = 4
x – 3 = 2 atau x – 3 = –2 x = 5 atau x = 1
c. Menggunakan rumus
Rumus diatas disebut dengan rumus ABC. Akar x1 dan x2 didapat dengan menggunakan ±, dengan + untuk x1 dan – untuk x2 atau sebaliknya.
2. Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat D = b2 - 4ac
Apabila:
D > 0, persamaan kuadrat mempunyai dua akar real berlainan, . D = 0, persamaan kuadrat mempunyai dua akar real sama.
D < 0, maka persamaan kuadrat mempunyai akar tidak real (imajiner).
3. Rumus-rumus akar
Jika x1 dan x2 adalah akar-akar dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 maka : x1 + x2 = -b/a
x1 . x2 = c/a
x1 - x2 = -D/4a
4. Menyusun Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat dapat disusun dengan :
menggunakan perkalian faktor, jika akar-akar persamaan kuadrat x1 dan x2 maka persamaannya adalah
(x – x1) (x – x2) = 0 Contoh :
Tentukan persamaan kuadrat yang akar akarnya 3 dan -2.
(x – x1) (x – x2) = 0 (x – 3) (x – (-2)) = 0 (x – 3) (x + 2) = 0 x2 – 3 x + 2 x – 6 = 0 x2 – x – 6 = 0.
menggunakan jumlah dan hasil kali akar-akar, Dengan menggunakan x1 + x2 = -b/a dan x1 x2 = c/a, maka akan diperoleh persamaan:
x2 – (x1 + x2)x + x1 . x2 = 0 Contoh:
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya –2 dan –3.
x1 + x2 = – 5 x1 . x2 = 6
Jadi, persamaan kuadratnya
x2 – (–5)x + 6 = 0 ? x2 + 5x + 6 = 0.
