SIstem Bilangan Real, Nilai Mutlak dan Pertaksamaan by. Henry Immanuel Sihombing

Materi Sistem Bilangan Real, Nilai Mutlak, Pertaksamaan, dan Bilangan Kompleks Dosen Dr. Sa`adatul Fitri, S.Si., M.Sc.

Asisten - Henry Immanuel Sihombing - Safrizal Ardana Ardiyansa

1. Sistem Bilangan Real

Definisi 1 : Bilangan real adalah semua bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk desimal 𝐴₁𝐴₂𝐴₃… , 𝐵₁𝐵₂𝐵₃…

Teori 1 : Bentuk desimal yang berhenti atau berulang menyatakan bilangan rasional , misalnya 0,5 = ¹

2, 0,666… = ²

3 … (1)

Teori 1(Ljt) : “Implikasi” logis dari teori 1 adalah bilangan rasional selalu dapat dinyatakan dalam bentuk ^𝑎

𝑏, 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ

Bukti : Misalkan suatu bilangan rasional berbentuk 𝑎𝑏𝑐, 𝑑𝑒𝑓𝑑𝑒𝑓𝑑𝑒𝑓… dengan 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓 ∈ ℕ

Dengan memisalkan bilangan tersebut sebagai 𝑥 diperoleh:

1000𝑥 = 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓, 𝑑𝑒𝑓𝑑𝑒𝑓𝑑𝑒𝑓 … … (2)

𝑥 = 𝑎𝑏𝑐, 𝑑𝑒𝑓𝑑𝑒𝑓𝑑𝑒𝑓 … … (3)

999𝑥 = 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓 − 𝑎𝑏𝑐 … (4)

𝑥 = ^{𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓−𝑎𝑏𝑐}₉₉₉ … (5)

Karena 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓 ∈ ℕ, 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓 > 𝑎𝑏𝑐, 𝑡𝑒𝑛𝑡𝑢𝑙𝑎ℎ 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓 − 𝑎𝑏𝑐 ∈ ℕ juga.

Dengan cara yang analog, dapat diperlihatkan bilangan dengan bentuk desimal berulang setiap n digit, selalu dapat dinyatakan dalam bentuk ^𝑎_𝑏, 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ

Teori 2 : Bentuk desimal yang tak berhenti dan tak berulang menyatakan bilangan irasional , misalnya : √2 = 1,4142135623 … ; π = 3,1415926535 … … (6) Dengan memahami teori 1(ljt) dan buktinya terlihat bahwa bilangan irasional tidak dapat dinyatakan dalam bentuk ^𝑎

𝑏, 𝑎, 𝑏 ∈ ℕ

Teori 3 : Himpunan bilangan real (ℝ) memuat himpunan bilangan rasional (ℚ), yang memuat himpunan bilangan bulat (ℤ)

ℤ= { … , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … } dan himpunan bilangan asli (ℕ) ℕ = { 1, 2, 3, …} Dalam hal ini ℕ⊆ ℤ ⊆ ℚ ⊆ ℝ

Teori 4 : Sistem bilangan real R dengan operasi penjumlahan + dan perkalian × padanya memenuhi :

- Sifat aljabar : komutatif , asosiatif , distributif , dll.

- Sifat urutan : hukum trikotomi , transitif , … yang melibatkan lambang <, =, >

- Sifat kelengkapan : yaitu bahwa ℝ ‘merupakan’ garis yang “tak berlubang”

(Garis Bilangan Real sebagai representasi ℝ)

2. Pertaksamaan dan Nilai Mutlak a. Pertaksamaan

Konsep Dasar : Kalimat ¼ < ½ merupakan suatu ketaksamaan yang benar Kalimat ¹

𝑥 <¹

2 merupakan pertaksamaan atau ketaksamaan yang kebenarannya masih terbuka ”: ia bisa benar , bisa juga salah ; tergantung pada nilai x yang dipilih Menyelesaikan suatu pertaksamaan dalam x berarti menentukan himpunan semua nilai x yang “ memenuhi ” pertaksamaan tsb

Contoh 1 : Selesaikan pertaksamaan ¹ _𝑥 <¹₂! … (7)

Bahasan : ¹ _𝑥−¹

2< 0 … (8)

↔^2−𝑥

2𝑥 < 0 … (9)

↔ (2 − 𝑥)(2𝑥) < 0 … (10)

↔ 𝑥 < 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 > 2 … (11)

Jadi, himpunan penyelesaiaannya adalah HP = (-∞,0) U (2,∞). … (12) b. Nilai Mutlak

Definisi 2 : Nilai mutlak |𝑥| menyatakan “jarak ” dari 0 ke 𝑥 pada garis bilangan real.

Teori 5 : |𝑥| := 𝑥 jika 𝑥 > 0 := 0 jika 𝑥 = 0 :=−𝑥 jika 𝑥 < 0 Sifat-sifat : Sifat 1 : |𝑎. 𝑏| = |𝑎|. |𝑏|

Sifat 2 : |𝑥| < 𝑎 ↔ −𝑎 < 𝑥 < 𝑎 Sifat 3 : |𝑎 + 𝑏| ≤ |𝑎| + |𝑏|

Sifat 4 : |𝑥|²= 𝑥² Notasi Selang :

Contoh 2 : Selesaikan pertaksamaan ¹

|2𝑥−3|> 5 Bahasan : Fungsi rasional ^𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥) pada dasarnya memberikan isyarat nilai 𝑔(𝑥) ≠ 0 Sehingga 2𝑥 − 3 ≠ 0, 𝑥 ≠³

2.

Tanda mutlak |2𝑥 − 3| bermakna := 2𝑥 − 3 untuk 𝑥 >³₂ … (13) := −2𝑥 + 3 untuk 𝑥 <³

2 … (14) Selanjutnya, pecah menjadi 2 kasus :

- Untuk 𝑥 >³₂

1

2𝑥−3> 5 ↔ ¹

2𝑥−3− 5 > 0 … (15)

↔^−10𝑥+16_2𝑥−3 > 0 … (16)

Diperoleh −10𝑥 + 16 > 0, dan 2𝑥 − 3 > 0 dengan 𝑥 ≠³₂. … (17) Diperoleh {𝒙 ∈ ℝ | ^𝟑_𝟐< 𝒙 <^𝟖

𝟓 } … (18)

- Untuk 𝑥 <³

1 2

3−2𝑥> 5 ↔_3−2𝑥¹ − 5 > 0 … (19)

↔^10𝑥−14

3−2𝑥 > 0 … (20)

Diperoleh {𝒙 ∈ ℝ | ^𝟕_𝟓< 𝒙 <^𝟑

𝟐 } … (21)

Gabungkan hasil pada …(18) dan …(21), diperoleh : {𝒙 ∈ ℝ | ^𝟕

𝟓< 𝒙 <^𝟖

𝟓, 𝒙 ≠^𝟑

𝟐} … (22)

Contoh 3 : Tunjukkan bahwa jika |𝒙| ≤ 𝟐 maka |^𝑥2_𝑥^+2𝑥+7₂₊₁ | ≤ 15 Bahasan : Tanda mutlak |𝑥| ≤ 2 bermakna :

−2 ≤ 𝑥 ≤ 2 (Tambahkan kedua ruas dengan 1) … (23)

−1 ≤ 𝑥 + 1 ≤ 3 (Kuadratkan kedua ruas) … (24) 1 ≤ 𝑥²+ 2𝑥 + 1 ≤ 9 (Tambahkan kedua ruas dengan 6) … (25) 7 ≤ 𝑥²+ 2𝑥 + 7 ≤ 15 (perhatikan bahwa −15 < 7) … (26a)

−15 ≤ 𝑥²+ 2𝑥 + 7 ≤ 15 (Sifat transitif) … (26b)

|𝑥²+ 2𝑥 + 7| ≤ 15 (Sifat 2) … (27)

Perhatikan bahwa 𝑥²+ 1 merupakan fungsi yang memetakan tiap-tiap domain 𝑥 ∈ ℝ ke daerah hasil yang pasti bernilai ≥ 1 (𝑥² adalah fungsi yang tak negatif 𝑥²+ 1 memberikan nilai minimum = 1).

Sehingga, ¹

𝑥²+1 selalu bernilai ≤ 1, sehingga terbukti bahwa pernyataan jika |𝒙| ≤ 𝟐 maka |^𝑥2_𝑥^+2𝑥+7₂₊₁ | ≤ 15 bernilai benar.

3. Bilangan Kompleks

Definisi 3 : Secara umum bilangan kompleks terdiri dari dua bagian : bagian riil dan bagian kompleks. Bilangan kompleks bercirikan hadirnya bilangan khayal 𝑖 yang didefinisikan sebagai :

𝑖 = √−1 … (28)

Lazimnya bilangan kompleks berbentuk 𝑎 + 𝑖𝑏 dengan 𝑎 dan 𝑏 ∈ ℝ, 𝑏 ≠ 0

Dalam hal ini, 𝑎 disebut sebagai bagian real (real part) dan 𝑏 disebut bagian imajiner (imaginary part)

Jika hasil kali bilangan kompleks 𝑧₁dan 𝑧₂ menghasilkan bilangan real, maka 𝑧₁dan 𝑧₂ disebut konjugat (sekawan). Konjugat dari 𝑧₁ lazimnya dinotasikan sebagai :

𝑧̅ = 𝑧^∗= 𝑎 − 𝑖𝑏 = 𝑟𝑒^−𝑖𝜃 … (29)

Setiap bilangan kompleks mempunyai konjugat. Hasil kali antara suatu bilangan kompleks dengan konjugatnya disebut modulus.

Contoh 4 : Konjugat dari 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 adalah 𝑧̅ = 𝑥 − 𝑖𝑦. Maka modulus dari 𝑧 adalah :

| 𝑧 |= 𝑧. 𝑧̅ = 𝑥²+ 𝑦² … (30)

Teori 2 : Untuk setiap bilangan kompleks 𝑧 ≠ 0 maka modulus 𝑧 adalah positif.

Sifat :

• ¹

𝑧 = ^𝑧∗

|𝑧|² … (31)

• (𝑧₁+ 𝑧₂)^∗ = 𝑧 ₁^∗+ 𝑧₂^∗ … (32)

• (𝑧₁. 𝑧₂)^∗ = 𝑧₁^∗. 𝑧₂^∗ … (33)

• |𝑧₁+ 𝑧₂| ≤ |𝑧₁| + |𝑧₂| … (34)

• 𝑧₁+ 𝑧₂ = 𝑧₂+ 𝑧₁ … (35)

• 𝑧₁+ (𝑧₂+ 𝑧₃) = (𝑧1+ 𝑧₂) + 𝑧₃ … (36)

• 𝑧₁. (𝑧₂. 𝑧₃) = (𝑧₁. 𝑧₂). 𝑧₃ … (37)

• 𝑧₁. (𝑧₂+ 𝑧₃) = 𝑧₁. 𝑧₂+ 𝑧₁. 𝑧₃ … (38)

• 0. 𝑧₁= 𝑧₁. 0 = 0 … (39)

• 𝑎 + 𝑖𝑏 = 𝑐 − 𝑖𝑑 jhj. 𝑎 = 𝑐 𝑑𝑎𝑛 𝑏 = 𝑑 … (40)

• (𝑎 + 𝑖𝑏) + ( 𝑐 + 𝑖𝑑) = (𝑎 + 𝑐) + 𝑖(𝑎𝑑 + 𝑏𝑐) … (41)

• (𝑎 + 𝑖𝑏) . ( 𝑐 + 𝑖𝑑) = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) + 𝑖(𝑎𝑑 + 𝑏𝑐) … (42)

• 𝑐( 𝑎 + 𝑖𝑏) = 𝑎𝑐 + 𝑖(𝑏𝑐) … (43)

• ^{(𝑐+𝑖𝑑)}

(𝑎+𝑖𝑏)= (𝑐+𝑖𝑏)(𝑎−𝑖𝑏)

(𝑎+𝑖𝑏)(𝑎−𝑖𝑏)=(𝑎𝑐+𝑏𝑑)+𝑖(𝑎𝑑−𝑏𝑐)

𝑎²+𝑏² , … (44)

hasilnya berupa bilangan Kompleks berbentuk (𝑥 + 𝑖𝑦)

Dengan : 𝑥 =^{𝑎𝑐+𝑏𝑑}_𝑎2+𝑏2, … (45)

𝑦 =^{𝑎𝑑+𝑏𝑐}

𝑎²+𝑏² … (46)

Contoh 5 :

Penyajian : 1. Bentuk Rectangular

2. Bentuk Polar

Sebuah bilangan kompleks z = x + iy, bentuk polar dapat dilihat pada gambar di atas.

Dimana x = r cosθ dan y = r sin θ sehingga :

𝑧 = 𝑟(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖. 𝑠𝑖𝑛𝜃) atau sering disingkat 𝑧 = 𝑟. 𝑐𝑖𝑠𝜃 … (47) 𝑟 = |𝑧| [Modulus bilangan kompleks]

𝜃 = arg(𝑧) [Argumen bilangan kompleks]

Range utama argumen : 0 ≤ arg(𝑧) ≤ 2𝜋 𝜃 = 𝑡𝑎𝑛^{−1 𝑦}

𝑥 … (48)

Contoh 6 :

Contoh 7 : Tuliskan hasil operasi berikut dalam bentuk standar (𝑎 + 𝑏𝑖)!

(2 − √−100)(1 + √−36) Bahasan :

Jika kita mengalikannya secara aljabar, kita akan mendapat,

(2 − √−100)(1 + √−36) = 2 + 2√−36 − √−100 − √−36√−100) …(49) Sekarang, jika kita tidak berhati-hati, kita mungkin saja akan menggabungkan dua akar suku terakhir menjadi satu, padahal hal ini tidak bisa dilakukan!

Ada aturan umum dalam menangani akar kuadrat dari bilangan negatif. Ketika dihadapkan dengan mereka hal pertama yang harus selalu Anda lakukan adalah mengubahnya menjadi bilangan kompleks. Jika kita mengikuti aturan ini, kita akan

mendapatkan jawaban yang benar. Jadi, mari kita selesaikan masalah ini dengan cara yang seharusnya.

(2 − √−100)(1 + √−36) = (2 − 10𝑖)(1 + 6𝑖) = 2 + 2𝑖 − 60𝑖² … (50)

(𝑖²= −1) = 62 + 2𝑖 … (51)

Latihan : 1. Selidikilah apakah bilangan ini merupakan bilangan rasional, apabila merupakan bilangan rasional, nyatakan dalam bentuk ^𝑎_𝑏!

a. 897,6541265412 … b. 123,4567891011 …

2. Tentukan 𝑥 yang memenuhi persamaan berikut : |𝑥²− 𝑥| + 2|𝑥 − 1| = |𝑥²+ 𝑥 + 2|

3. Buktikan bahwa pernyataan berikut bernilai benar!

Jika |𝑥| ≤ 17 maka |_𝑥2^𝑥+41𝑥+420,25^2+26𝑥+191 | ≤ 76

4. Tentukan nilai 𝑥 yang memenuhi pertaksamaan berikut!

(^𝑥+|𝑥|2

2 ) + (^{𝑥−|𝑥|2}

2 ) ≥ 1

Challenge : 1. Diberikan |𝑥 − 2| ≤ 1 . Tentukan nilai maksimum dari :

|𝑥³− 2𝑥²− 5𝑥 + 10|!

Soal challenge adalah soal yang dianggap memiliki tingkat kesulitan yang lebih tinggi dari soal latihan, bagi peserta kelas yang telah menemukan jawaban soal challenge bisa langsung post hasil scan pekerjaan ke google classroom dengan durasi seminggu setelah soal challenge diberikan, jika tidak ada yang mengupload dengan tepat akan dibahas di pertemuan selanjutnya. Tidak perlu malu jika jawaban kurang tepat, karena ini semua adalah bagian dari proses belajar.

A shy person can’t learn An impatient person can’t teach