KELOMPOK 4 Operasi Pada Fungsi & Fungsi Trigonometri

MAKALAH

OPERASI PADA FUNGSI DAN FUNGSI TRIGONOMETRI

DI SUSUN OLEH KELOMPOK 4

 A1I1 18 063, Muh. Qursan Setyawan

 A1I1 21 050, Dinda Mulia

 A1I1 21 051, Egisal

 A1I1 21 052, Elisya Ramdhani

 A1I1 21 053, Farhah Nazar

 A1I1 21 054, Fentriyana

 A1I1 21 055, Firman

 A1I1 21 056, Hidayat

 A1I1 21 057, Intan Marzukah

 A1I1 21 058, Lita Purwanti

 A1I1 21 059, Maghvira Nurul Anisa

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS HALU OLEO KENDARI

2021

PEMBAHASAN

A. Operasi Pada Fungsi

Seperti halnya dua bilangan a dan b dapat ditambahkan untuk menghasilkan sebuah bilangan baru a + b, demikian juga dua fungsi f dan g dapat ditambahkan untuk menghasilkan fungsi baru f + g.

Jumlah,Selisih,Hasil-Kali,Hasil-Bagi,dan Pangkat Perhatikanlah fungsi-fungsi f dan g dengan rumus-rumus

𝑓(𝑥) =^{x− 3}

2 , 𝑔(𝑥) = √x

Kita dapat membuat sebuah fungsi baru f + g dengan cara memberikan pada x nilai f(x) + g(x)= (x-3)/2 + √𝑥 ; yakni,

(f + g)(x) = f(x) + g(x) = 𝑓(𝑥) =^{x− 3}

2 + √𝑥

Tentu saja kita harus sedikit hati-hati mengenai daerah asal. Jelas x harus berupa sebuah bilangan di mana f maupun g berlaku. Dengan kata lain, daerah asal f + g adalah irisan (bagian bersama) dari daerah asal f dan g.

Fungsi-fungsi f - g, f . g dan f/g diperkenalkan dengan cara yang ternyata sangat serupa, dengan asumsi bahwa f dan g mempunyai daerah asal. Kita akan memperoleh:

Daerah asal f + g

Daerah asal f Daerah asal g Gambar 1

Rumus Daerah asal (f + g)(x) = f (x) + g(x) = ^{x− 3}

2 + √𝑥 (f - g)(x) = f (x) - g(x) =^{x− 3}

2 - √𝑥 (f . g)(x) = f (x) . g(x) =^{x− 3}

2 √𝑥 (^𝑓

𝑔) (x) = ^𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥) = ^𝑥−3

2√𝑥

[0, ∞) [0,∞) [0,∞)

[0,∞)

Kita harus mengecualikan 0 dari darerah asal f/g untuk menghindari pembagian oleh 0.

Kita juga boleh memangkatkan suatu fungsi. Yang di maksud dengan 𝑓^𝑛 adalah fungsi yang memberikan nilai [f (x) ]^𝑛 pada x. Jadi

𝑔³ (x) = [g (x) ]^𝑛 = (√3)³ = 𝑥^3/2

Ada satu pengecualian terhadap persetujuan pada eksponen di atas yaitu jika n = -1.Lambang 𝑓⁻¹.

CONTOH 1

Misalkan f(x)=√𝑥 + 1⁴ dan G(x) =√9 − 𝑥² , dengan daerah asal alami masing-masing adalah [- 1,∞] dan [-3, 3]. Cari rumus untuk F + G, F – G, F . G , F/G, dan 𝐹⁵ dan berikan daerah asal alaminya.

PENYELESAIAN

Komposisi Fungsi

Fungsi ini menerima ini menerima x sebagai input, bekerja pada x , dan menghasilkan f ( x ) sebagai output. Dua mesin seringkali dapat

diletakkan berdampingan untuk membuat sebuah mesin yang lebih rumit;

demikian juga halnya dengan dua fungsi f dan g (Gambar 2). Jika f untuk menghasilkan g(f(x)), dikatakan dikatakan bahwa g dengan f, dinyatakan oleh go f. Jadi.

Dalam contoh kita sebelumnya kita mempunyai, f(x) = (x-3)/2 dan g(x) = √𝑥 kita dapat mengakomposisikanya dalam dua cara.

g ° f = g (f(x)) = g (^{𝑥 − 3−}₂ ) = √ 𝑥 − 3

− 2 f ° g = f(g(x)) = f(√𝑥 ) = ^{(√𝑥−3)}₂

Segera kita perhatikan bahwa g ° f tidak sama dengan f ° g jadi, kita katakan bahwa komposisi fungsi tidak komutatif.

Kita harus hati-hati dalam mendefinisikan daerah asal suatu fungsi komposit. Daerah asal g ° f adalah himpunan nilai-nilai x yang memenuhi sifat berikut:

1. x berada di dalam daerah asal f . 2. f(x) berada di dalam daerah asal g.

Dengan kata lain, x haruslah berupa input yang valid untuk f , dan f (x) haruslah berupa input yang valid untuk g. Dalam contoh kita, nilai x = 2 berada di dalam daerah asal f tetapi tidak berada di dalam daerah asal g ° f karena ini akan menuju pada akar kuadrat suatu bilangan negatif.

g(f(2)) = g((2 - 3 )/2) = g(−⁻¹₂) = √−

1

− 2 (g o f)(x)=g(f(x))

x

F(x)

x

g(x)

g[f(x)]

F[g(x)]

Daerah asal g ° f adalah interval [ 3, ∞ ), karena f (x) tak negatif dalam interval ini, dan input terhadap g haruslah taknegatif. Daerah asal f ° g berupa interval [ 0, ∞ ) (mengapa?) , Sehingga kita lihat bahwa daerah asal g ° f dan f ° g dapat berlainan. Gambar 3 memperlihatkan bagaimana daerah asal g ° f mengecualikan nilai-nilai x yang mengakibatkan f(x) tidak berada di dalam daerah asal g.

Misalkan f(x) = 6x/(x² - 9) dan g(x) = √3𝑥, dengan daerah asal alaminya. Pertama, carilah (f ° g)(12);

kemudian cari ( f ° g )(x) dan berikan daerah asalnya.

PENYELESAIAN

( f ° g )(12) = f (g(12)) = f(√36)= f(6) = ₆^{6 ×6}_{2− 9} = ⁴₃ (f ° g )(x) = f (g(x) = f(√3x ) = ^√3𝑥

6

(√3𝑥)²−9

Ekpresi matematis √3𝑥 muncul baik di pembilang maupun penyebut. Sebarang bilangan negatif x akan menuju pada akar kuadrat dari bilangan negatif. Jadi, semua bilangan negatif harus dikecualikan dari daerah asal f ° g. Untuk x ≥ 0, kita mempunyai (√3𝑥)² = 3x, yang membolehkan kita untuk menuliskan

(f ° g )(x) = ^6√3𝑥

3𝑥 − 9 = ^2√3𝑥

3 − 𝑥

Kita juga harus mengecualikan x = 3 dari daerah asal f ° g karena dia tidak berada di dalam daerah asal f.

( Dia akan menyebabkan pembagian oleh 0). Jadi daerah asal f ° g adalah [ 0, 3 ) U (3, ∞ ).

Dalam kalkulus, kita akan seringkali perlu mengambil suatu fungsi yang diketahui dan menuliskannya sebagai komposisi dari dua fungsi yang lebih sederhana. Misalnya, p(x) = √𝑥²+ 4 dapat dituliskan sebagai

p(x) = g(f(x)), dengan g(x) = √𝑥 dan f(x) = x² + 4 CONTOH 2

atau sebagai

p(x) = g(f(x)), dengan g(x) =√x + 4 dan f(x) = x²

Anda seharusnya memeriksa bahwa kedua komposisi ini memberikan p(x) = √𝑥²+ 4 dengan daerah asal ( -∞, ∞ ). Dekomposisi p(x) = g (f(x)) dengan f (x) = x² + 4 dan g(x) = √x dipandang sebagai yang lebih sederhana dan biasanya lebih disukai. Karenanya kita dapat memandang p(x) = √𝑥²+ 4 sebagai akar kuadrat dari suatu fungsi x. Cara memandang fungsi seperti ini akan penting dalam Bab 2.

Contoh 3

Tuliskan fungsi p(x) = (𝑥 + 2)⁵ sebagai fungsi komposit gºf.

Penyelesaian : cara yang paling mudah untuk mendekomposisikan p adalah menuliskan p(x) = g(f(x))dengan g(x) = 𝑥⁵ dan f(x) = (𝑥 + 2)

Jadi kita memandang p(x) =(𝑥 + 2)⁵ sebagai pangkat lima dari suatu fungsi x.

Penggeseran mengamati bagaimana sebuah fungsi terbentuk dari fungsi yang lebih

sederhananya akan sangat membantu dalam penggambaran grafik .Boleh jadi kita mengajukan pertayaan ini : Bagaimana grafik-grafik dari:

y = f(x) y = f(𝑥 − 3) y = f(x) + 2 y = f(𝑥 − 3) + 2

Berkaitan dengan satu sama lain? Tinjaulah f(x) = |𝑥| sebagai contoh Empat garis yang bersangkutan diberikan dalam gambar 4.

Perhatikan bahwa keempat grafik mempunyai bentuk yang sama ; tiga yang terakhir hanyalah penggeseran (translasi) dari yang pertama.Dengan mengganti x oleh (𝑥 − 3) akan menggeser grafik itu 3 satuan ke kanan ; dengan menambahkan 2 berarti menggeser ke atas sebesar 2 satuan.

Apa yang terjadi dengan f(x) = |𝑥| adalah khas.Gambar 5 menawarkan ilustrasi lain dari prinsip ini untuk fungsi f(x) = 𝑥⁴ + 𝑥².

Prinsip yang sama secara tepat berlaku dalam situasi yang umum.Ini diilustrasikan dalam gambar 6 dengan h dan k keduanya positif.Jika h < 0, maka penggeserannya ke kiri ; jika k > 0 maka penggeserannya ke bawah.

Contoh 4

Sketsakan grafik g(x) = √𝑥 + 3 + 1 dengan mula-mula meggambarkan grafik f(x) = √𝑥 dan kemudian melakukan penggeseran seperlunya.

Penyelesaian dengan menggeser grafik f (Gambar 7) sejauh 3 satuan ke kiri dan 1 satuan ke atas, kita peroleh grafik g (Gambar 8).

Katalog Parsial Fungsi Sebuah fungsi berbentuk f (x) = k, dengan k konstanta (bilangan real) disebut fungsi konstanta. Grafiknya berupa sebuah garis mendatar (Gambar 9) fungsi f(x)= x disebut fungsi identitas. Grafiknya berupa sebuah garis yang melalui titik-asal dengan

kemiringan 1 (Gambar 10).

Sebarang fungsi yang dapat diperoleh dari fungsi konstanta dan fungsi identitas dengan menggunakan operasi penambahan, pengurangan, dan perkalian disebut fungsi polinomial.Ini sama saja dengan mengatakan bahwa f adalah fungsi polinomial jika berbentuk

f (x) = aⁿ xⁿ + a^n-1 x^n-1 +...+ a¹ x + a⁰

dengan koefisien-koefisien a berupa bilangan real dan n adalah bilangan bulat tak negatif.Jika aⁿ

≠ 0, maka n adalah fungsi polinomial bilangan tersebut. Khususnya, f(x) = ax + b adalah fungsi derajat satu, atau fungsi linear dan f (x) = ax² + bx + c adalah fungsi derajat dua, atau fungsi kuadrat. Hasil-bagi fungsi-fungsi polinomial disebut fungsi rasional. Jadi f adalah fungsi rasional jika berbentuk

𝑓(𝑥) = a_nxⁿ + a_n− 1xⁿ⁻¹ +. . . + a₁ x + a₀ b_m x^m + b_m− 1x^m−1 +. . . + b₁ x + b₀

Daerah asal fungsi rasional terdiri dari bilangan real yang memenuhi syarat bahwa nilai penyebut bukan nol

Fungsi aljabar eksplisit adalah fungsi yang dapat yang diperoleh dari fungsi konstanta dan fungsi identitas melalui lima operasi:penambahan,pengurangan,perkalian, pembagian,dan

penarikan akar. Contohnya adalah

f (x) = 3x²= 3 √𝑥^{5 2/5} = 3 g (x) = ^{(𝑥+2)√𝑥}

𝑥³+ √𝑥^{3 2−1}

Fungsi-fungsi yang diberikan sejauh ini, bersama-sama dengan fungsi-fungsi trigonometri, invers trigonometri, eksponen, dan logaritme (akan diperkenalkan nanti) merupakan bahan dasar untuk kalkulus.

B. Fungsi Trigonometri

Secara umum, kita mendefinisikan fungsi trigonometri berdasarkan lingkaran satuan.

Lingkaran satuan, yang kita nyatakan C, adalah lingkaran dengan jari-jari 1 dan pusat dititik asal;

dia mempunyai persamaan x² + y² = 1. Misalkan A adalah titik (1, 0) dan t bilangan positif. Maka terdapat 1 titik tunggal P(x,y) pada lingkaran C sedemikian rupa sehingga panjang busur AP, yang diukur menurut arah berlawanan dengan putaran jarum jam dari A adalah t. (Gambar 2) ingat bahwa keliling C adalah 2π. Jadi jika t=π, maka titik P tepat setengah jalan mengelilingi lingkaran mulai dari titik A dalam kasus ini ini titik P adalah titik (-1,0). Jika t=3π/2 maka P adalah titik (0,- 1) dan jika t= 2π maka P adalah titik A. Jika t > 2π diperlukan lebih dari satu putaran lengkap dari satuan lingkaran untuk menelusuri busur AP

Sifat-sifat dasar sinus dan kosinus Beberapa kenyataan segera jelas kelihatan dari definisi yang diberikan. Pertama x dan y dapat berupa sebarang bilangan real. Daerah asal untuk fungsi sinus dan kosinus adalah 3. Kedua x dan y yang selalu berada diantara -1 dan 1. Jadi daerah hasil untuk fungsi sinus dan kosinus adalah interval [-1,1]

Karena lingkaran satuan mempunyai keliling 2π, nilai t dan t + 2π menentukan titik P (x,y) yang sama.

Jadi

sin (t + 2π) =sin t dan cos (t + 2π) = cos t

Titik-titik P1 dan P2 yang berkorespondensi dengan t dan -t masing-masing bersimetri dengan sumbu -x (gambar 3) . Jadi koordinat -x dari titik P1 dan P2 adalah sama, dan koordinat -y hanya berbeda tanda. Akibatnya

sin(-t) = - sin t cos(-t)=cos t

Dengan perkataan lain, sinus adalah fungsi ganjil dan kosinus adalah fungsi genap.

Titik-titik P3 dan P4 yang masing-masing berkorespondensi terhadap t dan π/2-t simetri terhadap garis y = x sehingga koordinat-koordinatnya saling bertukar (gambar 4) ini berarti bahwa

Sin( ^𝜋

2− 𝑡)= cos t cos( ^𝜋

2− 𝑡)= sin t

Akhirnya, dibawah ini adalah sebuah identitas penting yang menghubungkan fungsi sinus dan kosinus

sin²t + cos²t = 1

Untuk setiap bilangan real t. Identitas ini menyusul dari kenyataan bahwa titik (x,y) berada lingkaran satuan, karena itu x dan y memenuhi x² + y² = 1

Grafik Sinus dan Cosinus, Untuk membuat grafik kita harus mengikuti prosedur baku kita yaitu, Buat tabel nilai, gambar titik yang berkorespondesi , dan hubungkan titik-titik dengan kurva mulus.

Dari Grafik kita dapat memperhatikan beberapa karakteristik dari Sinus dan Cosinus:

1. Memiliki domain (-∞,∞)

2. Sin t dan Cos t keduaya berkisar dari -1 sampai 1

3. Kedua grafik berulang pada interval yang berdampingan di sepanjang 2π 4. Cos t = x = cos (-t)

Sin t= y = - sin (-t)

Periode dan Amplitudo Fungsi Trigonometri fungsi f dikatakan periodik jika terdapat suatu bilangan p sedemikian rupa sehingga

F (x + p) = f (x)

Untuk semua x dalam daerah asal f. bilangan positif tekecil p yang demikian disebut periode f. fungsi sinud adalah periodik karena sin ( x + 2𝜋) = sin x untuk semua x. Juga benar bahwa

sin(x + 4𝜋) = sin sin(x - 2𝜋) = sin(x + 12𝜋) = sin x

untuk semua x. Jadi, 4𝜋 -2𝜋, dan 12𝜋 merupakan semua bilangan p dengan sifat sin (x + p) = sin x.

Periode didefinisikan sebagai bilangan positif terkecil p yang demikian. Untuk fungsi sinus, p positif terkecil dengan sifat bahwa sin (x + p) = sin x adalah 2𝜋. Karena out kita katakana bahwa fungsi sinus periodik dengan periode 2𝜋. Fungsi kosinus yang periodic dengan periode 2𝜋.

Fungsi sin(at) mempunyai periode 2𝜋/𝑎 karena sin [ 𝑎 (𝑡 + ^2𝜋

𝑎)] = sin [ at + 2𝜋 ] = sin (at) Periode fungsi cos(at) juga 2𝜋𝑎.

Contoh 2

Berapa periode fungsi berikut?

(a) sin (2𝜋t) (b) cos (2𝑡) (c) sin (2𝜋/12) PENYELESAIAN

(a) Karena fungsi sin(2𝜋t) berbentuk sin(at) dengan a = 2𝜋, maka periodenya adalah p = ^2𝜋

2𝜋 = 1.

(b) Fungsi cos(2t) berbentuk cos(at) dengan a = 2. Jadi, periode dari cos(2t) adalah p = ^2𝜋₂ = 𝜋.

(c) Fungsi sin(2𝜋/12) mempunyai periode p = _2𝜋/12^2𝜋 = 12

Jika fungsi periodik mencapai sebuah minimum dan maksimum, kita definisikan amplitude A sebagai setengah jarak anatar titik terendah dan titik tertinggi pada grafik.

Contoh 3

Carilah amplitude fungsi periodic berikut.

(a) sin (2𝜋/12) (b) 3 cos(2t) (c) 50 + 21 sin (2^𝜋𝑡

12+ 3) PENYELESAIAN

(a) Karena daerah hasil fungsi sin(2𝜋/12) adalah [-1, 1], amplitudonya adalah A = 1.

(b) Fungsi 3 cos (2t) akan mengambil nilai mulai -3 (yang terjadi ketika t = ±^𝜋₂, ±^3𝜋

2 , … ) sampai 3 (yang terjadi ketika t = 0, ±𝜋, ±2𝜋, …). Karena itu amplitude adalah A = 3.

(c) Fungsi 21 sin(2πt/12+3) mengambil nilai mulai -21 sampai 21.Jadi,50+21 sin(2πt/12+3)mengambil nilai mulai 50 - 21=29 sampai 50 + 21 =71.Karena itu amplitudo adalah 21.Secara umum,untuk a > 0 dan A > 0.

Fungsi trigonometri dapat digunakan untuk memodelkan sejumlah fenomena fisika,termasuk tingkat air pasang harian dan suhu tahunan.

Contoh 4 . Suhu tinggi dan normal untuk St Louis,Missouri berkisar dari 37°F untuk 15 Januari sampai 89°F untuk 15 Juli.Suhu tinggi harian secara kasar mengikuti kurva sinusoidal.

(a) Carilah nilai C, A, a dan b sedemikian rupa sehingga

T(t) = C + A sin(a(t + b))

dengan t, dinyatakan dalam bulan sejak 1 Januari,merupakan model yang masuk akal untuk suhu tinggi harian rata-rata.

(b) Gunakan model ini untuk mengaproksimasikan suhu tinggi rata-rata untuk 15 Mei.

PENYELESAIAN : (a) fungsi yang di minta haruslah mempunyai periode t = 12 karena musim berulang setiap 12 bulan. Jadi 2π/a = 12, sehingga kita mempunyai a = 2π/12. Amplitudo adalah setengah selisih antara titik terendah dan tertinggi; dalam kasus ini A = 1/2 (89 - 37)= 26. Nilai C sama dengan titik tengah antara suhu rendah dan tinggi,sehingga C = 1/2 (89 + 37)=63. Karena itu fungsi T(t) haruslah berbentuk

T(t) = 63 + 26 sin 2π/12 (t + b)

Satu-satunya konstanta yang tersisa adalah mencari b. Suhu tinggi normal terendah adalah 37, yang terjadi pada 15 Januari, kira-kira pertengahan Januari. jadi fungsi kita haruslah memenuhi T(1/2) =37,dan fungsi harus mencapai minimumnya sebesar 37 ketika t = 1/2.

C + A sin(a(t + b)) dan C + A cos(a(t + b)) mempunyai periode 2π/a dan amplitudo A.

Gambar 9 meringkas informasi yang kita punyai sejauh ini.Fungsi 63 + 26 sin(2πt/12) mencapai minimumnya ketika 2πt/12 = -π/2,yakni ketika t = -3.Karena itu kita harus menggeser kurva yang

didefinisikan oleh y = 63 + 26 sin(2πt/12) ke kanan sebesar 1/2 - (-3) = 7/2. kita telah memperlihatkan bahwa penggantian x dengan x - c menggeser grafik y=f(x) kekanan sejauh c satuan.Jadi,dengan maksud menggeser grafik y=63 + 26 sin(2πt/12) kekanan sejauh 7/2 satuan,kita harus menggantikan t dengan t - 7/2.Jadi,

T(t) = 63 + 26 sin(2π/12(t-7/2))

Gambar 10 memperlihatkan grafik untuk suhu tinggi normal T sebagai fungsi waktu t, dengan t diberikan dalam bulan.

b. Untuk mengestimasi suhu tinggi normal dalam bulan Mei, kita substitusikan t = 4,5 (karena pertengahan Mei adalah empat setangah bulan ke dalam setahun) dan mendapatkan

T(4,5) = 63 + 26 sin (2𝜋 (4,5 – 3,5 ) / 12 = 76,0

Suhu tinggi normal untuk St Louis pada 15 Mei sebenarnya adalah 75℉. Jadi model kita memprediksi lebar sebesar 1̊, yang sangat akurat mengingat sedikitnya informasi yang diketahui.

Empat Fungsi Trigonometri Lainnya Kita cukup menggunakan fungsi sinua dan kosinus saja, tetapi penting juga untuk memperkenalkan empat fungsi trigonometri lainnya : tangen, cotangen, secan, dan cosecan.

Tan t = ^{sin 𝑡}

cos 𝑡 cot t = ^{cos 𝑡}

sin 𝑡

Sec t = ¹

cos 𝑡 cosec t = ¹

sin 𝑡

Apa – apa yang diketahui tentang sinus dan cosinus secara otomatis akan memberikan kita pengetahuan tentang empat fungsi baru ini.

Pe Perhatikan bahwa tangen adalah fungsi ganjil

PENYELESAIAN

Tan (-t) = ^sin(−𝑡)

cos(−𝑡) = ^{− sin(−𝑡)}

cos(−𝑡) = tan t

Buktikan bahwa yang berikut ini adalah identitas.

PENYELESAIAN

1 + tan² t = 1+ ^𝑠𝑖𝑛

2𝑡 𝑐𝑜𝑠²𝑡 = ^𝑐𝑜𝑠

2𝑡 + 𝑠𝑖𝑛²𝑡 𝑐𝑜𝑠²𝑡 = ¹

𝑐𝑜𝑠²𝑡 = sec² t 1 + cos² t = 1 + ^𝑐𝑜𝑠

2𝑡 𝑠𝑖𝑛²𝑡 = ^𝑠𝑖𝑛

2𝑡 + 𝑐𝑜𝑠²𝑡 𝑠𝑖𝑛²𝑡 = ¹

𝑠𝑖𝑛²𝑡 = cosec² t

Gambar 11

Ketika kita mempelajari fungsi tangen (Gambar 11), kita dihadapkan pada kejutan kecil.

Pertama, kita perhatikan bahwa terdapat asimtot – asimtot tegak pada ± π/2, ±3π/2, dan seterusnya. Kita seharusnya sudah menduga hal ini, karena pada nilai – nilai t ini cos t = 0, yang CONTOH 5

CONTOH 6

1 + tan² t = sec² t 1 + cot² t = cosec² t

berarti bahwa (sin t) /(cos t) akan melibatkan suatu pembagian oleh kedua nol. Kedua, bahwa tangen adalah periodic ( yang kita duga ). Anda akan melihat alasan analitis untuk ini dalam soal 33.

Gunakan identittas penambahan untuk tangen gunakan memeperlihatkan bahwa tan (tan t + π) = tan t untuk semua t dalam daerah asal dari tan t.

tan ( t + π ) = tan t Penyelesaian : tan ( t + π ) = tan( 𝑡 )+tan(𝜋)

1−tan( 𝑡 ) tan(𝜋)

= ^tan(𝑡)+0

1−tan(𝑡).0

= ^tan(𝑡)

1−0

= ^tan(𝑡)

1

= tan t

Gambar 12

Hubungan terhadap Trigonometri Sudut Sudut biasanya diukur dalam derajat atau dalam radian. Suatu radian didefinisikan sebagai sudut yang berkorespondensi dengan busur sepanjang 1 satuan lingkaran. Lihat Gambar 12. Sudut yang berkorespondensi dengan satu putaran penuh berukuran 360̊, tetapi hanya 2π radian. Secara setara, sudut luru berukuran 180̊

atau π radian, kenyataan yang bermanfaat untuk diingat.

Ini menuju kepada hasil

1 radian ≈ 57,29578̊ 1̊ ≈ 0,0174533 radian

Derajat Radian

0 0

30 𝜋

⁄ 6

180̊ = π radian ≈ 3,1415927 radian

45 𝜋

⁄ 4

60 𝜋

⁄ 3

90 𝜋

⁄ 2

120 2𝜋

⁄ 3

135 3𝜋

⁄ 4

150 5𝜋

⁄ 6

180 Π

360 2π

Gambar 13

Gambar 13 memperhatikan beberapa konversi umum lainnya antar derajat dengan radian.

Pembagian suatu putaran menjadi 360 bagian dilakukan demikian saja (menurut bangsa Babylon kuno, yang menyenangi kelipatan 60). Pembagian kedalam 2𝜋 bagian adalah lebih mendasar dan berlatar belakang penggunaan ukuran radian yang umum dalam kalkulus.

Khususnya, perhatikan panjang busur s dari potongan busur sebuah lingkaran berjari-jari r dengan sudut pusat t radian memenuhi (lihat gambar 14)

𝑠 2𝜋𝑟 = 𝑡

2𝜋

Dengan kata lain,hasil bagi keliling total 2𝜋 𝑟 yang berkorespondensi terhadap suatu sudut t adalah sama dengan hasil bagi lingkaran satuan yang berkorespondensi terhadap sudut yang sama t. ini mengimplikasikan bahwa s = t. Dengan kalimat,panjang busur pada potongan lingkaran satuan dengan sudut pusat t radian adalah t. Ini benar walaupun jika t negatif,asalkan kita menafsirkan panjang adalah negatif jika diukur searah putaran jarum jam.

Contoh 7

Cari jarak yang ditempuh oleh sebuah sepeda dengan roda yang mempunyai jari-jari 30 cm bila roda itu berputar sampai 100 putaran.

Penyelesaian : kita gunakan fakta bahwa s = rt, dengan mengenali bahwa 100 putaran berkorespondensi dengan 100. (2𝜋) radian.

S = (30)(100)(2𝜋) = 6000𝜋 ≈ 18849,6 cm ≈ 188,5 meter

Sekarang kita dapat membuat hubungan antara trigonometri sudut dan trigonometri lingkaran satuan. Jika 𝜃 adalah sudut yang berukuran t radian,yakni 𝜃 adalah sudut yang memotong suatu busur panjang t dari lingkaran satuan,maka

Sin 𝜃 = sin t cos 𝜃= cos t

Dalam kalkulus,jika kita menemui sebuah sudut yang diukur dalam derajat,kita pasti selalu menyubahnya ke dalam radian sebelum melakukan perhitungan. Misalnya,

sin 31,6 ° = sin(31,6 ∙ 𝜋

180 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛) ≈ sin (0,552) Daftar Identitas-identitas Penting

Identitas trigonometri yang berikut adalah benar untuk semua x dan y,asalkan kedua ruas terdefenisi pada x dan y yang dipilih.

Identitas ganjil-genap sin(−𝑥) = − sin 𝑥 cos(−𝑥) = cos 𝑥 cos(−𝑥) = − tan 𝑥 Identitas pythagoras 𝑠𝑖𝑛²x + 𝑐𝑜𝑠²x = 1 1 + 𝑡𝑎𝑛²𝑥 = 𝑠𝑒𝑐²𝑥 1 + 𝑐𝑜𝑡²𝑥 = 𝑐𝑠𝑐²𝑥 Identitas ko-fungsi 𝑠𝑖𝑛 (𝜋

2− 𝑥) = cos 𝑥 𝑐𝑜𝑠 (𝜋

2− 𝑥) = sin 𝑥 𝑡𝑎𝑛 (𝜋

2− 𝑥) = cot 𝑥 Identitas penambahan

𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 𝑦) = sin 𝑥 cos 𝑦 + cos 𝑥 sin 𝑦

𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑦) = cos 𝑥 cos 𝑦 − sin 𝑥 sin 𝑦 𝑡𝑎𝑛(𝑥 + 𝑦) = tan 𝑥 + tan 𝑦

1 − tan 𝑥 tan 𝑦 Identitas sudut ganda sin 2𝑥 = 2 sin 𝑥 cos 𝑥 cos 2𝑥 = 𝑐𝑜𝑠²𝑥 − 𝑠𝑖𝑛²𝑥

= 2 𝑐𝑜𝑠²𝑥 − 1 = 1 − 2 𝑠𝑖𝑛²𝑥 Identitas jumlah

sin 𝑥 + sin 𝑦 = 2 sin (𝑥 + 𝑦

2 ) cos (𝑥 − 𝑦 2 ) cos 𝑥 + cos 𝑦 = 2 cos (𝑥 + 𝑦

2 ) cos (𝑥 − 𝑦 2 ) Identitas hasil-kali

sin 𝑥 sin 𝑦 = −1

2[cos(𝑥 + 𝑦) − cos(𝑥 − 𝑦)]

cos 𝑥 cos 𝑦 = −1

2[cos(𝑥 + 𝑦) + cos(𝑥 − 𝑦)]

sin 𝑥 cos 𝑦 = −1

2[sin(𝑥 + 𝑦) + sin (x − y)]

Identitas setengah sudut

sin (𝑥

2) = ± √1 − cos 𝑥 2 cos (𝑥

2) = ± √1 − cos 𝑥 2 CONTOH SOAL

1. Untuk 𝑓(𝑥) = 𝑥²+ 𝑥 dan 𝑔(𝑥) = ²

𝑥+3, carilah masing – masing nilai a. (𝑓 − 𝑔)(2)

b. (^𝑓

𝑔) (1) c. 𝑔²(3) d. (𝑓 ° 𝑔)(1)

e. (𝑔 ° 𝑓)(1) f. (𝑔 ° 𝑔)(3) PENYELESAIAN :

a. (𝑓 − 𝑔)(2)

= 𝑓(2) − 𝑔(2)

= (2²+ 2) − 2 2 + 3

= (4 + 2) −2 5

= 6 −2 5

=30 − 2 5

=28 5

b. (^𝑓

𝑔) (1)

=>𝑓(1) 𝑔(1)

= 1²+ 1 2 1 + 3

= 2 2 4

= 2 × 4 2

= 2 × 2

= 4

c. 𝑔²(3)

= ( 2 𝑥 + 3)

2

= ( 2 3 + 3)

2

= (2 6)

2

= 4 36

= 1 9

d. (𝑓 ° 𝑔)(1)

= 𝑓(𝑔(1))

= 𝑓 ( 2 𝑥 + 3)

= 𝑓 ( 2 1 + 3)

= 𝑓 (2 4)

= 𝑓 (1 2)

= (1 2)

2

+1 2

= 1 4+1

2

=3 4

e. (𝑔 ° 𝑓)(1)

= 𝑔(𝑓(1))

= 𝑔( 1¹+ 1)

= 𝑔(2)

= ( 2 2 + 3)

=2 5

f. (𝑔 ° 𝑔)(3)

= 𝑔 ( 2 𝑥 + 3)

= 𝑔 ( 2 3 + 3)

= 𝑔 (2 6)

= 𝑔 (1 3)

= ( 2 1 3 + 3

)

= ( 2 10

3 )

= 6 10

=3 5

2. Sketsakan grafik 𝑔(𝑥) = |𝑥 + 3| − 4 dengan pertama – tama menggambar ℎ(𝑥) = |𝑥|

dan kemudian menggeser.

PENYELESAIAN:

 Pertama kita cari dulu koordinat – koordinat dari fungsi grafik ℎ(𝑥) = |𝑥|

𝑥 𝑦

-5 5

-4 4

-3 3

-2 2

-1 1

0 0

1 1

2 2

3 3

4 4

 Lalu kita gambarkan grafiknya

 Lalu kita cari koordinat dan gambarkan grafik dari fungsi 𝑔(𝑥) = |𝑥 + 3|

Disini terlihat bahwa grafik bergeser ke kiri sebesar 3 satuan.

 Kita cari lagi koordinat dan gambarkan grafik untuk fungsi 𝑔(𝑥) = |𝑥 + 3| − 4

Terlihat lagi bahwa grafik bergeser ke arah bawah sebesar 4 satuan.

Jadi, grafik dari fungsi 𝑔(𝑥) = |𝑥 + 3| − 4 bergeser sejauh 3 satuan ke kiri dan 4 satuan ke bawah.

3. Konversikan ukuran derajat berikut ke radian ( biarkan 𝜋 dalam jawaban) a. 45°

b. −60°

c. −370°

PENYELESAIAN:

a. Untuk mengubah ke bentuk radian kita kalikan dengan ^𝜋

180°

45° ( 𝜋

180°) =45°𝜋 180° = 𝜋

4 b. −60° ( ^𝜋

180°) =^−60°𝜋

180° = −^𝜋

3

c. −370° ( ^𝜋

180°) = −^370°𝜋

180° = −^37𝜋

18

4. Tentukan periode, amplitude, dan pergeseran (baik mendatar dan tegak) dan gambarkanlah grafik pada interval −5 ≤ 𝑥 ≤ 5 untuk fungsi 𝑦 = 3 cos^𝑥

2. PENYELESAIAN:

Untuk mencari periode dan amplitudonya, kita akan gunakan bentuk fungsi trigonometri yang lebih kompleks yaitu :

 𝑓(𝑥) = 𝑎 sin 𝑘(𝑥 ± 𝑏) ± 𝑐 → 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑒 = ^2𝜋

𝑘 , 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑜 = |𝑎|

 𝑓(𝑥) = 𝑎 cos 𝑘(𝑥 ± 𝑏) ± 𝑐 → 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑒 = ^2𝜋

𝑘 , 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑜 = |𝑎|

 𝑓(𝑥) = 𝑎 tan 𝑘(𝑥 ± 𝑏) ± 𝑐 → 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑒 = ^𝜋

𝑘

Dengan nilai 𝜋 = 180°.

Sekarang kita cari periode dan amplitude dari 𝑦 = 3 cos^𝑥

2 menggunakan 𝑓(𝑥) = 𝑎 cos 𝑘(𝑥 ± 𝑏) ± 𝑐 → 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑒 = ^2𝜋

𝑘 , 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑜 = |𝑎|.

𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑒 = 2𝜋 𝑘 = 2𝜋

1 2

= 4𝜋

𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑜 = |𝑎| = |3| = 3

Sekarang kita akan menggambar grafik dari fungsi tersebut dengan interval −5 ≤ 𝑥 ≤ 5.

5. Sketsakan grafik 𝑦 = sin 2𝑥 pada [−𝜋, 2𝜋].

PENYELESAIAN:

Ketika 𝑥 bergerak dari – 𝜋 𝑘𝑒 𝜋, argument 2𝑥 bergerak dari – 𝜋 𝑘𝑒 2𝜋. Jadi grafik 𝑦 = sin 2𝑥 ini akan berulang pada interval berdampingan dengan panjang 𝜋. Mari kita buat table data dari fungsi tersebut.

𝑥 𝑦

−𝜋 0

−3𝜋 4

1

−𝜋 2

0

−𝜋 4

−1

0 0

𝜋 4

1 𝜋

2

0 3𝜋

4

−1

𝜋 0

5𝜋 4

1 3𝜋

2

0 7𝜋

4

−1

2𝜋 0

Sekarang kita gambar grafiknya