PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT Contoh-contoh soal !
1. ubahlah persamaan kuadrat berikut ke bentuk ax2 + bx + c = 0, kemudian tentukan
nilai a, b, dan c untuk masing-masing persamaan.
2. tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat berikut. a. X2 – 2X =
b. X2 – 3X + 2 = 0
c. 2X2 – 5X – 3 = 0
3. Tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat dibawah ini ! a. X2 + 6X – 7 = 0
b. 4X2 + 7X + 5 = 0
Penyelesaian : a. X2 + 6X – 7 = 0
D = 62 – 4 (1) (-7) = 36 + 28 = 64
Karena D = 64 > 0 sehingga persamaan X2 + 6X – 7 = 0 mempunyai dua akar real
dan berlainan. Disamping itu, nilai D = 64 = (± 8)2 sehingga kedua akar itu
merupakan bilangan rasional. b. 1x2 – 4 (3x – 2) = 7 – x Penyelesaian 2x2 – 4 (3x – 2) = 7 – x 2x2 – 12x + 8 = 7 – x 2x2 - 12x + 8 – 7 + x = 0 2x2 – 11x + 1 = 0 Jadi, a = 2; b = -11 dan c = 1 a. (x – 2)2 - 8 = 0 Penyelesaian (x – 2)2 - 8 = 0 x2 – 4x + 4 - 8 = 0 x2 - 4x - 4 = 0 Jadi, a = 1; b = -4 dan c = -4 b. X2 – 2X = 0 Penyelesaian ; X2 (X– 2) = 0 X = 0 atau X – 2 = 0 X = 0 atau X = 2
Jadi, himpunan penyelesaiannya (0,2)
c. X2 – 3X + 2 = 0
Penyelesaian ; (X – 1) (X– 2) = 0 X -1 = 0 atau X – 2 = 0 X = 1 atau X = 2
Jadi, himpunan penyelesaiannya (1,2)
a. 2X2 – 5X - 3 = 0
Penyelesaian ; (2X + 1) (X– 3) = 0 2X +1 = 0 atau X – 3 = 0 X = -1/2 atau X = 3
b. 4X2 + 7X + 5 = 0
D = 72 – 4 (4) (5) = 49 – 80 = - 31
Karena D = -31 < 0, persamaan 4X2 + 7X + 5 = 0 mempunyai dua akar yang tidak
real.
4. tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat berikut ! a. X2 + 4X – 12 = 0 Penyelesaian ; X2 + 4X – 12 = 0 X2 + 4X + 4 - 16 = 0 (X+ 2)2 -16 = 0 (X+ 2)2 = 16 X + 2 = ± 16 X + 2 = ± 4 X = 4 – 2 atau = - 4 – 2 X = 2 atau X = -6
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah (-6,2).
5. dengan menggunakan rumus a,b,c tentukan himpunan penyelesaian persamaan kuadrat dari X2 – 4X + 3 = 0
penyelesaian ;
Diketahui persamaan kuadrat X2 – 4X + 3 = 0, berarti a = 1, b = -4, dan c = 3, oleh
karena itu dengan rumus abc, penyelesaian persamaan kuadrat itu adalah sebagai berikut. X1,2 = a ac b b 2 4 2 − ± − = ) 1 ( 2 ) 3 )( 1 ( 4 ) 4 ( ) 4 (− ± − 2 − − = 2 12 16 4± − = 2 2 4± Dengan demikian, X1 = 2 2 4± = 3 atau X2 = 2 2 4± = 1 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah (1,3)
6. dikethui persamaan kuadrat X2 – (P + 2)X + P = 0, dengan P ∈ R. perlihatkan
bahwa persamaan kuadrat itu selain mempunyai dua akar real yang berlainan. Penyelesaian :
X2 – (P + 2) X + P = 0, koefisiennya adalah a = 1, b= -(P + 2), & c = P nilai
diskriminannya adalah : D = b2 – 4ac
= {-(P + 2)}2 – 4 (1) (P) = P2 + 4P + 4 – 4P
= P2 + 4
Untuk setiap P ∈ R, nilai D = P2 + 4 selalu positif (mengapa ?). oleh karena itu D
> 0 untuk setiap P ∈ R maka persamaan kuadrat X2 – (P + 2)X + P = 0 selalu
Nyatakan persamaan-persamaan berikut ini kedalam bentuk baku, kemudian tentukan nilai a, b, dan c.
7. 2X2 = 3X – 8
2X2 = 3X – 8 kedua ruas ditambah dengan -3X + 8
2X2 – 3X + 8 = 0, jadi a = 2, b = -3, dan c = 8
8. X2 = 2(X2 – 3X + 1)
X2 = 2X2 – 6X + 2, kedua ruas dikurangi dengan X2
0 = X2 – 6X + 2 = X2 – 6X + 2 = 0
Jadi, a = 1, b = -6, dan c = 2 9. 2X – 3 =
X 5
kedua ruas dikalikan dengan X (2X – 3) X = 5 2X2 – 3X = 5 = 2X2 – 3X - 5 = 0 Jadi, a = 2, b = -3, dan c = -5 10. 1 1 1 2 − + − x
x = 2 kedua ruas dikalikan dengan (x – 1) (x – 2)
2(x – 2) + (x – 1) = 2 (x – 1) (x – 2) 2x – 4 + x – 1 = 2(x2 – 3x + 2)
3x – 5 = 2x2 – 6x + 4
2x2 – 9x + 9 = 0
Jadi a = 2, b = -9 dan c = 9
PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT
1. ubahlah persamaan kuadrat dibawah ini :
a. 3x2 + x = 3x – 5
3x2 + x = 3x – 5 3x2 + x – (3x – 5) = 0 3x2 + x -3x + 5 = 0 3x2 - 2x + 5 = 0 Jadi ; a = 3 b = -2 c = 5 b. 3(x2 – x) = 5x (x – 2) Penyelesaiannya ; 3(x2 – x) = 5x (x – 2) 3x2 – 3x = 5x2 - 10x 3x2 – 3x = (5x2 - 10x) = 0 3x2 – 3x - 5x2 + 10x = 0 - 2x2 + 7x = 0 Jadi ; a = -2 b = 7 c = 0
2. faktorkan bentuk selisih kuadrat dibawah ini ; m2 – n2 = (m + n) (m – n) a. x2 – 16 = 0 Penyelesaiannya ; x2 – 16 = 0 x2 – 42 = 0 (x + 4) (x – 4) = 0 X + 4 = 0 atau x – 4 = 0 X = -4 atau x = 4 Jadi (-4,4) b. 2x2 – 16 = 0 2(x2 – 8) = 0 2 (x2 – ( 8)2) = 0 2(x + 8) (x - 8) = 0 x + 8 atau x - 8 = 0 jadi (-2 2, 2 2)
3. selesaikan persamaan kuadrat dengan rumus kuadrat dibawah ini :
a. x2 – 4x + 2 = 0 Penyelesaiannya ; X1,2 = a ac b b 2 4 2 − ± − = ) 1 ( 2 ) 2 )( 1 ( 4 ) 4 ( ) 4 (− ± − 2 − − = 2 8 16 4± −
= 2 8 4± = 2 2 2 4± = 2 ± 2
b. tentukan nilai x yang memenuhi x+2 + 4 – x = 0
2 + x + 4 – x = 0 Penyelesaiannya ; 2 + x = x – 4 X + 2 = (x – 4) 2 X + 2 = x2 – 8x + 16 0 = x2 – 9x + 14 0 = (x – 7) (x – 2) x = 7 atau x = 2
4. persamaan kuadrat x2 – 2x – 1 = 0 mempunyai akar X
1 dan X2.
Susunlah persamaan kuadrat yang akarnya ;
a. 3X1 dan 3X2 Penyelesaian (1) a + β = 3X1 + 3X2 = 3(X1 + X2) = 3 (2) = 6 Penyelesaian (2) a + β = 3X1 x 3X2 = 9(X1 x X2) = 9 (-1) = -9 b. 1 2 x dan 2 2 x Penyelesaiannya (1) ; a + β = 1 2 x + 2 2 x = 2 1 2 1 2 2 x x x x + = 2 1 2 1 x ) x + (x 2 x = 4 1 ) 2 ( 2 − = − Penyelesaiannya (1) ; a + β = 1 2 x x 2 2 x
= 2 1 4 x x = 1 -4 = 4−
Jadi, persamaan kuadratnya x2 + 4x – 4 = 0
5. melengkapi kuadrat sempurna ; x2 – 2x – 8 = 0 penyelesaiannya ; x2 – 2x = 8 x2 – 2x + 1 = 8 + 1 (x – 1)2 = 9 X – 1 = ± 9 X – 1 = ± 3 Maka, X1 = 3 + 1 = 4 X2 = -3 + 1 = 2
6. nyatakan fungsi kuadrat berikut ini dalam kuadrat sempurna, lalu tentukan titik koordinatnya ! a. F(x) = x2 + 2x + 4 F(x) = (x2 + 2x + 1) + 3 F(x) = (x + 1)2 + 3 Titik koordinatnya ; (-1, 3) b. F(x) = 2x2 – 8x + 5 = 2(x2 – 4x) + 5 = 2(x2 – 4x + 4 - 4) + 5 = 2(x2 – 4x + 4) -8 + 5 F(x) = 2(x – 2)2 – 3 Titik koordinatnya ; (2, -3)
Tentukan sifat fungsi kuadrat berikut ini definitif positif, definitif negatif atau tidak keduanya ? 7. 2x2 – 4x + 3 Penyelesaiannya ; a = 2 D = (-4)2 – 4(2) (3) = 16 – 24 = - 8 D < 0
Jadi, 2x2 -4x + 3 (definitif negatif)
Penyelesaiannya ; a = -1 D = (2)2 – 4(-1) (-4) = 4 – 16 = - 12 D < 0
Jadi, -x2 + 2x - 4 (definitif negatif)
9. F(x) = -x2 + 4x – 9
= - (x2 – 4x) – 9
= - (x2 – 4x + 4 - 4) – 9
= - (x2 – 4x + 4) + 4 – 9
= - (x – 2)2 – 5
10. tentukan rumus suatu fungsi menyinggung sumbu x dititik a (2,0) melalui titik B(3,2). Penyelesaian ; X1 = X2 = 2 Y = a (x – 2) (x – 2) Y = a (x – 2)2 Titik B (3,2) 2 = a (3 – 2)2 2 = a (1) a = 2 jadi, : Y = 2(x – 2)2 Y = 2(x2 – 4x + 4) Y = 2x2 – 8x + 8 Maka, ; Y = 2x2 – 8x + 8
1. Tentukan nilai a, b, c dari persamaan-persamaan berikut, dengan memperhtikan bentuk umum ax2 + bx + c = 0 a. (x – 1)2 = 9 b. 1 1 4 2 = + + x x Jawab ; a. (x – 1)2 = 9 (x2 – 2x + 1) - 9 = 0 X2 – 2x - 8 = 0 a = 1, b = -2, dan c = -8 b. 1 1 4 2 = + + x x 2(x + 1) + 4x – x (x + 1) = 0
2x + 2 + 4x – x2 – x = 0
-x2 + 5x + 2 = 0
a = -1, b = 5 dan c = 2
2. tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut dengan pemfaktoran ;
a. x2 – 2x – 15 = 0
b. 3x2 + 4x – 4 = 0
Jawab ;
a. x2 – 2x – 15 = 0
a = 1, b = -2, c = -15 dua bilangan p dan q p + q = -2 -5 + 3 = -2 p x q = 15 -5 x 3 = -15
jadi bentuk faktornya ; (x – 5) (x + 3) = 0 x – 5 = 0 atau x + 3 = 0 x = 5 x2 = -3 b. 3x2 + 4x – 4 = 0 a = -6, b = 4 , c = -4 3x2 + 4x – 4 = 0 3x(2x + 2) – 2 (2x + 2) = 0 (3x – 2) (2x + 2) = 0 3x – 2 = 0 atau x + 2 = 0 3x = 2 x = -2 X1 = 3 2 X2 = -2
3. selesaikan persamaan kuadrat berikut dengan melengkapi kuadrat sempurna !
a. x2 + 2x – 8 = 0
b. 4x2 – 12x – 9 = 0
Jawab ;
a. x2 + 2x – 8 = 0
x2 + 2x = 8
biar menjadi kuadrat sempurna, kedua ruas ditambah dengan kuadrat dari
1 ) 1 ( ) 2 ( 2 1 x 2 = 2 = x2 + 2x + 1 = 8 + 1 (x + 1)2 = 9 x + 1 = ± 9 x + 1 = ± 3 X1 = 3 -1 atau X2 = -3 -1 X1 = 2 X2 = -4 b. 4x2 – 12x – 9 = 0 X2 – 3x + 0 4 9 =
Ditambah kedua ruas
4 9 )) 3 ( 2 1 ( x − 2 =
X2 -3x + 4 9 4 9 4 9 = + (x - 4 18 ) 2 3 2 = X - 4 18 2 3 = X - 2 2 3 2 3 =± X1 = 2 2 3 2 3 + atau X2 = 2 2 3 2 3 −
4. dengan rumus abc tentukan penyelesaian persamaan kuadrat a. x2 – 4x – 5 = 0 dan
b. x2 – 7x + 10 = 0 jawab ; a. x2 – 4x – 5 = 0 X1,2 = a ac b b 2 4 2 − ± − = ) 1 ( 2 ) 5 )( 1 ( 4 ) 4 ( ) 4 (− ± − 2 − − − = 2 36 4± X1 = 5 2 6 4 = + atau X2= 1 2 6 4 − = − b. x2 – 7x + 10 = 0 X1,2 = a ac b b 2 4 2 − ± − = ) 1 ( 2 ) 10 )( 1 ( 4 ) 7 ( ) 7 (− ± − 2 − − = 2 40 49 7± − = 2 9 7± = 2 3 7± X1 = 5 2 10 = atau X2= 2 2 4 2 3 7 = = −
5. tentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat berikut dan buktikan dengan mencari akar dari persamaan tersebut.
a. x2 – 5x + 16 = 0
b. 4x2 + 12x + 9 = 0
Jawab ;
a. x2 – 5x + 16 = 0
a = 1, b = -5 dan c = 16 sehingga diskriminasinya adalah D = b2 – 4ac
= (-5)2 – 4(1) (6)
= -39 < 0
Karena ruas D < 0 maka persamaan kuadrat x2 – 5x + 16 = 0 kedua akarnya tidak
real.
b. 4x2 + 12x + 9 = 0
a = 4, b = 12 dan c = 9 D = b2 – 4ac
= (12)2 – 9 (4) (9) = 0
Karena D = 0, maka kedua akar persamaan 4x2 + 12x + 9 = 0 adalah sama, real, dan rasional
Bukti X1,2 = a D b 2 + − = 8 0 12 ± − X1,2 = - 2 3
6. jika X1 dan X2 merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat x2 + 4x – 8 = 0,
tentukan nilai dari ;
a. X1 + X2 dan X1 x X2 b. X2 1 + X21 c. 1 2 2 1 2 1 X X X X + + d. 1 1 1 1 2 1 + + + X X Jawab ; a. X1 + X2 = , a b − X1, X2 = a c = 4 1 − , = 1 8 − = -4 = -8 b. X2 1 + X21 = (X1 + X2)2 – 2 X1 X2 = (-4)2 – 2 (-8) = 16 + 16 = 32 c. 1 2 2 1 2 1 X X X X + + = 2 1 2 1 2 2 1 ) 2 ( X X x x X X + − + = 4 ) 8 ( 2 ) 4 ( 2 − − − − = 8 4 32 =− − d. 1 1 1 1 2 1 + + + X X = ( 1)( 1) 1 ) 1 ( 2 1 2 + + + X X X
= ( ( 1)(1) 1 1) 2 1 1 + + + X X x X = (( 11))( ( 1)1) 2 1 1 2 + + + + + X X X X = 1 ) ( 2 2 1 2 1 2 1 + + + + + X X xX X X X = −8−+4(−+42)+1 = 11 2 − − = 11 2
7. susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya ;
a. -2 dan 3 b. 2 dan 5 4 − Jawab ; a. X1= -2 dan X2 = 3 Persamaan kuadratnya ; X2 –(-2 + 3) X + (-2) (3) = 0 X2 – X – 6 = 0 b. 2 dan 5 4 − Jumlah akar = 2 + (-5 4 ) = 5 6 5 4 5 10 − = Hasil akar = 2 (-5 4 ) = 5 8 −
X2 (jumlah akar) X + (hasil kali akar) = 0
X2 ( ) 5 6 X + ( ) 5 8 − = 0 X2 - 5 6 X -5 8 − = 01 x 5 5X2 – 6X – 8 = 0
8. misalkan a dan b adalah akar-akar dari X2 – 8X – 9 = 0
tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya.
a. a-2 dan b-2 b. a2 dan B2 c. a 1 dan B 1 Jawab ;
a. dengan menggunakan rumus, diperoleh (X + 2)2 – D(X + 2) -9 = 0
X2 + 4X + 4-8X – 16 – 9 = 0
X2 – 4X – 21 = 0
b. dengan menggunakan rumus, diperoleh ( x)2 −8( x)−9=0 X - 8 x−9=0 X – 9 = 8 x (X-9)2 = (8 x)2 X2 – 18X + 81 = 64X X2 – 82X + 81 = 0
c. dengan mengadopsi rumus diperoleh, ( x 1 )2 – 8( x 1 ) – 9 = 0 0 9 8 1 0 9 8 1 2 2 = − − = − − X X X X
9. tentukan domain (daerah asal) fungsi-fungsi berikut ;
a. F(X) = 4X + 1 b. F(X) = X −16 c. F(X) = X − 5 3 Jawab ;
a. untuk sembarang X bilangan real, F(X) = 4X + 1 akan bernilai real atau terdefulusi.
Jadi, domainnya adalah X ∈ R atau Df = {x I x ∈ R}
b. fungsi F(X) = x−16
= X – 16
= X – 16 ≥ 0 - > X ≥ 16
Dengan demikian domain dari f adalah Df = {x Ix≥16}
c. fungsi pecahan akan terdefinisi jika penyebutnya tidak sama dengan nol oleh karena itu,
5 – X ≠ 0 atau X ≠ 5 Jadi, domainnya adalah Df = {x I x ∈ R, X ≠ 5}
10. tentukan nilai K agar grafik fungsi kuadrat dengan persamaan kurva y = X2 + 2Kx
+ K + 2 menyinggung sumbu X. jawab ;
persamaan grafik y = X2 + 2KX + K + 2 a = 1, b = 2K, c = K12 grafik menyinggung sumbu X, syarat ; D = 0 b2 – 4ac = 0 (2K)2 - 4 (K + 2) = 0 4K2 – 4K – 8 = 0 (K + 1) (K – 2) = 0 K + 1 = 0 atau K – 2 = 0 K = -1 K = 2
