Penyelesaian Persamaan Kuadrat dengan Substitusi

(1)

M ATEM ATIK A

A. Pilihan Ganda 1 Pembahasan:

Dari persamaan kuadrat 5x²−3x 2 0− = diperoleh:

b 3 a 5

c 2

a 5

α + β = − = αβ = = −

Misal akar-akar persamaan kuadrat baru:

( ) ( )

A= α −5 4 danB= β −5 4 Maka:

( ) ( )

( )

A B 5 4 5 4

5 5 4 4

5 8

5 3 8 5 3 8

5

+ = α − + β −

= α + β − −

= α + β −

=    −

= −

( ) ( )

( )

AB 5 4 x 5 4

25 20 20 16

25 20 16

2 3

25 20 16

5 5

10 12 16 6

= α − β −

= αβ − α − β +

= αβ − α + β +

   

= − −   +

= − − +

= −

×

Persamaan kuadrat baru dengan akar-akar

(

⁵^{α −}^{4 dan 5}

) (

^{β −}⁴

)

^adalah:

( )

( ) ( )

2 2

2

x A B x AB 0

x 5 x 6 0

x 5x 6 0

− + + =

− − + − = + − =

Jawaban: B

2 Pembahasan:

Diketahui:

( ) ( )( )

f x = x 1 dan f g x−  =2 x 1− Sehingga:

( )

2 2

1 2

f x x 1 y x 1 y x 1

x y 1 f x⁻ x 1

= −

= +

= + Maka:

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

1 1

1 2

f g x 2 x 1 g x f f g x

f f g x f 2 x 1

2 x 1 1 4 x 1 1 4x 4 1 4x 3

−

= −

=

= −

= − +

= −



 



( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

1 1

1 2

f g x 2 x 1 g x f f g x

f f g x f 2 x 1

2 x 1 1 4 x 1 1 4x 4 1 4x 3

−

= −

=

= −

= − +

= −



 



Jawaban: E 3 Pembahasan:

Ingat:

Rumus jumlah n suku pertama barisan geo- metri:

(

ⁿ

)

n

a r 1

S r 1

= −

− Diketahui:

1 7

U 2 dan U= =128 Sehingga:

1

n 1 6

7

U 2 U ar⁻ 2r

=

= =

PEMBAHASAN TRYOUT

UN MATEMATIKA PAKET 1

(2)

M ATEM ATIK A

Maka:

7 6

1

U 2r U = 2

6

128 r 2 64 r

r 2

=

= Sehingga:

( ) ( )

n 7

n

a r 1 2 2 1

S r 1 2 1

2 128 1 2 127 1

254

− −

= =

− −

= − =

=

Jadi, panjang keseluruhan tali tersebut adalah 254 cm.

Jawaban: C 4 Pembahasan:

Ingat:

Persamaan grafik fungsi kuadrat dengan titik puncak

(

^{x ,y}^p ^p

)

dan melalui titik (x,y) adalah:

(

^p

)

² ^p

y a x x= − +y

Diketahui grafik dengan titik puncak

(

⁻^1,0

)

dan melalui titik (0,3), maka:

( )

2

p p

2

y a x x y 3 a 0 ( 1) 0 3 a

= − +

= − − +

= Sehingga:

( )

2

2 2

y 3 x ( 1) 0 3 x 1 3 x 2x 1 3x 6x 3

= − − +

= +

= + +

Jawaban: C 5 Pembahasan:

( ) ( )

( )( )

2

2 3x 1

x 3x 2

3x 1 x 3x 2

1 2

3x 1 2x 6x 4 2 2 2

1 9

3

3 3

3x 1 2x 6x 4 0 2x 9x 5 2x 9x 5 0

2x 1 x 5 0

− + −

−

− + + −

  ≤

  

≤

− + ≤ + −

≤ + −

+ − ≥

− + ≥

Pembuat nol: x 1dan x 5

=2 = −

1 2

−5

−

+ +

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah x | x 5 atau x 1

2

 ≤ − ≥ 

 

 

Jawaban: C 6 Pembahasan:

Ingat:

Rumus kosinus jumlah dan selisih dua sudut:

(

α ± β =

)

α β α β cos cos .cos sin .sin Diketahui:

(

^{A B}^{− = =}

)

^π₄ ⁴⁵^° ^dan

sinA sinB 1 6

=2

(

^{− =}

)

^{° =}¹

cos A B cos 45 2 2

( )

+ =

= − = −

cosA.cosB sinA.sinB 1 2 2

1 1

cosA.cosB 6 2

2 2

1 1 1

cosA.cosB 2 6 2 6

2 2 2

( )

+ =

= − = −

cosA.cosB sinA.sinB 1 2 2

1 1

cosA.cosB 6 2

2 2

1 1 1

cosA.cosB 2 6 2 6

2 2 2

( )

+ = −

= − −

= −

Jadi, cos A B cosA.cosB sinA.sinB

1 1

2 6 6

2 2

1 2 2 6 2

1 2 6 2

Jawaban: D 7 Pembahasan:

Ingat:

Perkalian trigonometri:

( ) ( )

2sin xsin y cos x y cos x y

− = + − −

Penjumlahan dan pengurangan:

( )

cos x y± =cos xcos y sin xsiny

(3)

M ATEM ATIK A

4sin165 sin 75° ° +cos125 cos 55° ° −sin125 sin 55° °

( ) ( )

( )

( ) ( )

2 2sin165 sin 75 cos 125 55 2 cos 240 cos 90 cos180

2 1 0 1

2 1 1 0

= − − ° ° + ° + °

= − ° − ° + °

 

= − − − + −

= + −

=

Jawaban: C 8 Pembahasan:

Ingat:

Diketahui persamaan kuadrat ax²+bx c 0+ = Rumus jumlah dan kali akar-akar persamaan kuadrat:

b c

a dan a

α + β = − α ⋅β =

Diketahui persamaan kuadrat:

( )

px2+ p 3 x 2p 1 0+ + − = a p

b p 3 c 2p 1

=

= +

= −

Akar-akarnya adalah α dan β, maka:

(

p 3

)

b

a p

c 2p 1

a p

α + β = − = − +

α ⋅β = = −

Karena diketahui α ⋅β =3, maka:

3 2p 1 p 3p 2p 1 3p 2p 1

p 1

= −

− = −

= − Sehingga:

(

^{p 3}

) (

^{1 3}

)

₂

p 1

+ − +

α + β = − = − =

−

Jadi, nilai

(

^{α −β}

)

²^adalah:

( )

( ) ( )

2 2 2

2

2 2

4 2 4 3 4 12

8

α −β = α + β − αβ

= α + β − αβ − αβ

= α + β − αβ

= −

Jawaban: A 9 Pembahasan:

Ingat:

Suatu fungsi memotong sumbu x di dua titik, jika D > 0.

dengan D = b² − 4ac Diketahui fungsi

( ) ( )

²

f x = m 1 x− +4x 2m+ . dengan a = m − 1, b = 4, dan c = 2m.

Fungsi memotong sumbu x di dua titik, maka:

( )( )

2 2

D 0 b 4ac 0 4 4 m 1 2m 0 16 8m 8m 0 m m 2 0

>

− >

− − >

− + >

− − <

Daerah penyelesaiannya:

( )( )

m2 m 2 0 m 2 m 1 0

− − =

− + =

−1 2

− +

+

Jadi, penyelesaiannya adalah − < <1 m 2.

Jawaban: A 10 Pembahasan:

Misal:

x = umur Tuti y = umur ibu Persamaan 1:

x 1y 3 3x y ... (3)

=

(4)

M ATEM ATIK A

Persamaan 2:

( )

x 5 1 y 5 4

4x 20 y 5 ... (4)

− = −

Substitusi persamaan 3 ke persamaan 4:

4x 20 3x 5 4x 3x 5 20

x 15

− = −

− = − +

=

Maka, y 3x 3 15= =

( )

=45.

Jadi, jumlah umur Tuti dan umur ibunya adalah x y 15 45 60 tahun.+ = + =

Jawaban: C 11 Pembahasan:

Misalkan:

banyak sepatu laki-laki = x banyak sepatu wanita = y

Banyak

Sepatu Untung

Sepatu laki-laki x 10.000

Sepatu wanita y 5.000

Kapasitas 400

Model matematikanya adalah:

x y 400 100 x 150

y 150

 + ≤

 ≤ ≤

 ≥



Fungsi tujuan:

( )

f x,y =10.000x 5.000y+

Titik potong garis x = 100 dengan garis x y 400+ = adalah:

100 y 400+ = ⇒ =y 300

Titik potong garis x = 150 dengan garis x y 400+ = adalah:

150 y 400+ = ⇒ =y 250 Sketsa grafik:

y

x 0

150

150 400

100 400

Uji titik pojok:

(x,y) f x,y

( )

=10.000x 5.000y+ (100,150) 1.000.000 + 750.000

= 1.750.000 (150,150) 1.500.000 + 750.000

= 2.250.000

(100,300) 1.000.000 + 1.500.000

= 2.500.000

(150,250) 1.500.000 + 1.250.000

= 2.750.000

Jadi, keuntungan terbesar yang dapat diperoleh adalah Rp2.750.000,00.

Jawaban: A 12 Pembahasan:

Ingat:

ax b 1 dx b

f(x) maka f (x)

cx d cx a

+ − − +

= =

+ −

Diketahui ^{f x 2}

(

−

)

=_{x 2}^3x + . Misal x 2 p− = ↔ = +x p 2. Maka:

( ) ( )

( )

( ) ( )

1

3 p 2 f p p 2 2 f p 3p 6

p 4 f p 4p 6

p 3

−

= + + +

= + +

− +

= −

Jadi,

( ) ( )

1 4 1 6

( )

4 6

f 1 1

1 3 2

− =− + =− + = −

− − .

Jawaban: B 13 Pembahasan:

Ingat:

• Lingkaran x²+y²+Ax By C 0+ + = pusatnya = 1 1

A, B

2 2

− − 

 

 

jari-jarinya = 1 ² 1 ²

A B C

4 4

 

+ −

 

 

• Persamaan garis singgung pada lingkaran berpusat di (p,q), berjari-jari r, dan bergradien m adalah:

( )

²

y q m x p r 1 m− = − ± +

(5)

M ATEM ATIK A

Persamaan lingkaran x²+y²−6x 2y 10 0+ − = , maka:

• titik pusat: ¹

( )

^{6 ,} ¹

( )

²

(

^{3, 1}

)

2 2

− − − = −

 

 

• jari-jari:

( )

²

( )

²

1 1

6 2 10 9 1 10

4 4

20 2 5

− + + = + +

= =

• Garis singgung tegak lurus dengan garis 2x 4y 5 0+ − = (yang memiliki gradien = 2 1

4 2

− = − ), maka gradien garis singgungnya adalah 2 (karena syarat tegak lurus m m₁× ₂= −1).

Sehingga, persamaan garis singgungnya adalah:

( )

²

y 1 2 x 3 2 5 1 2 y 1 2x 6 10

+ = − ± +

+ = − ± 2x y 6 1 10 0

2x y 7 10 0

− − − ± =

− − ± = Diperoleh:

i) 2x y 7 10 0 2x y 3 0 ii) 2x y 7 10 0

2x y 17 0

− − + =

− + =

− − − =

− − =

i) 2x y 7 10 0 2x y 3 0 ii) 2x y 7 10 0

2x y 17 0

− − + =

− + =

− − − =

− − =

Jawaban: D 14 Pembahasan:

Ingat:

Menentukan jari-jari lingkaran dengan pusat P x ,y

(

1 1

)

jika diketahui persamaan garis singgung lingkaran ax by c 0 adalah:+ + =

+ +

= +

1 1

2 2

ax by c

r a b

Persamaan lingkaran dengan pusat A(a,b) dan jari-jari r:

(

^{x a}−

) (

²+ −^{y b}

)

²=^r²

Diketahui lingkaran dengan pusat (3,1) dan menyinggung garis 3x 4y 7 0+ + = , maka:

( ) ( )

2 2

3 3 4 1 7

r 3 4

9 4 7 25 20 4

5

+ +

= +

= + +

= =

Persamaan lingkarannya adalah:

( ) ( )

2 2 2

2 2

x a y b r

x 3 y 1 4

x 6x 9 y 2y 1 16 x y 6x 2y 6 0

− + − =

− + + − + = + − − − =

Jawaban: C 15 Pembahasan:

Diketahui:

3 z 1 x 4 4x 5y

A B C

2 1 2 y 2 7

− −

     

=  =−  =  Maka:

( ) ( )

3 z 1 x 4

AB 2 1 2 y

3x 2 z 1 12 y z 1

2x 2 8 y

− −

  

=  − 

 − − − + − 

=  − − + 

( ) ( )

^{4x 5y}

3x 2 z 1 12 y z 1

AB C 2x 2 8 y 2 7

7x 2z 2 12 yz 4y

2x 1 y

 − − − + −   

+ = − − +  + 

− + − + +

 

=  − + 

Sehingga:

AB C A 7x 2z 2 12 yz 4y 3 z 1

2x 1 y 2 1

+ =

− + − + + −

   

 − +  = 

   

Diperoleh:

1) 2x 2 x 1

=

= 2) y 1 1

y 2

− =

=

3) 7x 2z 2 3 7 2z 2 3 7 2 3 2z

6 2z 3 z

− + =

− + = + − =

=

= Jadi, x y z 1 2 3 6.+ + = + + =

Jawaban: E 16 Pembahasan:

Ingat:

Misal matriks ,  

=   A a b

c d maka:

Determinan matriks:

= = a b= −

det A A ad bc

c d

Invers matriks: ⁻  − 

= − 

1 1 d b

A det A c a

(6)

M ATEM ATIK A

Transpose matriks:  

=  

T a c

A b d

Penyelesaian persamaan matriks AX B= adalah X A B.= ⁻¹

Diketahui:    

=  =− 

7 4 2 0

A dan AB

5 3 1 1

Menentukan det A dan A⁻¹ detA 7 3 4 5 21 20 1= ⋅ − ⋅ = − =

−  − 

= − 

1 3 4

A 5 7

Menentukan B

( ) ( )

−

=

 −   

= −   − 

 − − − 

= − + − − − 

+ −

 

= − − − 

 − 

= − − 

1

A.B AB B A AB

3 4 2 0

5 7 1 1

3.2 4 1 3.0 4.1 5.2 7 1 5.0 7.1

6 4 4

10 7 7 10 4

17 7 7

+

7

 − 

= − 

T 10 17

B 4 7

Menentukan

(

^{2A B}⁺ ^T

)

(

⁺

)

⁼ ^ ^{ }  ⁺ − ⁻ ^

   − 

=   + − 

 − 

=  

 

T 7 4 10 17

2A B 2

5 3 4 7

14 8 10 17

10 6 4 7

24 9 6 13

Jawaban: E 17 Pembahasan:

Diketahui

2 2 0

12x 2x +1 dx

∫

misal: u 2x² 1 du 4x dx 3du 12x dx

= + ⇒ =

⇒ =

Sehingga:

12

1 3

2 1 2

12

3u du 3 u 2u 1

= + =

∫

+

Jadi,

( )

( ) ( )

( )

2 3 2

2 2 2

0 0

2 2 2

0

12x 2x 1dx 2 2x 1

2 2x 1 2x 1 2 2 4 1 2 4 1 2 1 1 52

+ = + 



= + + 

= ⋅ + ⋅ + − ⋅ ⋅

=

∫ ( )

( ) ( )

( )

2 3 2

2 2 2

0 0

2 2 2

0

12x 2x 1 dx 2 2x 1

2 2x 1 2x 1

2 2 4 1 2 4 1 2 1 1 52

+ = + 



= + + 

= ⋅ + ⋅ + − ⋅ ⋅

=

∫

Jawaban: D 18 Pembahasan:

Diketahui

∫

x cos 2x dx² Misal:

u x2 dv cos 2x dx

du 2x dx v cos 2x dx 1sin 2x C 2

= =

∫

= +

2

(*)

uv v du

1 1

x sin 2x 2x sin 2x dx

2 2

1x sin 2x 12x sin 2x dx

2 2

1x sin 2x x sin 2x dx 2

−

= ⋅ − ⋅

∫

(*) ... misal:

u x dv sin 2x dx

du dx v sin 2x dx 1cos 2x C 2

= =

∫

= − +

Jadi:

2

1x sin 2x 1x cos 2x 1cos 2x dx

2 2 2

1x sin 2x 1x cos 2x 1 1sin 2x dx C

2 2 2 2

1x sin 2x 1x cos 2x 1sin 2x C

2 2 4

 

= ⋅ − − ⋅ − − 

 

= ⋅ + ⋅ − ⋅ +

= ⋅ + ⋅ − +

∫

Diketahui

4 2

0

6cos x sin x dx

π

∫

Misal: u cos x= ⇒du= −sinx dx

2 6 3 3

6u du u C 2cos x C

− = −3 + = − +

∫

(7)

M ATEM ATIK A

Jadi:

( )

4 2

0

3 4 0

3 3

6cos x sin x dx

2cos x

2cos 2cos 0 4

2 1 2 2 1 2

2 2 2 2 8 1 2 2 2

π

π

= − 

= − π− −

 

= −   +

 

= −  +

= − +

∫

( )

4 2

0

3 4

0

3 3

6cos x sin x dx

2cos x

2cos 2cos 0 4

2 1 2 2 1 2

2 2 2 2 8 1 2 2 2

π

π

= − 

= − π− −

 

= −   +

 

= −  +

= − +

∫

Jawaban: E 20 Pembahasan:

Fungsi pertama: x y= ²+2

x 6 3 2 3 6

y −2 −1 0 1 2

Fungsi kedua: y = 3

−1 4 6

−2

3 5

−3 2 2 3

1 1 y

y = 3

x y= 2+2

Jadi, luas daerahnya adalah:

( ) ( ) ( )

3 2 0

3 3

0 3

L y 2 dx

1y 2y 3

1 3 2 3 3

1 27 6 3 9 6 15 satuanluas

= +

= + 

= +

=

∫

1(27) 6 9 6 15 satuan luas

=3 + = + =

Jawaban: B

21 Pembahasan:

Daerah kuadran 1 dibatasi y = x² + 1 dan x = 3 Grafik dari kedua fungsi tersebut adalah:

−1

−3 −2 1 2 3

2 1

5 10 y

x

Diputar terhadap sumbu y, jadi volumenya adalah:

( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 10

2 2

0 1

1 10

0 1

1 2 10

0 1

2 2

V 3 dy 3 y 1 dy

9 dy y 10 dy 9y 1y 10y

2

1 1

9 10 10 10 1 10 1

2 2

9 50 100 1 10 2 491 satuan volume

2

= π + π − −

= π + π − +

 

= π + π − + 

  

= π − + − − + 

 

= π − + + − 

= π

∫ ∫

( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 10

2 2

0 1

1 10

0 1

1 2 10

0 1

2 2

V 3 dy 3 y 1 dy

9 dy y 10 dy 9y 1y 10y

2

1 1

9 10 10 10 1 10 1

2 2

9 50 100 1 10 2 491 satuan volume

2

= π + π − −

= π + π − +

 

= π + π − + 

  

= π − + − − + 

 

= π − + + − 

= π

∫ ∫

Jawaban: E 22 Pembahasan:

Diketahui jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah S_n=3n²−4n.

2 1 2

S U U

a a b 2a b ... (i)

= +

= + + = +

2 2

S 3(2) 4(2) 12 8 4 ... (ii)

= −

= − =

Dari i dan ii diperoleh 2a b 4 ... iii+ =

1 1

2

S U a

S 3(1) 4(1) 3 4 1

= =

= − = − = −

(8)

M ATEM ATIK A

Diperoleh a= −1 ... iv Dari iii dan iv diperoleh:

2a b 4 2( 1) b 4 2 b 4 b 6 + = ⇒ − + =

⇒ − + = ⇒ =

Jadi, beda pada deret tersebut adalah 6.

Jawaban: D 23 Pembahasan:

Ingat:

Rumus suku ke – n barisan aritmetika:

( )

= + − Un a n 1 b

Rumus suku ke-n barsian aritmetika jika diketahui suku ke-k, dengan n > k, yaitu:

( )

= + −

n k

U U n k b

Dari tahun ke–7 hingga tahun ke–10, diketahui:

Selisih tahun = 10 – 7 = 3 tahun

Selisih gaji = 2.800.000 – 2.050.000 = 750.000 Jadi, kenaikan gaji tiap tahun = 750.000=

250.000 3

Dari tahun pertama hingga tahun ke–7, diketahui:

Selisih tahun = 7 – 1 = 6 tahun Selisih gaji = 6 250.000 1.500.000× = Jadi, gaji tahun pertama:

= Rp2.050.000,00 – Rp1.500.000,00

= Rp550.000,00

Jawaban: C 24 Pembahasan:

Ingat:

Median data berkelompok:

Me

N fk

Me Bb 2 l

f

 − 

 

 

= + ⋅

Diketahui:

x x_i f_i fk

141 − 147 144 2 2

148 − 154 151 6 8

155 − 161 158 14 22

162 − 168 165 8 30

169 − 175 172 7 37

176 − 182 179 3 40

Kelas median adalah pada interval: 155 − 161

Median data tersebut adalah:

( )

Me

N fk

Me Bb 2 l

f 40 8

154,5 2 7

14 154,5 20 8 7

14 154,5 12

2 160,5

 − 

 

 

= + ⋅

 − 

 

 

= + ⋅

= + − ⋅

= +

=

( )

Me

N fk

Me Bb 2 l

f 40 8

154,5 2 7

14 154,5 20 8 7

14 154,5 12

2 160,5

 − 

 

 

= + ⋅

 − 

 

 

= + ⋅

= + − ⋅

= +

=

( )

Me

N fk

Me Bb 2 l

f 40 8

154,5 2 7

14 154,5 20 8 7

14 154,5 12

2 160,5

 − 

 

 

= + ⋅

 − 

 

 

= + ⋅

= + − ⋅

= +

=

Jawaban: D 25 Pembahasan:

Ingat:

Mencari rataan hitung dengan menggunakan rata-rata sementara:

s

x x f.d

= +

∑

f

∑

Diketahui:

Nilai f x_T d f.d

21 − 25 2 23 −15 −30

26 − 30 8 28 −10 −80

31 − 35 p 33 −5 −5p

36 − 40 6 38 0 0

41 − 45 3 43 5 15

46 − 50 2 48 10 20

21 + p −75 − 5p

x 34 dan x= s=38 Sehingga:

s

x x f.d f 5p 75 34 38

21 p 5p 75 4 21 p 84 4p 5p 75

p 84 75 9

= +

= +− − +

− =− − +

− − = − −

= −

=

∑ ∑

Jawaban: E

(9)

M ATEM ATIK A

26 Pembahasan:

Ingat:

Aturan cosinus pada segitiga:

• b² c² a²

cosA 2. b.c + −

=

• a² c² b²

cosB 2. a.c + −

=

• cosC a² b² c² 2. a.b + −

= Luas segitiga:

• 1

a b sinC 2× × ×

• 1 a c sinB 2× × ×

• 1

b c sinA 2× × ×

Perhatikan segitiga ABC, maka dengan aturan cosinus, maka:

( )

²

2 2

o

5 5 5 3 cosB 2 . 5 . 5

25 25 75 25 1

50 50 2

B 120 + −

=

+ −

= = − = −

∠ =

Maka, luas alas prisma adalah:

1 AB BC sinB 1 5 5 sin120o

2 2

1 1 25

25 3 3

2 2 4

× × × = × × ×

= × × =

Volume prisma = luas alas × tinggi

=25 ³

3 8 50 3 cm 4 × =

Jawaban: E

27 Pembahasan:

Perhatikan gambar berikut.

Jarak D ke bidang EBG yaitu DD’.

EG = EB = BG = 2 cm

,

^{EP =}₂¹ ^{2 cm}

( )

2 2 2

2 1 2

2 2

2 2 1 3

2 2 PB =BE −EP

 

= −  

 

= − = 3 PB= 2 = 3

2

Perhatikan segitiga PDB, dengan O adalah titik tengah BD, dan PO merupakan garis tinggi pada segitiga PDB.

1 1 '

2 2

2 1 ' 3 2 2 2

' 3

3 3 L PDB L PBD DB PO DD PB

DD DD

∆ = ∆

× × = × ×

× = ×

= =

Jawaban: B 28 Pembahasan:

Perhatikan limas T.PQRS berikut!

P Q

R O

S K T

M

α

4 5

4 2

( ) ( )

² ²

2 2

QS PQ PS 4 2 4 2

32 32 64 8

= + = +

= + = =

( )

²

2 2 2

TO TQ QO 4 5 4

80 16 64 8

= − = −

= − = =

KO 1TO 4

=2 =

(10)

10

M ATEM ATIK A

2 2 2 2

KQ QO KO 4 4

32 4 2

= + = +

= =

T

O R K M

4 4 4

Sudut antara QM dan bidang TSQ diperoleh dengan cara memproyeksikan garis QM terhadap bidang TSQ sehingga diperoleh titik K sehingga sudut antara QM dan bidang TSQ adalah α. Untuk menentukan sinus sudut tersebut, perhatikan segitiga MKQ. Segitiga MKQ merupakan segitiga siku-siku di titik K.

Dengan rumus kesebangunan segitiga diperoleh:

KM TK OR TO KM 4

4 8 KM 2

=

Sehingga diperoleh segitiga MKQ dengan:

( )

2 2

QM KQ KM 4 2 2 32 4 6

= +

=

4 2 α 2

, KM 2 1

Jadi sin

QM 6 3 α = = =

Jawaban: B 29 Pembahasan:

Ingat:

Persamaan garis yang melaui dua titik

(

x , y1 1

)

dan

(

x , y2 2

)

adalah: y y₂ ¹₁ x x₂ ¹₁

y y x x

− = −

− −

Dari persamaan garis 2y x 3 0− + = kita ambil dua titik sembarang yang dilaluinya:

Misal, ketika x = 3, maka y = 0 ketika x = 1, maka y = −1

Kedua titik tersebut adalah (3,0) dan (1,−1) Maka, bayangan dari dua titik tersebut adalah:

• x' 2 3 3 6

y' 1 2 0 3

  =     =

       

       

• x' 2 3 1 1

y' 1 2 1 1

       −

= =

       − −

       

Maka, persamaan garis bayangannya adalah garis yang melalui titik (6,3) dan (−1,−1), yaitu:

y 3 x 6 1 3 1 6 y 3 x 6

4 7

7y 21 4x 24 4x 7y 3 0

− = −

− − − −

− = −

− −

− + = − + ⇒ − − =

Jawaban: E 30 Pembahasan:

Ingat:

Matriks transformasi refleksi terhadap sumbu x adalah ^{1 0}

0 1

 

 −

 

Matriks transformasi refleksi terhadap garis y = x adalah 0 1

1 0

 

 

 

Bayangan yang ditransformasikan oleh T₁ kemudian dilanjutkan T₂, maka matriks transformasinya adalah: T₂T₁

Bayangan garis y= − +3x 3 oleh refleksi terhadap sumbu x dilanjutkan refleksi terhadap garis y = x, maka matriks transformasinya:

1 2

1 0 0 1

T dan T

0 1 1 0

   

= − =  Matriks transformasinya menjadi,

2 1

0 1 1 0 0 1

T T

1 0 0 1 1 0

     − 

=    −  = 

 Maka:

x' 0 1 x y

y' 1 0 y x

− −

       

= =

       

        diperoleh: x'= − ⇒ = −y y x' y' x= ⇒ =x y' Sehingga, bayangan dari garis:

y 3x 3 x' 3y' 3 3y' x' 3

x' 3 1

y' y x 1

3 3

= − + ⇒ − = − +

⇒ = +

⇒ = + ⇒ = +

Jawaban: A 31 Pembahasan:

( ) ( )

( )( ) ( )

( )

2 2 x 2

2 2

x 2

2 2

x 2 2

2 x 2 2

x 2

lim 4 x

8 x 2x

4 x 8 x 2x

lim 8 x 2x 8 x 2x

4 x 8 x 2x

lim

8 x 2x

2 x 2 x 8 x 2x

lim x 2x 8

lim 2 x

→

−

− +

− + +

= ⋅

− + + +

− + +

=

− +

− + + +

= − − +

= −

( ) ( )

( )

2 x 8 x2 2x 2 x

+ + +

−

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

2

x 2

2

4 x 2 x 8 x 2x

lim 4 x

2 2 8 2 2 2 4 2 4 2 8

→

+

+ + +

= +

+ + + ⋅

= +

(11)

M ATEM ATIK A

( ) ( )

( )( ) ( )

( )

2 x 2 2

2 2

x 2

2 2

x 2 2

2 x 2 2

x 2

lim 4 x

8 x 2x

4 x 8 x 2x

lim 8 x 2x 8 x 2x

4 x 8 x 2x

lim

8 x 2x

2 x 2 x 8 x 2x

lim x 2x 8

2 x lim

→

−

− +

− + +

= ⋅

− + + +

− + +

=

− +

− + + +

= − − +

= −

( ) ( )

( )

2 x 8 x2 2x 2 x

+ + +

−

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

2 x 2

2

4 x 2 x 8 x 2x

lim 4 x

2 2 8 2 2 2 4 2 4 2 8

3 8 2 3

→

+

+ + +

= +

+ + + ⋅

= +

=

( ) ( )

( )( ) ( )

( )

2 2 x 2

2 2

x 2

2 2

x 2 2

2 x 2 2

x 2

lim 4 x

8 x 2x

4 x 8 x 2x

lim 8 x 2x 8 x 2x

4 x 8 x 2x

lim

8 x 2x

2 x 2 x 8 x 2x

lim x 2x 8

2 x lim

→

−

− +

− + +

= ⋅

− + + +

− + +

=

− +

− + + +

= − − +

= −

( ) ( )

( )

2 x 8 x2 2x 2 x

+ + +

−

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

2

x 2

2

4 x 2 x 8 x 2x

lim 4 x

2 2 8 2 2 2 4 2 4 2 8

3 8 2 3

→

+

+ + +

= +

+ + + ⋅

= +

=

( ) ( )

( )( ) ( )

( )

2 2 x 2

2 2

x 2

2 2

x 2 2

2 x 2 2

x 2

lim 4 x

8 x 2x

4 x 8 x 2x

lim 8 x 2x 8 x 2x

4 x 8 x 2x

lim

8 x 2x

2 x 2 x 8 x 2x

lim x 2x 8

lim 2 x

→

−

− +

− + +

= ⋅

− + + +

− + +

=

− +

− + + +

= − − +

= −

( ) ( )

( )

2 x 8 x2 2x 2 x

+ + +

−

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

2

x 2

2

4 x 2 x 8 x 2x

lim 4 x

2 2 8 2 2 2 4 2 4 2 8

3 8 2 3

→

+

+ + +

= +

+ + + ⋅

= +

= 6 =

Jawaban: D 32 Pembahasan:

Ingat:

• Identitas trigonometri

2A cosAx 1 2sin x

= − 2

• Untuk menghitung nilai limit, jika terdapat nilai berupa cos, maka diubah dahulu menjadi bentuk sin.

x 0 x 0 2

x 0 2

x 0

2tan6x sin2x 2 tan6x . sin2x

lim lim

1 cosx 1 1 2sin 1x 2 2 tan6x . sin2x lim 2 sin 1x

2 tan6x sin2x lim 1 . 1

sin x sin x

2 2

6 . 2 12 . 4 48 1 1

2 2

→ →

→

− = − − 

=

= = =

Ingat:

Persamaan garis singgung kurva y = f(x) di titik (a, f(a)) adalah y = f(x) = m (x − a).

Diketahui kurva

1

y 4 x 4x= = 2 absisnya 4, maka ordinatnya:

( ) ( )

a 4= → =y f 4 =4 42 =8 Gradien kurva:

1 1 2 1 2

y' m y' 1 4x 2 2x 2

x

−

= ⇒ = ⋅

= =

Karena absisnya 4, maka nilai gradien kurvanya adalah:

y' m 2 1

= = 4 =

Misal persamaan garis singgungnya adalah y = mx + k, maka:

y mx k 8 (1)(4) k 8 4 k k 4

= + ⇒ = +

⇒ = + ⇒ =

Sehingga, diperoleh persamaan garis sing gung kurva adalah y = x + 4.

Garis memotong sumbu x pada saat y = 0, yaitu y 0= → = + → = −0 x 4 x 4.

Jadi, titik potong garis singgung dengan sumbu x adalah

(

−4,0

)

.

Jawaban: B 34 Pembahasan:

Diketahui:

Biaya produksi x unit mobil = ^{M x}

( )

⁼^2x²⁺^{3x 36}⁻

Harga jual 1 unit mobil = ^{H x}

( )

^{= +}^{x 15}

Misalkan:

K(x) = keuntungan perusahaan Maka:

( ) ( ) ( )

( ) (

²

)

2 2

2

K x x H x M x

x x 15 2x 3x 36 x 15x 2x 3x 36

x 12x 36

= ⋅ −

= + − + −

= + − − +

= − + +

Keuntungan maksimum dapat tercapai jika K’(x)

= 0, sehingga:

( )

K ' x 0 2x 12 0

2x 12 x 6

=

− + =

− = − ⇒ =

Keuntungan maksimum saat x = 6, maka:

( ) ( )

²

( )

K 6 6 12 6 36 36 72 36 72

= − + +

=

Jadi, keuntungan maksimum perusahaan tersebut adalah 72 juta.

Jawaban: A

(12)

M ATEM ATIK A

35 Pembahasan:

Diketahui: 5 bola merah dan 3 bola biru n(s) = 8

Diambil 3 bola secara acak, maka:

38

8! 8 7 6 C 3!5!

= = ⋅ ⋅ ⋅5!

3 2 1⋅ ⋅ ⋅5! =56

Paling sedikit terambil 1 bola merah, maka:

5 3

1 2

83

C C 5 3 15

1) ... 1M 2 B

56 56 C

⋅ ⋅

+ = = =

5 3

2 1

83

5! 3 C C 2!3! 30 2) ... 2 M 1B

56 56 C

⋅ ⋅

+ = = =

53 83

C 3!2!5! 10 3) ... 3 M

56 56

=C = =

Jadi, peluang terambil paling sedikit 2 bola merah adalah 15 30 10 55.

56 56 56 56+ + =

Diketahui terdapat 3 pria dan 5 wanita yang akan duduk berjajar pada bangku panjang.

• Banyaknya susunan duduk 3 pria adalah 3!.

• Banyaknya susunan duduk 5 wanita adalah 5!.

• Pria dan wanita dapat bertukar posisi sehingga banyaknya susunan adalah 2!.

Jadi, banyaknya cara mereka duduk adalah:

3! 5! 2! 6 120 2 1.440

× × = × ×

=

Jawaban: D B. Isian

37 Pembahasan:

Ingat:

Identitas trigonometri: cos 2x 1 2 sin x= − ²

( )( )

2

cos 2x 3sin x 2 0 1 2sin x 3sin x 2 0 2sin 2x 3sin x 1 0 2sin x 1 sin x 1 0

− − =

− − − =

+ + =

2sin 2x2

Sehingga:

( )

2sinx 1 sinx 1

2 sinx sin 30

= −

= − ^

( )

x 30 k 360 atau x 180 30 k 360

k 1 x 330 k 0 x 210

= − + ⋅ = + + ⋅

= ⇒ = = ⇒ =

    

 

atau sinx 1 sinx sin270

x 270

= −

=



Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan tersebut untuk 180^< <x 270^ adalah 210^. 38 Pembahasan:

1

1 1 1

2 1

2 2 2

v 6 km/jam

U a v t 6 km/jam 1jam 6 km

3 3 18

v v 6 km/jam km/jam

4 4 4

18 18

U v t km/jam 1jam km

4 4

=

= = ⋅ = ⋅ =

= ⋅ = ⋅ =

2 1

U 184 3 r=U = 6 =4

a 6 6

S 24

3 1

1 r 1 4 4

= = = =

− −

∼

Jadi, jarak terjauh yang dapat ditempuh Amir adalah 24 km.

39 Pembahasan:

Ingat:

( ( ) ) ( )( )

( )

x a x a

f x x a x p

lim lim

x a x a

→ →

− −

− = −

dengan f(x) merupakan fungsi kuadrat dan p∈

Perhatikan persamaan:

( )( )

2

x 1 2 x 1

x 1 x p x ax b

lim lim 4

x 3x 2 x 1 x 2

→− →−

+ +

+ + = = −

+ + + +

Sehingga:

( )

( ) ( )

( )

x 1

x p 1 p

lim 4

x 2 1 2

1 p 4 p 3

→−

+ − +

= −

+ − +

− + = −

= −

= −4

diperoleh:

( )( )

2

x ax b x 1 x 3 x 2x 3

+ + = + −

= − −

( )

a 2 danb 3

Jadi, a b 2 3 2 3 1

= − = −

− = − − − = − + =

(13)

M ATEM ATIK A

Orang yang sukses mengerjakan apa yang tidak mau dikerjakan oleh orang yang tidak sukses.

Jangan berharap segala sesuatunya lebih mudah, berharaplah kamu menjadi lebih baik. – Jim Rohn

Perbedaan sederhana orang yang berhasil dengan yang tidak adalah karena orang yang berhasil mau mengerjakan pekerjaan atau hal-hal yang tidak mau dikerjakan orang kebanyakan. Kalau ada emas di tanah, yang mendapatkannya adalah yang mau menggali dan mengambilnya, bukan yang sekadar tahu atau sesumbar ada emas di tanah itu. Kita menginginkan sesuatu? Ambil. Kerjakan apa yang harus dikerjakan untuk itu. Kalau kita tidak mau berusaha meraihnya, orang lain yang akan mendapatkannya.

Jangan pula berharap keadaan akan lebih mudah, soal-soal akan lebih mudah. Itu tidak akan terjadi. Yang bisa dilakukan hanyalah mempersiapkan diri. Karena ketika kita siap, sesulit apapun soal yang harus kita kerjakan, kita akan bisa mengerjakannya. Itu sama seperti kita akan mendaki gunung, jika kita sudah bersiap dengan perbekalan yang sesuai, kita akan mendaki gunung dengan lancar. Kalaupun ada masalah pun, kita sudah bisa mengatasinya.

40 Pembahasan:

Ingat:

max min

J x= −x

1 1 2 2 n n

gab x n x n x n

x n

⋅ + ⋅ + + ⋅

= 

Nilai rata-rata matematika dalam suatu kelas dimana terdapat 22 siswa adalah 5, maka:

( )

1 n

x 20 4,9 x

5 22

110 98 x x 12 x x ... i

+ ⋅ +

=

= + +

= +

Jangkauan nilai tersebut adalah 4, maka:

n 1

( )

4 x= −x ... ii

Perhatikan persamaan I dan ii:

1 n

n 1

1 1

i ... 12 x x ii ... 4 x x

8 2x 4 x

= +

= −

=

−

Jadi, nilai siswa yang paling rendah adalah 4.

(14)