PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT (1)

PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT

A. PERSAMAAN KUADRAT

1. PENYELESAIAN PERSAMAAN KUADRAT

Bentuk umum persamaan kuadrat adalah 2 0

  bx c

ax , dimana a 0 _{dan a,b,c} R.

Pembuat nol dari persamaan di atas merupakan penyelesaian persamaan kuadrat. Himpunan dari penyelesaian di atas disebut Himpunan Penyelesaian (HP). Menentukan penyelesaian persamaan kuadrat sama dengan menentukan akar-akar persamaan kuadrat. Secara geometri, menentukan penyelesaian persamaan kuadrat berarti menentukan titik-titik potong kurva yax2bxc dengan sumbu X.

Cara menentukan penyelesaian persamaan kuadrat ada 3 cara, yaitu : 1. memfaktorkan

2. melengkapkan kuadrat sempurna 3. rumus kuadrat (rumus abc)

1.1 Penyelesaian persamaan kuadrat dengan memfaktorkan

Jika suatu persamaan kuadrat dapat diubah menjadi bentuk AB = 0, maka penyelesaiannya adalah A = 0 atau B = 0. Langkah pertama untuk menentukan penyelesaian persamaan kuadrat

0 2

  bx c

ax dengan pemfaktoran yaitu dengan menentukan faktor dari perkalian ac yang jumlahnya adalah b, misalnya faktornya p dan q. Sehingga perkalian luar dan perkalian dalam dari koefisiennya besarnya p dan q. Perhatikan pola di bawah ini :

Perkalian dalam

(…x + …)(…x + …) = 0

Perkalian luar

Contoh 1: Tentukan Himpunan Penyelesaian dari 2 2 8 0

   x

x

Jawab : 2 2 8 0

   x

x  (x - ….)(x + ….) = 0 x1 .... x2 ....

Jadi HP:{….,…..}

Contoh 2: Tentukan penyelesaian dari 6 2 5 0

  x

x

Jawab : 6 2 5 0

  x

x  (…...-……)(……+……) = 0 x1 .... x2 ....

LATIHAN SOAL

Tentukan HPnya dengan menggunakan cara pemfaktoran !

1. 2 12 0

  x

x

2. 2 7 12 0

   x

x

3. 2 8 16 0

   x

x

4. 2 9 0

 

x

5. 2 81 0

  x

6. 2 2 10 0

 

x

7. 2 0

 a

8. 2 3 0

1.2 Penyelesaian persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna

Yaitu dengan mengubah persamaan 2 0

menjadikan ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna, yaitu dengan menambahkan kedua ruas dengan ₎2

x dengan melengkapkan kuadrat sempurna

Jawab : 2 2 8 0

x dengan melengkapkan kuadrat sempurna

Jawab : 6 2 5 0

Tentukan HPnya dengan melengkapkan kuadrat sempurna, dari :

4. 2 9 0

1.3 Penyelesaian Persamaan Kuadrat Dengan Rumus Kuadrat (Rumus abc)

0

Rumus di atas dikenal dengan nama rumus kuadrat atau sering dikenal dengan rumus abc.

Contoh 5: Tentukan HP dari 2 2 8 0

   x

x dengan menggunakan rumus kuadrat

Jawab : a = … , b = …. , c = ….

 x x dengan menggunakan rumus kuadrat

Tentukan HPnya dengan menggunakan rumus kuadrat (abc) dari :

1. 2 12 0

  x

x 11. 2 2 6 0

  x

x 2. 2 7 12 0

   x

x 12. 5 2 8 4 0

   x

x 3. 2 8 16 0

   x

x 13. 6 2 11 3 0

   x x 4. 2 9 0

 

x 14. 5 18 8 2 0

   x x 5. 2 81 0

 

x 15. 20x312x2 0

6. 2 2 10 0

 

x

7. 5 2 40 0

   x

8. 2 3 0

  x

x

9. 3 2 12 0

  x

x

10. 6 2 60 0

   x x

2. JENIS-JENIS AKAR PERSAMAAN KUADRAT

Jenis-jenis akar persamaan kuadrat :

- Jika D < 0 maka akar-akarnya imajiner/ireal/tidak nyata - Jika D = 0 maka akar-akarnya real dan sama (akar kembar) - Jika D > 0 maka akar-akarnya real dan berlainan

Jika D > 0 dan D merupakan bentuk akar, maka akar-akarnya irasional dan berlainan

Jika D > 0 dan D bukan bentuk akar, maka akar-akarnya rasional dan berlainan

Harga a pada 2 0

  bx c

ax menentukan kurva parabola menghadap ke atas atau ke bawah. - Jika a < 0 maka parabola menghadap ke bawah

- Jika a > 0 maka parabola menghadap ke atas

Definit negatif dan definit positif

- Jika a < 0 dan D < 0 maka berapapun nilai x selalu menghasilkan nilai ax2bxcyang negatif (definit negatif)

- Jika a > 0 dan D < 0 maka berapapun nilai x selalu menghasilkan ax2bxc yang positif (definit positif)

Perhatikan gambar berikut :

Definit positif a >0

D <0 a > 0 a >0

D=0 D >0

Sb X

a < 0 a < 0

D > 0 D = 0 a < 0 D < 0 Definit negatif

Contoh 1: Tentukan jenis akar-akar dari 3 2 5 4 0

   x

Jawab : D = … = …

Karena D … 0 maka akar-akarnya …

Contoh 2: Tentukan nilai n agar persamaan 2 2 8 0

  nx

x mempunyai akar kembar !

Jawab : Syarat akar kembar, yaitu D …. 0

1. Tentukan jenis-jenis akar persamaan berikut : a. 2 5 2 0

2. Tentukan n, agar persamaan berikut mempunyai akar kembar ! a. 2 16 0

3. JUMLAH DAN HASIL KALI AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT

Akar-akar 2 0

Sehingga jika dijumlahkan dan dikalikan akar-akarnya akan mendapatkan rumus :

dan xx _ac a

b x

x1 2  1 2 

x1x2 = …..

1. Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar dari : a. 2 5 2 0

nx hasil kali akar-akarnya 1 atau akar-akarnya saling berkebalikan.

4. Tentukan n agar 4 2 3 0

  nx

x akar-akarnya berlawanan tanda.

5. Tentukan n agar 2 10 0

   x n

x hasil kali akar-akarnya 5.

4. MENYUSUN PERSAMAAN KUADRAT

4.1 Persamaan Kuadrat Yang Akar-akarnya x1 dan x2.

Digunakan rumus sebagai berikut :







0



1 2



1 2 0

Contoh 1: Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 dan –3

Jawab : Cara I :



xx1



xx2



0  ...

Cara II : x2



x1x2



xx1x2 0  ...

Misal x1 dan x2 akar-akar dari ax2bxc0, sedangkan y1 dan y2 akar-akar persamaan

kuadrat baru, dimana y1 kx1 dan y2 kx2, maka cara menentukan persamaan kuadrat baru itu

ada 2 cara, yaitu :

1. Cara I : Substitusi y = kx atau x  _ky ke 2 0

  bx c

ax , lalu ganti y dengan x 2. Cara II: dengan menggunakan rumus :



1 2



1 2 1 1 2 2

2 _{y y x y y 0dimana y kx dan y kx}

x      

Contoh 2: Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2 kali akar-akar 2 5 3 0

   x x

Jawab : Cara I : y = 2x maka x = ….

Substitusi x = …. ke 2 5 3 0

   x

x

…. = 0 …. = 0 Ganti y dengan x, maka diperoleh : ….

Cara II:



1 2



1 2 1 1 2 2 2 _{y y x y y 0dimana y 2x dan y 2x}

x      

…. ….

LATIHAN SOAL

1. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya : a. 3 dan 4 c. 5 dan –1/2

b. 2 dan –7 d. –3/2 dan 4/5

2. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3 kali akar-akar 3 2 2 1 0

   x

x

3. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 1/2 kali akar-akar 2 2 8 0

   x x

4. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2 lebihnya dari akar-akar 2 4 3 0

   x

x

5. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya kebalikan akar-akar 2 2 8 6 0

   x

x

B. PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

Pertidaksamaan kuadrat diselesaikan dengan bantuan garis bilangan, yaitu dengan menguji pada masing-masing daerah pada garis bilangan dengan mencantumkan akar-akar persamaan kuadrat. Tentukan penyelesaiannya sesuai dengan soal dan tanda “+” atau “-“ pada garis bilangan.

Contoh 1: Tentukan HP dari : a. 2 2 8 0

   x

x b. 2 2 6 0

  x

x c. 0

4 3

   x x

Jawab : a. 2 2 8 0

   x

x  ......0

… … …

HP:{x/ … }

b. 2 2 6 0

  x

x  ......0

… … …

… …

HP:{x/ … }

c. 0 4 3

   x x

......0

… … …

… …

HP:{x/ … }

LATIHAN SOAL

1. Tentukan HPnya dari pertidaksamaan : a. 2 3 18 0

   x

x e. 7 3x2 4x

 

b. 2 8 16 0

   x

x f. 1

2 8

  x c. 2 10 25 0

   x

x g. 5 0

1 

 x

x

d. 2 2 7 0

  x

x

2. Tentukan n agar 2 8 4 0

   x

nx akar-akarnya imajiner

3. Tentukan n agar ( 4) 1 0 2

1 2

  

 n x

nx _{akar-akarnya real dan berlainan}

4. Tentukan interval x sehingga f(x) = 2 5 6

  x

x berada di atas sumbu X

5. Tentukan interval x sehingga f(x) = 2 2 15 8

 

 x x berada di atas sumbu X

C. FUNGSI KUADRAT

1. MELUKIS PARABOLA

Kurvanya berupa Parabola.

Cara melukis sketsa Parabola, yaitu :

1. Tentukan titik-titik potong dengan sumbu koordinat a. Dengan sumbu X syarat y = 0

b. Dengan sumbu Y syarat x = 0

2. Tentukan Titik Puncak dengan rumus TP: _   

  

  

a ac b

a b

4 4 , 2

2

3. Jika a > 0, maka parabola menghadap ke atas Jika a < 0, maka parabola menghadap ke bawah 4. Gunakan beberapa buah titik bantu jika perlu

5. Lukis kurvanya dengan menghubungkan titik-titik yang sudah diketahui

Contoh 1: Lukis parabola berikut : a. 2 2 8

 

x x

y _b. 2 2 6

  

 x x

y

Jawab : a. 2 2 8

 

x x

y

- Titik potong dengan sumbu X syarat y = 0, maka : 0 2 2 8

  x x

= …. ….

- Titik potong dengan sumbu Y syarat x = 0, maka : y = …

- Titik Puncak : _   

  

  

a ac b

a b

4 4 , 2

2

= ….

- Karena a = … , maka parabola menghadap ke … - Beberapa titik bantu :

x … … … …

y … … … …

- Gambar kurvanya : Y

0 X

b. _y2_x2_x6

- Titik potong dengan sumbu X syarat y = 0, maka : 0 2 2 6

  

 x x = …. ….

- Titik Puncak : _   

  

  

a ac b

a b

4 4 , 2

2

= ….

- Karena a = … , maka parabola menghadap ke … - Beberapa titik bantu :

x … … … …

y … … … …

- Gambar kurvanya : Y

0 X

LATIHAN SOAL

1. Tentukan koordinat titik puncaknya dari :

a. _yx2 _3_x18 _{c. y 3x}2_12

b. _yx2_6_x9 _{d. y 4x}2_12x

2. Lukislah sketsa parabola berikut ini : a. 2 2 7 6

 

 x x

y _e. 2 6 7

  

 x x

y b. 2 10 25

 

x x

y _f. 4 2 8 5

  

 x x

y c. y 3x2 12x



 g. y 8x2x2

d. 4 2 16

  x

y _{h. y 9 x}2

 

2. MASALAH-MASALAH OPTIMUM

Jika suatu persoalan yang ada pada sehari-hari dapat dinyatakan dengan fungsi kuadrat, maka tentulah ada batas tertinggi atau terendahnya, karena kurvanya berupa parabola. Maka nilai optimum (maksimum/minimum) dari persoalan tersebut dapat ditentukan dengan nilai y pada koordinat titik puncak, yaitu

a ac b

4 4 2

 

Contoh 1: Suatu persegi panjang kelilingnya 24 cm. Tentukan luas maksimumnya !

Jawab : K = 2(p + l)

24 = 2(p + l) maka p + l = … sehingga p = … L = p.l

Substitusi p = … ke L = p.l, maka : L = …

= … merupakan fungsi kuadrat. L maks =

a ac b

4 4 2



Contoh 2: Dua bilangan jumlahnya 10. Tentukan kedua bilangan itu, agar hasil kalinya maksimum

Jawab : Misal kedua bilangan itu x dan y, maka x + y = … atau x = … Misal hasil kali x dan y dinyatakan dengan z, maka z = xy. Substitusi x = … ke z = xy sehingga :

z = …

= … merupakan fungsi kuadrat z maks =

a ac b

4 4 2



 _{= …}

Karena x + y = … dan xy = … maka x = … dan y = …

LATIHAN SOAL

1. Suatu persegi panjang kelilingnya 100 cm. Tentukan luas maksimumnya

2. Dua bilangan jumlahnya 16. Tentukan kedua bilangan itu agar hasil kalinya maksimum

3. Dua bilangan selisihnya 6. Tentukan kedua bilangan itu agar hasil kalinya minimum

4. Persamaan gerak bola yang dilempar ke atas yaitu S(t) 10t2 70t  

 . S(t) merupakan jarak

yang ditempuh setelah waktu t. S(t) dalam satuan meter dan t dalam satuan detik. Tentukan : a. tinggi maksimum yang dapat dicapai bola

b. saat bola mencapai tinggi maksimum c. saat bola mencapai tanah

5. Suatu kolam renang akan dikeringkan. Jika hubungan antara air di kolam dengan waktu adalah 2

80 1600 )

(t t t

V    . V(t) yaitu isi air dalam kolam renang setiap waktunya (dm3) dan t yaitu waktu dalam satuan menit. Kapan isi air kolam itu minimum dan tentukan isi minimumnya !