SOAL-JAWAB MATEMATIKA PEMINATAN LIMIT TRIGONOMETRI ... a b

(1)

SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika P./Limit Trigonometri (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 1

SOAL-JAWAB MATEMATIKA PEMINATAN

LIMIT TRIGONOMETRI

Soal 1

....

5 )

3 )(cos

4 )(tan

3 (sin

lim

2 0





_x

x

x Jawab:

Gunakan rumus dasar limit trigonometri berikut:

b

a

bx

ax

bx

ax

x x



 

tan

lim

sin

lim

0 0

Perhatikan pada rumus di atas, hanya berlaku pada fungsi sin, tan dan linier (x), tidak ada cos nya!

Kembali pada soal, kita pecah 5x2 menjadi 5x.x , lalu dipasangkan dengan sin 3x dan tan 4x.

2 0

₅

)

3 )(cos

4 )(tan

3 (sin

lim

x

x

x

3 cos

.

4 tan

.

5

3 sin

lim

0 



5

12

1 .

1

4 .

5

3

0 cos

.

1

4 .

5

3 



Soal 2

....

4 sin

2

3 cos

2 lim

2 0







x

x Jawab:

Untuk limit fungsi trigonometri yang mengandung fungsi cos, cobain deh rumus yang mahsyur ini:

(2)

Ambil

x

2 3





, masukkan ke rumus:









2

sin

2

1

2 cos



cos

2 (

)

1

2 sin

(

)

2 3 2 2 3

_x

_

_

_x



cos

3

1

2 sin

(

)

2 3 2

_x

x





Sehingga

x

x x

_sin

₄

2 ))

(

sin

2

1 (

2 lim

4 sin

2

3 cos

2 lim

2 2 3 2 0 2 0







 

x

_sin

₄

2 )

(

sin

4

2 lim

2 2 3 2 0







x

sin

4 sin

4 )

sin(

)

sin(

4 lim

2 3 2 3 0









4

2 3 2 3







16

9 



.

(Di atas kita gunakan rumuz

b

a

bx

ax

x





sin

lim

0 ) Soal 3

....

cos

sin

lim







x

y

x

y x Jawab:

Perhatikan pada soal, x adalah variabel sedangkan y adalah konstanta (nilai) yang dituju oleh variabel x.

Gunakan rumus trigonometri menawan berikut ini:











 











 





2 sin

2 cos

2 sin

sin

x

y

x

y

x

y











 











 







2 sin

2 cos

cos

x

y

x

y

x

y

(3)

Sehingga











 











 













 











 





 

2 sin

2

2 sin

2 cos

2 lim

cos

sin

lim

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y x y x











 











 







2 sin

2 cos

lim

y

x

y

x

y x











 







cot

2 lim

x

y

y x











 





2 cot

y

_{(masukkan x = y)}





cot

 

y

CARA LAIN:

Jika Anda sudah belajar turunan (apaan tuh?), Anda bisa gunakan teorema l’Hopital

)

(

)

(

lim

)

(

)

(

lim

x

g

x

f

x

g

x

f

a x a x







 . (dengan syarat bentuknya

0

)

Turunan fungsi

f

(

x

)



sin

x

adalah

f



(

x

)



cos

x

g

(

x

)



cos

x

adalah

g



(

x

)





sin

x

Jadi,

.

cot

lim

sin

cos

lim

cos

sin

lim

x

y

x

y

x

y

x

y x y x y x















  

(Perhatikan pula turunan dari sin y maupun cos y adalah 0 (nol) karena keduanya adalah konstanta dalam y, bukan fungsi dari variabel x)

Soal Matematika ada 2 macam:

1. Soal yang singkat, mudah dan simpel. 2. Soal yang mengasyikkan_…

(4)

Soal 4

....

)

2

4 (

)

2 cos(

1 lim

2 2









_x

x

x Jawab:

Untuk bentuk

cos(

x



2 ),

kita gunakan rumus yang mahsyur :

cos

2 



1 

2 sin

2



,

dengan memasang

2 )

2 (







x

, sehingga menjadi











 







2

2 sin

2

1 )

2 cos(

x

2

x

. Sehingga, 2 2 2 2 2

₍

₄

₂

₎

}

2

2 sin

2

1 {

1 lim

)

2

4 (

)

2 cos(

1 lim

x

x x













 







  ₂ 2 2

₍

₄

₂

₎

2

2 sin

2 lim

x













 



 .

Perhatikanlah pada bentuk limit, x menuju 2 (yakni

x



2

). Kita ganti variabel x dengan variabel lain yang menuju 0 (nol).

Misalkan

p



x



2

, maka

x



p



2

Jika

x



2

maka jelas

p



0

. Pada bagian penyebut, perhatikan bahwa

2 2 2 2 2

₍

₄

₂

₍

₂

₎₎

₍

₄

₂

₄

₎

₍

₂

₎

₄

)

2

4 (



x





p







p







p



p

Sehingga bentuk limit pada soal menjadi:

p

x

p p x



























































 

  

2 sin

4

2 lim

4

2 sin

2 lim

)

2 )(

2 (

2

2 sin

2 lim

0 2 2 0 2 2

1

2

1

2

1

4

2 

_



























8

1 

.

(5)

Soal 5

....

6

1 sin

2 lim

6















_





 

_x

x

x Jawab:

Perhatikan bahwa pada limit variabel x menuju 6



. Kita perkenalkan variabel lain yang

menuju 0 (nol). Yaitu kita perkenalkan variabel

6    x p . ……. .

Karena 6    x p , maka 6    p x Perhatikan jika 6   x maka p0. Maka





p

x

p x

1 sin

2 lim

6

1 sin

2 lim

6 0 6



















_





   

p

1 }

sin

.

cos

.

{sin

2 lim

6 6 0







  

p

1 }

.

cos

3 .

{sin

2 lim

2 1 2 1 0









p

1 )

cos(

sin

3 lim

0







 Eh, itu variabel p lagi

lewat, kita kenalan yuukk….!!

(6)

p

p p

1 )

cos(

lim

sin

3 lim

0 0







 

p

1 )

(

sin

2

1 lim

1

1 .

3

2 1 2 0









3 lim

2 sin(

)

.

sin(

)

2 1 2 1 0

p









)

0 sin(

.

1 )

.(

2

3

2 1







0

3 



3 

CARA LAIN:

Jika Anda sudah belajar turunan, gunakan teorema l’Hopital:

)

(

)

(

lim

)

(

)

(

lim

x

g

x

f

x

g

x

f

a x a x







 . (dengan syarat bentuknya

0

)

Turunan fungsi

f

(

x

)



2 sin

x



1

adalah

f



(

x

)



2 cos

x

sedangkan turunan fungsi

 

6

)

(

x



x





g

adalah

g



(

x

)



1

. Sehingga,

 

₆

 

180₆ 6 6

cos

2 cos

2

1 cos

2 lim

6

1 sin

2 lim

     

_













_





x

x x

2 cos

 

30

2

3

2 1

_









. SOAL 6 Jika ₄ 3 cos 2 2 0    _bx x a Lim x , maka nilai a + b = …. Jawab:

(7)

Coba masukkan x = 0, maka

0 1 2 0 . 3 0 cos 2 3 cos 2 2 2      a b a bx x a _. Karena ₄ 3 cos 2 2 0    _bx x a Lim x , maka ₄ 0 1 2   a _.

Hal ini mengharuskan 2a10 sehingga bentuknya menjadi _.

0 0 (Jika 2a10 maka  __ 0 1 2a _{. Kontradiksi dengan} 4 0 1 2a _ _{. Sedangkan jika}₂_a_₁_₀_, maka persamaan ₄ 0 0_ _{masih memungkinkan}_). Jadi, 2a10 2 1  a Masukkan 2 1 

a ke dalam limit, maka:

4 3 cos 2 2 0    _bx x a Lim x 4 3 cos 1 2 0    _bx x Lim x 4 3 ) ( 2 cos 1 2 2 1 0    _bx x Lim x 4 3 )) ( sin 2 1 ( 1 2 2 1 2 0     _bx x Lim x 4 3 ) ( sin 2 2 2 1 2 0   _bx x Lim x 4 3 ) sin( ) sin( 2 1₂ 2 1 0    bx x x x Lim x 4 1 1 3 2 ₂1 2 1      b b 12 2 1 b  24 1 Jadi, ab ₂1₂₄1 12₂₄₂₄1 13₂₄.

(8)

SOAL 7 .... tan ) tan( lim 0     h t h t h Jawab:

Cermati, di sini h adalah variabel, sedangkan t adalah konstanta. Gunakan rumus yang tertera pada papan pengumuman!

PENGUMUMAN!            tan tan 1 tan tan ) tan( Maka h t h t h t h t h t h h tan tan tan 1 tan tan lim tan ) tan( lim 0 0              





h h t h t t h t h t h ) tan tan 1 ( tan tan 1 tan tan tan 1 tan tan lim 0              (samakan penyebut)





h h t h t t h t h ) tan tan 1 ( tan tan 1 tan tan tan lim 0       ) tan tan 1 ( tan tan tan tan tan lim 2 0 h t h h t t h t h       ) tan tan 1 ( ) tan 1 ( tan lim 2 0h t h t h h     ) tan tan 1 ( ) tan 1 ( lim . tan lim 2 0 0 t h t h h h h      ) 0 1 ( ) tan 1 ( . 1 1 2    t 1tan2tsec2t.

(9)

CARA CEPAT:

Gunakan definisi turunan

) ( ) ( ) ( lim 0 x f h x f h x f h     

Pada soal, x = t dan f(x) = tan x, sehingga:

    h t h t h tan ) tan( lim

0 {Turunan dari fungsi f(t) = tan t} sec2t

(Bagi yang sudah belajar, ingatlah turunan fungsi tan x adalah sec2 x)

SOAL 8 .... 3 cot 2 sec cosec lim 0    x x x x Jawab: Ingatlah sin 1 cosec , cos 1 sec , dan tan 1 cot  . Jadi, x x x x x x x x 3 tan 1 2 cos 1 sin 1 lim 3 cot 2 sec cosec lim 0 0      x x x x sin cos2 3 tan lim 0    3 1 1 3 0 cos 1 1 3 2 cos 1 lim sin 3 tan lim 0 0          x x x x x Ternyata ….

Memecahkan soal limit trigonometri masih lebih mudah daripada memotong batu karang dengan gergaji!!

(10)

SOAL 9 .... sin 1 1 lim 0          x x x Jawab: Samakan penyebut,                  x x x x x x x x sin sin lim sin 1 1 lim 0 0

Lalu gunakan teorema l’Hopital dengan turunan!

x x x x x 1 sin cos 1 cos lim 0      

(perhatikan untuk menurunkan x sin x, gunakan turunan dari u.v yaitu u’v+uv’ ) Kalau kita masukkan x = 0, ke fungsinya maka kita masih dapatkan bentuk .

0

0 _{Karena itu,} kita turunkan sekali lagi yuuk…!!

) sin ( cos cos sin lim 0 x x x x x x       x x x x x 2cos sin sin lim 0     0 0 2 0 lim 0     x . SOAL 10 .... sin 2 sin 2 cos 6 cos lim 0     x x x x x Jawab:

Masih ingatkah Anda dengan rumus: 

                2 sin 2 sin 2 cos cos ?

Gunakan rumus ini!

   

x x x x x x x x x x sin2 sin sin sin 2 lim sin 2 sin 2 cos 6 cos lim 2 4 2 8 0 0       

   

x x x x x sin2 sin 2 sin 4 sin 2 lim 0    

(11)

Bagi pembilang dan penyebut dengan x, sehingga menjadi:

   

x x x x x x x sin2 sin 2 sin 4 sin 2 lim 0    

 

x x x x x x x x sin2 sin ) 2 sin( 4 sin 2 lim 0 _    0. 3 0 1 1 1 2 ) 0 sin( 1 4 2       