Desain Filter Respon Impuls TakTerbatas (Infinite Impulse Response/IIR)

(1)

Edisi Semester 1 2017/2018 1

Desain Filter Respon Impuls TakTerbatas (Infinite Impulse Response/IIR)

8 8.1 Spesifikasi Desain Filter

Desain Implementasi

Analisa

Probl em Solusi H(z )

Fungsi G(z) sistem performance

constraints

• respon magnitude

• respon fasa

• cost/complexity

• FIR/IIR

• subtype

• order

• platform

• structure

• ...

(2)

8.2 Karakterstik Filter Analog 8.2.1 Filter Butterworth

    ^N

a

c

j

H ² ₂

1

1  

 



(3)

Performance Constraints

• Respon magnitude :

redaman minimum stopband

frekuensi stopband frekuensi

passband ripple

passband

daerah

filter optimal

(4)

• Filter yang bagus:

Performance Constraints

Ripple passband paling kecil

Redaman stopband minimum paling besar Band transisi

paling sempit

(5)

Ripple Passband

• Anggap peak passband gain = 1 maka minimum passband gain =

• Ripple



1 1   ²

dB 1

log

20 ₁₀ ²

max 

  

(6)

Redaman Stopband

• Peak passband gain adalahA  lebih besar dari peak stopband gain

• Redaman minimum stopband



 _s  20 log ₁₀ _A ¹  20 log ₁₀ A dB

(7)

Desain Filter Analog

– Pada daerah pass band dan stop band berbentuk flat atau bisa terdapat ripple

– Ripple makin banyak  transisi band makin sempit

Family Passband Stopband

Butterworth Monoton turun Monoton turun

Chebyshev I ripple Monoton

turun Chebyshev II Monoton turun ripple

Elliptical ripples ripple

(8)

Fungsi Transfer Waktu Kontinu

• Sistem analog : Transformasi-s (Laplace)

Waktu Kontinu Waktu diskrit



H _a   s ^  ^h _a   ^t ^e ^ ^st ^dt



H _d   z ^  ^h _d   ⁿ ^z ^ ⁿ

Transformasi

Respon frekuensi

Diagram pole zero



H _a   j



H _d   e ^j ^

bid-s

Re{s}

Im{s}

j 

Pole stabil pole stabil bid-z

Re{z}

Im{z}

1 e

^jw

(9)

Maximally flat pada daerah passband dan stopband

• Respon magnitude (LPF):

–  << 

_c

,

|H

_a

(j  )|

²

 1 –  = 

_c

,

|H

_a

(j  )|

²

=

¹

/

₂

Filter Butterworth

   

^N

a

c

j

H ² ₂

1 1



 



Orde filter

N

titik 3dB

(10)

Filter Butterworth

 >> _c , |H _a (j| ² ( _c / ² ^N

• flat 

@  = 0 for n = 1 .. 2N-1



d ⁿ

d ⁿ H _a   j ² ^ ⁰

Log-log

respon magnitude

6N dB/oct

rolloff

(11)

Filter Butterworth



s



p



_s

1

2

1 



2

1 A



1 1 

^_^p

 

c ^2N

^ ¹ ^ ¹ ^

²

  ² ¹ ²

1

1 N A

c s

 _ ^ 



N  1 2

log ₁₀   ^A _

²₂

^1

log ₁₀ _ ^

^s

 

p

Spesifikasi filter analog Butterworth :

Orde filter = 4

Frekuensi cuttoff = 1000 Hz

(12)

Filter Butterworth

• ^H

_a

^{(s) ???}

• Look up table

– hitung N  normalisasi filter dengan 

_c

= 1 – skalakan seluruh koefisien

–

– dimana



H _a   j ² ^ ¹ 1  ( _ ^

c

) ^2N



H

_a

  s ^ ¹

s  p

_i

 



i



p _i   _c e ^j ^

^N^2i1^2N

i  1..N

bid-s

Re{s}

Im{s}



_c





s

_c



 



2N

 1

(13)

Contoh Desain Filter Analog Butterworth



1dB  20 log ₁₀ 1 1   ²



  ²  0.259



40dB  20 log ₁₀ _A ¹



 A  100

Desain filter analog

Butterworth dgn frekuensi cut off 1 dB adalah 1kHz dan redaman minimum 40 dB pada frekuensi 5 kHz



 _s

 _p  5 _N ₄ ^log ₃ _. ₂₈ ⁵

N log

10

259 . 0 10 9999 2

1









(14)

8.2.2 Filter Chebyshev Tipe 1



H

_a

  j

²

^ ¹

1  

²

T

_N²

(

_^

p

)



T

_N

   ^ ^{cos N cos}

1



  ^{ } ¹

cosh N cosh 

^1

  ^{ } ¹

 



 

Spesifikasi filter analog Chebyshev tipe 1

Frekuensi passband = 1000 Hz Ripple passband = 0.5 dB Orde filter = 4

N x

T

_N

( ) adalah polinomial Chebyshev orde

Equiripple pada daerah passband (flat pada daerah stopband)

 minimisasi error maksimum

(15)

Prosedur desain



 N  cosh ^1   ^A _

²

^1

cosh ^1 _ ^

^s

 

p



1 A ²  1

1   ² T _N ² ( _ ^

^s

p

)  1

1   ² cosh N cosh ^1 _ ^

^s



p



  ²

– ripple passband  

– redaman minimum stopband ., 

_p

, 

_s

 N :

(16)

8.2.3 Filter Chebyshev Tipe 2

Spesifikasi filter analog Chebyshev tipe 2

Frekuensi stopband = 1000 Hz Redaman stopband = 12 dB Orde filter = 5

 

₂

2 2

) (

) ( 1

1  





 



 







s p s

N N

T T j

H



N x

T

_N

( ) adalah polinomial Chebyshev orde

Flat pada passband, equiripple pada stopband

(17)

8.2.4 Filter Elliptic

 

passband ripple

parameter adalah

ke orde Jacobian

elliptic fungsi

adalah )

(

) , ( 1

1

2 2



N x

U

j U H

N

N _p

 



Spesifikasi filter analog Elliptic Frekuensi stopband = 1000 Hz Ripple passband = 0.5 dB

Redaman stopband = 12 dB Orde filter = 5

Ripple pada daerah passband dan stopband

(18)

Orde Filter Elliptic

     

stopband ripple

adalah

passband ripple

adalah

1 pe komplit ti elliptic

integral adalah

) (

, /

1 /

/ 1

/

2 1

2 2 2









x U

K K

K N K

N

s p







 

(19)

Filter Analog

N = 6

r = 3 dB

A = 40 dB

(20)

8.3 Transformasi frekuensi dalam domain analog

• Seluruh tipe-tipe filter dituliskan dalam filter low pass ; filter lainnya (highpass, bandpass..) diturunkan dari transformasi

yaitu

• Pemetaan bidang-s

dgn tetap menjaga j  ^ j  ;



H _LP   s

s  ˆ F ^1   s

 H _D   s ˆ

respon yg diinginkan

Filter lowpass prototype

(21)

Lowpass-ke-Highpass

• Contoh transformasi :

– Dari prototype polinomial H _LP (s) ganti s dengan

– Diperoleh polinomial H _HP (s)



H _HP   s ˆ ^ ^H _LP   ^s _s ^

^p

^ ^ˆ

^p

ˆ s





_p

 ˆ

_p

s ˆ

^

(22)

Prototype Filter Analog  Filter IIR

• Pendekatan Approach: transformasi H

_a

(s)  G(z) yaitu :

dimana s = F(z) memetakan bidang s  bidang z :



G z   ^ ^H a   s _s _{F z} _{ }

bidang s

Re{s}

Im{s}

bidang z

Re{z}

Im{z}

1 H _a (s ₀ ) ^{s = F(z)} G(z ₀ )

(23)

Transformasi waktu kontinu ke waktu diskrit

• Transformasi : s = F(z):

– Sumbu j  bidang s  lingkaran satuan bidang z

 respon frekuensi tetap

– Daerah sebelah kiri sumbu j  bidang s  daerah di dalam lingkaran satuan bidang z  stabilitas pole tetap

bidang s

Re{s}

Im{s}

j 

bidang z

Re{z}

Im{z}

1 e

^j^

Im  _lingk

satuan.

(24)

Transformasi Bilinear

Transformasi bilinear merupakan teknik pemetaan dari bidang s ke bidang z.

Sumbu j pada bidang s dipetakan ke unit circle pada bidang z.

Misalkan filter analog linier dengan fungsi



 

     

sistem (1)

Sistem ini dikarakteristikkan dengan persamaan diferensial (2)

Dari teorema inte H s b

s a

dy t ay t bx t dt

 

 

     

   

0

gral kalkulus dapat dituliskan

' (3)

Integral dapat diaproksimasi menggunakan rumus trapesoid di dan - , '

2

t

y t y d y t

t nT t nT T

y nT T y nT

 

 

 

 



   

     

' (4)

Persamaan diferensial pada Pers.(2) dievaluasi di , menjadi ' (5) Substitusi Pers.(5) ke Pers. (4)

y nT T y nT T t nT y nT ay nT bx nT

  

 

 



 

       

           

, dimana dan x ,

- 1 1 1 (6)

2

1 1 1

2 2 2 2

Transformasi z dari Pers.(4), menjadi

y n y nT n x nT

y n T bx n ay n bx n ay n y n

aT aT bT bT

y n y n y n y n x n x n

 

        

       

   

 

   

 

1 1 1

1

1 1

1 =

2 2 2 2

2 1

=

1 1

2 2

= (7 2 1

1

aT aT bT bT

Y z z z X z z

bT z H z Y z

aT aT

X z z

Y z b

H z X z z

T z a

  



       

   

   



    

   

)

(25)

Transformasi Bilinear

Transformasi bilinear merupakan teknik pemetaan dari bidang s ke bidang z.

Sumbu j pada bidang s dipetakan ke unit circle pada bidang z.

Misalkan filter analog linier dengan fungsi



 

     

sistem (1)

Sistem ini dikarakteristikkan dengan persamaan diferensial (2)

Dari teorema inte H s b

s a

dy t ay t bx t dt

 

 

     

   

0

gral kalkulus dapat dituliskan

' (3)

Integral dapat diaproksimasi menggunakan rumus trapesoid di dan - , '

2

t

y t y d y t

t nT t nT T

y nT T y nT

 

 

 

 



   

     

' (4)

Persamaan diferensial pada Pers.(2) dievaluasi di , menjadi ' (5) Substitusi Pers.(5) ke Pers. (4)

y nT T y nT T t nT y nT ay nT bx nT

  

 

 



 

       

           

, dimana dan x ,

- 1 1 1 (6)

2

1 1 1

2 2 2 2

Transformasi z dari Pers.(4), menjadi

y n y nT n x nT

y n T bx n ay n bx n ay n y n

aT aT bT bT

y n y n y n y n x n x n

 

        

       

   

 

   

 

1 1 1

1

1 1

1 =

2 2 2 2

2 1

=

1 1

2 2

= (7 2 1

1

aT aT bT bT

Y z z z X z z

bT z H z Y z

aT aT

X z z

Y z b

H z X z z

T z a

  



       

   

   

 

 

   

   

)

(26)

1

 

1

Pemetaan dari bidang s ke bidang z adalah

2 1 8 1

Transformasi ini disebut transformasi bilinear dan berlaku juga untuk persamaan d s z

T z



  

   

iferensial orde ke N.

Hubungan antara frekuensi analog dan diskrit pada transformasi bilinear dijelaskan sebagai berikut;

Persamaan (6) dapat z rej

s j







  

2

2 2

dituliskan sebagai berikut

2 1

1

2 1 2 sin

1 2 cos 1 2 cos

2 1

1 2 cos

j j

s re

T re

r r

T r r j r r

r

T r r



 

 



  

   

  

       

 

 

 

2

 

9

2 2 sin

10

1 2 cos

Bila r < 1 maka < 0 dan bila r > 1 maka > 0.

Bila r = 1 maka = 0, dan 2 sin

1 cos

r

T r r

T



 





   

  

 

-1

2 tan 11 2

2 tan 12 2

T



 

 

(27)

1

 

1

Pemetaan dari bidang s ke bidang z adalah

2 1 8 1

Transformasi ini disebut transformasi bilinear dan berlaku juga untuk persamaan d s z

T z



  

     

iferensial orde ke N.

Hubungan antara frekuensi analog dan diskrit pada transformasi bilinear dijelaskan sebagai berikut;

Persamaan (6) dapat z re

j

s j







  

2

2 2

dituliskan sebagai berikut

2 1

1 2 1 2 sin

1 2 cos 1 2 cos

2 1

1 2 cos

j j

s re

T re

r r

T r r j r r

r

T r r



 

 



  

     

  

         

 

   

2

 

9 2 2 sin

10 1 2 cos

Bila r < 1 maka < 0 dan bila r > 1 maka > 0.

Bila r = 1 maka = 0, dan 2 sin

1 cos

r

T r r

T



 





   

  

 

-1

2 tan 11 2

2 tan 12 2

T



 

 

(28)

Daerah frekuensi sinyal kontinyu - < < dipetakan ke daerah frekuensi sinyal diskrit - .Pemetaan frekuensi ini tidak linier.

Pada transformasi bilinier terjadi kompresi frekuensi atau frekuens

  

  

 

i warping disebabkan ketidak lineran fungsi arctangent

Frequency Warping

Gain sama &

fasa (  , A...), dgn orde yg

sama tapi sumbu frekuensi

warped

(29)

Prosedur Desain

1. Diberikan spesifikasi filter dijital :

2. ‘Warp’ frekuensi waktu diskrit ke frekuensi waktu kontinu:

3. Desain filter analog  H

_D

(s), polinomial filter analog

4. Ubah ke filter dijital  H(z), polinomial filter dijital dalam z

5. Implementasi filter digital !





_p

, 

_s

,

¹

1²

,

_A¹

2

2 tan

tan

p

s

p

s

T



 



 _p , _s , ¹

1  

²

, _A ¹

   

1 ¹

1 1

2 _z

z

D s

T

H z H s

_ ^

 



(30)

Desain filter HPF,BPF,dan BSF



 _p ,  _s , ¹

1  

²

, _A ¹

Spesifikasi filter waktu diskrit

Spesifikasi filter waktu kontinyu

H

_LP

(s)

H

_D

(s) H

_LP

(z)

H (z) Bilinear

warp

Desain filter analog

Transformasi band frekuensi

Bilinear

transform Transformasi band frekuensi

Bilinear transform



 _p ,  _s , ¹

1  

²

, _A ¹

(31)

Transformasi Impulse Invariance

Pada transformasi ini, filter analog ( ) disampling dengan interval sampling T untuk menghasilkan ( ) yaitu : ( ) ( )

Hubungan frekuensi analog dan dijital adalah

a a

h t h n h n  h nT

: atau

Karena pada unit circle dan pada sumbu imajiner, maka persamaan

transformasi dari bidang s ke bidang z adalah :

j j T

j

sT

T e e

z e s j

z e



   

^

  



 

Fungsi sistem dan ( ) mempunyai mhubungan sebagai berikut

1 2

( ) Transformasi bidang komplek de

a

a k

H z H s

H z H s j k

T T







 

      

ngan pemetaan pada persamaan 2.4 ditunjukkan oleh gambar berikut

(32)

Edisi Semester 1 2017/2018 32 Unit circle

z - plane s - plane

j

3 / T 



 / T

 

Im( ) z

Re( ) z

Transformasi banyak-ke-satu

e

sT

 z

(33)

Dari gambar tersebut didapat :

a.Dengan mendefinisikan Re( ) maka

0 dipetakan ke 1 (di dalam unit circle) 0 dipetakan ke z 1 (pada unit circ

s z





 

 

le)

0 dipetakan ke z 1 (di luar unit circle)

b. Semua daerah semi-infinite dengan lebar 2 / dipetakan ke 1 . Pemetaan ini merupakan pemetaan dari banyak-ke-satu.

c

T z





 



. Daerah di sebelah kiri pada bidang s dipetakan ke unit circle sehingga filter analog yang kausal dan stabil dipetakan ke filter dijital yang kausal dan stabil pula.

d. Jika

H_a

(

j 

)

H_a

(

j

 / )

T 

0 un 1

tuk / maka, ( ) ( / ),

sehingga tidak terjadi aliasing.

a a

T H j H j T

 

T

  

   

(34)

Prosedur Desain

Jika diberikan spesifikasi filter dijital lowpass , , , dan dan diinginkan mendapatkan ( ) dengan terlebih dahulu mendesain filter analog ekivalen kemudian memetakan ke filt

s p Rp As

H z

 

s

er yang diinginkan maka prosedur desain yang dapat dilakukan adalah : 1.Pilih dan definisikan frekuensi analog : dan

2.Desain filter analog ( ) dengan spe

p s

p

a

T T T

H s

 

   

sifikasi , , , dan . Filter analog yang dapat dipilih adalah salah satu dari filter prototipe.

3.Gunakan ekspansi fraksi parsial dengan mengubah ( ) menjadi : ( )

p s p s

a k

a

R A

H s H s R

 



   

1

1 1

4. Transformasikan pole analog ke dalam pole dijital untuk menghasilkan filter dijital : ( )

1

k

N

k k

p T k

N

k p T k

s p

p e

H z R

e z



 



 



(35)

 

. 05 0 dan

1 0 digunakan

ini desain Pada

2 1 3

2 6

5 1

; berikut sebagai

analog filter

transfer fungsi

dengan

invariance impulse

metoda n

menggunaka IIR

dijital filter

Desain

2

s .

T s

. T

s s

s s H



 

 



 

(36)

 

₁ ¹ ₂

1 1 . 0 1

15 . 0 .

1 2 1

3

2 1

1 1 2 . 0 1

3 . 0 .

1 2 1

3 2

0.7788

1.7655 -

1.0000

9490 0

1

1 2 1

2

1 2 1

2 05 0 n

Menggunaka

0.6065

1.5595 -

1.0000

8966 0

1

1 2 1

2

1 2 1

2 1 0 n

Menggunaka

2 1 3

2 6

5 1

adalah z

bidang ke

s bidang dari

Pemetaan



 

 

 

 

 



 

 

 

 

 



 

 



 

z z

z .

z - H

z e z

z e H

z e z

z e H

s . T

z z

z .

z - H

z e z

z e H

z e z

z e H

s . T

s s s

H

T T

0 100 200 300 400 500 600

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

0 100 200 300 400 500 600

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

0.3 Respon frekuensi filter analog

Respon frekuensi filter dijital

(37)

(38)

Desain filter dijital menggunakan metoda Least-Squares 1. Metoda aproksimasi Pade

 

   

   

 

  dan   . filter

parameter terhadap

E

. kuadrat kesalahan

n penjumlaha minimisasi

dilakukan akan

, Misal

. kriteria

n menggunaka dengan

Misal

kesalahan.

kriteria

si meminimisa untuk

ditentukan dapat

ini Koefisien dan

koefisien yaitu

filter, parameter

memiliki ini

Filter

U

0 n

k k

d k k

k

k k N

k

k k M

k

k k

b a

n h n

h

error square

least b

a

N M

L

z h z

a z b z

H

2 0 1

0

.

1 1



 

























 



(39)

 

             

       

             

         

  n a h  n  a h  n  a h  n N  n M h

M n

b N

n h a n

h a n

h

k n δ n-k

M n

b n

b n b N

n h a n

h a n

h

n h n

y δ n

n x

M n

x b n

x b n x b N

n y a n

y a n

y

N M

n (n)

h

h(n) L-

U n

h

N

n N

M N

d













































,

...

1 1

0 ,

...

1 1

menjadi sebelumnya

persamaan maka

, untuk

kecuali 0

Karena

...

1 ...

1 1

. adalah

filter Respon

. adalah

filter input

Misal

...

1 ...

1 1

: didesain akan

yang filter

perbedaan Persamaan

berikut sebagai

dijelaskan dapat

ini Hal

. 0

untuk

dengan sama

akan n

kemungkina ada

, 1 atas

batas bila

Tetapi

linier.

non persamaan

set satu dari

solusi mencari

dengan dilakukan

E minimisasi karenanya

filter, parameter

dari linier non

fungsi adalah

umum, Secara

2 1

1 0

2 1

1 0

2 1



(40)

   

       

         

   

 

₁

1 1 1 0

1 1

1 adalah diinginkan

yang filter

sistem Fungsi

2 n 3 1

diinginkan yang

impuls respon

dengan filter

untuk Pade

i aproksimas metoda

n menggunaka dijital

filter Desain

Contoh

0 ,

...

1 1

persamaan dari

diperoleh filter

Parameter 3.

,

...

1 1

persamaan dari

diperoleh filter

Parameter 2.

Set

1. berikut;

sebagai Pade

i aproksimas prosedur

n menggunaka desain

Teknik





 

 

 



 















z a

z b z b

H z H

u n

h

M n

b N

n h a n

h a n

h

b

M n

N n h a n

h a n

h

a (n) h n

h

n d

n N

k

N k

d

(41)

   

       

         

       

   

       

   

       

   

1 1

1

1 0

1

1 1

1

1 0

1

0 0

0 1

1 0

1 1

2 1 1 adalah 3

desain hasil

filter sistem

Fungsi

2 0 1

1 2

, 2 Untuk

0 2 3

0 3 1

0 1

, 1 Untuk

3 0

0 3 1

0 1

0 , 0 Untuk

4 2 3

2 , 1 3 , 3 0 2 n

3 1

1 1

0 ,

1 . 1 1

ini soal Pada

Solusi



















































 



 



 

















z z

H z

H

a h

b b

h a h

n

b b

a b

h a h

b b

h a h

n

b b

h

b b

b h

a h

n

h h

h u

n h

n b n b n

h a n

h

M n

b n

h a n

h

, N M

d d

d n

d

n



(42)

     

   

1 1

1 0

1

1 0

1

2 1 1 adalah 3

desain hasil

filter sistem

Fungsi 2 1 0

3 0 1

2 3 4 3 2 3

3 0

3 0 1

1 2

0 1

0 0

berikut sebagai

dituliskan dapat

persamaan matriks

bentuk Dalam

Solusi

 























 



 

































 



 





















z z

H z

H a

b b

b b a

b b h a

h

h h

h

(43)

2. Metoda desain Least Squares

 

   

   

 

  ^dan   ^.

filter parameter

terhadap E

. kuadrat kesalahan

n penjumlaha minimisasi

dilakukan akan

, Misal

. kriteria

n menggunaka dengan

Misal

kesalahan.

kriteria

si meminimisa untuk

ditentukan dapat

ini Koefisien dan

koefisien yaitu

filter, parameter

memiliki ini

Filter

U

0 n

k k

d k k

k

k k N

k

k k M

k

k k

b a

n h n

h

error square

least b

a

N M

L

z h z

a z b z

H

2

0 1

0

.

1 1



 

























 



(44)

Desain Filter Respon Impuls TakTerbatas (Infinite Impulse Response/IIR)