iii-3-deret-dan-transformasi-fourier.pdf

Deret dan Transformasi Fourier

Deret dan Transformasi Fourier

Deret Fourier

Deret Fourier

Koefisien Fourier.

Koefisien Fourier. Suatu fungsi periodik dapat diuraikan menjadi komponen-Suatu fungsi periodik dapat diuraikan menjadi komponen-komponen sinus. enguraian ini tidak lain adalah pernyataan fungsi periodik kedalam deret komponen sinus. enguraian ini tidak lain adalah pernyataan fungsi periodik kedalam deret !ourier. "ika

!ourier. "ika f  f ##t t $ adalah fungsi periodik yang memenuhi persyaratan %irichlet, maka$ adalah fungsi periodik yang memenuhi persyaratan %irichlet, maka  f  f ##t t $$ dapat dinyatakan sebagai deret !ourier &

dapat dinyatakan sebagai deret !ourier &

[ [

]]

∑

∑

∞∞ = = ω ω + + ω ω + + = = 1 1 0 0 0 0 0

0 cos(cos( )) sin(sin( ))

)) (( n n n n n n nn t t  bb nn t t  a a a a t t   f   f     #1$#1$

yang dapat kita tuliskan sebagai yang dapat kita tuliskan sebagai

( (

))

∑

∑

∞∞ = =     θ θ − − ω ω + + + + = = 1 1 0 0 2 2 2 2 0 0 cos(cos( )) )) (( n n n n n n n n bb nn t t  a a a a t t   f   f     #'$#'$ (oefisien !ourier

(oefisien !ourieraa)),,aann, dan, dan bbnn ditentukan dengan hubungan berikut& ditentukan dengan hubungan berikut&

∫∫

∫∫

∫∫

− − − − − − > > ω ω = = > > ω ω = = = = 2 2  /   /  2 2  /   /  00 0 0 2 2  /   /  2 2  /   /  00 0 0 2 2  /   /  2 2  /   /  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ;; )) sin( sin( )) (( 2 2 0 0 ;; )) cos( cos( )) (( 2 2 )) (( 1 1 T  T  T  T  n n T  T  T  T  n n T  T  T  T  n n dt  dt  t t  n n t t   f   f  T  T  b b n n dt  dt  t t  n n t t   f   f  T  T  a a dt  dt  t t   f   f  T  T  a a   #*$   #*$

+ubungan #*$ dapat diperoleh dari #1$. isalkan kita mencari

+ubungan #*$ dapat diperoleh dari #1$. isalkan kita mencari aa_nn kita kalikan #1$ dengan kita kalikan #1$ dengan cos#

cos#k k ωωoot t $ kemudian kita integrasikan antara$ kemudian kita integrasikan antara −−T T oo/' sampai/' sampaiT T oo/' dan kita akan memperoleh/' dan kita akan memperoleh

∑

∑

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∞ ∞ = = − − − − − − − −             ω ω ω ω + + ω ω ω ω + + ω ω = = ω ω 1 1  /  / 22 2 2  /   /  00 oo 2 2  /   /  2 2  /   /  00 oo 2 2  /   /  2 2  /   /  00 oo 2 2  /   /  2 2  /   /  oo o o o o o o o o o o o o o o o o )) cos( cos( )) sin( sin( )) cos( cos( )) cos( cos( )) cos( cos( )) cos( cos( )) (( n n T T  T  T  nn T  T  T  T  nn T  T  T  T  T  T  T  T  dt  dt  t t  k  k  t t  n n b b dt  dt  t t  k  k  t t  n n a a dt  dt  t t  k  k  a a dt  dt  t t  k  k  t t   f   f 

%engan menggunakan kesamaan tigonometri %engan menggunakan kesamaan tigonometri

)) sin( sin( 2 2 1 1 )) sin( sin( 2 2 1 1 sin sin cos cos )) cos( cos( 2 2 1 1 )) cos( cos( 2 2 1 1 cos cos cos cos β β + + α α + + β β − − α α = = β β α α β β + + α α + + β β − − α α = = β β α α

maka persamaan di atas menjadi maka persamaan di atas menjadi

( ( )) ( ( ))

∑

∑

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∞ ∞ = = − − − − − − − −             ω ω + + + + ω ω − − + + ω ω + + + + ω ω − − + + ω ω = = ω ω 1 1  /  / 22 2 2  /   /  00 oo 2 2  /   /  2 2  /   /  00 oo 2 2  /   /  2 2  /   /  00 oo 2 2  /   /  2 2  /   /  oo o o o o o o o o o o o o o o o o )) )) sin(( sin(( )) )) sin(( sin(( 2 2 )) )) cos(( cos(( )) )) cos(( cos(( 2 2 )) cos( cos( )) cos( cos( )) (( n n T T  T  T  n n T  T  T  T  n n T  T  T  T  T  T  T  T  dtdt  dtdt  t t  k  k  n n t t  k  k  n n b b dt  dt  t t  k  k  n n t t  k  k  n n a a dt  dt  t t  k  k  a a dt  dt  t t  k  k  t t   f   f 

Sudaryatno Sudirham, “Deret dan Transformasi Fourier” '/15 (arena integral untuk satu perioda dari fungsi sinus adalah nol, maka semua integral di ruas kanan persamaan ini bernilai nol kecuali satu yaitu

(

n k  t 

)

dt  a n k 

a T  _n

T 

n

∫

_{− ω = =}

− cos(( ) ) ₂ yang terjadi jika

2 2  /  2  /  0 o o

oleh karena itu

∫

− ω =  / 2 2  /  0 o o o ) cos( ) ( 2 T  T  n  f  t  n t dt  T  a

ada fungsi-fungsi yang sering kita temui, banyak diantara koefisien-koefisien !ourier-nya bernilai nol. (eadaan ini ditentukan oleh kesimetrisanfungsi f #t $ . (ita akan melihatnya dalam urain berikut ini.

Kesimetrisan Fungsi

Simetri Genap. Suatu fungsi dikatakan mempunyai simetri genap jika f #t $  f #−t $. Salah satu contoh fungsi yang memiliki simetri genap adalah fungsi cosinus, cos#ωt $  cos#−ωt $. ntuk fungsi semacam ini, dari #1$ kita dapatkan

[

]

[

]

∑

∑

∞ = ∞ = ω − ω + = − ω + ω + = 1 0 0 0 1 0 0 0 ) sin( ) cos( ) ( dan ) sin( ) cos( ) ( n n n n n n t  n b t  n a a t   f  t  n b t  n a a t   f 

(alau kedua fungsi ini harus sama, maka haruslah b_n  ), dan f #t $ menjadi

[

]

∑

∞ = ω + = 1 0 o cos( ) ) ( n n n t  a a t   f  #0$

CONTOH-1: entukan deret !ourier dari bentuk gelombang deretan pulsa berikut ini.

Penyelesaian :

2entuk gelombang ini memiliki simetri genap, amplitudo A, perioda T o , lebar pulsa T .                   _π π =                   _π π = ω ω = ω = = = = = − − − −

∫

∫

o o 2  /  2  /  o o o 2  /  2  /  o o o 2  /  2 o 2  /  2  /  o o sin 2 sin 2 sin 2 ) cos( 2 ; 0 ; 1 T  T  n n  A T  T  n n  A t  n n T   A dt  t  n  A T  a b T   AT  T   At   Adt  T  a T  T  T  T  n n T  T/  T  T 

ntukn  ', 0, 3, 4. #genap$, an  ) an hanya mempunyai nilai untuk n  1, *, 5, 4.

#ganjil$.

( )

1 cos( ) 2 ) cos( sin 2 ) ( o , 1 2  /  ) 1 ( o o , 1 o o t  n n  A T   AT  t  n T  T  n n  A T   AT  t   f  ganjil n n ganjil n ω − π + = ω                   _π π + =

∑

∑

∞ = − ∞ = −T  /2 0 T  /2 v(t ) A T T o

Pemahaman :

ada fungsi yang memiliki simetri genap, bn   ). leh karena itu sudut fasa

harmonisa tanθn bn/an  ) yang berartiθn  )o.

Simetri Ganjil. Suatu fungsi dikatakan mempunyai simetri ganjil jika  f #t $  − f #−t $. 6ontoh fungsi yang memiliki simetri ganjil adalah fungsi sinus, sin#ωt $  −sin#−ωt $. ntuk fungsi semacam ini, dari #1$ kita dapatkan

[

]

∑

∞ = ω + ω − + − = − − 1 0 0 0 cos( ) sin( ) ) ( n n n n t  b n t  a a t   f 

(alau fungsi ini harus sama dengan

[

]

∑

∞ = ω + ω + = 1 0 0 0 cos( ) sin( ) ) ( n n n n t  b n t  a a t   f  maka haruslah

[

sin( )

]

) ( 0 dan 0 1 0 0

∑

∞ = ω = ⇒ = = n n n  f  t  b n t  a a #5$

CONTOH-2:6arilah deret !ourier dari bentuk gelombang persegi di samping ini.

Penyelesaian:

2entuk gelombang ini memiliki simetri ganjil, amplitudo

 A, periodaT o T . ; 0 ; 0 o = an= a

(

)

(

1 cos ( ) 2cos( )

)

) cos( ) cos( 2 ) sin( ) sin( 2 2 2  /  o 2  /  0 o o 2  /  o 2  /  0 o π − π + π = ω + ω − ω =           ω − + ω =

∫

∫

n n n  A t  n t  n Tn  A dt  t  n  A dt  t  n  A T  b T  T  T  T  T  T  n

ntuknganjil cos#nπ$ −1 sedangkan untuk ngenap cos#nπ$  1. %engan demikian maka

(

)

(

1 1 2

)

0 untuk genap ganjil untuk 4 2 1 1 n n  A b n n  A n  A b n n = − + π = π = + + π =

∑

∞ = ω π = ⇒ ganjil n t  n n  A t  v , 1 o ) sin( 4 ) ( Pemahaman:

ada bentuk gelombang dengan semetri ganjil, an  ). leh karena itu sudut fasa

harmonisa tanθn  bn/an ∞  atau θn  7)o.

Simetri Setengah Gelombang. Suatu fungsi dikatakan mempunyai simetri setengah

gelombang jika f #t $  − f #t − T _o/'$. !ungsi dengan sifat ini tidak berubah bentuk dan nilainya

 jika diin8ersi kemudian digeser setengah perioda. !ungsi sinus#ωt $ misalnya, jika kita kita in8ersikan kemudian kita geser sebesar π  akan kembali menjadi sinus#ωt $. %emikain pula halnya dengan fungsi-fungsi cosinus, gelombang persegi, dan gelombang segitiga.

v(t )

t 

T   A

Sudaryatno Sudirham, “Deret dan Transformasi Fourier” 0/15

[

]

[

]

∑

∑

∞ = = ω − − ω − − + − = π − ω − π − ω − + − = − − 1 0 0 0 1 0 0 0 o ) sin( ) 1 ( ) cos( ) 1 ( )) ( sin( )) ( cos( ) 2  /  ( n n n n n n n n t  n b t  n a a t  n b t  n a a T  t   f 

(alau fungsi ini harus sama dengan

[

]

∑

∞ = ω + ω + = 1 0 0 0 cos( ) sin( ) ) ( n n n n t  b n t  a a t   f 

maka haruslah ao  ) dann harus ganjil. +al ini berarti bahwa fungsi ini hanya mempunyai

harmonisa ganjil saja.

Deret Fourier Bentuk Eksponensial

%eret !ourier dalam bentuk seperti #1$ sering disebut sebagai bentuk sinus-cosinus. 2entuk ini dapat kita ubah kedalam cosinus seperti #'$. Sekarang bentuk #'$ akan kita ubah ke dalam bentuk eksponensial dengan memanfaatkan hubungan

2 cos α − α ₊ = α  j  j _e e .

%engan menggunakan relasi ini maka #'$ akan menjadi

( )

∑

∑

∑

∑

∞ = θ − ω − ∞ = θ − ω ∞ = θ − ω − θ − ω ∞ =         ₊ +         ₊ + =         ₊ + + =     _{+ ω −θ} + = 1 ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 0 1 ) ( ) ( 2 2 0 1 0 2 2 0 0 0 0 0 2 2 2 ) cos( ) ( n t  n  j n n n t  n  j n n n t  n  j t  n  j n n n n n n n n n n e b a e b a a e e b a a t  n b a a t   f    #3$

Suku ketiga #3$ adalah penjumlahan dari n  1 sampai n ∞. "ika penjumlahan ini kita ubah mulai dari n  −1 sampai n −∞, dengan penyesuaian an menjadia−n ,bn menjadi b−n ,

dan θn menjadiθ−n, maka menurut #*$ perubahan ini berakibat

tan ) sin( ) ( 2 ) sin( ) ( 2 ) cos( ) ( 2 ) cos( ) ( 2 2  /  2  /  0 0 2  /  2  /  0 0 2  /  2  /  0 0 2  /  2  /  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n n n n n n n T  T  T  T  n n T  T  T  T  n a b a b b dt  t  n t   f  T  dt  t  n t   f  T  b a dt  t  n t   f  T  dt  t  n t   f  T  a θ − = θ ⇒ − = = θ − = ω − = ω − = = ω = ω − = − − − − − − − − − −

∫

∫

∫

∫

  #9$

%engan #9$ ini maka #3$ menjadi

∑

∑

−∞ − = θ − ω ∞ = θ − ω         ₊ +         ₊ = 1 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 0 0 2 2 ) ( n t  n  j n n n t  n  j n n _{n n} e b a e b a t   f    #:$

Suku pertama dari #:$ merupakan penjumlahan yang kita mulai dari n   ) untuk memasukkan a) sebagai salah satu suku penjumlahan ini. %engan cara ini maka #:$ dapat

∑

∑

+∞ −∞ = ω ∞ + −∞ = ω θ − =             ₊ = n t  n  j n t  n  j  j n n e c e e b a t   f  n ( ) n ) ( 2 2 0 0 2 ) (   #7$

;nilah bentuk eksponensial deret !ourier, dengan c_n adalah koefisien !ourier yang mungkin berupa besaran kompleks.

2 2 2 2 n n  j n n n  jb a e b a c = + − θ = −   #1)$ 0  jika tan ; 0  jika tan dengan dan 2 1 n 1 n 2 2 >           = θ <          ₋ = θ θ = ∠ + = − − n n n n n n n n n n n a a b a a b c b a c   #11$

"ikaa_n danb_n pada #*$ kita masukkan ke #1)$ akan kita dapatkan

∫

₋ − ω = − =  / 2 2  /  0 0 0 ) ( 1 2 T  T  t   jn n n n  f  t  e dt  T   jb a c n   #1'$

dan dengan #1'$ ini maka #7$ menjadi

∑

_∫

∑

+∞ −∞ = ω − ω − +∞ −∞ = ω           = = n t  n  j T  T  t   jn n t  n  j e dt  e t   f  T  e c t   f   / 2 ( ) 2  /  0 ) ( n 0 0 0 o 0 1 _{( )} ) (   #1*$

ersamaan #11$ menunjukkan bahwa '<cn< adalah amplitudo dari harmonisa ke-ndan sudut

fasa harmonisa ke-n ini adalah ∠cn. ersamaan #1)$ ataupun #1'$ dapat kita pandang

sebagai pengubahan sinyal periodik f #t $ menjadi suatu spektrum yang terdiri dari spektrum amplitudo dan spektrum sudut fasa. ersamaan #7$ ataupun #1*$ memberikan  f #t $ apabila komposisi harmonisanya cn  diketahui. ersamaan #1'$ menjadi cikal bakal transformasi

!ourier, sedangkan persamaan #1*$ adalah transformasi baliknya.

CONTOH-3:6arilah koefisien !ourier cn dari fungsi pada contoh-1).1.

Penyelesaian :

(

 / 2

)

sin 2 1 o o o 2  /  2  /  o o 2  /  2  /  o o 2  /  2  /  o o o o o T  n T  n  A  j e e T  n  A  jn e T   A dt  e  A T  c T   jn T   jn T  T  t   jn T  T  t   jn n ω ω =             ₋ ω =             ω − = = ω − ω − ω − − ω −

∫

Transformasi Fourier

Spektrum Kontinyu. %eret !ourier, yang koefisiennya diberikan oleh #1'$ hanya berlaku untuk sinyal periodik. Sinyal-sinyal aperiodik seperti sinyal eksponensial dan sinyal anak tangga tidak dapat direpresentasikan dengan deret !ourier. ntuk menangani sinyal-sinyal demikian ini kita memerlukan transformasi !ourier dan konsep spektrum kontinyu. Sinyal aperiodik dipandang sebagai sinyal periodik dengan perioda tak-hingga.

Sudaryatno Sudirham, “Deret dan Transformasi Fourier” 3/15

∑ ∫

∑

_∫

∞ −∞ = ω − ω − −∞ = ω − ω − ω           π =           = n t   jn T  T  t   jn n t   jn T  T  t   jn e dt  e t   f  e dt  e t   f  T  t   f  0 0 0 0 0 0 0 0 ) ( 2 1 ) ( 1 ) ( 0 2  /  2  /  2  /  2  /  0   #10$

(ita lihat sekarang apa yang terjadi jika periodaT )diperbesar. (arena ω)  'π/T ) maka

 jika T )  makin besar, ω)  akan makin kecil. 2eda frekuensi antara dua harmonisa yang

berturutan, yaitu 0 0 0 0 2 ) 1 ( T  n n+ ω − ω =ω = π = ω ∆

 juga akan makin kecil yang berarti untuk suatu selang frekuensi tertentu jumlah harmonisa semakin banyak. leh karena itu jika perioda sinyal T ) diperbesar menuju ∞ maka spektrum

sinyal menjadi spektrum kontinyu, ∆ω  menjadi d ω  #pertambahan frekuensi infinitisimal $, dan nω) menjadi peubah kontinyu ω. enjumlahan pada #10$ menjadi integral. "adi dengan

membuatT )→ ∞ maka #10$ menjadi

∫

∫ ∫

∞ ₋∞_∞ ω ∞ − ω ∞ ∞ − ω − _{ω ω} π = ω           π =  f  t  e dt  e d  F  e d  t   f   j t   j t  ( )  j t  2 1 ) ( 2 1 ) (   #15$

dengan F #ω$ merupakan sebuah fungsi frekuensi yang baru, sedemikian rupa sehingga

∫

₋∞_∞ − ω =

ω)  f (t )e  j t dt  (

 F   #13$

dan F #ω$ inilah transformasi !ourier dari f #t $, yang ditulis dengan notasi

[

 _f (_t )

]

=F(ω)

F

roses transformasi balik dapat kita lakukan melalui persamaan #15$.

) ( )

(_t  =F−1 ω

 f 

CONTOH-4: 6arilah transformasi !ourier dari bentuk gelombang pulsa di samping ini.

Penyelesaian :

2entuk gelombang ini adalah aperiodik yang hanya mempunyai

nilai antara −T /' dan =T /', sedangkan untuk t  yang lain nilainya nol. leh karena itu integrasi yang diminta oleh #13$ cukup dilakukan antara −T /' dan =T /' saja.

2  /  ) 2  /  sin( 2 2  /  ) ( 2  /  2  /  2  /  2  /  2  /  2  /  T  T   AT   j e e  A e  j  A dt  e  A T   j T   j T  T  t   j T  T  t   j ω ω =         ₋ ω = ω − = = ω ω − ω − ω − − ω −

∫

 F

(ita bandingkan transformasi !ourier #13$

∫

₋∞_∞ − ω =

ω)  f (t )e  j t dt  (

 F

dengan koefisien !ourier

−T  /2 0 T  /2

v(t ) A

∫

₋ − ω = − =  / 2 2  /  0 0 0 ) ( 1 2 T  T  t   jn n n n  f  t  e dt  T   jb a c n #19$

(oefisien !ourier cn  merupakan spektrum sinyal periodik dengan perioda T )  yang

terdiri dari spektrum amplitudo <cn< dan spektrum sudut fasa ∠cn, dan keduanya

merupakan spektrum garis #tidak kontinyu, memiliki nilai pada frekuensi-frekuensi tertentu yang diskrit$. Sementara itu transformasi !ourier F #ω$ diperoleh dengan mengembangkan perioda sinyal menjadi tak-hingga guna mencakup sinyal aperiodik yang kita anggap sebagai sinyal periodik yang periodenya tak-hingga. !aktor 1/T )  pada cn  dikeluarkan untuk

memperoleh F #ω$ yang merupakan spektrum kontinyu, baik spektrum amplitudo <F # j ω$< maupun spektrum sudut fasa ∠ F #ω$.

CONTOH-:>ambarkan spektrum amplitudo dari sinyal pada contoh-0. Penyelesaian :

Spektrum amplitudo sinyal aperiodik ini merupakan spektrum kontinyu <F # j ω$<.

2  /  ) 2  /  sin( ) ( T  T   AT  ω ω = ω  F Pemahaman:

Sinyal ini mempunyai simetri genap. Sudut fasa harmonisa adalah nol sehingga spektrum sudut fasa tidak digambarkan. erhatikan pula bahwa <F #ω$< mempunyai spektrum di dua sisi, ω  positif maupun negatif nilai nol terjadi jika sin#ωT /'$) yaitu pada ω  ±'k π/T #k   1,',*,4$ nilai maksimum terjadi pada ω  ), yaitu pada waktu nilai sin#ωT /'$/#ωT /'$  1.

CONTOH-!: 6arilah transformasi !ourier dari  f #t $  ? A e−αt  @ u#t $ dan gambarkan spektrum amplitudo dan fasanya.

Penyelesaian : 0 untuk ) ( ) ( 0 ) ( 0 ) ( > α ω + α = ω + α − = = = ω ∞ ω + α − ∞ _{− α+ ω} ∞ ∞ − ω − α −

∫

∫

 j  A  j e  A dt   Ae dt  e t  u  Ae t   j t   j t   j t   F α ω − = ω ∠ = ω θ ⇒ ω + α = ω ⇒ −1 2 2 tan ) ( ) ( | | ) (  j F   A  F 0 |F (ω)| 0 ω -5

Sudaryatno Sudirham, “Deret dan Transformasi Fourier” :/15 Pemahaman:

ntuk α  A ), tidak ada transformasi !ourier-nya karena integrasi menjadi tidak kon8ergen.

Transformasi Balik

ada transformasi !ourier transformasi balik sering dilakukan dengan mengaplikasikan relasi formalnya yaitu persamaan #15$. +al ini dapat dimengerti karena aplikasi formula tersebut relatif mudah dilakukan

CONTOH-": 6arilah f #t $ dari ) ( 2 ) (ω = πδ ω  F Penyelesaian : 1 ) 1 )( ( ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 1 ) ( 0 0 = ω ω δ = ω ω πδ π = ω ω πδ π =

∫

∫

∫

+ − + − α α ω ∞ ∞ − ω d  d  e d  e t   f   j t   j t  Pemahaman :

!ungsi 'πδ#ω$ adalah fungsi di kawasan frekuensi yang hanya mempunyai nilai di

ω) sebesar 'π. leh karena itu e j ωt  juga hanya mempunyai nilai di ω) sebesar e  j )t

1. (arena fungsi hanya mempunyai nilai di ω) maka integral dari −∞ sampai =∞  cukup dilakukan dari )−  sampai )=, yaitu sedikit di bawah dan di atas ω). 6ontoh ini menunjukkan bahwa transformasi !ourier dari sinyal searah beramplitudo 1 adalah 'πδ#ω$.

CONTOH-#:6arilah f #t $ dari

) ( 2 ) ( jω = πδ ω−α  F Penyelesaian : t   j t   j t   j t   j e d  e d  e d  e t   f  α α α α α α ω ∞ ∞ − ω = ω α − ω δ = ω α − ω πδ π = ω α − ω πδ π =

∫

∫

∫

+ − + − ) ( ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 1 ) ( Pemahaman :

!ungsi 'πδ#ω−α$ adalah fungsi di kawasan frekuensi yang hanya mempunyai nilai diωα sebesar 'π. leh karena itu e j ωt  juga hanya mempunyai nilai di ωα sebesar

+90o −90o θ(ω) 90 | F(ω) ω  A / α 25

e j αt . (arena fungsi hanya mempunyai nilai di ωα maka integral dari −∞ sampai =∞

cukup dilakukan dariα− sampaiα=, yaitu sedikit di bawah dan di atas ωα. CONTOH-$:6arilah f #t $ dari

[

( ) ( )

]

) ( ω+ α − ω−α α π = ω  A u u  F Penyelesaian :

[

]

[ ]

t  t   A  j e e t   A  jt  e e  A  jt  e  A d  e  A d  e u u  A t   f  t   j t   j t   j t   j t   j t   j t   j α α = − α = − α = α = ω α π π = ω α − ω − α + ω α π π = α − α α − α α α − ω ∞ ∞ − ω ∞ ∞ − ω

∫

∫

) sin( 2 2 2 1 2 1 ) ( ) ( 2 1 ) ( Pemahaman:

%alam soal ini F #ω$ mempunyai nilai pada selang −α<ω<+α  oleh karena itu e j ωt 

 juga mempunyai nilai pada selang frekuensi ini juga dengan demikian integrasi cukup dilakukan antara −α dan+α.

+asil transformasi balik f #t $ dinyatakan dalam bentuk sin#B$/B yang bernilai 1 jika B→) dan bernilai ) jika B→∞. "adi f #t $ mencapai nilai maksimum pada t  ) dan menuju nol jika t menuju ∞ baik ke arah positif maupun negatif. (ur8a F #ω$ dan

 f #t $ digambarkan di bawah ini.

Dari Transformasi Laplace ke Transformasi Fourier

ntuk beberapa sinyal, terdapat hubungan sederhana antara transformasi !ourier dan transformasi Caplace. Sebagaimana kita ketahui, transformasi Caplace didefinisikan melalui #:.1$ sebagai

∫

∞ − = 0 ( ) ) (s  f  t e st dt   F   #1:$

dengan s  σ = j ω  adalah peubah frekuensi kompleks. 2atas bawah integrasi adalah nol, artinya fungsi f #t $ haruslah kausal. "ika f #t $ memenuhi persyaratan %irichlet maka integrasi tersebut di atas akan tetap kon8ergen jika σ   ), dan formulasi transformasi Caplace ini menjadi

∫

∞ − ω = 0 ( ) ) (s  f  t e  j t dt   F   #17$ F (ω) ω +β −β 0  f (t )  A t 

Sudaryatno Sudirham, “Deret dan Transformasi Fourier” 1)/15 Sementara itu untuk sinyal kausal integrasi transformasi !ourier cukup dilakukan dari nol, sehingga transformasi !ourier untuk sinyal kausal menjadi

∫

∞ − ω = ω 0 ( ) ) (  f  t  e  j t dt   F   #')$

2entuk #')$ sama benar dengan #17$, sehingga kita dapat simpulkan bahwa

0 ) ( ) ( berlaku integrasi -di dapat dan kausal ) ( sinyal untuk = σ = ω s t   f   F  F   #'1$

ersyaratan “dapat di-integrasiD pada hubungan #'1$ dapat dipenuhi jika  f #t $ mempunyai durasi yang terbatas atau cepat menurun menuju nol sehingga integrasi < f #t $< dari t ) ke t ∞ kon8ergen. ;ni berarti bahwa pole-pole dari F #s$ harus berada di sebelah kiri sumbu imajiner. "ika persyaratan-persyaratan tersebut di atas dipenuhi, pencarian transformasi balik dari F #ω$ dapat pula dilakukan dengan metoda transformasi balik Caplace. CONTOH-1%: %engan menggunakan metoda transformasi Caplace carilah transformasi !ourier dari fungsi-fungsi berikut #anggap α,β E )$.

[

sin

]

( ) ) ( c) ) ( ) ( b). ) ( ) ( a). 3 2 1 t  u t  e  A t   f  t  t   f  t  u e  A t   f  t  t  β = δ = = α − α − Penyelesaian: α + ω = ω → α − = → α + = → → = −α  j  p s  A s F  t  u  Ae t   f  t  1 ) ( imag) sumbu kiri (di pole ) ( integrasi -di dapat dan kausal fungsi ) ( ) ( a). 1 1  F 1 ) ( 1 ) ( integrasi -di dapat dan kausal fungsi ) ( ) ( b). ₂ = ω → = → → δ =  F  s  F t  t   f  αω + ω − β + α = β + α + ω = ω → β ± α − = → β + α + = → → β = −α 2 ) ( ) ( im) sumbu kiri (di pole ) ( ) ( integrasi -di dapat kausal, fungsi ) ( sin ) ( c). 2 2 2 2 2 2 2 3  j a  j  A  j  p s  A s t  u t  e  A t   f  t   F  F

CONTOH-11:6arilah f #t $ dari

) 4 )( 3 ( 10 ) ( + ω + ω = ω  j  j  F Penyelesaian :

"ika kita ganti j ω dengans kita dapatkan

) 4 )( 3 ( 10 ) ( + + = s s s  F

ole dari fungsi ini adalah  p1 −* dan  p'  −0, keduanya di sebelah kiri sumbu

4 10 3 10 ) ( 10 3 10 ; 10 4 10 4 3 ) 4 )( 3 ( 10 ) ( 4 2 3 1 2 1 + − + = ⇒ − = + = = + = → + + + = + + = − = − = s s s s k  s k  s k  s k  s s s s s  F  F

ransformasi balik dari F #ω$ adalah &

) ( 10 10 ) (t  e 3 e 4 u t   f  = − t − − t 

Sifat-Sifat Transformasi Fourier

Kelinieran. Seperti halnya transformasi Caplace, sifat utama transformasi !ourier

adalah kelinieran.

[

₁( ) ₂( )

]

( ) ( ) : maka ) ( ) ( dan ) ( ) ( : Jika 2 1 2 1 ω + ω = + ω = ω =  F  F  F  F  B  A t   Bf  t   Af  t   f  t   f  F F F 2 1   #''$

CONTOH-12:6arilah transformasi !ourier dari v #t $  cosβt . Penyelesaian:

!ungsi ini adalah non-kausal oleh karena itu metoda transformasi Caplace tidak dapat di terapkan. !ungsi cosinus ini kita tuliskan dalam bentuk eksponensial.

[

]

 j t   j t 

[ ] [ ]

 j t   j t  e e e e β − β _{β − β} + =         ₊ = β F F F F cos t 2 1 2 1 2

%ari contoh-: kita ketahui bahwa F_e jωt _ =2πδ(ω−β)

"adi F

[

cosβt

]

=πδ(ω−β)+πδ(ω+β)

Diferensiasi .Sifat ini dinyatakan sebagai berikut

) ( ) ( ω ω =        F  j dt  t  df  F   _#'*$ ersamaan #15$ menyatakan

(

)

) ( ) ( ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( ) ( 2 1 ) ( ω ω =       → ω ω ω π =     ω ω π =           ω ω π = → ω ω π =

∫

∫

∫

∫

∞ ∞ − ω ∞ ∞ − ω ∞ ∞ − ω ∞ ∞ − ω  F  j dt  t  df  d  e F   j d  e F  dt  d  d  e F  dt  d  dt  t  df  d  e F  t   f  t   j t   j t   j t   j F

Sudaryatno Sudirham, “Deret dan Transformasi Fourier” 1'/15

Integrasi.Sifat ini dinyatakan sebagai berikut&

) ( ) 0 ( ) ( ) ( +π δ ω ω ω =    

∫

_−∞  F  F  j dx  x  f  t  F   _#'0$

Suku kedua ruas kanan #'0$ merupakan komponen searah jika sekiranya ada. !aktor F #)$ terkait dengan f #t $ jika ω diganti dengan nol akan kita dapatkan

∫

₋∞_∞ =  f  )(t dt  ) 0 (  F

CONTOH-13:6arilah transformasi !ourier dari f #t $  Au#t $. Penyelesaian:

etoda transformasi Caplace tidak dapat diterapkan untuk fungsi anak tangga. %ari contoh #1).b$ kita dapatkan bahwa F[ δ( t )]=1. (arena fungsi anak tangga

adalah integral dari fungsi impuls, kita dapat menerapkan hbungan #'0$ tersebut di atas.

[

( )

]

( ) 1 +πδ(ω) ω = δ =

∫

∞ −  x dx _j t  u F t  F

Pembalikan. embalikan suatu fungsi  f #t $ adalah mengganti t dengan −t. "ika kita membalikkan suatu fungsi, maka urutan kejadian dalam fungsi yang baru berlawanan dengan urutan kejadian pada fungsi semula. ransformsi !ourier dari fungsi yang dibalikkan sama dengan kebalikan dari transformasi !ourier fungsi semula. Secara formal hal ini dapat dituliskan sebagai

[

( )

]

( ) maka

[

(

]

) ( ) Jika F  _{f  t}  = F ω F  _f  −_t  = F −ω   _#'5$ enurut #13$

[

]

[ ] [ ]

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Misalkan ; ) ( ) ( ω − = τ τ = τ τ − = τ = − → τ = − − = −

∫

∫

∫

∞ ∞ − ωτ − ∞ − ∞ ωτ ∞ ∞ − ω −  F d  e  f  d  e  f   f  t   f  t  dt  e t   f  t   f   j  j t   j F F F

Sifat pembalikan ini dapat kita manfaatkan untuk mencari transformasi !ourier dari fungsi signum dan fungsi eksponensial dua sisi.

CONTOH-14: 6arilah transformasi !ourier dari fungsi signum dan eksponensial dua sisi berikut ini. t 0 v(t ) 1 −1 − u(−t ) u(t ) signum : sgn(t ) =u(t )−u(−t ) 0 t 0

eksponensial dua sisi :

e−α| t  |=e−αt  u(t ) +e−α(−t ) u(−t )

e−αtu(t )

v(t ) 1

Penyelesaian : 6ontoh-1* memberikan

[

( )

]

1 +πδ(ω) ω =  j t  u F  _maka

[

]

[

]

ω = − − =  j t  u t  u t ) ( ) ( ) 2 sgn( F F 6ontoh-1).a memberikan

[

]

ω + α = α −  j t  u e t  ( ) 1 F   _maka 2 2 ) ( | | 2 ) ( 1 1 ) ( ) ( ω + α α = ω − + α + ω + α = − + = −α −α − α −  j  j t  u e t  u e e t  F t  t  F

Komponen Nyata dan Imajiner dari F( ωω  ω  ω   . ada umumnya transformasi !ourier dari

 f #t $, yaitu F #ω$, berupa fungsi kompleks yang dapat kita tuliskan sebagai

ω θ ∞ ∞ − ∞ ∞ − ∞ ∞ − ω − ω = ω + ω = ω − ω = = ω

∫

∫

∫

 j t   j e  jB  A dt  t  s t   f   j dt  t  c t   f  dt  e t   f  ) ( ) ( ) ( in ) ( os ) ( ) ( ) (  F  F dengan

∫

∫

₋∞_∞ ω ω =− ₋∞_∞ ω = ω  f  t  t dt   B  f  t  t dt 

 A( ) ( )cos ; ( ) ( )sin   #'3$

          ω ω = ω θ ω + ω = ω − ) ( ) ( tan ) ( ; ) ( ) ( ) ( 2 2 1  A  B  B  A  F   _#'9$

"ika f #t $ fungsi nyata, maka dari #'3$ dan #'9$ dapat kita simpulkan bahwa 1. (omponen riil dari F #ω$ merupakan fungsi genap, karena A#−ω$  A#ω$. '. (omponen imajinerF #ω$ merupakan fungsi ganjil, karena B#−ω$ −B#ω$. *. &F #ω$< merupakan fungsi genap, karena <F #−ω$<  <F #ω$<.

0. Sudut fasa θ#ω$ merupakan fungsi ganjil, karena θ#−ω$ − θ#ω$.

5. (esimpulan #1$ dan #'$ mengakibatkan & kebalikan F #ω$ adalah konjugat-nya, F #−ω$ 

 A#ω$− jB#ω$  F F#ω$ .

3. (esimpulan #5$ mengakibatkan & F #ω$ ×F #−ω$  F #ω$×F F#ω$  <F #ω$<'. 9. "ika f #t $ fungsi genap, maka B#ω$  ), yang berarti F #ω$ riil.

:. "ika f #t $ fungsi ganjil, maka A#ω$  ), yang berarti F #ω$ imajiner.

Kesimetrisan. Sifat ini dinyatakan secara umum sebagai berikut.

[

( )

]

( ) maka

[

( )

]

2 ( )

Jika F  f  t  =F ω F F t  = π f  −ω   #':$

Sifat ini dapat diturunkan dari formulasi transformasi balik.

∫

∫

∫

∞ ∞ − ω − ∞ ∞ − ω − ∞ ∞ − ω ω = ω − π ω ω ω = − π → ω ω = π d  e t   f  t  d  e t   f  d  e t   f  t   j t   j t   j ) ( ) ( 2 : maka kan dipertukar dan Jika ) ( ) ( 2 ) ( ) ( 2  F  F  F

Sudaryatno Sudirham, “Deret dan Transformasi Fourier” 10/15

Pergeseran !aktu. Sifat ini dinyatakan sebagai berikut.

[

( )

]

( ) maka

[

(

]

) ( )

Jika F  _{f  t}  = F ω F  _{f  t} −_T  =_e− jωT  F ω   _#'7$

Sifat ini mudah diturunkan dari definisinya.

Pergeseran Frekuensi .Sifat ini dinyatakan sebagai berikut.

[

( )

]

( ) maka 1

[

(

]

) ( )

1

Jika F−  F ω = f  t  F−  F ω−β =e jβt  f  t    _#*)$

Sifat ini juga mudah diturunkan dari definisinya.

Penskalaan.Sifat ini dinyatakan sebagai berikut.

[

]

[

]

         ω = ω = a a at   f  t   f   F F | | 1 ) ( maka ) ( ) ( Jika F F   _#*1$

Ringkasan

abel-1 berikut ini memuat pasangan transformasi !ourier sedangkan sifat-sifat transformasi !ourier termuat dalam abel-'.

abel-1. asangan transformasi !ourier.

Sinyal  f #t $ F #ω$

;mpuls δ#t $ 1

Sinyal searah #konstan$ 1 'π δ#ω$

!ungsi anak tangga u#t $  _j1_ω +πδ(ω)

Signum sgn#t $  _j2_ω GBponensial #kausal$

( )

e−αt  u(t ) ω + α j 1

Gksponensial #dua sisi$ |t |

e−α ₂2 ₂ ω + α α Gksponensial kompleks _e jβt  _{2πδ(ω−β)} 6osinus cosβt π

[

δ(ω−β)+δ(ω+β)

]

Sinus sinβt − jπ

[

δ(ω−β)−δ(ω+β)

]

abel-'. Sifat-sifat transformasi !ourier.

Sifat (awasan Haktu (awasan !rekuensi

Sinyal  f #t $ F #ω$

(elinieran  A f 1#t ) + B f '#t $  AF 1#ω ) + BF '#ω$

%iferensiasi dt  t  df  )(  j ωF #ω$ ;ntegrasi

∫

∞ − t  dx  x  f ( ) ( ) +π (0)δ(ω) ω ω  F  F  j (ebalikan  f #−t $ F #−ω$ Simetri F#t $ 'π f #−ω$ ergeseran waktu  f#t −T $ _e− jωT  F(ω) ergeseran frekuensi e jβ t  f#t $ F #ω − β$ enskalaan _<a< f#at $  _       ω  a  F