6
Bab ini membahas teori-teori dasar yang digunakan sebagai landasan pembahasan pada bab selanjutnya. Pembahasan teori meliputi pengertian data secara umum dan data sirkular, ukuran pemusatan dan penyebaran data, regresi sirkular, regresi nonparametrik, dan regresi nonparametrik sirkular-linear berganda.
2.1 Data
Data adalah nilai numerik hasil dari sebuah pengamatan (observation) yang dalam penelitian diasumsikan sebagai variabel (Kitchens, 1998). Data diolah oleh peneliti dan kemudian diinterpretasikan sehingga dapat dimengerti oleh orang lain yang tidak secara langsung melakukan pengamatan atau pengumpulan fakta dari sebuah kejadian.
2.1.2 Ukuran Pemusatan Data
Ukuran pemusatan data memberikan informasi tentang titik-titik di mana data pengamatan terpusat atau terkumpul dan dapat juga menjadi ciri khas dari kumpulan data pengamatan (Kitchens, 1998).
A. Nilai tengah (mean)
Jika adalah anggota suatu populasi terhingga berukuran , nilai tengah populasinya adalah
∑ . (2.1)
Sedangkan, jika adalah sampel berukuran , maka nilai tengah sampelnya adalah
̅ ∑ (2.2)
B. Median
Median memiliki sifat membagi dua sama banyak kumpulan data yang telah diurutkan sebelumnya. Jika banyak data ganjil, maka median adalah data yang tepat berada di tengah yaitu pada amatan . Sedangkan, jika banyak data genap, maka median berada di antara dua data yang berada di tengah yaitu rata-rata dari pengamatan dan pengamatan .
C. Modus
Modus adalah suatu nilai amatan yang paling sering muncul dalam melakukan penelitian. Nilai modus dalam penelitian mungkin saja akan lebih dari satu. Penyajian data dalam bentuk grafik akan mempermudah dalam menentukan nilai modus dari kumpulan data.
2.1.3 Ukuran Penyebaran Data
Ukuran penyebaran data merupakan suatu informasi yang diperoleh dalam penelitian yang memberikan penjelasan seberapa jauh data-data yang diperoleh menyebar dari titik pemusatannya (Kitchens, 1998). Ukuran penyebaran data yang paling sering digunakan adalah ragam. Ragam (variance) memberikan informasi
rata-rata jarak kuadrat semua titik pengamatan terhadap titik pusat atau rataan. Jika adalah anggota suatu populasi terhingga berukuran , maka ragam populasinya adalah
∑ (2.3)
Sedangkan, jika adalah anggota suatu sampel berukuran , maka ragam sampelnya adalah
∑ ̅ (2.4)
2.2 Data dan Statistika Sirkular
Data sirkular adalah data yang nilai-nilainya berulang secara periodik dengan responnya bukan skalar tetapi angular atau berarah sehingga dikategorikan sebagai data berarah (Jammalamadaka dan SenGupta, 2001). Pengukuran data sirkular biasanya dalam satuan derajat sampai atau dalam satuan radian dari 0 radian sampai radian.
Dua alat yang sering digunakan untuk membantu dalam pemilihan arah pada proses pengukuran data sirkular adalah kompas dan jam. Dalam melakukan pengukuran, arah utara pada kompas dan pukul 00.00 pada jam biasanya disebut arah atau 0 radian. Arah migrasi hewan, arah terbang burung, atau arah angin dihitung dengan bantuan kompas. Waktu kejadian kasus kecelakaan, waktu kejadian kasus kriminal, waktu datangnya pasien dalam 24 jam di sebuah rumah sakit dihitung dalam jam.
Berbeda dengan data pada umumnya yang hanya memiliki satu dimensi pengukuran, data sirkular memiliki dua dimensi pengukuran yaitu jika pengamatan digambarkan pada koordinat kartesius dapat dinyatakan sebagai nilai atau pada koordinat polar dapat dinyatakan sebagai nilai dengan sebagai jarak titik dari titik pusat pada sudut .
Gambar 2.1 Hubungan Koordinat Kartesius dengan Koordinat Polar (Nurhab, 2014)
Pada Gambar 2.1. perubahan koordinat polar menjadi koordinat kartesius dapat menggunakan persamaan trigonometri berikut
dan . (2.5)
Perbedaan lainnya dengan data pada umumnya adalah data sirkular tidak memiliki nilai minimum dan maksimum karena data awal sama dengan data akhir yaitu radian sama dengan radian. Nilai pengamatan pada sudut akan memiliki nilai yang sama dengan pengamatan yang terletak pada sudut untuk bilangan bulat positif, karena dalam analisis sirkular yang diperhatikan adalah arah bukan besaran vektor yaitu setiap titik pengamatan pada keliling lingkaran menyatakan sebuah arah. Pada Gambar 2.1, sebuah pengamatan menyatakan arah yang dibuat vektor terhadap sumbu positif atau menyatakan arah yang dibuat vektor terhadap sumbu positif. Koordinat kartesius amatan tersebut adalah dan koordinat polarnya
x y
P
𝜃 r
adalah . Karena yang diperhatikan adalah arah, maka jarak setiap amatan dari titik pusat dibuat sama dengan 1 . Sehingga diambil vektor-vektor tersebut menjadi vektor unit yaitu vektor dengan panjang satuan .
Representasi data sirkular dalam arah yang dipengaruhi sudut tentu tidak selalu unik yaitu nilai angularnya bergantung pada pemilihan arah acuan dan arah rotasi apakah searah dengan arah perputaran jarum jam (clockwise) atau berlawanan arah perputaran jarum jam (counter-clockwise) (Jammalamadaka dan SenGupta, 2001). Pemilihan arah utara sebagai arah acuan mengakibatkan arah perputaran positif yaitu searah dengan arah perputaran jarum jam, sedangkan pemilihan arah timur sebagai arah acuan mengakibatkan arah perputaran positif yaitu berlawanan arah perputaran jarum jam. Pada Gambar 2.2, arah adalah jika arah acuannya adalah arah utara dan arah rotasinya searah perputaran jarum jam, atau jika arah acuannya adalah arah timur dan arah rotasinya berlawanan arah perputaran jarum jam.
Gambar 2.2. Arah Acuan dan Arah Rotasi Pengamatan
Dalam analisis regresi sirkular-linear, perbedaan pemilihan arah acuan tidak memengaruhi koefisien determinasi dan statistik lima serangkai yaitu
r P Utara
statistik minimum, kuartil bawah, median, kuartil atas, dan statistik maksimum dari sisaannya, tetapi memengaruhi hasil dugaan parameter persamaan regresi sirkular-linear. Sedangkan perbedaan pemilihan arah rotasi tidak berpengaruh terhadap persamaan regresi sirkular-linear yang dibentuk (Nurussadad, 2011).
Representasi data sirkular dalam bentuk grafis menjadi hal yang sangat penting dan bentuknya tentu akan berbeda dengan representasi grafis data pada umumnya. Bentuk grafis yang biasa digunakan dalam analisis data sirkular adalah
Gambar 2.3. Diagram Pancar (a), Histogram Siklik (b), dan Diagram Mawar (c)
(Nurhab, 2014)
2.2.1 Ukuran Pemusatan Data Sirkular
Mengalisis data sirkular menggunakan dua fungsi trigonometri yaitu fungsi sinus dan fungsi cosinus . Sehingga cara menghitung ukuran pemusatan dan ukuran penyebaran data sirkular akan berbeda dengan cara menghitung ukuran pemusatan dan ukuran penyebaran pada umumnya.
A. Arah rata-rata sirkular
Menurut Jammalamadaka dan SenGupta (2001), menentukan arah rata-rata data sirkular menggunakan metode yang digunakan pada statistika linear dapat menghasilkan arah rata-rata yang tidak sesuai dengan pusat dari data
pengamatan yang diperoleh. Sebagai contoh penelitian tentang arah migrasi burung. Misalkan dua burung terbang ke arah dan ke arah dan dipilih arah acuan nol derajat yaitu arah utara dan arah rotasi searah dengan arah perputaran jarum jam seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut:
Gambar 2.4. Arah Rata-rata Sirkular dengan Statistika Linear untuk Dua Buah Pengamatan.
Pada Gambar 2.4, dengan menggunakan statistika linear diperoleh arah rata-rata yaitu yang menuju ke arah selatan, meskipun arah terbang kedua burung tersebut lebih terkonsentrasi ke arah utara. Jika dimisalkan lagi terdapat empat burung yang bermigrasi masing-masing ke arah , dan dengan arah acuan dan arah rotasi yang sama, maka dengan statistika linear diperoleh arah rata-rata yaitu yang menuju ke arah selatan seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut:
Gambar 2.5. Arah Rata-rata Sirkular dengan Statistika Linear untuk Empat Buah Pengamatan.
Pada Gambar 2.5, dengan menggunakan statistika linear diperoleh arah rata-rata yaitu yang menuju ke arah selatan meskipun data semakin terkonsentrasi ke arah utara. Berdasarkan contoh tersebut, dapat ditunjukkan bahwa metode yang digunakan untuk mencari nilai rata-rata statistika linear tidak cukup baik untuk diterapkan pada data sirkular. Keragaman data sampel yang sangat bergantung pada nilai rata-rata tentu juga akan sangat dipengaruhi nilainya.
Menentukan arah rata-rata untuk data sirkular dilakukan dengan memperlakukan data sirkular dalam vektor unit dan menggunakan arah dari vektor resultannya (Jammalamadaka dan SenGupta, 2001). Arah rata-rata sirkular ̅ diperoleh dari
̅ , (2.6)
̅ , (2.7)
dengan adalah fungsi cosinus dan fungsi sinus yang diperoleh dari
∑ (2.8)
∑ (2.9)
dengan adalah pengamatan ke- dan panjang vektor resultan diperoleh dari
Vektor resultan dari vektor unit diperoleh dengan menjumlahkan semua komponen arahnya
. (2.11)
Balikan kuadran tertentu (invers quadrant-specific) tangen dari arah rata-rata sirkular ̅ diberikan untuk segala kemungkinan nilai fungsi dan yaitu
̅ { ( ) ( ) ( ) (2.12)
B. Median data sirkular
Mardia (1972) dalam Otieno (2002) menyatakan bahwa median sampel ̃ dari data sampel sirkular adalah titik pada keliling lingkaran yang memiliki sifat :
1. Diameter dengan adalah anti-median membagi lingkaran menjadi dua bagian, yang setiap bagiannya memiliki jumlah pengamatan sama banyak.
2. Sebagian besar data pengamatan berada disekitar titik dibandingkan di titik . Jika 𝐶𝑛 > dan 𝑆𝑛 ≥ Jika 𝐶𝑛 dan 𝑆𝑛 > Jika 𝐶𝑛 < Jika 𝐶𝑛 ≥ dan 𝑆𝑛 < Jika 𝐶𝑛 dan 𝑆𝑛
Gambar 2.6. Median Sirkular untuk Data Genap dan Data Ganjil (Otieno, 2002)
Jika banyak data adalah genap, maka median sampel sirkular berada di antara dua pengamatan yang berdekatan dengan . Sedangkan jika banyak data adalah ganjil, maka median sampel sirkular adalah sebuah titik data pengamatan. Proses menentukan median pada data sirkular tidak bisa disamakan dengan proses penentuan median pada data linear yaitu prosedur pengurutan data dari data amatan terkecil sampai data amatan terbesar tidak bisa diterapkan pada penentuan median data sirkular (Otieno, 2002). Sebagai contoh, penelitian terhadap arah terbang tujuh ekor burung yaitu ke arah , , , , , , dan seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut:
Gambar 2.7. Median Sirkular dan Median Linear
Pada Gambar 2.7., dengan memilih arah acuan nol derajat yaitu arah utara, arah rotasi searah dengan arah perputaran jarum jam dan dengan menggunakan prosedur yang diperkenalkan Mardia (1972) dalam Otieno (2002) diperoleh
𝑃 𝑃 𝑄
median sirkular pada arah . Sedangkan, jika digunakan prosedur pengurutan data yang digunakan pada data linear, maka diperoleh median sirkular pada arah . Tentu saja tidak sama dengan . Shepherd dan Fisher (1982) dalam Otieno (2002) mengemukakan bahwa bantuan grafik akan sangat membantu menentukan median sirkular.
C. Modus data sirkular
Modus data sirkular akan mudah ditentukan dengan bantuan grafik. Nilai modus akan muncul pada data yang terkonsentrasi di keliling lingkaran pada sudut atau arah tertentu. Seperti data pada umumnya, data sirkular mungkin saja memiliki nilai modus lebih dari satu.
2.2.2 Ukuran Penyebaran Data Sirkular
Mardia (1976) dalam Nurhab (2014) mendefinisikan ragam sampel sirkular sebagai
̅ (2.13)
dengan adalah panjang vektor resultan dan ̅ adalah panjang rata-rata dari vektor resultan dengan ̅ . Nilai ragam yang semakin kecil menandakan data semakin terkonsentrasi menuju suatu titik tertentu.
2.3 Regresi Sirkular
Variabel dalam suatu regresi terdiri dari variabel prediktor (independent variable) dan variabel respons (dependent variable). Menganalisis data sirkular
dengan analisis regresi jika dilihat dari jenis variabelnya akan membentuk tiga jenis model regresi sirkular yaitu (Scoot, 2002):
1. Regresi Sirkular–Linear (circular-linear regression)
Regresi sirkular–linear yaitu analisis regresi dengan variabel prediktor sirkular dan variabel responnya linear. Regresi sirkular–linear merupakan analisis regresi sirkular yang paling sering digunakan. Menurut SenGupta dan Ugwuowo (2006) model regresi sirkular linear antara variabel respons linear dan variabel prediktor sirkular adalah
(2.14)
dengan dan adalah parameter yang belum diketahui nilainya, adalah sebuah acrophase, dan adalah komponen galat acak. Sedangkan, adalah frekuensi angular (angular frequency) yaitu
(2.15)
atau
(2.16)
dengan adalah periode.
2. Regresi Sirkular-Sirkular (circular-circular regression)
Regresi sirkular-sirkular yaitu analisis regresi dengan variabel prediktor dan variabel respons sama-sama merupakan data sirkular.
3. Regresi Linear-Sirkular (linear-circular regression)
Regresi linear-sirkular yaitu analisis regresi dengan variabel prediktor linear dan variabel respons sirkular.
2.4 Regresi Nonparametrik
Statistika nonparametrik adalah statistika bebas sebaran yang digunakan
dengan mengabaikan asumsi-asumsi yang harus dipenuhi pada statistika parametrik. Statistika nonparametrik disebut juga statistika bebas distribusi. Bentuk kurva dalam regresi nonparametrik tidak diketahui dan diasumsikan termuat dalam suatu ruang fungsi berdimensi tak hingga dan merupakan fungsi yang mulus (smooth).
Dalam statistika nonparametrik bentuk kurva yang kurang mulus dapat dipermulus (smoothing) dengan menggunakan teknik smoothing tertentu. Tujuan dari smoothing adalah membuang variabilitas dari data yang tidak memiliki efek-efek sehingga ciri-ciri dari data tampak lebih jelas. Salah satu teknik smoothing yang umum digunakan adalah estimator kernel pada pemanfaatannya dilakukan pada setiap titik data (Sukarsa dan Srinadi, 2012).
2.4.1 Kernel Standar
Estimator kernel merupakan pengembangan dari estimator histogram. Menurut Wand dan Jones (1995) bentuk fungsi kernel secara umum yaitu
dengan adalah parameter pemulus (smoother) yang disebut bandwidth. Fungsi kernel memiliki beberapa sifat yaitu:
1. ≥ untuk semua (2.18)
2. ∫ (2.19)
3. ∫ > (2.20)
4. ∫ (2.21)
5. , untuk semua (sifat simetris) (2.22)
Beberapa jenis fungsi kernel yang umum digunakan yaitu
1. Kernel Uniform : | | (2.23) 2. Kernel Segitiga : | | | | (2.24) 3. Kernel Epanechnikov : | | (2.25) 4. Kernel Kuartik : | | (2.26) 5. Kernel Triweight : | | (2.27) 6. Kernel Cosinus : ( ) | | (2.28) 7. Kernel Gaussian : √ ( ) < < (2.29) dengan adalah fungsi indikator untuk suatu himpunan yaitu
2.4.2 Kernel Sirkular
Kernel sirkular untuk orde dan parameter pemulus (smoothing) > adalah fungsi [ yang memiliki sifat (Marzio et al., 2009):
(i) untuk [ , representasi deret Fourier konvergen ke { ∑⁄ }
(ii) nyatakan ∫ kemudian , untuk < < , dan ;
(iii) apabila naik, maka ∫ menuju 1 untuk
Kernel von Mises adalah kernel sirkular orde kedua (second-order circular kernel) yang memiliki bentuk
[ ] (2.31)
dengan adalah variabel prediktor sirkular, adalah parameter konsentrasi (concentration parameter), dan adalah fungsi Bessel termodifikasi orde nol,
∫ [ ]
. (2.32)
Sebaran von Mises adalah sebaran normal sirkular yang paling umum digunakan karena memiliki langkah kerja yang sama dengan sebaran normal pada data linear. Sebaran von Mises pertama kali diperkenalkan oleh von Mises pada tahun 1981 dengan sebaran
dengan adalah variabel prediktor sirkular, adalah arah rata-rata sirkular, adalah parameter konsentrasi (concentration parameter), dan adalah fungsi Bessel termodifikasi orde nol,
∫ [ ]
. (2.34)
Jika sama dengan nol, maka =
dan akan mengikuti sebaran seragam (uniform) yang tanpa memperhatikan arah.
Sama seperti sebaran normal, metode yang digunakan untuk mengevaluasi sebaran von Mises adalah QQ-plot. Menurut Fisher (1993) dalam Nurhab (2014), jika sebaran data mengikuti sebaran von Mises maka plot data mengikuti garis lurus dengan kemiringan . Proses evaluasi dengan von Mises yaitu dimulai dengan mencari
̂ untuk (2.35)
kemudian diurutkan dari nilai terkecil sampai terbesar . Langkah selanjutnya yaitu membuat plot ( ( ) ) ( ( ) ) (Fisher dalam Nurhab, 2014).
2.5 Bandwidth
Parameter bandwidth disebut juga parameter pemulusan (smoothing) yang memiliki peran seperti lebar interval pada histogram. Parameter bandwidth akan mengontrol kemulusan kurva regresi yang diestimasi. Pemilihan bandwidth yang terlalu kecil akan menghasilkan kurva yang sangat kasar, dan sebaliknya
pemilihan bandwidth yang terlalu besar akan menghasilkan kurva yang terlalu mulus yang akibatnya akan tidak sesuai dengan pola data yang sebenarnya (Hardle, 1994). Oleh karena itu, diperlukan suatu metode untuk memilih bandwidth yang optimal. Metode yang dapat digunakan yaitu metode Cross-Validation (CV) yang didefinisikan sebagai berikut
∑ ̂ (2.36)
dengan ̂ adalah penduga leave-one-out dengan menghilangkan . Pemilihan bandwidth yang optimal dilakukan dengan memilih nilai awal untuk meminimumkan persamaan (2.36) Langkah-langkah pemilihan bandwidth yang optimal berdasarkan kriteria CV minimum yaitu: Langkah 1. Untuk , tentukan nilai dan minimumkan persamaan (2.36)
sehingga diperoleh vektor parameter smoothing dan nilai CV, dengan
.
Langkah 2. Untuk , ulangi langkah 1 sampai menemukan kriteria yang sesuai sehingga dihasilkan rangkaian(series) nilai CV.
Langkah 3. Pilih nilai CV terkecil dari rangkaian nilai yang dihasilkan sehingga diperoleh nilai bandwidth optimal yaitu .
2.6 Regresi Nonparametrik Sirkular-Linear Berganda
SengGupta dan Ugwuowo (2006) memperkenalkan bentuk umum model regresi sirkular–linear berganda antara sebuah variabel respons linear dengan variabel prediktor linear dan variabel prediktor sirkular. Bentuk modelnya adalah
∑ (2.37)
dengan adalah variabel respons linear, adalah nilai rataan, adalah koefisien regresi, adalah variabel prediktor linear, adalah amplitudo, adalah frekuensi angular, adalah variabel prediktor sirkular yang menentukan periode , adalah acrophase dan adalah komponen galat acak. Pendugaan dinyatakan dalam satuan radian atau derajat arah,
(2.38)
atau
. (2.39)
Kemudian Qin (2011) mengasumsikan bentuk model regresi nonparametrik sirkular-linear berganda dengan bentuk
(2.40)
dengan adalah variabel respons skalar, adalah fungsi regresi, ( ) , dan masing-masing adalah dimensi linear dan dimensi sirkular , serta adalah variabel acak berdistribusi IID (Independent and
Identically Distributed) dengan rataan nol dan ragam unit dan bebas dari .
[
] (2.41)
sebagai desain matriks, dan
(2.42)
sebagai bobot matriks, dengan adalah sampel acak dari fungsi densitas peluang bersama dan adalah fungsi linear–sirkular
√ ∏ ( ) ∏ ( ) (2.43)
dengan adalah kernel linear standar dan adalah kernel sirkular orde kedua. Penduga kernel kuadrat terkecil linear lokal dari diperoleh dari masukan pertama dari vektor
( ̂
̂) ∑
( ) . (2.44)
Dengan demikian penduga kernel kuadrat terkecil linear lokal dari adalah
dengan adalah vektor berukuran ( dengan nilai 1 pada masukan pertama dan yang lainnya 0.
Vektor dari nilai yang diduga (fitted values) ̂ ̂ ̂ adalah
