Belajar tentang Turunan Fungsi

(1)

Sumber: www.shutterstock.com

Turunan Fungsi

(2)

• Menjelaskan sifat-sifat turunan fungsi aljabar dan menentukan turunan fungsi aljabar menggunakan defi nisi atau sifat-sifat turunan fungsi.

• Menganalisis keberkaitanan turunan pertama fungsi dengan nilai maksimum, nilai minimum, dan selang kemonotonan fungsi, serta kemiringan garis singgung kurva.

• Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan turunan fungsi aljabar.

• Menggunakan turunan pertama fungsi untuk menentukan titik maksimum, titik minimum, dan selang kemonotonan fungsi, serta kemiringan garis singgung kurva, persamaan garis singgung, dan garis normal kurva berkaitan dengan masalah kontekstual.

Kompetensi Dasar

• Mengamati dan mengidentifi kasi fakta pada turunan fungsi aljabar serta masalah yang terkait.

• Mengumpulkan dan mengolah informasi untuk membuat kesimpulan, serta menggunakan prosedur untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan turunan fungsi aljabar.

• Mengomunikasikan proses dan hasil pemecahan masalah yang berkaitan dengan turunan fungsi aljabar.

• Menyajikan penyelesaian masalah yang berkaitan dengan turunan fungsi aljabar.

Pengalaman Belajar

(3)

Teorema dasar kalkulus adalah pernyataan yang menyatakan bahwa dua operasi utama

kalkulus adalah diferensial dan integral, yang merupakan

operasi yang saling invers.

Isaac Barrow yang mula-mula memunculkan gagasan yang bermuara pada teorema dasar kalkulus ini.

(4)

Konsep dasar turunan erat kaitannya dengan masalah laju perubahan suatu fungsi atau perubahan kecepatan suatu benda yang bergerak.

4.1 TRANSLASI

7.1 KONSEP TURUNAN

Secara umum, apabila jarak s dinyatakan dalam s = f(t), maka kecepatan pada saat t didefinisikan sebagai:

(5)

Kamu bisa menguji pemahaman tentang KONSEP TURUNAN

dengan mengerjakan soal Latihan 1 pada halaman 289

(6)

7.2.1 Turunan Fungsi f : x → f(x) pada x = a

7.2 FUNGSI TURUNAN DARI f(x)

(7)

(8)

(9)

Contoh

Tentukan turunan fungsi f (x) yang dinyatakan dengan f(x) = x² – 3 pada x = 4.

Jawab Jawab

(10)

7.2.2 Fungsi Turunan Pertama Definis

Definis

Contoh

Tentukan turunan pertama fungsi f(x) = x² pada x = 5.

Jawab Jawab

Jadi, turunan pertama fungsi f(x) = x² pada x = 5 adalah f (5) = 2(5) = 10′

(11)

Kamu bisa menguji pemahaman tentang FUNGSI TURUNAN DARI f(x)

(12)

7.3 DALIL – DALIL TURUNAN FUNGSI ALJABAR

Dalil-dalil yang dibahas berikut ini berdasarkan asumsi bahwa turunan masing-masing fungsi ada (diferensiabel) pada domain fungsi tersebut.

(13)

(14)

Contoh

Diketahui f(x) = x⁵. Tentukan f′(x).

Jawab Jawab

f (x) = 5x′ ^{5 – 1} = 5x⁴

3. Jika f dan g fungsi dan k = bilangan konstan, untuk g(x) = k · f(x) berlaku g (x) = k · f (x).′ ′

(15)

4. Jika f(x) = kxⁿ, maka f (x) = knx′ ^{n – 1}.

(16)

Contoh

1. Diketahui f(x) = 3x⁵. Tentukan f′(x).

Jawab Jawab

f (x) = 3 · 5x′ ^{5 – 1} = 15x⁴ . Contoh

Jawab Jawab

(17)

Contoh

Jawab Jawab

(18)

(19)

Contoh

1. Tentukan turunan pertama fungsi f(x) = 4x² – 7x³ . Jawab

Jawab

(20)

Contoh

Jawab Jawab

(21)

Kamu bisa menguji pemahaman tentang DALIL-DALIL TURUNAN

FUNGSI ALJABAR

(22)

(23)

Contoh

Tentukan turunan pertama h(x) = (4x² – 1)(7x³ + x).

Jawab Jawab

(24)

(25)

Contoh

Jawab Jawab

(26)

(27)

Kamu bisa menguji pemahaman tentang DALIL-DALIL TURUNAN

FUNGSI ALJABAR

(28)

(29)

Contoh

(30)

Jawab Jawab

(31)

Kamu bisa menguji pemahaman tentang DALIL – DALIL TURUNAN

FUNGSI ALJABAR

(32)

7.4 PERSAMAAN GARIS SINGGUNG DAN GARIS

NORMAL KURVA

(33)

(34)

(35)

Contoh

(36)

Jawab Jawab

(37)

Kamu bisa menguji pemahaman

tentang PERSAMAAN GARIS SINGGUNG DAN GARIS NORMAL KURVA

(38)

7.5 FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN

(39)

(40)

Contoh

Tentukan interval ketika fungsi f(x) = x³ + 3x² – 9x + 5:

a. naik, b. turun.

Jawab Jawab

(41)

(42)

Kamu bisa menguji pemahaman tentang FUNGSI NAIK DAN

FUNGSI TURUN

(43)

7.6 NILAI STASIONER

(44)

(45)

(46)

(47)

Contoh

Tentukan nilai stasioner fungsi f(x) = x³ dan tentukan jenisnya.

Jawab Jawab

(48)

Kamu bisa menguji pemahaman tentang NILAI STASIONER

(49)

7.7 MENGGAMBAR KURVA

Pada pembahasan nilai stasioner dan jenisnya, tidaklah lengkap jika kita belum memahami bentuk kurvanya. Membuat sketsa grafik fungsi y = f(x) sangat penting dalam hal kegunaannya pada

kehidupan sehari-hari yang berhubungan dengan turunan fungsi. Hal yang perlu dipahami dalam menggambar kurva adalah mengubah notasi dalam fungsi f menjadi notasi dalam persamaan kurva y = f(x).

Pada pembahasan nilai stasioner dan jenisnya, tidaklah lengkap jika kita belum memahami bentuk kurvanya. Membuat sketsa grafik fungsi y = f(x) sangat penting dalam hal kegunaannya pada

kehidupan sehari-hari yang berhubungan dengan turunan fungsi. Hal yang perlu dipahami dalam menggambar kurva adalah mengubah notasi dalam fungsi f menjadi notasi dalam persamaan kurva y = f(x).

(50)

Berikut ini langkah-langkah yang diperlukan untuk menggambar sebuah kurva

1. Tentukan titik potong dengan sumbu X dan sumbu Y, jika mudah ditentukan.

2. Tentukan titik-titik stasioner dan jenisnya.

3. Tentukan titik lain untuk membuat plot kurva tersebut sehingga tampak mulus.

Contoh

Gambarlah kurva y = x³ – 3x + 2.

(51)

Jawab Jawab

(52)

(53)

Kamu bisa menguji pemahaman tentang MENGGAMBAR KURVA

(54)

7.8 NILAI MAKSIMUM DAN NILAI MINIMUM SUATU

FUNGSI

(55)

(56)

Contoh

Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi f(x) = 2x³ – 15x² + 36x pada interval [1, 5].

(57)

Jawab Jawab

(58)

(59)

Kamu bisa menguji pemahaman tentang NILAI MAKSIMUM DAN NILAI MINIMUM SUATU FUNGSI

(60)

7.9 MASALAH YANG MELIBATKAN TURUNAN FUNGSI

7.9.1 Masalah Maksimum dan Minimum Contoh

Tentukan ukuran persegi panjang dengan keliling 100 meter, agar luasnya maksimum.

Jawab Jawab

(61)

(62)

Kamu bisa menguji pemahaman tentang MASALAH YANG

MELIBATKAN TURUNAN FUNGSI dengan mengerjakan soal Latihan 11 pada halaman 322

(63)

7.9.2 Masalah Kecepatan dan Percepatan

(64)

(65)

Contoh

Jawab Jawab

(66)

Kamu bisa menguji pemahaman tentang MASALAH YANG

MELIBATKAN TURUNAN FUNGSI dengan mengerjakan soal Latihan 12 pada halaman 325