7.3. Transmisi Suara Melalui Celah 7.3.1. Integral Kirchhoff
Cukup akses yang berbeda untuk trik-trik difraksi disediakan oleh difraksi yang terpisahkan dapat diturunkan dari teorema Green dalam analisis vektor. Hal ini mengacu pada daerah V yang terpisah dari ruang total oleh beberapa batas dengan daerah S (lihat Gambar. 7.6a). Kami berasumsi bahwa semua gelombang suara yang terlibat harmonik dengan frekuensi sudut ω = ck. Kemudian persamaan difraksi Kirchhoff dinyatakan sebagai berikut :
𝑝 𝑃 = 4𝜋1 𝑝𝑠𝜕𝑛𝜕 𝑒 −𝑗𝑘𝑟 𝑟 − 𝑒−𝑗𝑘𝑟 𝑟 𝜕𝑝𝑠 𝜕𝑛 𝑑𝑆 𝑠 (7.6)
Ini merupakan tekanan suara p(P) pada sembarang titik P dalam wilayah V seperti yang diungkapkan oleh tekanan suara Ps dan turunan 𝜕𝑝𝜕𝑛𝑠 disepanjang perbatasan. Jarak P dari elemen dS daerah pada batas tersebut diwakili oleh r. Vektor normal 𝑛 seharusnya berada pada titik dalam.
Rumus Kirchhoff adalah ekspresi matematis dari prinsip Huygens yang sudah dijelaskan di awal bab ini. Hal ini dapat ditafsirkan sebagai berikut: tekanan suara pada titik P adalah terdiri dari dua kontribusi. Yang pertama terdiri dari gelombang bola sumber yang didistribusikan selama batas S sesuai dengan fungsi 𝜕𝑝𝜕𝑛𝑠 (periode kedua integran itu).
Gambar 7.6 Batas integral Kirchhoff (Q = sumber suara, P = titik lapangan): (a) umum, (b) difraksi oleh aperture di layar pesawat.
Kontribusi kedua adalah akibat jenis-jenis gelombang
𝜕 𝜕𝑛 𝑒−𝑗𝑘𝑟 𝑟 = lim 1 d𝑑→0 𝑒−𝑗𝑘 𝑟1 𝑟1 − 𝑒−𝑗𝑘 𝑟2 𝑟2
Ekspresi di sebelah kanan merupakan gelombang bulat yang berasal dari dua titik yang terletak di batas normal pada jarak kecil, yaitu d. Dengan membandingkan penjelasan ini dengan persamaan (5.21). Kita mempelajari bahwa istilah pertama dipersamaan (5.6) ini disebabkan oleh dipol yang didistribusikan bersama S sesuai dengan fungsi Ps.
Dalam hal ini dianggap bahwa bagian putus-putus dari batas dalam Gambar 7.6a adalah akustik non-transparan; bagian bertitik adalah untuk menunjukkan pembuka. Sumber suara Q terletak diluar layar S. Dengan bantuan persamaan 5.6, tekanan suara pada setiap titik wilayah V bisa dihitung, asalkan tekanan suara dan derivatif normal sepanjang batas S diketahui. Tapi ini hanya jumlah yang akan dihitung. Jadi persamaan (5.6) menjadi persamaan integral, misalnya, yang berisi jumlah yang tidak diketahui dalam integral. Akan tetapi, dapat digunakan untuk mencari solusi approximative dengan asumsi bahwa 𝑃𝑠 dan 𝜕𝑃𝑠 𝜕𝑃𝑛 hilang pada bagian dalam layar transparan. Dalam pembukaan ini jumlah yang ditetapkan sama dengan bidang suara primer yang terganggu sebagai diproduksi oleh sumber Q. Jelas bahwa asumsi ini dibenarkan hanya jika dimensi dari celah yang besar dibandingkan dengan panjang gelombang. Oleh karena itu, kita berharap bahwa bidang suara dalam keadaan terbuka dasarnya terganggu oleh gelombang difraksi dari yang mengelilinginya.
7.3.2. Transmisi Suara Melalui Celah Besar
Dalam metode ini akan diterapkan untuk menghitung transmisi suara melalui lubang/celah di layar datar pejal yang panjangnya tidak terbatas (lihat ganbar 7.6b) yang terkena gelombang datar 𝑝𝑖 = 𝑝 𝑖exp(−𝑗𝑘𝑥) dengan tekanan suara yang datang dari kiri. Lubang diasumsikan cukup besar untuk membenarkan pendekatan Kirchhoff yang telah disebutkan sebelumnya.
Karena garis normal sejajar dengan sumbu x, 𝜕𝑝𝑠
𝜕𝑛 dapat diganti dengan − 𝑗𝑘𝑝𝑖. Sehingga
dapat diperoleh persamaan sebagai berikut :
𝜕 𝜕𝑛 𝑒−𝑗𝑘𝑟 𝑟 = − 𝑗𝑘 + 1 𝑟 𝑒−𝑗𝑘𝑟 𝑟 . 𝜕𝑟 𝜕𝑥 = 𝑗𝑘 + 1 𝑟 𝑒−𝑗𝑘𝑟 𝑟 cos 𝜃 (7.7)
𝜃 merupakan sudut antara r dan sumbu x. Kemudian persamaan (7.6) diasumsikan dalam bentuk, dengan 𝑘 = 𝜔 𝑐 : 𝑝 𝑃 = 𝑗𝜔 𝑝 𝑖 4𝜋𝑐 𝑒−𝑗𝑘𝑟 𝑟 1 + 1 𝑗𝑘𝑟 cos 𝜃 + 1 𝑑𝑆 𝑏𝑢𝑘𝑎 (7.8)
Jika persamaan Kirchhoff sesuai dengan yang diharapkan maka sesuai dengan persamaan (5.31) untuk tekanan suara yang dihasilkan oleh piston. Setelah menggati r’ dengan r dan 𝑣 0 dengan 𝑣 1 = 𝑝 𝑖 𝜌
0𝑐 . Sehingga persamaannya dapat dituliskan sebagai berikut :
𝑝 𝑃 = 𝑗𝜔 𝑝 𝑖 2𝜋𝑐
𝑒−𝑗𝑘𝑟 𝑟 𝑑𝑆
𝑏𝑢𝑘𝑎 (7.9)
Jelas, kedua persamaan setuju jika jarak titik P dari kecepatan rana yang begitu besar bahwa istilah kedua dalam putaran bracket dapat diabaikan sehubungan dengan yang pertama dan ketika titik P sangat dekat dengan sumbu bahwa fungsi kosinus dapat diganti dengan kesatuan tanpa kesalahan banyak. Pertimbangan ini jelas menunjukkan keterbatasan formula Kirchhoff.
Jika titik bidang jauh dari celah, r pada penyebut dapat dianggap hampir konstan dan garis-garis yang menghubungkan titik bidang dengan titik-titik pada suatu celah hampir sejajar, kita berbicara tentang perbedaan antara difraksi Fraunhofer dengan difraksi Fresnel dimana tidak diperbolehkan adanya penyederhanaan. Perbedaan ini sama halnya dengan perbedaan antara medan dekat dan medan jauh yang dijelaskan pada bagian 5.8. Sekali lagi hal ini menunjukan hubungan yang erat antara radiasi dengan masalah difraksi. Dengan demikian, distribusi arah suara di belakang diafragma yang melingkar dengan diameter 2a adalah sama dengan yang ditunjukkan dalam diagram pada Gambar 5.15.
7.3.3. Transmisi Suara Melalui Celah Sempit
Seperti yang dijelaskan sebelumnya pendekatan Kirchhoff gagal ketika celah lebih kecil dibandingkan dengan panjang gelombang, oleh karena itu kecepatan partikel pada celah mempunyai perbedaan yang signifikan dari gelombang datang.
Kita berasumsi bahwa dinding penyaring adalah sangat rapat dan memiliki celah bulat yang sangat kecil. Dari sebelah kiri, sebuah gelombang datar dengan tekanan suara Pi menumbuk suatu layar, hal ini ditunjukan oleh beberapa muka gelombang (gambar 7.7a). Seharusnya ini dipantulkan secara sempurna, sehingga akan terbentuk gelombang berdiri. Dari celah, muncul gelombang berbentuk bulat menuju ke dua sisi. Karena gelombang dari sisi sebelah kiri sangat lemah dan hanya menimbulkan distorsi sehingga dapat diabaikan. Sehingga di sebelah sisi kanan hanya terdiri gelombang bulat saja.
Untuk minghitung kekuatan gelombang bola tersebut kita cata bahwa tekanan suara 2Pi yang harus mengalahkan massa terbatas untuk mengatur pergerakan udara pada celah. Ini adalah garis aliran (lihat gambar 7.7b)
𝑑𝑒𝑓𝑓 = 𝑑 + 2Δ𝑙 (7.10)
Gambar 7.7 : Transmisi udara melalui celah sempit : (a) muka gelombang yang terjadi dan gelombang yang ditransmisikan. (b) aliran garis dan koreksi akhir.
dan massa udara yang akan dipercepat menjadi 𝑚 = 𝑠𝑜𝑝𝑑𝑒𝑓𝑓𝜌 0
Dimana 𝑆𝑜𝑝 adalah luas celah. Untuk sebuah lingkaran dengan jari-jari 𝑆𝑜𝑝 adalah 𝜋𝑎2 dan2
2Δ𝑙 = 𝜋2𝑎 (7.11) Oleh karena itu kecepatan udara dalam dalam celah terbuka dijelaskan oleh gaya 𝑆𝑜𝑝. 2Pi adalah
𝑉0 = 𝑆𝑜𝑝𝑃𝑖 𝑗𝜔𝑚 =
2𝑃𝑖
𝑗𝜔𝜌0𝑑𝑒𝑓𝑓
Oleh karena itu, celah memiliki efek yang sama sebagai sumber titik dengan volume kecepatan 𝑄 = 𝑆𝑜𝑝𝑣0. Menurut persamaan (5.6) menghasilkan gelombang berbentuk bola di sisi belakang dinding dengan tekanan suara (setelah mengganti faktor 14𝜋 dengan 12𝜋).
𝑝 𝑟 = 𝑆𝑜𝑝𝑝 𝑖 𝜋𝑑𝑒𝑓𝑓
𝑒−𝑗𝑘𝑟
𝑟
(7.12)
Gelombang bola lain dengan tekanan yang sama, namun, dengan membalik memancarkan kembali ke arah timbulnya suara.
Untuk sebuah pintu dengan ketebalan 2 cm dengan membuka lingkaran diameter 1 cm sebesar 𝑑𝑒𝑓𝑓 adalah 0,028 meter dan menghasilkan formula sebuah tingkat tekanan suara (lihat persamaan 3.34) yang dalam jarak 1 meter adalah
Δ𝐿 = 20 𝑙𝑜𝑔10 𝑝 𝑖
𝑝 ( 1𝑚 ) ≈ 61 𝑑𝐵
Di bawah gelombang yang terjadi. Bandingkan angka ini dengan hilangnya transmisi sebuah pintu yang mempuyai rata-rata di kisaran 20 dB dapat dilihat bahwa perbedaan ini tidak signifikan dengan menurunnya isolasi suara pintu. Kemungkinan berdasarkan pengalaman umum bahwa percakapan dengan pintu tertutup dapat mendengar hanya dengan meletakkan telinga dekat dengan lubang kunci.
Hal-hal yang sangat berbeda, namun, apabila mempunyai celah yang panjang dan sempit dengan lebar 𝑏 ≪ 𝜆. Gambar 7.7 berlaku juga untuk kasus ini dan muka gelombang tersebut adalah berasal dari gelombang silinder. Ini adalah intensitas pada jarak rata-rata r : 3
𝐼𝑠 ≈ 𝜆
4𝑟 𝑙𝑛 0,717𝜆/𝑏 2𝐼𝑖
(7.13) Namun, sekarang diasumsikan bahwa ke tebalan dinding adalah
Sebagai contoh, kita ambil b= 1cm, frekuensi 500 Hz yang berkorespondensi dengan panjang gelombang 0,68 m; dengan jarak r adalah 1 m. Kemudian tingkat penetrasi gelombang adalah
Δ𝐿 = 10 𝑙𝑜𝑔10 𝐼𝑒
𝐼𝑠(1𝑚) ≈ 19,5 𝑑𝐵
Di bawah nilai gelombang primer. Nilai ini sebanding dengan kerugian transmisi pada celah. Contoh ini menunjukkan dengan jelas bahwa suara isolasi dinding mungkin akan jauh berkurang karena celah di dalamnya.
2 P.M. Morse and H. Feshbach, Methods of Theoretical Physics, persamaan (10.3.60). McGraw-Hill, New York 1953. 3 See reference above, §11.2, persamaan. (11.2.106).
