PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT
A. PERSAMAAN KUADRAT
1. PENYELESAIAN PERSAMAAN KUADRAT
Bentuk umum persamaan kuadrat adalah
ax
2+
bx
+
c
=
0
, dimanaa
≠
0
dan a,b,c∈
R
.Pembuat nol dari persamaan di atas merupakan penyelesaian persamaan kuadrat. Himpunan dari penyelesaian di atas disebut Himpunan Penyelesaian (HP). Menentukan penyelesaian persamaan kuadrat sama dengan menentukan akar-akar persamaan kuadrat. Secara geometri, menentukan penyelesaian persamaan kuadrat berarti menentukan titik-titik potong kurva
y
=
ax
2+
bx
+
c
dengan sumbu X.
Cara menentukan penyelesaian persamaan kuadrat ada 3 cara, yaitu : 1. memfaktorkan
2. melengkapkan kuadrat sempurna 3. rumus kuadrat (rumus abc)
1.1 Penyelesaian persamaan kuadrat dengan memfaktorkan
Jika suatu persamaan kuadrat dapat diubah menjadi bentuk AB = 0, maka penyelesaiannya adalah A = 0 atau B = 0. Langkah pertama untuk menentukan penyelesaian persamaan kuadrat
0
2
+
+
=
c
bx
ax
dengan pemfaktoran yaitu dengan menentukan faktor dari perkalian ac yang jumlahnya adalah b, misalnya faktornya p dan q. Sehingga perkalian luar dan perkalian dalam dari koefisiennya besarnya p dan q. Perhatikan pola di bawah ini :Perkalian dalam (…x + …)(…x + …) = 0
Perkalian luar
Contoh 1: Tentukan Himpunan Penyelesaian dari
x
2− x
2
−
8
=
0
Jawab :
x
2− x
2
−
8
=
0
⇔
(x - ….)(x + ….) = 0x
1=
....
x
2=
....
Jadi HP:{….,…..}
Contoh 2: Tentukan penyelesaian dari
6
x
2− x
−
5
=
0
Jawab :
6
x
2− x
−
5
=
0
⇔
(…...-……)(……+……) = 0x
1=
....
x
2=
....
LATIHAN SOAL
Tentukan HPnya dengan menggunakan cara pemfaktoran !
1.
x
2− x
−
12
=
0
2.
x
2+ x
7
+
12
=
0
4.
x
2−
9
=
0
5.− x
2+
81
=
0
6.2
x
2−
10
=
0
7.x
2− a
=
0
8.x
2− x
3
=
0
9.3
x
2+
12
x
=
0
10.ax
2+ bx
=
0
11.2
x
2− x
−
6
=
0
12.5
x
2+ x
8
−
4
=
0
13.6
x
2+ x
11
+
3
=
0
14.−
8
x
2−
18
x
+
5
=
0
15.12
x
2−
20
x
+
3
=
0
1.2
Penyelesaian persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna
Yaitu dengan mengubah persamaan
ax
2+
bx
+
c
=
0
menjadi bentuk(
x
+
p
)
2=
q
sehingga penyelesaiannyax
=
−
p
±
q
. Pertama, usahakan menjadi bentuka
c
x
a
b
x
2+
=
−
. Kemudian menjadikan ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna, yaitu dengan menambahkan kedua ruas dengan)
22
(
a
b
.Contoh 3: Tentukan HP dari
x
2− x
2
−
8
=
0
dengan melengkapkan kuadrat sempurnaJawab :
x
2− x
2
−
8
=
0
⇔
…. = ….. ……….Jadi HP : {……,…….}
Contoh 4: Tentukan HP dari
6
x
2− x
−
5
=
0
dengan melengkapkan kuadrat sempurnaJawab :
6
x
2− x
−
5
=
0
⇔
…. = ….:
6
………..
LATIHAN SOAL
Tentukan HPnya dengan melengkapkan kuadrat sempurna, dari :
1.
x
2− x
−
12
=
0
11.2
x
2− x
−
6
=
0
2.x
2+ x
7
+
12
=
0
12.5
x
2+ x
8
−
4
=
0
3.x
2− x
8
+
16
=
0
13.6
x
2+ x
11
+
3
=
0
4.x
2−
9
=
0
14.−
8
x
2−
18
x
+
5
=
0
5.− x
2+
81
=
0
15.12
x
2−
20
x
+
3
=
0
6.2
x
2−
10
=
0
7.x
2− a
=
0
8.x
2− x
3
=
0
9.3
x
2+
12
x
=
0
10.ax
2+ bx
=
0
1.3
Penyelesaian Persamaan Kuadrat Dengan Rumus Kuadrat (Rumus abc)
0
2+
+
=
c
bx
ax
⇔
…. = …:
a
⇔
…. = …⇔
…. + …. = …. + ….⇔
(
....
+
....
)
2=
....
⇔
… + … = …⇔
x = …⇔
Sehingga :a
ac
b
b
x
2
4
2 2 . 1−
±
−
=
dimanab
2−
4
ac
disebut dengan diskriminan (D)Jadi D =
b
2−
4
ac
Rumus di atas dikenal dengan nama rumus kuadrat atau sering dikenal dengan rumus abc.
Contoh 5: Tentukan HP dari
x
2− x
2
−
8
=
0
dengan menggunakan rumus kuadrat Jawab : a = … , b = …. , c = ….a
ac
b
b
x
2
4
2 2 . 1−
±
−
=
= … = …x
1=
....
x
2=
....
Jadi HP:{ …. }Jawab : a = … , b= …. , c = ….
a
ac
b
b
x
2
4
2 2 . 1−
±
−
=
= … Jadi HP:{ …. } LATIHAN SOALTentukan HPnya dengan menggunakan rumus kuadrat (abc) dari :
1.
x
2− x
−
12
=
0
11.2
x
2− x
−
6
=
0
2.x
2+ x
7
+
12
=
0
12.5
x
2+ x
8
−
4
=
0
3.x
2− x
8
+
16
=
0
13.6
x
2+ x
11
+
3
=
0
4.x
2−
9
=
0
14.5
−
18
x
−
8
x
2=
0
5.− x
2+
81
=
0
15.−
20
x
+
3
+
12
x
2=
0
6.2
x
2−
10
=
0
7.− x
5
2+
40
=
0
8.x
2− x
3
=
0
9.3
x
2+
12
x
=
0
10.−
6
x
2+
60
x
=
0
2. JENIS-JENIS AKAR PERSAMAAN KUADRAT
Jenis-jenis akar persamaan kuadrat :
- Jika D < 0 maka akar-akarnya imajiner/ireal/tidak nyata - Jika D = 0 maka akar-akarnya real dan sama (akar kembar) - Jika D > 0 maka akar-akarnya real dan berlainan
Jika D > 0 dan
D
merupakan bentuk akar, maka akar-akarnya irasional dan berlainan Jika D > 0 danD
bukan bentuk akar, maka akar-akarnya rasional dan berlainanHarga a pada
ax
2+
bx
+
c
=
0
menentukan kurva parabola menghadap ke atas atau ke bawah. - Jika a < 0 maka parabola menghadap ke bawah- Jika a > 0 maka parabola menghadap ke atas Definit negatif dan definit positif
- Jika a < 0 dan D < 0 maka berapapun nilai x selalu menghasilkan nilai
ax
2+
bx
+
c
yang negatif (definit negatif)- Jika a > 0 dan D < 0 maka berapapun nilai x selalu menghasilkan
ax
2+
bx
+
c
yang positif (definit positif)Perhatikan gambar berikut : Definit positif a >0 D <0 a > 0 a >0 D=0 D >0 Sb X a < 0 a < 0 D > 0 D = 0 a < 0 D < 0 Definit negatif
Contoh 1: Tentukan jenis akar-akar dari
3
x
2+ x
5
−
4
=
0
Jawab : D = … = …
Karena D … 0 maka akar-akarnya …
Contoh 2: Tentukan nilai n agar persamaan
2
x
2+ nx
+
8
=
0
mempunyai akar kembar ! Jawab : Syarat akar kembar, yaitu D …. 0… = 0 … = 0 … = 0 ( … )( … ) = 0 n = … atau n = … LATIHAN SOAL
1. Tentukan jenis-jenis akar persamaan berikut :
a.
x
2− x
5
+
2
=
0
d.−
x
2+
5
x
−
3
=
0
b.
3
x
2−
30
x
+
75
=
0
e.5
x
2+
30
x
+
45
=
0
c.
4
x
2+ x
5
+
3
=
0
2. Tentukan n, agar persamaan berikut mempunyai akar kembar ! a.
x
2− nx
+
16
=
0
b.nx
2+
20
x
+
50
=
0
c.3
x
2−
18
x
+
20
+
n
=
0
d.(
n
+
1
)
x
2+
16
x
+
32
=
0
e.0
2
1
12
)
2
(
2
1
2=
+
+
+
n
x
x
3. JUMLAH DAN HASIL KALI AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT
Akar-akarax
2+
bx
+
c
=
0
adalaha
ac
b
b
x
2
4
2 1−
+
−
=
dana
ac
b
b
x
2
4
2 2−
−
−
=
.Sehingga jika dijumlahkan dan dikalikan akar-akarnya akan mendapatkan rumus :
a
c
x
x
dan
a
b
x
x
1+
2=
−
1 2=
Contoh 1: Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar :
a.
x
2+
10
x
+
25
=
0
b.3
x
2−
10
x
+
3
=
0
Jawab : a.x
2+
10
x
+
25
=
0
a = … , b = … , dan c = …x
1+ x
2=
...
x
1x
2 = ….. b.3
x
2−
10
x
+
3
=
0
a = … , b = …. dan c = ….x
1+ x
2=
...
x
1x
2 = …..Contoh 2: Jika
x
1 danx
2 akar-akar2
x
2− x
5
+
3
=
0
maka tentukan nilai : a.x +
12x
22 b. 2 11
1
x
x
+
c.x −
1x
2 d. 3 2 3 1x
x
+
Jawab :x
1+ x
2=
...
x
1x
2 = ….. a.x
12+
x
22 =(
x
1+
x
2)
2−
2
x
1x
2=
....
b. 2 11
1
x
x
+
= 1 2...
2 1+
=
x
x
x
x
c.x −
1x
2 =(
x
1+
x
2)
2−
4
x
1x
2=
...
d.x
13+
x
23 =(
x
1+
x
2)
3−
3
x
1x
2(
x
1+
x
2)
=
....
LATIHAN SOAL1. Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar dari : a.
x
2− x
5
+
2
=
0
b.3
x
2+ x
−
6
=
0
2. Jika
x
1 danx
2 akar-akar persamaan3
4
1
0
2− x
+
=
x
, maka tentukan harga :a.
x
12+
x
22 b. 2 11
1
x
x
+
c.x −
1x
2 d. 3 2 3 1x
x
+
3. Tentukan n agar
nx
2+ x
5
+
4
=
0
hasil kali akar-akarnya 1 atau akar-akarnya saling berkebalikan.4. Tentukan n agar
4
x
2+ nx
+
3
=
0
akar-akarnya berlawanan tanda.4. MENYUSUN PERSAMAAN KUADRAT
4.1
Persamaan Kuadrat Yang Akar-akarnya
x
1dan
x
2.
Digunakan rumus sebagai berikut :
(
x
−
x
1)(
x
−
x
2)
=
0
atau
x
2−
(
x
1+
x
2)
x
+
x
1x
2=
0
Contoh 1: Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 dan –3
Jawab : Cara I :
(
x
−
x
1)(
x
−
x
2)
=
0
⇒
...
Cara II :
x
2−
(
x
1+
x
2)
x
+
x
1x
2=
0
⇒
...
4.2
Persamaan Kuadrat Yang Akar-akarnya Berhubungan Dengan Akar-akar
Persamaan Kuadrat Lainnya
Misal
x
1 danx
2 akar-akar dariax
2+
bx
+
c
=
0
, sedangkany
1dan
y
2 akar-akar persamaan kuadrat baru, dimanay
1=
kx
1dan
y
2=
kx
2, maka cara menentukan persamaan kuadrat baru itu ada 2 cara, yaitu :1. Cara I : Substitusi y = kx atau
k
y
x
=
keax
2+
bx
+
c
=
0
, lalu ganti y dengan x 2. Cara II: dengan menggunakan rumus :(
1 2)
1 2 1 1 2 22
y
y
x
y
y
0
dim
ana
y
kx
dan
y
kx
x
−
+
+
=
=
=
Contoh 2: Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2 kali akar-akar
x
2− x
5
+
3
=
0
Jawab : Cara I : y = 2x maka x = ….
Substitusi x = …. ke
x
2− x
5
+
3
=
0
…. = 0 …. = 0 Ganti y dengan x, maka diperoleh : ….
Cara II:
x
2−
(
y
1+
y
2)
x
+
y
1y
2=
0
dim
ana
y
1=
2
x
1dan
y
2=
2
x
2 ….….
LATIHAN SOAL
1. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya : a. 3 dan 4 c. 5 dan –1/2
b. 2 dan –7 d. –3/2 dan 4/5
3. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 1/2 kali akar-akar
x
2− x
2
−
8
=
0
4. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2 lebihnya dari akar-akar
x
2+ x
4
−
3
=
0
5. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya kebalikan akar-akar
2
x
2− x
8
+
6
=
0
B. PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
Pertidaksamaan kuadrat diselesaikan dengan bantuan garis bilangan, yaitu dengan menguji pada masing-masing daerah pada garis bilangan dengan mencantumkan akar-akar persamaan kuadrat. Tentukan penyelesaiannya sesuai dengan soal dan tanda “+” atau “-“ pada garis bilangan.
Contoh 1: Tentukan HP dari :
a.
x
2− x
2
−
8
<
0
b.2
x
2+ x
−
6
≥
0
c.0
4
3 >
+
−
x
x
Jawab : a.x
2− x
2
−
8
<
0
⇔
(
...
)(
...
)
<
0
… … … … … HP:{x/ … } b.2
x
2+ x
−
6
≥
0
⇔
(
...
)(
...
)
≥
0
… … … … … HP:{x/ … } c.0
4
3 >
+
−
x
x
(
...
...
)(
...
..
)
>
0
… … … … … HP:{x/ … }LATIHAN SOAL
1. Tentukan HPnya dari pertidaksamaan :
a.
x
2+ x
3
−
18
<
0
e.7
−
3
x
2≥
4
x
b.x
2+ x
8
+
16
>
0
f.1
2
8
>
+
x
c.x
2+
10
x
+
25
≤
0
g.5
0
1
−
≤
−
x
x
d.2
x
2+ x
7
>
0
2. Tentukan n agar
nx
2+ x
8
+
4
=
0
akar-akarnya imajiner3. Tentukan n agar
(
4
)
1
0
2
1
2+
−
−
=
x
n
nx
akar-akarnya real dan berlainan4. Tentukan interval x sehingga f(x) =
x
2+ x
5
+
6
berada di atas sumbu X5. Tentukan interval x sehingga f(x) =
−
2
x
2+
15
x
+
8
berada di atas sumbu XC. FUNGSI KUADRAT
1. MELUKIS PARABOLA
Bentuk umum fungsi kuadrat adalah f(x) =
ax
2+
bx
+
c
,
a
≠
0
dan
a
,
b
,
c
∈
R
. Kurvanya berupa Parabola.Cara melukis sketsa Parabola, yaitu :
1. Tentukan titik-titik potong dengan sumbu koordinat a. Dengan sumbu X syarat y = 0
b. Dengan sumbu Y syarat x = 0
2. Tentukan Titik Puncak dengan rumus TP:
−
−
−
a
ac
b
a
b
4
4
,
2
23. Jika a > 0, maka parabola menghadap ke atas Jika a < 0, maka parabola menghadap ke bawah 4. Gunakan beberapa buah titik bantu jika perlu
5. Lukis kurvanya dengan menghubungkan titik-titik yang sudah diketahui
Contoh 1: Lukis parabola berikut :
a.
y
=
x
2+
2
x
−
8
b.y
=
−
2
x
2+
x
+
6
Jawab : a.
y
=
x
2+
2
x
−
8
- Titik potong dengan sumbu X syarat y = 0, maka :
0
=
x
2+
2
x
−
8
= …. ….
- Titik potong dengan sumbu Y syarat x = 0, maka : y = … - Titik Puncak :
−
−
−
a
ac
b
a
b
4
4
,
2
2 = ….- Karena a = … , maka parabola menghadap ke … - Beberapa titik bantu :
x … … … … y … … … … - Gambar kurvanya : Y 0 X b.
y
=
−
2
x
2+
x
+
6
- Titik potong dengan sumbu X syarat y = 0, maka :
0
=
−
2
x
2+
x
+
6
= …. ….
- Titik potong dengan sumbu Y syarat x = 0, maka : y = … - Titik Puncak :
−
−
−
a
ac
b
a
b
4
4
,
2
2 = ….- Karena a = … , maka parabola menghadap ke … - Beberapa titik bantu :
x … … … … y … … … … - Gambar kurvanya : Y 0 X
LATIHAN SOAL
1. Tentukan koordinat titik puncaknya dari :
a.
y
=
x
2+
3
x
−
18
c.y
= x
3
2−
12
b.
y
=
x
2+
6
x
+
9
d.y
=
4
x
2+
12
x
2. Lukislah sketsa parabola berikut ini : a.
y
=
2
x
2+
7
x
+
6
e.y
=
−
x
2−
6
x
+
7
b.y
=
x
2+
10
x
+
25
f.y
=
−
4
x
2+
8
x
+
5
c.y
=
3
x
2−
12
x
g.y
=
8
x
−
2
x
2 d.y
= x
4
2−
16
h.y
=
9
−
x
22. MASALAH-MASALAH OPTIMUM
Jika suatu persoalan yang ada pada sehari-hari dapat dinyatakan dengan fungsi kuadrat, maka tentulah ada batas tertinggi atau terendahnya, karena kurvanya berupa parabola. Maka nilai optimum (maksimum/minimum) dari persoalan tersebut dapat ditentukan dengan nilai y pada koordinat titik puncak, yaitu
a
ac
b
4
4
2−
−
Contoh 1: Suatu persegi panjang kelilingnya 24 cm. Tentukan luas maksimumnya ! Jawab : K = 2(p + l)
24 = 2(p + l) maka p + l = … sehingga p = … L = p.l
Substitusi p = … ke L = p.l, maka : L = …
= … merupakan fungsi kuadrat. L maks =
a
ac
b
4
4
2−
−
= ….Contoh 2: Dua bilangan jumlahnya 10. Tentukan kedua bilangan itu, agar hasil kalinya maksimum Jawab : Misal kedua bilangan itu x dan y, maka x + y = … atau x = …
Misal hasil kali x dan y dinyatakan dengan z, maka z = xy. Substitusi x = … ke z = xy sehingga :
z = …
= … merupakan fungsi kuadrat z maks =
a
ac
b
4
4
2−
−
= …Karena x + y = … dan xy = … maka x = … dan y = … LATIHAN SOAL
1. Suatu persegi panjang kelilingnya 100 cm. Tentukan luas maksimumnya
2. Dua bilangan jumlahnya 16. Tentukan kedua bilangan itu agar hasil kalinya maksimum
4. Persamaan gerak bola yang dilempar ke atas yaitu
S
(
t
)
=
−
10
t
2+
70
t
. S(t) merupakan jarak yang ditempuh setelah waktu t. S(t) dalam satuan meter dan t dalam satuan detik. Tentukan :a. tinggi maksimum yang dapat dicapai bola b. saat bola mencapai tinggi maksimum c. saat bola mencapai tanah
5. Suatu kolam renang akan dikeringkan. Jika hubungan antara air di kolam dengan waktu adalah
2
