AMPLIFIKASI AMPLITUDO ELEVASI PADA PERAMBATAN GELOMBANG PERMUKAAN BERTIPE BENJAMIN FEIR

PROGRAM DPA-SKPD

LAPORAN PENELITIAN

PENGEMBANGAN KARYA ILMIAH

AMPLIFIKASI AMPLITUDO ELEVASI PADA PERAMBATAN

GELOMBANG PERMUKAAN BERTIPE BENJAMIN FEIR

Oleh:

Ichsan Setiawan, M.Si

Marwan, M.Si

Dibiayai oleh Pemerintah Nanggroe Aceh Darussalam, sesuai dengan DPA

SKPD Nomor : 1.01.01/01/DPA-SKPD/2007 Tanggal 21 Juni 2007

JURUSAN ILMU KELAUTAN

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SYIAH KUALA

HALAMAN PENGESAHAN

1. Judul Penelitian

: Amplifikasi Amplitudo Elevasi pada Perambatan

Gelombang Permukaan Bertipe Benjamin-Feir

2. Bidang Ilmu Penelitian

: Kelautan

3. Ketua Peneliti

a. Nama Lengkap

: Ichsan Setiawan, M.Si

b. Jenis Kelamin

: Laki-laki

c. NIP

: 132 318 928

d. Pangkat/Golongan

: Penata Muda Tk.I/III-b

e. Jabatan

: Asisten Ahli

f. Fakultas / Jurusan

: MIPA / Ilmu Kelautan

4. Jumlah Tim Peneliti

: 2 orang

5. Lokasi Penelitian

: Darussalam – Banda Aceh

6. Bila penelitian ini merupakan kerjasama kelembagaan

a. Nama Instansi

: --

b. Alamat

: --

7. Waktu Penelitian

: 5 (lima) bulan

8. Biaya

: Rp. 7.500.000,-

Banda Aceh, 20 November 2007

Mengetahui:

Ketua Peneliti,

Dekan Fakultas MIPA,

Dr. Mustanir, M.Sc

Ichsan Setiawan, M.Si

NIP. 132 059 312

NIP. 132 318 928

Menyetujui:

a.n. Ketua Lembaga Penelitian

Sekretaris,

RINGKASAN

Amplifikasi Amplitudo Elevasi pada Perambatan

Gelombang Permukaan Bertipe Benjamin-Feir

Persamaan Non Linear Schrodinger (NLS) digunakan untuk memodelkan perambatan gelombang di permukaan. Analisa gelombang dari NLS yang dilinearkan memperlihatkan bahwa solusi harmoniknya dengan amplitudo yang cukup kecil cenderung meningkat secara eksponensial. Peningkatan ini secara detil diamati dengan menggunakan solusi eksak dari persamaan NLS yang dinamakan Soliton on Finite Background (SFB). Sebagai hasil utama, ditemukan suatu interval ketidakstabilan kenaikan amplitudo maksimum dapat meningkat tiga kali dari amplitudo awalnya.

SUMMARY

The Amplitude Amplification of Benjamin-Feir

Surface Wave Elevation

In this paper, the non linear schrodinger equations (NLS) is described to model the surface wave propagation. Analysis from linearized model showed the harmonic solution of the equation with small amplitude grows exponentially. This growth is investigated using the exact solution of NLS equation which is called Soliton on Finite Background (SFB). In this research we found that interval instability of amplitude increases up to three times from its initial amplitude.

PRAKATA

Bismillahirrahmanirrahim.

Syukur Alhamdulillah penulis ucapkan kepada Allah S.W.T yang telah memberikan rahmat dan ridha-Nya sehingga laporan penelitian pengembangan karya ilmiah berjudul ”

Amplifikasi Amplitudo Elevasi Pada Perambatan Gelombang Permukaan Bertipe

Benjamin-Feir

” ini dapat diselesaikan. Ucapan salawat dan salam kami sampaikan kepada Nabi Muhammad SAW yang telah memotivasi umatnya untuk terus menuntut ilmu pengetahuan dan menyebarkannya kepada umat manusia.

Hasil penelitian ini diharapkan dapat bermanfaat bagi peneliti dan pembaca, yang nantinya dapat memberikan konstribusi mengenai kajian gelombang untuk penelitian selanjutnya.

Ucapan terima kasih kami sampaikan kepada Pemerintah Daerah Nanggroe Aceh Darussalam dengan Nomor Kontrak: 1.01.01/01/DPA-SKPD/2007, Tanggal 21 Juni 2007 yang telah membiayai keberlangsungan penelitian ini. Ucapan terima kasih juga kepada pihak Jurusan Ilmu Kelautan, Jurusan Matematika dan Fakultas MIPA Universitas Syiah Kuala yang telah menyediakan fasilitas sarana dan kelengkapan instrumentasi penelitian sehingga penelitian ini dapat terlaksana dengan baik.

Tentu saja penyusunan laporan ini tak luput dari kesalahan, baik kesalahan pengetikan maupun kesalahan lainnya. Untuk kesempurnaan laporan penelitian ini, saran dan kritik yang membangun sangat kami harapkan.

Akhir kata, semoga laporan penelitian ini dapat bermanfaat.

Banda Aceh, 20 November 2007

Peneliti

DAFTAR ISI

HALAMAN PENGESAHAN ………. i

A. LAPORAN HASIL PENELITIAN RINGKASAN DAN SUMMARY ... ii

PRAKATA ... iv

DAFTAR ISI ... v

DAFTAR GAMBAR ... vi

DAFTAR LAMPIRAN ... vii

BAB I PENDAHULUAN ... 1

BAB II TINJAUAN PUSTAKA ……… 4

2.1 Teori Linear ……… 5

2.2 Teori Non Linear ………... 6

BAB III TUJUAN DAN MANFAAT PENELITIAN ... 7

3.1 Tujuan Penelitian ……….. 7

3.2 Manfaat Penelitian ……… 7

BAB IV METODE PENELITIAN ……….. 8

BAB V HASIL DAN PEMBAHASAN ………. 11

BAB VI KESIMPULAN DAN SARAN ... 14

6.1 Kesimpulan ………... 14

6.2 Saran ………. 14

DAFTAR PUSTAKA ………. 15

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1 Gelombang ekstrim menubruk kapal dan anjungan lepas pantai... 2

Gambar 4.1 Bagan skematik model persamaan lengkap ... 8

Gambar 4.2 Rata-rata kenaikan σ _{sebagai fungsi dari}

κ

_untuk

₁

0

=

β

=

γ

=

r

... 10

Gambar 5.1 Plot |

ψ

| sebagai fungsi dari ξ dan τ untuk

κ

=

1

... 11

Gambar 5.2 Plot amplitudo maksimum

ψ

(

ξ

=0,

τ

=0,

κ

) sebagai fungsi dari

κ

. 12

Gambar 5.3 Relasi dispersi

Ω

dan pendekatan kuadratnya, rata-rata kenaikan

σ

dan amplitudo maksimum

ψ

sebagai fungsi bilangan gelombang (Dalam kasus ini

k

k

=

2

π

) ………..

DAFTAR LAMPIRAN

LAMPIRAN I Personalia Penelitian ... 17

BAB I. PENDAHULUAN

Kegiatan yang berkaitan dengan kelautan, seperti perkapalan, pertambangan minyak dan gas bumi lepas pantai, penangkapan ikan dan sebagainya memerlukan pengetahuan yang baik tentang laut. Perkapalan dan pembangunan lepas pantai membutuhkan pengetahuan yang setepat mungkin tentang perilaku gelombang. Kapal dan bangunan lepas pantai itu harus siap menghadapi situasi terburuk yang dapat diakibatkan oleh gelombang. Untuk mengantisipasi kemungkinan terburuk yang akan dihadapi suatu benda terapung, terlebih dahulu model benda terapung tersebut diuji selama pembuatan benda terapung dilaksanakan. Pengujian dilakukan dengan menghadapkan model benda terapung tersebut pada situasi terburuk yang dapat disimulasikan di kolam pengujian. Untuk itu, di kolam pengujian tersebut dibangkitkan gelombang ekstrim.

Pembangkitan gelombang yang benar dan efisien, baik satu maupun multi arah pada laboratorium hidrodinamika, masih merupakan permasalahan yang tidak mudah. Sering sekali dilakukan pembangkitan gelombang dilakukan dengan upaya coba-coba salah. Metode ini tentu saja membutuhkan energi dan dana yang yang cukup besar. Menyimak dan memahami persoalan pembangkitan gelombang, matematika yang dikombinasikan dengan dinamika fluida mampu memformulasikan permasalahannya dengan suatu

model matematis pembangkitan gelombang. Bergantung pada asumsi fisis yang digunakan, model ini dapat berupa model sederhana maupun model yang memiliki kompleksitas tinggi.

gelombang ini. Ini menunjukkan keberadaan gelombang ekstrim cukup berbahaya bagi kapal maupun anjungan lepas pantai lainnya yang kebetulan berada di sekitar gelombang ekstrim. Mengingat dampak yang ditimbulkan oleh gelombang ini, fenomena tentang terjadinya gelombang ekstrim merupakan hal yang menarik untuk dikaji. Khususnya, yang berkaitan dengan parameter yang menyebabkan terjadinya gelombang ekstrim. Parameter ini cukup penting untuk diketahui agar pembangkitan gelombang ekstrim di laboratorium hidrodinamika dapat dilakukan secara efesien.

Gambar 1.1 Gelombang ekstrim menubruk kapal (kiri) dan anjungan lepas pantai (kanan)

Tawaran secara kompetitif melalui Lembaga Penelitian Unsyiah memberi peluang bagi staf pengajar untuk dapat mengembangkan ide-ide yang inovatif dalam bidang MIPA. Harapan peneliti melakukan penelitian dengan judul “Amplifikasi Amplitudo Elevasi pada Perambatan Gelombang Permukaan Bertipe Benjamin Feir” ini akan memberikan informasi yang akurat, valid, reliable, dan matematis. Dengan demikian, hasil penelitian ini dapat bermanfaat bagi para teknisi di industri pelayaran dan perkapalan pada khususnya dan ilmuwan pada umumnya dalam menggali pengetahuan tentang fenomena gelombang ekstrim dalam rangka meningkatkan keselamatan dan kenyamanan masyarakat pengguna jasa transportasi laut. Selain itu, diharapkan pula hasil penelitian ini dapat memberikan kontribusi terhadap pengembangan ilmu pengetahuan dan teknologi.

untuk gelombang permukaan bertipe Benjamin-Feir. Parameter yang terkait dengan ketidakstabilan gelombang akan dikaji. Selanjutnya bagaimana pengaruh parameter tersebut terhadap amplifikasi amplitudo elevasi gelombang akan ditelaah secara lebih mendalam.

BAB II. TINJAUAN PUSTAKA

Fenomena gelombang sangat kompleks. Ada kalanya secara tiba-tiba muncul gelombang dengan elevasi dan kecuraman yang sangat tinggi di suatu perairan yang relatif tenang. Gelombang ini disebut sebagai gelombang ekstrim yang kerap kali juga dinamakan gelombang misterius freak wave atau gelombang raksasa giant wave. Dean (1990) dan Kjeldsen (1984) menyebutkan bahwa suatu gelombang dikategorikan sebagai gelombang ekstrim jika tingginya melebihi 2,2 kali tinggi gelombang rata-rata. Gelombang jenis ini sangat jarang terjadi, akan tetapi dampaknya dapat menimbulkan kerusakan yang cukup parah bagi kapal, bangunan lepas pantai maupun benda lainnya yang berada di sekitar gelombang ini (lihat Earle (1975), Mori, dkk (2002), Divinsky dan Levin (2004), Truslen dan Dysthe (1997), dan Smith (1976)).

Penelitian tentang gelombang ekstrim dalam bentuk grup gelombang telah banyak dilakukan, misalnya seperti yang dilakukan oleh Longuet dan Higgins (1984), Philips, dkk (1993), Donelan dan Hui (1990), Orsbone, dkk (2000,2001), dan Onorato, dkk (2001,2002). Henderson, dkk (1999) dan Dysthe (1979) menyatakan bahwa dinamika gelombang jenis ini berkaitan dengan fenomena yang diawali dengan terjadinya lembah gelombang yang sangat dalam. Fenomena tersebut dikenal sebagai fenomena hole in the sea. Kemudian, di sekitar lembah tersebut secara tiba-tiba muncul suatu gelombang yang sangat curam dengan amplitudo yang sangat tinggi, seolah-olah membentuk dinding air. Fenomena seperti ini dinamakan self focussing, yaitu sentralisasi energi gelombang pada suatu kawasan yang cukup sempit akibat ketaklinearan medium air. Lighthill (1965) mengemukakan bahwa keberadaan self focussing ini berkaitan dengan teori ketakstabilan gelombang, yang dikenal sebagai ketakstabilan Benjamin-Feir. Selanjutnya teori tersebut dikembangkan oleh Benjamin dan Feir (1967) dan Zakharov (1967). Dari pengembangan teori tersebut, Benjamin dan Feir berkesimpulan bahwa ketakstabilan akan terjadi jika panjang gelombang yang memodulasi gelombang monokromatik terletak dalam suatu selang tertentu. Selang ini dikenal sebagai selang ketakstabilan Benjamin-Feir.

Selain itu, ketika amplitudo membesar sebagai efek ketaklinearan penting untuk dipahami. Tujuan penelitian ini adalah mendapatkan amplitudo maksimum gelombang bertipe Benjamin-Feir. Di samping itu, dikaji pula ketergantungan kenaikan amplitudo maksimum ini terhadap parameter kenaikan dari ketidakstabilan Benjamin-Feir.

2.1 Teori Linear

Dalam teori gelombang linear, analisa gelombang dapat dibatasi pada elevasi di

permukaan yang berbentuk (kompleks sekawan), dengan

amplitudo, bilangan gelombang dan

cc

k

ω

frekuensi. Untuk gelombang permukaan air di atas kedalaman konstan , parameter dan

h

k

ω

direlasikan oleh relasi dispersi linear yang dituliskan dalam bentuk4,

kh gktanh 2 ₌

ω

, (2.1)

dengan g percepatan gravitasi. Relasi dispersi ini dapat juga dituliskan dalam bentuk

k

Karena sistem gelombang linear memiliki solusi dasar dalam bentuk , maka untuk memudahkan penulisan solusi umum dari permasalahan nilai awal sebagai komponen integral Fourier

)

sebagai ekspansi Taylor di sekitar bilangan gelombang dan menghilangkan suku

, memberikan

persamaan (3) dapat juga dituliskan sebagai

0

Ini adalah persamaan LS untuk spektrum yang cukup sempit. Persamaan (2.6) adalah persamaan diferensial parsial yang mendeskripsikan evolusi waktu dari selubung paket

gelombang linear. Persamaan (2.6) memiliki solusi monokromatik

ψ

(

ξ

,

τ

)=ei(κx−νt)

dengan

ν

=

βκ

2.

2.2 Teori Non Linear

Dengan asumsi spektrum yang cukup sempit, elevasi gelombang dapat dituliskan dalam

bentuk

η

₍x_,t₎=

ψ

₍

ξ

_,

τ

₎ei(k0x−ω0t) +cc, dengan

τ

=

_t

_dan

_x

_'

₍

_k

₎

_t

0

Ω

ξ

=

−

. Evolusi

elevasi gelombang merupakan deformasi tak linear lemah dari suatu gelombang dengan

bilangan gelombang yang tetap

k

₀. Jika

η

disubstitusikan ke dalam persamaan yang

menggambarkan gerakan fisik dari gelombang air, maka diperoleh satu amplitudo

) , (

ξ

τ

ψ

yang memenuhi persamaan NLS. Sebagai contoh, persamaan NLS dapat

diturunkan dari persamaan KdV

η

₊

Ω

(

₋

_∂

)

η

₊

₄3

_∂

2

η

₌

0

x x

t

i

i

2

. Persamaan ini

berkorespondensi dengan persamaan NLS

ℜ

Koefisien

β

dan

γ

dalam tulisan ini memiliki tanda yang berbeda dari koefisien dalam

(Groesen, 1998). Untuk selanjutnya, tulisan ini hanya terpusat pada persamaan NLSD

focusing. Persamaan (2.7) memiliki suatu solusi plane wave . Secara

fisik, elevasi gelombang permukaan diberikan sebagai .

BAB III. TUJUAN DAN MANFAAT PENELITIAN

3.1 Tujuan Penelitian

Secara umum tujuan penelitian ini adalah untuk mempelajari dan memahami bagaimana profil gelombang permukaan selama perambatannya. Secara khusus permasalahan yang akan dijawab dalam penelitian ini diuraikan melalui beberapa pertanyaan berikut ini. Bagaiamana gelombang ekstrim bisa terjadi? Adakah suatu besaran yang menyebabkan terjadinya gelombang ekstrim ? Jika ada, bagaimana karakteristiknya ? Bagaimana pula peranan besaran tersebut terhadap peningkatan elevasi gelombang selama perambatannya ?

3.2 Manfaat Penelitian

Penelitian ini bermanfaat:

1. Memberikan informasi yang lebih efektif dan efisien tentang fenomena gelombang ekstrim.

2. Dapat digunakan untuk mengetahui faktor penyebab terjadinya gelombang ekstrim.

BAB IV. METODE PENELITIAN

Persamaan non-linear lengkap tiga dimensi yang melibatkan kedalaman air untuk mensimulasikan gerak gelombang pada dasarnya telah dikenal. Persamaan ini terdiri dari persamaan Laplace untuk potensial kecepatan di daerah interior di bawah permukaan air dan syarat batas bebas berupa syarat batas kinematik dan dinamik pada permukaan bebas dan syarat batas kinematik pada dasar bergerak. Secara teoritik penggunaan persamaan lengkap untuk melihat efek parameter suatu model sukar untuk ditelaah. Lebih dari itu, model numerik yang didasarkan pada persamaan ini kurang efesien. Oleh karena itu, gerak gelombang permukaan sering sekali dikaji melalui persamaan yang lebih sederhana.

Sya ra t Ba ta s d i Ke ja uha n

Sya ra t Ba ta s Pe rmuka a n Be b a s : Sya ra t Ba ta s Kine ma tik d a n

Dina mik _{Pa nta i}

Pe rsa ma a n

La p la c e :

∆Φ =

0

Sya ra t Ba ta s d i Da sa r

Gambar 4.1. Bagan skematik model persamaan lengkap

Persamaan yang lebih sederhana untuk memahami ketaklinearan gelombang air telah banyak ditemukan. Salah satunya adalah persamaan Boussinesq yang ditemukan pada tahun 1872. Persamaan ini memodelkan perambatan gelombang di permukaan yang merambat dalam dua arah. Kemudian pada tahun 1895, Korteweg de Vries, melalui proses uni-directionalisation, menurunkan persamaan elevasi gelombang permukaan yang cukup rendah dan cukup panjang. Elevasi gelombang permukaan tersebut, pada suatu lapisan air dengan dasar rata sedalam h, yang merambat satu arah, telah diperbaiki oleh van Groesen pada tahun 1998 menjadi persamaan berikut:

0

4

3

)

(

−

∂

+

∂

2

=

Ω

+

dengan menyatakan relasi dispersi yang mengaitkan frekuensi dan bilangan

gelombang , sedangkan

)

(

k

Ω

k

η

adalah elevasi gelombang di permukaan. Persamaan KdV

(4.1) berkorespondensi dengan persamaan NLS

ℜ

Untuk menyelidiki ketidakstabilan dari solusi plane wave persamaan NLS dilakukan perturbasi

ξ

fungsi bebas

A

(

τ

)

dengan perturbasi kecil yang berbentuk

)

Dengan mensubstitusikan (4.3) ke dalam (4.2) dan membuang suku tak linear diperoleh persamaan berikut

Selanjutnya solusi persamaan (9) dituliskan

κξ

solusi perturbasi persamaan NLS meningkat secara eksponensial. Kriteria ini yang dinamakan dengan ketidakstabilan Benjamin-Feir4. Kondisi ini memberikan fakta bahwa

BAB V. HASIL DAN PEMBAHASAN

Pada bagian ini akan dipaparkan keterkaitan antara amplitudo maksimum dari solusi awal persamaan NLS dengan bilangan gelombang modulasi κ dalam interval ketidakstabilan. Untuk memudahkan, dalam hal ini dipilih

r

₀

=

β

=

γ

=

1

. Dengan

demikian, salah satu solusi eksak persamaan NLS yang dikenal sebagai Soliton on Finite Background (SFB) dapat dituliskan sebagai1,

Gambar 5.2. Plot amplitudo maksimum

ψ

(

ξ

=0,

τ

=0,

κ

) sebagai fungsi dari κ.

Dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa amplitudo akan mencapai maksimum pada

0

Untuk κ yang cukup kecil diperoleh bahwa

3

Dengan demikian, faktor amplifikasi kenaikan amplitudo maksimum dinyatakan sebagai

3

Hal ini sesuai dengan hasil kajian dalam Karjanto12 untuk permasalahan optik. Pada kasus ini yang bersangkutan menggunakan persamaan NLS temporal dan diselesaikan dengan menggunakan metode yang sama dengan penelitian ini.

Gambar 5.2 menyajikan grafik amplitudo maksimum

|

ψ

|

_max sebagai fungsi dari κ.

kuadratnya, rata-rata kenaikan

σ

dan amplitudo maksimum ψ sebagai fungsi bilangan

gelombang .

k

Gambar 5.3 Relasi dispersi

Ω

dan pendekatan kuadratnya, rata-rata kenaikan

σ

dan amplitudo maksimum ψ sebagai fungsi bilangan gelombang (Dalam

kasus ini

k

π

2

=

BAB VI. KESIMPULAN DAN SARAN

6.1. Kesimpulan

Dalam penelitian ini telah dimodelkan perambatan gelombang permukaan air dengan menggunakan persamaan NLS. Analisa yang dilakukan terhadap persamaan LS menunjukkan bahwa solusinya meningkat secara eksponensial. Solusi eksak persamaan NLS yang dikenal sebagai SFB merupakan ekstensi tak linear dari ketidakstabilan Benjamin-Feir. Dengan menggunakan formula ini diperoleh bahwa amplitudo maksimum akan terjadi apabila bilangan gelombang modulasi terletak dalam interval ketidakstabilan tersebut. Hasil utama penelitian ini adalah bahwa faktor amplifikasi kenaikan amplitudo maksimum gelombang ini adalah 3.

6.2. Saran

DAFTAR PUSTAKA

1. NN. Akhmediev dan A. Ankiewicz, (1997), “Solitons-Nonlinear Pulses and Beams”, Chapmann & Hall.

2. E. Cahyono, (2002), “Analytical Wave Codes for Predicting Surface Waves in a Laboratory Basin”, Ph.D Theses, Fac. of Mathematical Sciences Univ. of Twente, The Netherlands.

3. E. van Groesen, (1998), ”Wave Groups in Uni-directional Surface Wave Models”, Journal of Engineering Mathematics, 34, 215-226.

4. L. Debnath, (1994), “Non-linear Water Waves”, Academic press Inc., Boston.

5. Marwan dan Andonowati, (2003), “Perubahan bentuk pada perambatan signal bikromatik dan pengaruhnya terhadap amplitudo maksimum”, JMS FMIPA ITB, Vol. 8 No. 2, 81-87.

6. Andonowati, Marwan dan E. van Groesen (2003), “Maximal Temporal Amplitude of generated wave group with two or three frequencies”, Proc. of 2nd ICPMR & DT, Singapore, Vol. 2, 111-116.

7. Marwan, (2005), “Maximal Temporal Amplitude of Tri-Chromatic Signals”, Proc. of Regional Conference on Mathematics, Statistics and Their Applications, USU Medan 8. Marwan, Andonowati dan N. Karjanto, (2006), “Maximum Temporal Amplitude and

Designs of experiments for Generation of Extreme Waves”, Proc. of the Eleventh Asian Congress of Fluid Mechanics, Kuala Lumpur, Malaysia

9. Marwan, T. Nusantara dan Andonowati, (2006), “Spatial Evolution of Multi directional Surface Gravity Waves Based on Third Order Solution of KP Equation”, Journal of Indonesian Mathematical Society, vol. 12 no. 2, 211-224.

10. Marwan, (2006), “Gelombang Permukaan Satu dan Multi Arah, Teori, Numerik dan Aplikasinya Pada Pembangkitan Gelombang Ekstrim”, Disertasi S3 ITB, Bandung. 11. T.B. Benjamin and J.E. Feir, The disintegration of wave trains on deep water. Part 1.

Theory, J. Fluid Mech., 27, 417, 1967.

12. N. Karjanto, E. van Groesen and P. Peterson : Investigation of the Maximum Amplitude Increase from the Benjamin-Feir Instability, Journal of Indonesian Mathematical Society, 8, 39-47, 2002

13. K.L. Henderson, D.H. Peregrine and J.W. Dold, Unsteady water wave modulation: fully nonlinear solutions and comparison with the nonlinear Schroedinger equation, Wave Motion, 341, 1999.

14. R.J. Rapp and W.K. Melville, “Laboratory measurements of deep water breaking waves, Philos. Trans. Roy. Soc. London”, A331,735 - 800, 1990.

15. J.H.L. Kway, Y.S. Loh and E.S. Chan, Laboratory study of deep water breaking waves, Ocean Eng., 25, 657 - 676, 1998.

16. Graham, D. I., James, P.W., Jones, T. E. R., Davies, J. M., and Delo, E. A., “Measurement and Prediction of Surface Shear Stress in Annular Flume”, ASCE J. Hydr. Engr., 118(9):1270-1286, 1992.

17. Gailani, J., Ziegler, C. K., and Lick, W., “The transport of sediments in the Fox River”, J. Great Lakes Res., 17: 479-494, 1991.

18. Tsai, C. H., and Lick, W., “Resuspension of sediments from Long Island Sound”, Wat. Sci. Tech., 21(6/7):155-184, 1987.

20. J.H. Westhuis, E. van Groesen and R.H.M. Huijsmans: Experiments and Numerics of Bichromatic Wave Groups, J. Waterway, Port, Coastal and Ocean Engineering 127, 334-342, 2001

21. M. Onorato, A.R. Osborne, M. Serio and S. Bertone, Freak waves in random oceanic sea states, Phys. Rev. Lett, 86, 5831, 2001.

22. R.G. Dean, Water wave kinematics Kluwer, Amsterdam, 1990, pp. 609-612

23. Agnon, Y., Madsen, P.A. & Schäffer, H.A. 1999. A new approach to high-order Boussinesq models. J. Fluid Mech. 399, 319–333.

24. Broer, L.J.F., van Groesen, E.W.C. & Timmers, J.M.W. 1976. Stable model equations for long water waves. Appl. Sci. Res. 32 (6), 619–636.

25. Davis, R. A., (eds.), “Coastal Sedimentary Environments”, Springer-Verlag New York Inc., 1985.

LAMPIRAN I

PERSONALIA PENELITIAN

1. Ketua Peneliti

a. Nama

: Ichsan Setiawan, M.Si

b. Golongan Pangkat & NIP

: III-b/Penata Muda Tk.I/132318928

c. Jabatan Fungsional

: Asisten Ahli

d. Jabatan Struktural

: -

e. Fakultas / Jurusan

: MIPA/Ilmu Kelautan

f. Perguruan Tinggi

: Universitas Syiah Kuala

g. Bidang Keahlian

: Oseanografi dan Sains Atmosfir

h. Waktu untuk Penelitian ini

: 48 jam/minggu

2. Anggota Peneliti

a.

Nama

:

Marwan,

M.Si

b. Golongan Pangkat & NIP

: III-b/Penata Muda Tk.I/

132240094

c. Jabatan Fungsional

: Asisten Ahli

d. Jabatan Struktural

: -

e. Fakultas / Jurusan

: MIPA/Matematika

f. Perguruan Tinggi

: Universitas Syiah Kuala

g. Bidang Keahlian

: Matematika Terapan (Dinamika Fluida)

LAMPIRAN II

BIODATA PENELITI

Ketua Peneliti

Nama Lengkap : Ichsan Setiawan, M.Si

NIP : 132 318 928

Tempat/Tanggal Lahir : Bireuen, 7 Juni 1978 Jenis Kelamin : Laki-laki

Bidang Keahlian : Osenaografi fisis

Kantor/Unit Kerja : Universitas Syiah Kuala/Jurusan Ilmu Kelautan FMIPA Alamat Kantor : Jurusan Ilmu Kelautan FMIPA, Univ. Syiah Kuala

Darussalam Banda Aceh Kode Pos: 23111

Alamat Rumah : Jl. Elang, Lr. Merpati No.62 Kelurahan Ateuk Pahlawan Banda Aceh

Riwayat Pendidikan

‰ Magister Sains, Institut Teknologi Bandung, Indonesia, 2005

Tesis : Pemodelan numerik transport sedimen akibat arus yang dibangkitkan oleh Gelombang di Perairan Pantai Pulau Baai Bengkulu

‰ Sarjana Fisika, Universitas Syiah Kuala, Banda Aceh, Indonesia, 2000 Skripsi : Pengaruh gesekan dasar laut terhadap perubahan pola posisi

Amphidromie pasang surut dan arus pasang surut (tidal currents) di North Sea dan Perairan Indonesia untuk komponen M2

Pengalaman Riset

‰ BRR NAD dan NIAS, 2006

Judul : Perbedaan Media Pemeliharaan Dan Strategi Pemberian Pakan Terhadap Pertumbuhan, Kelangsungan Hidup Dan Kualitas Kepiting Bakau (Scylla Serrata) Di Tambak

Posisi : Anggota Peneliti

SEMINAR dan KONFERENSI

ƒ Peserta Pertemuan Ilmiah I Ahli Oseanografi Fisika, April 2003

ƒ Peserta Symposium On Coastal Zone Management (Kerjasama ITB dengan University of Twente, Juli 2003)

ƒ Peserta Seminar on AktiveGeosphere : “Numerical Modeling for Climate Prediction” (Kerjasama Kyoto University Active Geosphere Investigations, April 2004)

ƒ Peserta Seminar Pelajaran dari Bencana Tsunami Aceh 2004

Publikasi

Ichsan Setiawan, Totok Suprijo, Dadang K. Mihardja, (2006), ”Pemodelan Transport Sedimen Akibat Arus Yang Dibangkitkan Oleh Gelombang di Perairan Pulau Baai, Bengkulu ”, Jurnal Geoaplika Geologi Terapan FIKTM-ITB.

Ichsan Setiawan, Edy Miswar, (2006), ”Simulasi Penjalaran Gelombang di Perairan Pantai Pulau Baai Bengkulu”, Jurnal Natural FMIPA Unsyiah.

Banda Aceh, 20 Februari 2007 Ketua Peneliti,

Anggota Peneliti

Nama Lengkap : Marwan, M.Si

NIP : 132 240 094

Tempat/Tanggal Lahir : Tg. Pinang, 25 Nopember 1971 Jenis Kelamin : Laki-laki

Bidang Keahlian : Dinamika Fluida

Kantor/Unit Kerja : Univ. Syiah Kuala/ Jurusan Matematika FMIPA Alamat Kantor : Jurusan Matematika FMIPA, Univ. Syiah Kuala

Darussalam Banda Aceh, 23111

Alamat Rumah : Desa Lambada Kec. Ingin Jaya Aceh Besar

Riwayat Pendidikan

‰ Magister Matematika, Institut Teknologi Bandung, Indonesia, Agustus 1999 Tesis : Analisa Sistem Antrian Model MMc

‰ Sarjana Matematika, Universitas Syiah Kuala, Banda Aceh, Indonesia, November 1996

Skripsi : Penggunaan Transformasi Laplace pada Sistem Kontrol Otomotik

Pengalaman Penelitian

‰ RUTI I BPPT, 2002 -- 2004

Judul : On the Onset of Wave Breaking Posisi : Anggota Peneliti

‰ Hibah Bersaing DIKTI, 2001 -- 2003

Judul : Pengaruh arus pada dinamika benda terapung Posisi : Anggota Peneliti

‰ RUT IX BPPT, 2002 -- 2003

Judul : Pemantauan kondisi meteorologi melalui model dinamik atmospheric extinction:

Berdasarkan data jangka panjang pengamatan di Observatorium Bosccha Lembang.

Posisi : Anggota Peneliti

‰ EPAM Project, April -- Juni 2002

Posisi : Anggota Peneliti

‰ Domestic Collaborative Research Grant, URGE Project, 2000 -- 2001 Judul : The Verification of Three Dimensional Tidal Models through

Analytical Model in Rectangular Basin Posisi : Anggota Peneliti

Host : P2MS ITB

SEMINAR dan KONFERENSI

‰ Marwan, Linear Theory of Wavemaker. Case: Multi Directional Waves, 2nd Regional Conference on Mathematics, Statistics and Their Applications (RCMSA), USM Malaysia, 13-15 Juni 2006

‰ Marwan, Andonowati, N. Karjanto, Maximum Temporal Amplitude and Designs of experiments for Generation of Extreme Wave, The Eleventh Asian Congress of Fluid Mechanics, Kuala Lumpur, Malaysia, 22-25 May 2006

‰ Marwan, Non Linear Evolution of Multidirectional Waves Based on Third Order Solution of KP Equations. Part 1, One Day Seminar FMIPA 2005, University of Indonesia Jakarta, 25-26 November 2005

‰ Marwan, Predicting extreme locations of propagating waves from originally tri-chromatic signals through Maximal Temporal Amplitude (MTA), International Conference on Applied Mathematics (ICAM05), ITB Bandung, 22-26 August 2005

‰ Marwan, Linear Theory for the Single Flap of Wavemaker, Seminar Peer Group Jurusan Matematika FMIPA Unsyiah Banda Aceh, 18 Juni 2005

‰ Marwan, Maximal Temporal Amplitude (MTA) of Tri-Chromatic Signals, 1st Regional Conference on Mathematics, Statistics and Their Applications (IRCMSA), USU Medan, 13-15 Juni 2005,

‰ Marwan and Wuryansari MK, On the Deformation of Wave Group with Two Frequencies, Pertemuan Mahasiswa S3 Matematika Indonesia, UGM, Yogyakarta, 18 Desember 2004

‰ Marwan, Effects of Phase on Maximal Temporal Amplitude (MTA) of Tri-chromatic signal, Mathematics National Conference XII, Univ. Udayana Bali, 23-27 July 2004 ‰ Marwan, Effect of Phases on Maximum Amplitude of Bi-chromatics and

Tri-chromatics Signals, Lecturer Seminar Department of Mathematics ITB, 27 April 2004 ‰ Marwan and Andonowati, Wave deformation on the propagation of bi-chromatics signal and its effect to the maximum amplitude, Seminar MIPA III, ITB, 21-22 October 2002

‰ Andonowati, W.M. Kusumawinahyu, Marwan, Effect of Floating Body Moves on Waves Profile, Seminar MIPA ITB, 2002

‰ Marwan, Andonowati, M. Irham, Edy Soewono, Evolution of Waves Based on Second Order Analytical Code of Improved KdV and Boussinesq Equations, Seminar Ilmiah MIPA ITB, 2000

PUBLIKASI INTERNASIONAL _{(lima tahun terakhir)}

‰ Marwan, Linear Theory of Wavemaker. Case: Multi Directional Waves, to appear

‰ Marwan, The Comparison of Boussinessq and KdV equations for predicting extreme location and amplification of downstream propagation of waves. To appear

‰ Andonowati, Marwan and W.M. Kusumawinahyu, Effects of Phases on the Maximal Temporal Amplitude of Down Stream Running Non Linear Water Waves, submitted to The Anziam Journal

‰ Marwan, Toto Nusantara, Andonowati, Spatial Evolution of Multidirectional Waves Based on Third Order Solution of KP Equations, Journal of Indonesian Mathematical Society, vol. 12 no. 2, 211-224, (2006).

‰ Marwan, Andonowati, N. Karjanto, Maximum Temporal Amplitude and Designs of experiments for Generation of Extreme Waves, Proc. of the Eleventh Asian Congress of Fluid Mechanics, Kuala Lumpur, Malaysia, 978-983 (2006)

‰ Marwan, Maximal Temporal Amplitude of Tri-Chromatic Signals, Proc. of Regional Conference on Mathematics, Statistics and Their Applications, USU Medan (2005)

‰ Andonowati, Marwan, W.M. Kusumawinahyu, Extreme wave generation in hydrodynamic laboratory, submitted to Proc. of Open Science Meeting (2004)

‰ Andonowati, Marwan, E. van Groesen, Maximal Temporal Amplitude of generated wave group with two or three frequencies, Proc. of 2nd ICPMR&DT, Singapore, v2, 111-116 (2003)

PUBLIKASI NASIONAL _{(lima tahun terakhir)}

‰ Marwan, Linear Wave Maker Theory for Single Flap, accepted to publish in Natural Journal, FMIPA Unsyiah, 2006

‰ Marwan, Dispersion Relation of Kelvin Helmholtz, Majalah Ilmiah BERSAMA, 10 No. 2 (2006)

‰ Marwan, Non Linear Evolution of Multidirectional Waves Based on Third Order Solution of KP Equations. Part 1, Proc. of One Day Seminar MIPA, Univ. Indonesia, Jakarta, (2005)

‰ Marwan and Andonowati, Wave deformation on the propagation of bi-chromatics signal and its effect to the maximum amplitude, JMS FMIPA ITB, vol. 8 no. 2: 81--87 (2003)

‰ Marwan, Correcting of Dispersion Relation to Prevent Resonances, Jurnal Natural, FMIPA UNSYIAH (2003)

‰ M. Irham, Marwan, Andonowati, Effect of bottom stress on run-up of waves, Proc. ITB, vol 34, no.1 47-60 (2002)

Banda Aceh, Maret 2007 Ketua Peneliti,

PROGRAM DPA-SKPD

ARTIKEL PENELITIAN

PENGEMBANGAN KARYA ILMIAH

AMPLIFIKASI AMPLITUDO ELEVASI PADA PERAMBATAN

GELOMBANG PERMUKAAN BERTIPE BENJAMIN FEIR

Oleh:

Ichsan Setiawan, M.Si

Marwan, M.Si

Dibiayai oleh Pemerintah Nanggroe Aceh Darussalam, sesuai dengan DPA

SKPD Nomor : 1.01.01/01/DPA-SKPD/2007 Tanggal 21 Juni 2007

JURUSAN ILMU KELAUTAN

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SYIAH KUALA

Amplifikasi Amplitudo Elevasi pada Perambatan

Gelombang Permukaan Bertipe Benjamin-Feir

The Amplitude Amplification of Benjamin-Feir

Surface Wave Elevation

Ichsan Setiawan

1

dan Marwan

2

1

_{Jurusan Ilmu Kelautan FMIPA Unsyiah}

2

Jurusan Matematika FMIPA Unsyiah

ABSTRAK

Persamaan

Non Linear Schrodinger

(NLS) digunakan untuk memodelkan perambatan

gelombang di permukaan. Analisa gelombang dari NLS yang dilinearkan

memperlihatkan bahwa solusi harmoniknya dengan amplitudo yang cukup kecil

cenderung meningkat secara eksponensial. Peningkatan ini secara detil diamati dengan

menggunakan solusi eksak dari persamaan NLS yang dinamakan

Soliton on Finite

Background

(SFB). Sebagai hasil utama, ditemukan suatu interval ketidakstabilan

kenaikan amplitudo maksimum dapat meningkat tiga kali dari amplitudo awalnya.

Kata kunci

: persamaan NLS, ketidakstabilan Benjamin-Feir, SFB, kenaikan amplitudo

maksimum

ABSTRACT

In this paper, the non linear schrodinger equations (NLS) is described to model the

surface wave propagation. Analysis from linearized model showed the harmonic solution

of the equation with small amplitude grows exponentially. This growth is investigated

using the exact solution of NLS equation which is called

Soliton on Finite Background

(SFB). In this research we found that interval instability of amplitude increases up to

three times from its initial amplitude.

Keywords

:

NLS equation, Benjamin-Feir instability, SFB, maximum increasing of

PENDAHULUAN

Kegiatan ini merupakan bagian dari penyelidikan tentang gelombang besar dan sangat

curam sebagai gelombang ekstrim. Gelombang ekstrim di sini memiliki arti bahwa

gelombang dengan amplitudo sangat tinggi dan sangat curam yang tiba-tiba muncul pada

suatu lautan yang relatif tenang. Gelombang ini tentu saja sangat sukar diprediksi. Hal ini

tentu akan membahayakan benda terapung yang kebetetulan bertemu dengan gelombang.

Gelombang ekstrim dimodelkan dengan menggunakan model gelombang dispersif.

Dispersi menyebabkan gelombang dengan panjang gelombang yang berbeda yang akan

merambat dengan kecepatan yang berbeda pula. Diasumsikan bahwa gelombang yang

ditinjau di sini memiliki spektrum yang terlokalisasi di sekitar satu frekuensi.

Selanjutnya, selubung gelombang dideskripsikan oleh persamaan NLS

4

. Persamaan NLS

merupakan persamaan yang menggambarkan perubahan selubung dari paket gelombang.

Persamaan ini juga sering digunakan sebagai alat instrumentasi untuk memahami

fenomena gelombang tak linear yaitu perambatan paket gelombang satu arah yang

energinya dalam medium dispersi pada efek tak linear orde rendah

5

.

Dalam tulisan ini dipaparkan analisa selubung paket gelombang dengan menggunakan

teori linear dan tak linear. Teori linear memprediksi kenaikan amplitudo secara

eksponensial ketika kondisi awal memenuhi ketidakstabilan Benjamin-Feir

5

. Selain itu,

ketika amplitudo membesar sebagai efek ketaklinearan penting untuk dipahami. Tujuan

penelitian ini adalah mendapatkan amplitudo maksimum gelombang bertipe

Benjamin-Feir. Di samping itu, dikaji pula ketergantungan kenaikan amplitudo maksimum ini

terhadap parameter kenaikan dari ketidakstabilan Benjamin-Feir.

1.1

Teori Linear

Dalam teori gelombang linear, analisa gelombang dapat dibatasi pada elevasi di

permukaan yang berbentuk

(kompleks sekawan), dengan

amplitudo, bilangan gelombang dan

cc ae

t

x, )= i(kx− t) +

( ω

η

a

k

ω

frekuensi. Untuk gelombang permukaan air di

atas kedalaman konstan

h

, parameter dan

k

ω

direlasikan oleh relasi dispersi linear

kh gktanh 2 ₌

ω

,

(1)

dengan percepatan gravitasi. Relasi dispersi ini dapat juga dituliskan dalam bentuk

g

k

Karena sistem gelombang linear memiliki solusi dasar dalam bentuk

, maka

untuk memudahkan penulisan solusi umum dari permasalahan nilai awal sebagai

komponen integral Fourier

)

sebagai ekspansi Taylor di sekitar bilangan gelombang

dan menghilangkan suku

, memberikan

persamaan (3) dapat juga dituliskan sebagai

∫

∞

Ini adalah persamaan LS untuk spektrum yang cukup sempit. Persamaan (6) adalah

persamaan diferensial parsial yang mendeskripsikan evolusi waktu dari selubung paket

gelombang linear. Persamaan (6) memiliki solusi monokromatik

ψ

(

ξ

,

τ

)=ei(κx−νt)

1.2

Teori Tak Linear

Dengan asumsi spektrum yang cukup sempit, elevasi gelombang dapat dituliskan dalam

bentuk

η

₍x_,t₎=

ψ

₍

ξ

_,

τ

₎ei(k0x−ω0t) +cc

, dengan

τ

=

_t

_dan

_x

_'

₍

_k

₎

_t

0

Ω

ξ

=

−

. Evolusi

elevasi gelombang merupakan deformasi tak linear lemah dari suatu gelombang dengan

bilangan gelombang yang tetap

k

₀

. Jika

η

disubstitusikan ke dalam persamaan yang

menggambarkan gerakan fisik dari gelombang air, maka diperoleh satu amplitudo

) , (

ξ

τ

ψ

yang memenuhi persamaan NLS. Sebagai contoh, persamaan NLS dapat

diturunkan dari persamaan KdV

η

+

Ω

(

−

∂

)

η

+

₄3

∂

2

η

=

0

x x

t

i

i

2

. Persamaan ini

berkorespondensi dengan persamaan NLS

ℜ

Koefisien

β

dan

γ

dalam tulisan ini memiliki tanda yang berbeda dari koefisien dalam

3

.

Untuk selanjutnya, tulisan ini hanya terpusat pada persamaan NLS. Persamaan (7)

memiliki suatu solusi

plane wave

. Secara fisik, elevasi gelombang

permukaan diberikan sebagai

.

τ

Untuk menyelidiki ketidakstabilan dari solusi

plane wave

persamaan NLS dilakukan

perturbasi

ξ

fungsi bebas

A(

τ

)

dengan perturbasi kecil yang berbentuk

)

Dengan mensubstitusikan (8) ke dalam (7) dan membuang suku tak linear diperoleh

persamaan berikut

κξ

solusi perturbasi persamaan NLS meningkat secara eksponensial. Kriteria ini yang

dinamakan dengan ketidakstabilan Benjamin-Feir

4

. Kondisi ini memberikan fakta bahwa

)

HASIL DAN PEMBAHASAN

Pada bagian ini akan dipaparkan keterkaitan antara amplitudo maksimum dari solusi awal

persamaan NLS dengan bilangan gelombang modulasi κ

dalam interval ketidakstabilan.

Untuk memudahkan, dalam hal ini dipilih

r

₀

=

β

=

γ

=

1

. Solusi eksak persamaan NLS

yang dikenal sebagai

Soliton on Finite Background

(SFB) dituliskan sebagai

1

,

Dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa amplitudo akan mencapai maksimum pada

Untuk κ

yang cukup kecil diperoleh bahwa

3

Dengan demikian, faktor amplifikasi kenaikan amplitudo maksimum dinyatakan sebagai

3

Gambar 3 menyajikan grafik amplitudo maksimum

|

ψ

|

_max

sebagai fungsi dari κ

.

Selanjutnya Gambar 4 menyajikan perbandingan grafik relasi dispersi dan pendekatan

kuadratnya, rata-rata kenaikan

σ

dan amplitudo maksimum ψ

sebagai fungsi bilangan

gelombang .

k

SIMPULAN

Dalam tulisan ini telah dimodelkan perambatan gelombang permukaan air dengan

menggunakan persamaan NLS. Analisa yang dilakukan terhadap persamaan LS

menunjukkan bahwa solusinya meningkat secara eksponensial. Solusi eksak persamaan

NLS yang dikenal sebagai SFB merupakan ekstensi tak linear dari ketidakstabilan

Benjamin-Feir. Dengan menggunakan formula ini diperoleh bahwa amplitudo maksimum

akan terjadi apabila bilangan gelombang modulasi terletak dalam interval ketidakstabilan

tersebut. Hasil utama penelitian ini adalah bahwa faktor amplifikasi kenaikan amplitudo

maksimum gelombang ini adalah 3.

DAFTAR PUSTAKA

1.

NN. Akhmediev dan A. Ankiewicz, (1997), “

Solitons-Nonlinear Pulses and Beams

”,

Chapmann & Hall.

2.

E. Cahyono, (2002), “

Analytical Wave Codes for Predicting Surface Waves in a

Laboratory Basin

”, Ph.D Theses, Fac. of Mathematical Sciences Univ. of Twente, The

Netherlands.

3.

E. van Groesen, (1998), ”

Wave Groups in Uni-directional Surface Wave Models

”,

Journal of Engineering Mathematics, 34, 215-226.

4.

L. Debnath, (1994), “

Non-linear Water Waves

”, Academic press Inc., Boston.

5.

Marwan dan Andonowati, (2003), “

Perubahan bentuk pada perambatan signal

bikromatik dan pengaruhnya terhadap amplitudo maksimum

”, JMS FMIPA ITB, Vol.

8 No. 2, 81-87.

6.

Andonowati, Marwan dan E. van Groesen (2003), “

Maximal Temporal Amplitude of

generated wave group with two or three frequencies

”, Proc. of 2nd ICPMR & DT,

Singapore, Vol. 2, 111-116.

7.

Marwan, (2005), “

Maximal Temporal Amplitude of Tri-Chromatic Signals

”, Proc. of

Regional Conference on Mathematics, Statistics and Their Applications, USU Medan

8.

Marwan, Andonowati dan N. Karjanto, (2006), “

Maximum Temporal Amplitude and

Designs of experiments for Generation of Extreme Waves

”, Proc. of the Eleventh

Asian Congress of Fluid Mechanics, Kuala Lumpur, Malaysia

9.

Marwan, T. Nusantara dan Andonowati, (2006), “

Spatial Evolution of Multi

directional Surface Gravity Waves Based on Third Order Solution of KP Equation

”,

Journal of Indonesian Mathematical Society, vol. 12 no. 2, 211-224.

UCAPAN TERIMA KASIH

Penulis menyampaikan terima kasih kepada kepala Laboratorium Pemodelan dan

Simulasi, Jurusan Matematika, FMIPA Universitas Syiah Kuala Banda Aceh dan

Pemerintah Daerah Nanggroe Aceh Darussalam. Penelitian ini didanai oleh Pemerintah

Daerah Nanggroe Aceh Darussalam dengan Nomor Kontrak: