Materi persamaan, Pertidaksamaan, Fungsi Kuadrat

(1)

PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

Persamaan Kuadrat

a. Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

Misalkan a,b,c Є R dan a ≠ 0 maka persamaan yang berbentuk 2 0   bx c ax

dinamakan persamaan kuadrat dalam peubah x. Dalam persamaan kuadrat 2 0

  bx c

ax , a adalah koefisien dari x2_{, b adalah}

koefisien dari x dan c adalah suku tetapan. Contoh:

1. x2_{– 4, nilai a = 1, b= 0, c = -4}

2. x2_{+ 2x = 0 nilai a = 1, b =2, c = 0}

3. x2_{– 5x + 2 = 0 nilai a = 2, b = -5, c = 2}

4. x2_{+ x – 2 = 0 nilai a = 1, b =2, c = -2}

b. Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Persamaan 2 0

  bx c

ax dapat diselesaikan dengan cara menentukan nilai pengganti x yang memenuhi persamaan itu, dan disebut penyelesaian atau akar dari persamaan kuadrat 2 0

  bx c

ax .

Untuk menyelesaikan (menentukan akar-akar) persamaan kuadrat ada beberapa cara, diantaranya adalah dengan cara:

1. Memfaktorkan

2. Melengkapkan bentuk kuadrat sempurna 3. Menggunakan rumus kuadrat

1. Memfaktorkan Contoh:

Selesaikan persamaan kuadrat berikut ini! a. x2_{– 9 = 0}

b. 2 3 2 0

   x x

c. 2 2 1 0

  x x

Jawab: a. x2_{– 9 = 0}

0 ) 3 )( 3

(   

 x x

3  

 x atau x 3

b. 2 3 2 0    x x

2 3 2 0    x x

<=> x2x10

<=> x20_ataux10 <=> x2 atau x1

c. 2 2 1 0   x x

0 ) 1 )( 1 2

(   

(2)

0 ) 1 2

(  

 x atau (x1)0 2

1  

 x atau x1

2. Melengkapkan bentuk kuadrat sempurna

Bentuk seperti 16 = 42_{; 4x}2_{= (2x)}2_{; (x + 1)}2_{; (2x – 3)}2

merupakan beberapa contoh bentuk kuadrat sempurna. Bentuk 2 2 7

  x

x dapat dimanipulasi aljabar sbb.

7 2 2

  x x

7 1 ) 1 2 ( 2

   

 x x

8 ) 1

( 2

 

 x memuat bentuk kuadrat sempurna (x1)2

Proses mengubah bentuk kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna semacam itu dinamakan melengkapkan kuadrat sempurna.

Contoh:

Selesaikan persamaan kuadrat berikut ini! a. 2 3 2 0

   x x

b. 2 25 0  

x

Jawab :

a. 2 3 2 0

   x x

<=> 2 3 2    x x

<=> 2 9₄ 2

3 2

        

 x

<=> ₂32₄8₄9 

   

 x

<=> ₂32 ₄1     _x_

<=> ₂3 ₄1     _x_

<=> x₂1₂3

<=> x2 atau x1

b. 2 25 0   x

25 2

  x

 x 25  x5

3. Menggunakan rumus kuadrat

Metode yang paling umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat 0

2

  bx c

ax dengan menggunakann rumus kuadrat atau sering disebut rumus abc.

Rumus kuadrat diperoleh dengan proses melengkapkan kuadrat sempurna untuk persamaan kuadrat 2 0

  bx c

(3)

Prosesnya sbb: 0 2

  bx c ax 0 2         

 x c

a b x a 0 4 4 2 2 2 2                       c a b a b x a b x a 0 4 2 2 2          _  c a b a b x a c a b a b x

a   

     _  4 2 2 2 2 2 2 4 4 2 a ac b a b

x   

       ac b a a b x 4 2 1 2 2 2          _  ac b a a b x 4 2 1 2 2      a ac b b x 2 4 2     

Uraian di atas membuktikan berlakunya rumus kuadrat.

Misalkan a, b, c bilangan rela dan a0 maka akar-akar persamaan

kuadrat 2 0

  bx c

ax ditentukan oleh:

a ac b b x 2 4 2 12     Contoh:

Selesaikan persamaan kuadrat berikut ini! a. 2 3 2 0

   x x

b. 3 2 6 2 0    x x

Jawab :

a. 2 3 2 0    x x

(4)

<=> x2_ataux1

b. 3 2 6 2 0    x x

a = 3, b = -6, c =2

3 . 2

2 . 3 . 4 ) 6 (

6 2

12

     x

6 3 2 6 6

12 6 6

24 36 6

12

        x

3 3 1 1 6

3 2 6

   

x atau 3

3 1 1 6

3 2 6

    x

c. Jenis akar-akar persamaan kuadrat dikaitkan dengan nilai diskriminan

Penyelesaian persamaan kuadrat 2 0( 0)

  

bx c a

ax _adalah

a ac b

b x

2 4

2 12

   

Tampak bahwa akar-akarnya ditentukan oleh nilai dari b2_{– 4ac yang} disebut dengan diskriminan disingkat D.

Jenis akar-akar persamaan kuadrat 2 0   bx c

ax , ditentukan oleh nilai Diskriminannya (D) yaitu D =b2 4ac



 Jika D > 0 : mempunyai dua akar real yang berbeda

Untuk D berupa bilangan kuadrat (_k2_{) akarnya rasional}

Untuk D bukan berupa bilangan kuadrat akarnya rasional

 Jika D = 0 : mempunyai dua akar real yang sama  Jika D < 0 : akar-akarnya imajiner (khayalan)

Contoh :

Tanpa menyelesaikan persamaan 2 2 3 0   x

x tentukan jenis akar-akarnya ! Jawab :

2 2 3 0   x x

<=> Db4ac

= 12 4.2.( 3)

 

= 25 =₅2

Jadi 2 2 3 0   x

x mempunyai dua akar berlainan dan rasional

d. Rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat

Akar-akar persamaan kuadrat 2 0   bx c

ax (a0)adalah

a D b x

2

1

 

 atau

a D b x

2

  

(5)

1. Jumlah akar-akar persamaan kuadrat a D b a D b x x 2 2 2 1        a D b D b 2      a b  

2. Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat

                    a D b a D b x x 2 2 2 1 2 2 4a D b   a c a ac a ac b b    

 2 2

2 2 4 4 4 ) 4 ( Contoh

Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat 2x23x50,

tentukan nilai dari : 2 2 2 1 x x  Jawab : 4 1 7 5 4 9 2 5 2 2 3 2 ) ( 2 2 1 2 2 1 2 2 2

1   

               

x x x x x

x

e. Menyusun persamaan kuadrat yang diketahui akar-akarnya

Jika akar-akar sebuah persamaan kuadrat telah diketahui, persamaaan kuadrat tersebut dapat disusun dengan dua cara

a. Memakai faktor

Apabila persamaan kuadrat dapat difaktorkan menjadi (x-x1)(x-x2) = 0 maka x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat tersebut.

Sebaliknya apabila x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat, maka persamaan kuadrat itu dapat ditentukan dengan rumus

0 ) )(

(xx₁ xx₂ 

b. Memakai rumus jumlah dan hasil kali akar-akar Persamaan kuadrat 2 0

  bx c

(6)

0 )

( 1 2 1 2 2

   

 x x x x x x

Jadi persamaan 2 0

  bx c

ax dapat dinyatakan dalam bentuk:

0 )

( 1 2 1 2 2

  

 x x x xx x

Contoh :

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 dan -2 ! Jawab :

a. Cara 1

0 )) 2 ( )( 5

(x x   0 ) 2 )( 5

(x x 

0 10 3 2    x x

b. Cara 2

0 )) 2 .( 5 ( )) 2 ( 5 ( 2       x x 0 10 3 2    x x

f. Menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya mempunyai hubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat lain

Contoh :

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 lebihnya dari akar-akar persamaan kuadrat 2 4 0

  x x

Jawab : a. Cara 1

Misalkan akar-akar persamaan kuadrat 2 4 0   x

x adalah x1 dan x2

maka x1x21 dan x1.x2 4. Akar-akar persamaan kuadrat yang

akar-akarnya 2 lebihnya dari akar-akar persamaan kuadrat 2 4 0   x x

dimisalkan α dan β, maka  2x1 dan 2x2. Jadi: didapat jumlah

akar  2x₁2x₂ 4(x₁x₂)4(1)3 dan hasil kali akar

2 4 ) 1 ( 2 4 ) ( 2 4 ) 2 )( 2 (

. x₁ x₂   x₁x₂ x₁_.x₂      

Persamaan kuadrat yang ditanyakan sesuai rumus di atas adalah :

jumlah x2 (

 akar)x(hasil kali)0

<=> 2 (3) ( 2) 0

  

 x

x

<=> 2 3 2 0    x x

b. Cara 2

0 4 ) 2 ( ) 2 ( 2      x x

<=> 2 4 4 2 4 0     

 x x

x

<=> 2 3 2 0    x x

II. Pertidaksamaan Kuadrat

Bentuk baku dari pertidaksamaan kuadrat dalam variabel ada 4 macam, yaitu:

1. 2 0

  bx c ax

2. 2 0

  bx c ax

3. 2 0

(7)

4. 2 0   bx c ax

dengan a, b, c bilangan real dan a0.

Penyelesaian atau himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dalam variabel x dapat ditentukan dengan 2 cara, yaitu dengan menggunakan:

a. Dengan sketsa grafik fungsi kuadrat

Fungsi kuadrat yang ditentukan dengan rumus ( ) 2 3 4

 

x x

x f

grafiknya berbentuk parabbola dengan persamaan 2 3 4  

x x

y .

Sketsa grafik parabola 2 3 4  

x x

y diperlihatkan pada gambar berikut:

1. Parabola di atas sumbu x (y > 0) dalam selang x < -1 atau x > 4. Jadi 2 3 4 0

   x

x dalam selang x < -1 atau x > 4.

2. Parabola tepat pada sumbu x (y = 0) untuk nilai x = -1 atau x = 4. Jadi 2 3 4 0

   x

x untuk nilai x = -1 atau x = 4.

3. Parabola di bawah sumbu x (y < 0) dalam selang – 1 < x < 4. Jadi 2 3 4 0

   x

x dalam selang – 1 < x < 4.

Dengan demikian sketsa grafik fungsi kuadrat ( ) 2 3 4

 

x x

x

f atau

parabola 2 3 4  

x x

y dapat digunakan untuk menentukan

penyelesaian atau himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat berikut.

a. Pertidaksamaan kuadrat 2 3 4 0    x

x . Himpunan

(8)

b. Pertidaksamaan kuadrat 2 3 4 0    x

x . Himpunan

penyelesaiannya adalah:HP{x|1x4,xR}

c. Pertidaksamaan kuadrat 2 3 4 0    x

x . Himpunan

penyelesaiannya adalah:HP{x|x1 ataux4,x R}

d. Pertidaksamaan kuadrat 2 3 4 0    x

x . Himpunan

penyelesaiannya adalah:HP{x|x1 atau x4,xR}

Berdasar uraian di atas dapat disimpulkan bahwa grafik fungsi

kuadrat ( ) 2 0

   ax bx c

x

f dapat digunakan untuk menentukan

penyelesaian pertidaksamaan kuadrat 2 0   bx c

ax ; 2 0

  bx c

ax ;

0 2

  bx c

ax ; 2 0

  bx c ax

Contoh:

Dengan menggunakan sketsa grafik fungsi kuadrat ( ) 2 2 1,

 

x x

x f

carilah himpunan penyelesaian tiap pertidaksamaan berikut. a. 2 2 1 0

   x x

b. 2 2 1 0    x x

c. 2 2 1 0    x x

(9)

Jawab:

Sketsa grafik fungsi kuadrat ( ) 2 2 1,

 

x x

x

f atau parabola

, 1 2

2 _ _

x x

y diperlihatkan pada gambar berikut:

a. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat 0

1 2 2

   x

x adalah Himpunan kosong ditulis  b. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat

0 1 2 2

   x

x adalah HP{x|x1}

c. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat 0

1 2 2

   x

x adalah HP{x|xRdan x1} d. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat

0 1 2 2

   x

x adalah HP{x|x1atu x1,xR} dapat juga ditulis HP{x|x R}

b. Dengan garis bilangan

Sebagai contoh kita akan menyelesaikan pertidaksamaan 2 3 4 0    x x

Langkah 1

Carilah nilai-nilai nol (jika ada) dari bagian ruas kiri pertidaksamaan

0 4 3 2

   x x

0 ) 4 )( 1

(   

 x x

1  

 x atau x4

Langkah 2

(10)

Langkah 3

Tentukan tanda-tanda dalam interval untuk nilai-nilai x selain -1 dan 4. Misalnya:

2  

x maka nilai dari 2 3 4 ( 2)2 3( 2) 4 6

        x

x sehingga

tanda dalam interval x < -1 (+) atau >0

1 

x maka nilai dari 2 3 4 (1)2 3(1) 4 6

       x

x sehingga tanda

dalam interval -1 < x < 4 (1) atau < 0

5 

x maka nilai dari 2 3 4 (5)2 3(5) 4 6

      x

x sehingga tanda

dalam interval x > 4 (+) atau > 0

Berdasar tanda-tanda interval, maka yang memenuhi pertidaksamaan 0

4 3 2

   x

x adalah x < -1 atau x > 4.

Jadi himpunan penyelesainnya adalah HP{x|x1 atau x > 4}

III. Pertidaksamaan Rasional

Perhatikan bentuk-bentuk pertidaksamaan berikut.

i. 0

1 1

  x

ii. 0

2 1

   x

x

iii. 0

1 3 2

 

 x

x

iv. 0

2 4

2 2

  

 x x

x

Tiap pertidaksamaan di atas memuat variabel x pada bagian penyebut dari suatu pecahan. Pertidaksamaan dengan ciri demikian disebut pertidaksamaan pecahan atau pertidaksamaan rasional.

Penyelesaian atau himpunan penyelesaian pertidaksamaan rasional dapat ditentukan dengan menggunakan garis bilangan. Sebagai contoh,

penyelesaian pertidaksamaan rasional

0 3 1

   x x

(11)

Langkah 1

Nilai nol pada bagian pembilang: x +1 = 0 x = -1. Nilai nol pada bagian penyebut: x – 3 = 0  x = 3.

Langkah 2

Nilai nol pada bagian pembilang dan penyebut ditempatkan pada diagram garis bilangan.

Langkah 3

Tentukan tanda-tanda dalam interval untuk nilai-nilai x selain -1 dan 3. Misal x = -2 maka nilai dari 1₃ ₄1 ₄1

   

 x x

sehingga tanda dalam interval x < -1 (+) atau >0.

x = 0, maka nilai dari ₃1 1₃1₃ 

   x x

sehingga tanda dalam interval -1<x<3 (-) atau < 0.

x = 4, maka nilai dari 5

3 4

1 4 3 1 3 1

        x x

sehingga tanda dalam interval –x > 3 (+) atau > 0.

Tanda-tanda interval itu ditulis dalam interval yang bersesuaian seperti diperlihatkan gambar sbb.

Maka penyelesaian dari pertidaksamaan 0 3 1

   x x

adalah -1 < x < 3 dan himpunan penyelesaiannya adalah HP{x|1x3}

Contoh 1:

Tentukan penyelesaian dari 0 2

2  



x x

x _!

Jawab :

Harga nol pembilang Harga nol penyebut 0

2  x

x x20

0 ) 1 (x 

(12)

1 0 2

1  x 

x Jadi penyelesaiannya adalah -2<x<0

atau x > 1

Contoh 2:

Tentukan penyelesaian dari 0 6

3 4

2 2

  

 

x x

Jawab:

Harga nol pada pembilang 0

3 4 2

   x x

0 ) 1 )( 3

(   

 x x

3 

 x atau x1

Harga nol penyebut 0

6 2

  x x

0 ) 2 )( 3

(   

 x x

3  

 x atau x =2

Jadi himpunan penyelesaian dari 0 6

3 4

2 2

  

 

x x

adalah HP{x|x3 atau 1x2 atau x >3}

IV. Penggunaan Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat

Segitiga ABC siku-siku di B, diketahui panjang sisi AB = x cm, BC = x+2 cm, AC = x+4 cm. Hitung panjang AB, BC, dan AC !

Jawab :

A

x+4 x

B x+2 C

2 2

2 _BC _AC

AB  

2 2

2 ₍ ₂₎ ₍ ₄₎    

 x x x

16 8 4

4 2

2 2

     

 x x x x x

0 12 4 2

  

(13)

0 ) 2 )( 6

(   

 x x

6 

 x atau x2 (tidak memenuhi)

Diperoleh x=6, maka AB=6 cm, BC=8 cm, dan AC= 10 cm

Petunjuk : Pilihlah satu jawaban yang paling tepat !

1. Akar-akar persamaan x23xm adalah α dan β. Bila diketahui α+3β = 5 maka nilai

m adalah ...

A. -28 C. 0 E. 28

B. -20 D. 20

2. Diketahui α dan β merupakan akar-akar persamaan 4 2 3 2 0    x

x . Persamaan

kuadrat lain yang akarnya (α+3) dan (β+3) adalah ... A. 4 2 27 43 0

   x x

B. 4 2 27 43 0    x x

C. 4 2 27 43 0    x x

D. 4 2 27 43 0    x x

E. 4 2 27 43 0   

 x x

3. Nilai maksimum fungsi ( ) ( 3) 2 2 5

  

 t x tx

x

f adalah 9. Persamaan sumbu

simetrinya x =…..

A. ₃2 atau 2 D. ₂3 atau -2 B. ₃2 atau -2 E. ₂3 atau 2 C. ₃2 atau 2

4. 4) Jika fungsi kuadrat 2ax2 4x 3a 

 mempunyai nilai maksimum 1 maka 

 a a 9 27 3

A. -2 C. 3 E. 18

B. -1 D. 6

5. Grafik ( ) 2 (2 6) 2 2

   

ax a x a

x

f menyinggung sumbu x maka koordinat titik

balik maksimum adalah...

A. (-3,0) C. (2,0) E. (5,0)

B. (-2,0) D. (4,0)

6. Jika α dan β akar-akar persamaan 2 0   nx n

x maka 2 2



  mencapai minimum

untuk ....

A. -1 C. ₂1 E. ₂3

B. 0 D. 1

7. Akar-akar persamaan 2 (2 4) ( 8) 0

   

 k x k

kx adalah sama. Hasil kali kedua akar

(14)

A. 1 B. 4 C. 9 D. 16 E. 25

8. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya saling berlawanan tanda dari akar-akar persamaan 2 6 0

  x

x adalah ….

A. 2 6 0

   x x

B. 2 6 0

   x x

C. 2 6 0

  x

x D. 2 6 0

  x x

E. 2 6 0

  x x

9. Keliling suatu segiempat adalah 40cm dan luasnya 96 cm2_{ukuran segiempat tersebut}

adalah …..

A. 12cm x 8cm C. 14cm x 6cm E. 16cm x 6cm

B. 13cm x 7cm D. 15cm x 5cm 10. Akar-akar persamaan kuadrat 2 2 ( 1) 0

   qx q

x adalah m dan n. Jika 2 2 4

 n m

maka nilai q adalah ...

A. -6 dan 2 C. -4 dan 4 E. -2 dan 6

B. -5 dan 3 D. -3 dan 5

11. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 2 2 7 15 0    x

x adalah

A. x 5 atau

2 1 1  x

B. x5_atau

2 1 1  x

C. x1₂1_ataux 5

D. 5

2 1 1 x

E. 5

2 1 1  

 x

12. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 3 2 9 2 4    x x

x adalah ....

A. 4

2 1

 x

B. 4

2 1

 

 x

C. 4x₂1

D. x  ₂1_ataux4

E. x4 atau 2 1  x

13. Himpunan penyelesaian dari persamaan 0 5 2

   x x

adalah .... A. HP{x|5x2}

B. HP{x|5x2}

C. HP{x|x1_ataux 2} D. HP{x|x5 atau x 2} E. HP{x|x1_ataux 1}

14. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan ₁1₃1   x x

(15)

A. HP{x|1x2}

B. HP{x|1x2}

C. HP{x|x1_ataux 2} D. HP{x|x1_ataux 2} E. HP{x|x2 atau x 1}

15. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 0 15 8

4

2 2

  

 x x

x

adalah .... A. HP{x|2x2_atau3x5}

B. HP{x|2x2 atau 3x5} C. HP{x|x2_atau2x3}