MODUL STATISTIKA BAHAN AJAR MATEMATIKA DASAR 2 SMA NEGERI 10 MELATI SAMARINDA DI SUSUN OLEH : KHAIRUL BASARI, S.Pd

(1)

BAHAN AJAR MATEMATIKA DASAR 2

SMA NEGERI 10 ”MELATI” SAMARINDA

DI SUSUN OLEH :

KHAIRUL BASARI, S.Pd

khairulfaiq.wordpress.com

e-mail : muh_abas@yahoo.com

(2)

Modul Statistika Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com Kegiatan Pembelajaran 1

A. STANDAR KOMPETENSI

Menerapkan konsep aturan statistika dalam pemecahan masalah

B. KOMPETENSI DASAR

Mengidentifikasi pengertian statistik, statistika dan sampel

C. INDIKATOR PENCAPAIAN

1. Mengidentifikasi statistik dan statistika sesuai dengan defenisinya. 2 Mengidentifikasi populasi dan sampel berdasarkan karakteristiknya 3 Menyebutkan macam-macam data dan memberikan contohnya.

D. TUJUAN PEMBELAJARAN

Setelah pembelajaran ini siswa dapat :

1. Siswa mampu membedakan pengertian statistik dan statistika

2. Siswa mampu menjelaskan pengertian populasi

3. Siswa mampu menjelaskan pengertian sampel

4. Siswa mampu memberikan contoh populasi

5. Siswa mampu memberikan contoh sampel

6. Siswa mampu membedakan macam-macam data

7. Siswa mampu memberikan contoh macam-macam data

(3)

Modul Statistika Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com E. URAIAN MATERI

Data Dalam Bentuk Statistik Deskriptif 1. Pengertian statistik dan statistika

a. Statistik adalah kumpulan data mengenai suatu keadaan yang dapat menggambarkan keadaan tersebut.

b. Statistika adalah cabang dari matematika yang mempelajari cara pengumpulan, penyajian, penganalisaan, dan penarikan kesimpulan dari data.

Statistika secara garis besar dapat digolongkan menjadi dua metode yaitu:

a. Statistika deskriptif (deduktif) adalah metode statistika yang menggambarkan statistik, disini berupa kegiatan pengumpulan data, pengolahan data, dan penyajian data dalam bentuk tabel, grafik atau diagram.

b. Statistika inferensial (induktif) adalah bagian dari statistika yang berhubungan dengan penarikan kesimpulan mengenai populasi.

2. Pengertian populasi dan sampel

a. Populasi adalah semua objek (orang atau benda) yang akan diteliti (semesta pembicaraan).

b. Sampel adalah bagian dari populasi yang akan dijadikan objek penelitian yang bersifar representatif (mewakili populasi)

Contoh :

1. Seseorang akan membeli sekarung beras. Untuk mengetahui apakah beras yang akan dibelinya berkualitas bagus atau tidak, maka orang tersebut cukup dengan meneliti segenggam beras yang diambil dari sekarung beras tersebut.

Dari contoh di atas maka

Populasinyaadalah sekarung beras dan

Sampelnya adalah segenggam beras

2. Seorang kepala kelurahan ingin mengetahui seberapa pendapatan rata-rata warganya.

Karena waktu dan biaya, ia hanya mengambil dua RW saja untuk didata jumlah pendapatannya.

(4)

Modul Statistika Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com

Populasinya adalah Penduduk kelurahan

Sampelnyaadalah dua RW dari kelurahan tersebut

3. Macam-macam data

a. Datum adalah informasi tentang suatu masalah atau keadaan.

b. Data adalah sekumpulan informasi yang dapat menggambarkan suatu keadaan. Berarti data adalah kumpulan dari datum-datum atau dapat dikatakan bahwa data adalah bentuk jamak dari datum.

Contoh :

Nilai ulangan susulan matematika dari 6 siswa kelas X- A SMA Merpati Samarinda adalah 7, 5, 6, 8, 9 ,6. 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 2 1 Data datum datum datum datum datum datum 6 9 8 6 5 7

Data dapat dkelompokkan dengan berbagai cara, diantaranya adalah : a. Data kuantitatif dan data kualitatif

• Data kuantitatif adalah data yang diperoleh dari hasil mengukur atau

menghitung yang hasilnya selalu berupa bilangan

Contoh : - Kumpulan nilai matematika kelas X SMA y Samarinda - Harga beras di Pasar Pagi Samarinda

Data kuantitatif di bagi 2 jenis yaitu :

Data diskret (data tercacah) adalah data yang diperoleh dari hasil

menghitung.

Contoh : - Data Gaji karyawan PT. Maju Mundur - Data jumlah anak dalam suatu keluarga

Data kontinu adalah data yang diperoleh dari hasil mengukur

Contoh : - Data tinggi badan siswa SMA 10 Samarinda

(5)

Modul Statistika Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com • Data kualitatif adalah data yang menyatakan keadaan atau karakteristik yang

dimiliki oleh objek yang diteliti yang hasilnya tidak dapat dinyatakan dalam bentuk bilangan.

Contoh : - Data olahraga favourit siswa SMA 10 Samarinda.

- Data kualitas hasil panen padi di Tenggarong

Syarat data yang baik

• Objektif yaitu data harus dapat memberikan gambaran tentang keadaan yang

sebenarnya

• Terpercaya (believable) yaitu data diperoleh dari sumber yang tepat atau dapat dipercaya

• Representatif yaitu data yang diambil secara sampel harus bisa mewakili semua data yang merupakan populasinya

• Relevan yaitu data yang diperoleh harus benar-benar sesuai dan berhubungan dengan obyek atau permasalahan yang diteliti

• Terkini (up to date) yaitu data yang diperoleh merupakan data yang terbaru (terkini) dan bukan merupakan data usang yang sudah tidak sesuai lagi.

F. Tugas

1. Seorang peneliti ingin mengetahui ada tidaknya bakteri E. Sakazaki pada susu formula

bayi. Untuk itu ia memeriksa 50 susu formula bayi dari berbagai merek. Apa yang menjadi populasi dan sampel penelitian tersebut?

2. Seorang petugas laboratorium ingin menyelidiki pencemaran air di Sungai Mahakam,

tentukanlah populasi dan sampel dari pencemaran air di Sungai Mahakam tersebut? 3. Seorang peneliti dalam bidang pendidikan ingin mengetahui tingkat kelulusan siswa

SMA di Samarinda. Tentukanlah populasi dan sampel dari penelitian tersebut!

4. Buatkanlah permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang terkait dengan populasi dan sampel?

5. Klasifikasikan data berikut sebagai data kualitatif dan data kuantitatif. Jika termasuk data kuantitatif maka tentukan apakah data tersebut diskret atau kontinu.

a. Banyak mobil yang dimiliki oleh setiap keluarga

b. Berat badan dari sekelompok gajah

(6)

d. Warna mobil yang ada di parkiran sekolah SMA Bunga Harapan Samarinda

e. Data cita-cita siswa SD Bunga Harapan Samarinda

f. Data ukuran sepatu siswa di kelasmu

Pilihlah satu jawaban yang paling benar

1. Kumpulan fakta berbentuk angka yang disusun dalam daftar yang menggambarkan

suatu persoalan disebut ... a. statistik

b. statistika c. sampel d. populasi e. data

2. Pengetahuan tentang cara mengumpulkan, mengolah, menganalisis, menyajikan

dan menafsirkan data disebut ... a. statistik

b. statistika c. kinematika d. ekonomimetri e. statis

3. Yang tidak termasuk kegiatan statistik adalah ... a. mengumpulkan data

b. mengolah data

c. mempelajari teori statistik d. menganalisis data

e. menyimpulkan dan mengambil keputusan

4. Statistika yang berhubungan dengan penarikan kesimpulan mengenai populasi disebut ... a. statistika deskriptif b. statistika induktif c. populasi d. sampel e. sampling

(7)

5. Di bawah ini yang bukan merupakan syarat data yang baik adalah ... a. relevan

b. representatif c. up to date d. objektif e. banyak

6. Sebagian data yang diambil dari objek penelitian dan bersifat representatif disebut a. populasi

b. sampel c. sensus d. sampling e. referendum

7. Di bawah ini merupakan alasan sampling kecuali ... a. biaya

b. tenaga c. waktu d. sistematis e. efektif

8. Yang termasuk data kontinu adalah ... a. jumlah karyawan

b. jumlah keuntungan c.jumlah penjualan d. jumlah kendaraan e. jumlah pemakaian listrik

9. Yang termasuk data diskret adalah ... a. Tinggi badan Ardi = 170 cm b. jumlah siswa tingkat 3 = 120 orang c. Berat badan Dadang = 52 kg d. Suhu badan Ika = 27,5 0C

(8)

10. Suatu data yang tidak dapat dinyatakan dengan bilangan disebut ... a. data statistik

b. data diskret c. data kontinu d. data kualitatif e. data kuantitatif

11. Yang dimaksud data tunggal adalah ... a. data yang isinya hanya satu datum saja b. data yang nilainya sama dengan satu

c. data yang tidak/belum diklasifikasikan menuut aturan tertentu d. data yang berdiri sendiri

e. data yang berfrekuensi

12. Data yang bersumber dari hasil pengukuran disebut dengan ...

a. data kontinu b. data diskret c. data primer d. data sekunder e. data asli G. ALAT/BAHAN/SUMBER BELAJAR

Wono Setya Budhi, Ph.D. 2010. Bahan Ajar Persiapan Menuju Olimpiade Sains

Nasional/Internasional SMA Matematika 3. Jakarta : Zamrut Kumala.

Nur Aksin dkk. 2010. Buku Panduan Pendidik Matematika Untuk SMA/MA Kelas XI.

Klaten : Intan Pariwara..

(9)

Membaca dan menyajikan data dalam tabel dan diagram

1. Mampu menyajikan data tunggal dalam tabel dan diagram 2. Mampu menyajikan data berkelompok dalam tabel dan diagram 3. Mampu menafsirkan data tunggal dalam tabel dan diagram 4. Mampu menafsirkan data berkelompok dalam tabel dan diagram.

D. TUJUAN PEMBELAJARAN

1. Menyajikan data tunggal dalam bentuk tabel

2. Menyajikan data tunggal dalam bentuk diagram batang

3. Menyajikan data tunggal dalam bentuk diagram batang daun

4. Menyajikan data tunggal dalam bentuk diagram pitogram

5. Menyajikan data tunggal dalam bentuk diagram garis

6. Menyajikan data tunggal dalam bentuk diagram lingkaran

7. Menyajikan data berkelompok dalam bentuk tabel distribusi frekuensi

8. Menyajikan data berkelompok dalam bentuk histogram

9. Menyajikan data berkelompok dalam bentuk poligon

(10)

Membaca Dan Menyajikan Data 1. Data Tunggal

1.1 Membaca dan menyajikan data tunggal dalam bentuk tabel

Tabel adalah penyajian data dalam bentuk kumpulan angka yang disusun menurut kategori tertentu dalam suatu daftar.

Dalam penyusunan tabel ada beberapa hal yang harus diperhatikan yaitu :

• Judul dibuat jelas dan singkat. Apabila perlu diberi keterangan yang dicantumkan

di kaki tabel

• Judul atau kepala kolom dibuat ringkas. Jika ada penjumlahan data dalam baris dimuat pada kolom terakhir. Apabila jumlah kolom banyak dapat diberi nomor. Pencantuman unit ukuran tidak boleh dilupakan.

• Jika dianggap perlu data dapat dikelompokkan. Kelompok data yang akan

dibandingkan, diletakkan berdekatan.

• Keterangan di bawah (foot note) dimuat untuk memberi penjelasan mengenai

judul, kepala kolom, atau angka-angka dalam tabel

• Sumber data dicantumkan untuk mengetahui darimana data yang bersangkutan

diperoleh, dan jika perlu dapat diadakan pengecekan dari sumber aslinya.

Contoh :

JUMLAH PELANGGAN DAN PEMAKAI INTERNET DI SAMARINDA TAHUN 2005 – 2009

Tahun Pelanggan Pemakai Jumlah

2005 866 8.081 8.947

2006 1.087 11.226 12.313

2007 1.500 16.400 17.900

2008 1.709 20.001 21.710

2009 2.010 25.195 27.205

(11)

Modul Statistika Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com Jumlah Pelanggan dan Pemakai Internet di Samarinda

8.947 12.313 17.900 21.710 27.205 0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 1 2 3 4 5 Tahun Ju m la h h

Jenis diagram Batang tegak

2005 2006 2007 2008 2009

1. 2 Membaca dan menyajikan data tunggal dalam bentuk diagram a. Diagaram batang

Diagaram batang umumnya digunakan untuk menggambarkan perkembangan nilai suatu objek penelitian dalam kurun waktu tertentu. Diagram batang digunakan untuk menyajikan data diskrit.

Contoh :

Jumlah pemakai dan pelanggan internet Di Samarinda tahun 2005 – 2009 adalah sebagai berikut :

Tahun Pelanggan Pemakai Jumlah

2005 866 8.081 8.947

2006 1.087 11.226 12.313

2007 1.500 16.400 17.900

2008 1.709 20.001 21.710

2009 2.010 25.195 27.205

Jumlah Pelanggan dan Pemakai Internet di Samarinda 8.947 12.313 17.900 21.710 27.205 0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 1 T a h u n Jumlah

Jenis diagram Batang mendatar

2009 2008

2006 2005 2007

(12)

Modul Statistika Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com b. Diagram Batang Daun

Diagram batang digunakan untuk mengetahui penyebaran data. Dalam diagram daun data yang terkumpul di urutkan terlebih dahulu dari data terkecil sampai data terbesar. Diagram batang daun terdiri atas dua bagian yaitu bagian batang dan bagian daun. Bagian batang memuat angka puluhan dan bagian daun memuat angka satuan.

Contoh :

Hasil ulangan matematika kelas X –H SMA Mawar adalah sebagai berikut :

32 75 39 46 56 63 89 38 92 58 54

44 69 93 64 51 81 64 88 45 41 69

56 60 74 72 48 78 78 77 57 74 64

64 72 84 75 86 52 66 49 87 37

Sajikan data di atas dalam bentuk diagram batang daun

Penyelesaian

c. Diagram Piktogram

Diagram lambang adalah penyajian data statistik dalam bentuk gambar-gambar dengan ukuran tertentu untuk menunjukkan nilai masing-masing data.

Contoh

Jumlah Siswa di Kota Bangun berdasarkan Tingkat Pendidikannya Tahun 2007 ditunjukkan pada tabel dibawah ini

Batang Daun 9 23 8 146789 7 224455788 6 03444699 5 1246678 4 145689 3 2789

(13)

Data di atas jika disajikan dalam diagram pitogram adalah....

Keterangan : = 500

d. Diagram Garis

Diagram garis biasanya dipakai untuk menggambarkan suatu data yang berkelanjutan dalam suatu kurun waktu tertentu. Misalnya data tentang produksi dari tahun ke tahun, nilai ekspor suatu jenis barang dari tahun ke tahun dan sebagainya.

Contoh

Data curah hujan di Kota Bandung pada tahun 2008 sebagai berikut :

No Bulan Curah Hujan

1 Januari 290 2 Februari 580 3 Maret 230 4 April 320320 5 Mei 100 6 Juni 50 7 Juli 90 8 Agustus 110 9 September 170 10 Oktober 290 11 Nove,ber 310 12 Desember 220 Jumlah 2.760

Sumber : Kantor BMG Stasiun Bandung Tingkat Pendidikan Jumlah Siswa

TK 4.000

SD 3.000

SLTP 2.500

SLTA 3.500

Tingkat Pendidikan Lambang Jumlah

TK 4.000

SD 3.000

SLTP 2.500

(14)

Data diatas jika disajikan dalam diagram garis adalah

e. Diagram Lingkaran

Diagram lingkaran digunakan untuk menyajikan data yang menunjukkan perbandingan. Diagram lingkaran dibagi dalam juring-juring lingkaran besar sudut juring lingkaran sebanding dengan nilai data yang disajikan.

Contoh :

Pekerjaan dari 300 penduduk Desa Makmur pada tahun 2009 ditunjukkan dala tabel berikut : Pekerjaan Frekwensi Petani 90 Peternak 10 Pedagang 120 Guru 50 Karyawan 30 Jumlah 300 290 580 320 100 50 90 110 170 290 310 220 230 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 J a n u a ri F e b ru a ri M a re t A p ri l M e i J u n i J u li A g u s tu s S e p te m b e r O k to b e r N o v e ,b e r D e s e m b e r

(15)

K ar_ya w an₁ 0% Pedagang 40% Pete_rnak 3% Guru 17% Petani 30%

Untuk dapat menyajikan data tersebut ke dalam diagram lingkaran maka kita harus mencari besar sudut juring dan persentase dari masing-masing jenis pekerjaan , caranya sebagai berikut.

Pekerjaan Frekwensi Besar sudut pusat

juribng Presentase Petani 90 ₃₀₀90 ×360o =108o ₃₀₀90 ×100%=30% Peternak 10 ₃₀₀ 360o 12o 10 = × 100% 3,33% 300 10 = × Pedagang 120 ₃₀₀ 360o 144o 120 = × 100% 40% 300 120 = × Guru 50 ₃₀₀ 360o 60o 50 = × 100% 16,67% 300 50 = × Karyawan 30 ₃₀₀30 ×360o =36o ₃₀₀30 ×100%=10% Jumlah 300

(16)

Modul Statistika Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com 2. Menyajikan data berkelompok

2. 1 Tabel Distribusi Frekuensi

Untuk data yang berukuran besar (lebih dari 30 datum) maka lebih mudah jika kita sajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi. Tabel frekuensi adalah tabel yang menunjukkan atau memuat banyaknya kejadian atau frekuensi dari suatu kejadian. Tabel distribusi frekuensi adalah statistika untuk menyusun data dengan cara membagi nilai observasi ke dalam kelas-kelas dengan interval tertentu.

a. Langkah-langkah menyusun tabel distribusi frekuensi adalah sebagai berikut:

1. Tentukan daerah jangkauan (range) = R

2. Tentukan banyaknya kelas / kelompok dengan menggunakan aturan Sturgess yaitu :

3. Tentukan Interval Kelas

4. Tentukan batas kelas yaitu batas atas dan batas bawah

5. Tentukan Tepi kelas

R = datum terbesar – datum terkecil

k = 1 + 3,3 log n , dimana n adalah banyaknya datum

k R I =

Tepi atas Kelas = Batas atas kelas + 0,5

(17)

Modul Statistika Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com Contoh

Berikut ini merupakan nilai ulangan matematika dari 80 orang siswa SMA Harapan Jaya Samarinda :

75 84 68 82 68 90 62 88 93 76 88 79 73 73 61 62 71 59 75 85 75 65 62 87 74 93 95 78 72 63 82 78 66 75 94 77 63 74 60 68 89 78 96 97 78 85 60 74 65 71 67 62 79 97 78 85 76 65 65 71 73 80 65 57 88 78 62 76 74 53 73 67 86 81 72 65 76 75 77 85

Data di atas dapat kita sajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi Langkah-langkah membuat tabel distribusi frekuensi adalah :

1. Tentukan daerah jangkauan (range) = R

Datum terbesar = 97 Datum terkecil = 53

Sehingga R = datum terbesar – datum terkecil = 97 – 53 = 44

2. Tentukan banyaknya kelas/kelompok dengan menggunakan aturan Sturgess

yaitu :

k = 1 + 3,3 log n k = 1 + 3,3 log 80

k = 1 + 3,3 (1,9031) (diambil dari kalkulator/table logaritma) k = 1 + 6,3 = 7,3

k ≈ 7

2. Tentukan Interval Kelas

3 , 6 7 44 = = = I I k R I

(18)

3. Tentukan batas kelas yaitu batas atas dan batas bawah Batas bawah kelas = 52

Batas atas kelas = 58

Sehingga tabelnya adalah sebagai berikut

Kelas Turus Frekuensi Batas

bawah Batas atas Tepi bawah kelas Tepi atas kelas 52 – 58 2 52 58 51,5 58,5 59 – 65 17 59 65 58,5 65,5 66 – 72 11 66 72 65,5 72,5 73 – 79 27 73 79 72,5 79,5 80 - 86 10 80 86 79,5 86,5 87 – 93 8 87 93 86,5 93,5 94 – 100 5 94 100 93,5 100,5 Jumlah 80 b. Frekuensi kumulatif

Distribusi frekuensi kumulatif adalah sebuah distribusi yang menyatakan frekuensi total yang ada di bawah batas bawah tau frekuensi total yang ada di atas batas bawah suatu kelas.

Distribusi kumulatif yang ada di bawah batas bawah disebut frekuensi kumulatif kurang dari dan yang ada di atas atau sama dengan batas bawah disebut

frekuensi kumulatif lebih dari atau sama dengan.

b. Frekuensi Relatif

Frekuensi relatif adalah perbandingan antara frekuensi masing-masing kelas dengan jumlah frekuensi seluruhnya yang dinyatakan dalam persen.

2.2 Data dalam bentuk Diagram dan Grafik

Maksud dan tujuan menyajikan data statistik dalam bentuk diagram maupun grafik adalah agar mudah memberikan informasi secara visual. Penyajian data dalam bentuk diagram atau grafik sangat efektif untuk menyebarkan informasi baik melalui surat kabar, majalah maupun laporan-laporan statistik.

(19)

Modul Statistika Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com 1. Histogram

Histogram merupakan diagram frekuensi bertangga yang bentuknya batang-batang berimpit. Untuk buat histogram yang diperhatikan adalah tepi kelas.

Contoh :

Data nilai ulangan matematika dari 80 orang siswa SMA Harapan Jaya Samarinda yang telah kita buat tabel frekuensi diatas kita sajikan dalam jistogram.

Kelas Frekuensi Tepi bawah kelas Tepi atas kelas 52 – 58 2 51,5 58,5 59 – 65 17 58,5 65,5 66 – 72 11 65,5 72,5 73 – 79 27 72,5 79,5 80 - 86 10 79,5 86,5 87 – 93 8 86,5 93,5 94 – 100 5 93,5 100,5 Jumlah 80 2. Poligon

Dari histogram jika titik-titik tengah pada batang dihubungkan dengan garis maka garis tersebut disebut poligon.

0 5 10 15 20 25 30 1 51,5 58,5 65,5 72,5 79,5 86,5 93,5 100,5

(20)

Data nilai ulangan matematika dari 80 orang siswa SMA Harapan Jaya Samarinda yang telah kita buat tabel frekuensi diatas kita sajikan dalam jistogram.

Kelas Frekuensi Tepi bawah kelas Tepi atas kelas Nilai tengah 52 – 58 2 51,5 58,5 55 2 58 52 = + 59 – 65 17 58,5 65,5 62 2 65 59 = + 66 – 72 11 65,5 72,5 69 2 72 66 = + 73 – 79 27 72,5 79,5 76 2 79 73 = + 80 - 86 10 79,5 86,5 83 2 86 80 = + 87 – 93 8 86,5 93,5 90 2 93 87 = + 94 – 100 5 93,5 100,5 97 2 100 94 = + Jumlah 80 0 5 10 15 20 25 30 1 55 62 69 76 83 90 97

(21)

Modul Statistika Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com 3. Ogive

Jika garis diagram poligon frekuensi kumulatif dijadikan kurva mulus maka kurva tersebut disebut ogif. Ada 2 macam ogif yaitu :

• Ogif positif, yang diperoleh dari poligon frekuensi kumulatif kurang dari

• Ogif negatif, yang diperoleh dari poligon frekuensi kumulatif lebih dari

Frekuensi kumulatif kurang dari (fkk) dari menyatakan jumlah frekuensi semua nilai data yang kurang dari atau sama dengan nilai pada tiap kelas.

Frekuensi kumulatif lebih dari (fkl) menyatakan jumlah frekuensi semua nilai data yang lebih dari atau sama dengan nilai tiap kelas.

Contoh : Kelas Frekuensi Tepi bawah kelas Tepi atas kelas Fkum kurang dari TA Fkum lebih dari TB 52 – 58 2 51,5 58,5 2 80 59 – 65 17 58,5 65,5 19 78 66 – 72 11 65,5 72,5 30 61 73 – 79 27 72,5 79,5 57 50 80 - 86 10 79,5 86,5 67 23 87 – 93 8 86,5 93,5 75 13 94 – 100 5 93,5 100,5 80 5 Jumlah 80

Ogive Kurang Dari/Ogiv Positif

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 51,5 58,5 65,5 72,5 79,5 86,5 93,5 100,5

(22)

Setrika 10% Televisi 20% Lemari Es 15% Dispenser 25% Kipas angin 12% Kompor gas 18% F. TUGAS

1. Hasil Penjualan berbagai alat elektronik di toko ”Sinar” disajikan dalam diagram berikut :

Jika diketahui banyaknya kipas angin yang terjual ada 24 buah tentukan : a.banyaknya dispenser yang terjual

b.banyaknya kompor gas yang terjual

2. Data berikut adalah data tinggi badan dari 40 siswa SMA Harapan Bangsa Samarinda, siukur sampai sentimeter terdekat.

168, 165, 176, 159, 163, 175, 158, 170, 170, 155, 156, 169, 170, 160, 160, 164, 153, 154, 150, 158, 147, 151, 150, 167, 168, 160, 150, 148, 161, 174, 176, 163, 149, 166, 175, 158, 166, 164, 167, 159

Sajikan data diatas dalam bentuk

Ogive Lebih Dari/ogive Negatif

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 51,5 58,5 65,5 72,5 79,5 86,5 93,5 100,5

(23)

a. Tabel distribusi frekuensi data kelompok b. Histogram

c. Ogive Positif

G. ALAT/BAHAN/SUMBER BELAJAR

(24)

Menentukan ukuran Pemusatan Data

1. Manpu menentukan ukuran pemusatan data tunggal (mean, median dan modus) 2. Manpu menentukan ukuran pemusatan data kelompok (mean, median dan modus)

D. TUJUAN PEMBELAJARAN

1. Menghitung nilai mean data tunggal

2. Menghitung rata-rata gabungan

3. Menghitung nilai mean data berkelompok dengan menggunakan rumus

4. Menghitung nilai mean data berkelompok dengan menggunakan rata-rata sementara

5. Menghitung nuilai median data tunggal

6. Menghitung nilai median data berkelompok dengan menggunakan rumus

7. Menghitung nilai modus data tunggal

8. Menghitung nilai modus data berkelompok dengan menggunakan rumus

9. Menghitung nilai modus data berkelompok dengan menggunakan histogram

(25)

Ukuran Pemusatan Data

Ukuran pemusatan data menggambarkan tempat dimana data cenderung berkumpul. Ada 3 ukuran pemusatan data yang biasa digunakan yaitu rata-rata hitung (mean), median dan modus.

A. Data Tunggal

1. Rata-rata Hitung (mean)

Mean (x) adalah nilai rata-rata dari data. Mean paling sering dijadikan ukuran pusat data kuantitatif. Mean data tunggal merupakan jumlah nilai semua data dibagi dengan ukuran data tersebut. Misalkan kita memiliki data berukuran n dengan nilai-nilai x1, x2, ..., xn maka :

(

n

)

n _x _x _x n n x x x x = + +....+ = 1 + +...+ 2 1 2 1 sehingga,

Jika data dalam bentuk tabel distribusi data tunggal berbobot maka rata-ratanya adalah adalah : n x x n i i

∑

= = 1 n f x x k i i

∑

= = 1 .

(26)

1. Rata-rata dari data 7, 6, 4, 5, 3, 8 9 adalah

Penyelesaian 6 7 42 7 9 8 3 5 4 6 7 = = + + + + + + = x

2. Jika data umur (dalam bulan) dari 10 kelinci disajikan dalam tabel di bawah, maka rata-rata umur kelinci adalah:

Umur (bulan) Frekuensi 3 2 5 3 8 1 9 1 11 2 13 1 Total 10 Penyelesaian 3 , 7 10 73 10 ) 1 . 13 2 . 11 1 . 9 1 . 8 3 . 5 2 . 3 ( = = + + + + + = x

3. Rata-rata dari 4 buah data adalah 5, jika data ditambah satu lagi maka rata-ratanya menjadi 5,5. Maka besar data penambah adalah

Penyelesaian

Misalkan ke 4 data adalah a, b, c, d

Data penambah adalah x

(27)

5 , 7 20 5 , 27 20 5 , 27 5 5 , 5 5 20 4 5 4 = = − + = + + + + = + + + + = + + + = + + + = + + + = x x x x d c b a x d c b a x d c b a d c b a d c b a x

4. Nilai rata-rata ujian sekelompok siswa sebanyak 40 orang adalah 51. Jika seorang siswa dari kelompok itu yang mendapat nilai 90 tidak dimasukan dalam perhitungan rata-rata tersebut, maka nilai rata-rata ujian akan menjadi……

Penyelesaian 2040 40 51 = = =

∑

x x n x x

jika seorang siswa yang mendapat nilai 90 tidak dimasukkan maka perhitungannya menjadi 50 39 1950 39 90 2040 1 90 = = − = − − =

∑

n x x

(28)

Modul Statistika Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com 2. Median

Median (Me) adalah nilai yang membagi data terurut menjadi dua bagaian yang sama banyak. Median untuk data berukuran n dapat ditentukan dengan aturan sebagai berikut:

• Urutkan data dari datum terkecil sampai datum terbesar atau sebaliknya

• Jika jumlah datum ganjil, median adalah nilai dari datum ke 2

1

+ n

• Jika jumlah datum genap, maka median adalah nilai dari

2 1 2 2            + +       n ke datum n ke datum Contoh

1. Perhatikan data terurut berikut. Carilah mediannya.

a. 11 13 13 14 15 16 19 20 20

b. 5 10 10 12 16 20 25 25 27 28

Penyelesaian

a. 11 13 13 14 15 16 19 20 20

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9

n = 9 (ganjil) maka mediannya adalah

Me = datum ke       + 2 1 9 = datum ke 5 = x5 = 15 b. 5 10 10 12 16 20 25 25 27 28 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10

(29)

18 2 20 16 2 6 5 1 2 10 2 10 2 1 = + = − + − =             + +       = Me Me ke datum ke datum Me ke datum ke datum Me

2. Diketahui data terdiri dari 3 pengamatan mempunyai rata-rata 15, median 15 dan jangkauan 10. Pengamatan yang terbesar adalah ….

Penyelesaian

Dimisalkan ke 3 data tersebut setelah diurutkan adalah a, b, c

karena diketahui mediannya 15 maka nilai b = 15

jangkauan nya 10 berarti c – a = 10 ⇒ c = 10 + a

sehingga 20 10 10 10 20 2 25 2 45 10 15 45 3 15 3 = + = = = + = + + + = + + = + + = c c maka a a a a a c b a c b a x

Jadi ketiga data tersebut adalah 10, 15, 20

3. Median data di bawah adalah

Nilai 6 7 8 9

(30)

Modul Statistika Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com Penyelesaian

Dari tabel diketahui jumlah data adalah 7 + 13 + 15 + 5 = 40 Ternyata data genap, maka mediannya adalah

2 2 1 2 40 2 40 21 20 x x Me ke datum ke datum Me + =             + +       =

Jadi mediannya terletak diantara datum ke-20 dan ke 21

Datum ke 20 adalah 7 dan datum ke 21 adalah 8, sehingga Me adalah

5 , 7 2 15 2 8 7 = = + = Me Me Me 3. Modus

Pada sebuah kelompok data, modus (Mo) adalah nilai yang paling sering muncul yaitu nilai-nilai yang memiliki frekuensi paling tinggi. Dalam satu kelompok data, modus tidak mungkin tunggal, pada kasus lain ada juga kelompok data yang tidak memiliki modus karena tiap datum memiliki frekuensi yang sama.

Contoh

Modus dari data 7, 8, 3, 5, 7, 4, 6, 7, 3, 6, 3, 7, 8. adalah…

Penyelesaian

Datum 3 sebanyak 3 kali Datum 4 sebanyak 1 kali Datum 5 sebanyak 1 kali Datum 6 sebanyak 2 kali Datum 7 sebanyak 4 kali Datum 8 sebanyak 2 kali

(31)

Modul Statistika Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com B. Data Kelompok

1. Mean/Rata-rata.

Jika kita hanya mempunyai data berkelompok tanpa mengetahui detail setiap data dalam kelompok tersebut, maka mean ditentukan dari nilai titik tengah kelompok-kelompok tersebut.

Rataan (x) data berkelompok dihitung sebagai berikut :

∑

= = = _k i k i i f f x x 1 1 1 1 .

dengan xi adalah titik tengah kelas ke-i

selain cara diatas untuk menghitung rata suatu databis menggunakan rumus rata-rata sementara yakni :

∑

= = + = n i i n i i i s f d f x x 1 1 . Dimana :

• x_s= rata-rata sementara biasanya diambil pada nilai tengah pada kelas

dengan frekuensi tertinggi.

• di = simpangan (deviasi) yakni nilai tengah tiap-tiap kelas dikurang

rata-rata sementara (

(

x_i −x_s

)

Contoh

Tentukan rata-rata hitung dari data berikut :

Nilai Frekuensi 1 - 50 4 51 – 100 7 101 – 150 10 151 – 200 16 201 – 250 30 251 – 300 13

(32)

Modul Statistika Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com Penyelesaian

Dari tabel

diketahui

∑

f_i =80

∑

x_i.f_i =15040 Maka rata-ratanya adalah

188 80 15040 . = = =

∑

x x x f x x i i i

Selain cara di atas rata-rata juga bisa kita tentukan dengan menggunakan rata-rata sementara yaitu : Nilai Frekuensi xi xi.fi 1 - 50 4 25,50 2 50 1 = + 102 51 – 100 7 75,50 2 100 51 = + 528,50 101 – 150 10 125,50 2 150 101 = + 1255 151 – 200 16 175,50 2 200 151 = + 2808 201 – 250 30 225,50 2 250 201 = + 6765 251 – 300 13 275,50 2 300 251 = + 3581,5 ∑ 80 15040

(33)

Jika rata-rata sementara diambil 225,5 Maka : 188 5 , 37 5 , 225 80 3000 5 , 225 = − =       − + = x x x 2. Median

Data kelompok biasanya tersaji dalam bentuk daftar distribusi. Median untuk data berkelompok ditentukan oleh rumus berikut ini :

            − + = Me kum f f n i tb Me 2 Dimana :

•tb = tepi bawah kelas median

•kelas median 2

n

•n = frekuensi/banyaknya data

•i = interval kelas

•fkum = frekuensi kumulatif sebelum kelas median

•fMe = frekuensi pada kelas median

Nilai Frekuensi xi di fi.di 1 - 50 4 25,50 2 50 1 = + 25,5 - 225,5 = - 200 - 800 51 – 100 7 75,50 2 100 51 = + 75,5 – 225, 5 = - 150 - 1050 101 – 150 10 125,50 2 150 101 = + - 100 - 1000 151 – 200 16 175,50 2 200 151 = + - 50 - 800 201 – 250 30 225,50 2 250 201 = + 0 0 251 – 300 13 275,50 2 300 251 = + 50 650 ∑ 80 - 3000

(34)

Tentukan median dari data yang dinyatakan dalam daftar distribusi frekuensi berikut.

Berat Badan (kg) Frekuensi

40 – 49 5 50 – 59 14 60 – 69 16 70 – 79 12 80 – 89 3 Penyelesaian

Dari tabel dia atas diketahui

• n = 50

Berarti median terletak antara datum ke 25

2 50 = dan datum ke 1 26 2 50 = + . Kedua

datum terletak di kelas 60 – 69

• tepi bawah kelas median adalah 60 – 0,5 = 59,5

• fkum = 5 + 14 =19 • fMe = 16 • i = 50 – 40 = 10 maka :

(

)

25 , 63 75 , 3 5 , 59 375 , 0 10 5 , 59 16 6 10 5 , 59 16 19 2 50 10 5 , 59 2 = + = + =       + =             − + =             − + = Me kum f f n i tb Me

(35)

Modul Statistika Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com 3. Modus

Pada kasus distribusi frekuensi berkelompok, kelas yang paling tinggi frekuensinya disebut kelas modus. Nilai modus dapat ditentukan sesuai dengan rumus berikut :













+

=

2 1 1

d

i

tb

Mo

Dimana :

• tb = tepi bawah kelas modus

• d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya

• d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya

• i = panjang kelas

Contoh

1. Tentukan modus dari data yang dinyatakan dalam daftar distribusi frekuensi berikut : Berat Badan (kg) Frekuensi 40 – 49 ₅ 50 – 59 ₁₄ 60 – 69 ₁₆ 70 – 79 ₁₂ 80 – 89 ₃ Penyelesaian Diketahui :

• Kelas modusterletak pada kelas ke 3

• tb =59,5

• d1= 16 – 14 = 2

• d2= 16 – 12 = 4

• i = 50 – 40 = 10 maka :

(36)

(

)

83 , 62 33 , 3 5 , 59 333 , 0 10 5 , 59 3 1 10 5 , 59 4 2 2 10 5 , 59 2 1 1 = + = + =       + =       + + =       + + = d d d i tb Mo Jadi modusnya 62,83

2. Tentukanlah modus dari data yang dinyatakan dengan histogram seperti berikut ini Penyelesaian

Berdasarkan histogram diketahui

Kelas modus terletak pada kelas 49,5 – 54,5

Tepi bawah kelas 49,5

Panjang kelas 54,5 – 49,5 = 5 d1= 18 – 14 = 4 d2= 18 – 10 = 8 Sehingga : 39,5 44,5 49,5 54,5 59,5 64,5 18 16 14 12 10 8 6 4 2

(37)

40 38 34 27 16 8 4 1 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 25,5 30,5 35,5 40,5 45,5 50,5 55,5 60,5 65,5 70,5 16 , 51 66 , 1 5 , 49 ) 333 , 0 ( 5 5 , 49 8 4 4 5 5 , 49 = + = + =       + + = Mo

Jadi modusnya adalah 51,16

3. Tentukan mean, median dan modus dari ogive di bawah

Penyelesaian

Data dari ogif negative kita sajikan dalam table berikut

Nilai Frekuensi xi xifi 31 – 35 36 – 40 41 – 45 46 – 50 51 – 55 56 – 60 61 – 65 66 - 70 2 4 7 11 8 4 3 1 33 38 43 48 53 58 63 68 66 152 301 528 424 232 189 68 Jumlah 40 404 1960

(38)

Mean 49 40 1960 = = x x Median 68 , 48 18 , 3 5 , 45 11 7 5 5 , 45 11 13 20 5 5 , 45 2 = + =       + =       − + =           − + = Me kum f f n i tb Me Modus 36 , 48 86 , 2 5 , 45 ) 571 , 0 ( 5 5 , 45 3 4 4 5 5 , 45 = + = + =       + + = Mo F. TUGAS

1. Data berikut menunjukkan hasil 20 pertandingan hoki dari suatu tim.

Banyak gol 1 2 3 4

Jumlah pertandingan 10 7 2 1

Tentukan rata-rata banyak gol di setiap pertandingan!

2. Sebuah uji coba dilakukan untuk menyelidiki lamanya waktu yang digunakan untuk menyelesaikan suatu tugas yang sederhana. Rata-rata lamanya waktu yang dilakukan oleh sukarelawan laki-laki adalah 16,5 menit dan sukarelawan perempuan adalah 21,3

(39)

menit. Tentukan rata-rata lamanya waktu (dalam detik) yang dilakukan oleh seluruh sukarelawan tersebut!

3. Hitunglah mean dari data berikut ini ! a. 5, 5, 4, 5, 6, 7, 6, 8, 9

b. 12, 13, 14, 14, 14, 15, 16, 16, 17, 18

4. Hitunglah mean dari data berikut ini :

Nilai 3 4 5 6 7

Frekuensi 2 3 5 4 1

5. Hitunglah mean dari data berikut ini !

Nilai _Frekuensi 50 – 52 ₅ 53 – 55 ₁₈ 56 – 58 ₄₂ 59 – 61 ₂₇ 62 – 64 ₈

6. Nilai rata-rata ulangan matematika dari 38 siswa adalah 64,5. Ternyata dua siswa ikut ulangan susulan. Setelah nilai kedua siswa itu digabung, rata-ratanya menjadi 65,1. Jika siswa pertama mendapat nilai 69, tentukan nilai yang diperoleh siswa kedua! 7. Tentukanlah median dari data berikut ini : 6, 8, 5, 2, 6, 4, 6, 7, 3, 5

8. Tentukan median dari data nilai ulangan bahasa Inggris sejumlah siswa berikut :

Nilai _Frekuensi 21 – 25 ₃ 26 – 30 ₇ 31 – 35 ₈ 36 – 40 ₁₂ 41 – 45 ₆ 46 – 50 ₄

(40)

4 10 18 34 44 48 50 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 49,5 54,5 59,5 64,5 69,5 74,5 79,5 84,5 89,5 Nilai 56 59 60 63 67 71 86 91 Frekuensi 2 3 8 10 9 5 2 1

Seorang siswa dinyatakan lulus ujian jika nilai ujiannya lebih tinggi dari rata-rata nilai ujian tersebut. Tentukan banyaknya siswa yang lulus

10. Tentukan modus dari berikut berikut ini :

11. Nilai rata-rata ulangan matematika dari 20 siswa adalah 7,2. Jika nilai matematika Anggi ditambahkan maka rata-ratanya menjadi 7,3. Berapakah nilai Anggi

12. Kelas X- A siswanya berjumlah 40 orang, mempunyai nilai rata-rata 63,15. Kelas X- B siswanya berjumlah 38 orang, mempunyai nilai rata-rata 68,62. Kelas X- C siswanya berjumlah 39 orang, mempunyai nilai rata 65,23. Tentukan nilai rata-rata dari seluruh siswa tersebut

13. Rata-rata data di bawah adalah 6 maka nilai x

Nilai 4 5 6 7 8 9

Frekuensi 5 x 12 8 3 2

14. Empat kelompok siswa yang masing-masing terdiri atas 5, 8, 10, dan 17 orang menyumbang korban bencana alam. Rataan hitung sumbangan masing-masing kelompok adalah Rp4.000,00; Rp2.500,00; Rp2.000,00; dan Rp1.000,00. Tentukan rataan hitung sumbangan setiap siswa seluruh kelompok tersebut.

(41)

15. Perhatikan histogram di bawah

Dari data di atas tentukan

a. Mean

b. Median

c. Modus

G. ALAT/BAHAN/SUMBER BELAJAR

Sukino. 2007. Matematika Untuk SMA Kelas XI. Jakarta: Erlangga

1 3 11 21 43 32 9 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 1 29,5 39,5 49,5 59,5 69,5 79,5 89,5 99,5

(42)

Menentukan ukuran penyebaran data

1. Menentukan ukuran letak data tunggal (Kuartil, Desil, dan Persentil)

2. Menentukan ukuran letak data berkelompok (Kuartil, Desil, dan Persentil)

3. Menentukan ukuran penyebaran data tunggal

4. Menentukan ukuran penyebaran data berkelompok

D. TUJUAN PEMBELAJARAN

1. Siswa mampu menentukan jangkauan data tunggal

2. Siswa mampu menentukan jangkauan data kelompok

3. Siswa mampu menghitung simpangan rata-rata data tunggal

4. Siswa mampu menghitung simpangan rata-rata data kelompok

5. Siswa mampu menghitung simpangan baku data tunggal

6. Siswa mampu menghitung simpangan baku data kelompok

7. Siswa mampu menghitung kuartil data tunggal

8. Siswa mampu menghitung kuartil data kelompok

9. Siswa mampu membedakan nilai kuartil suatu data

10.Siswa mampu menentukan desil data tunggal

11.Siswa mampu menentukan desil dari data kelompok’

12.Siswa mampu menentukan jangkauan desil suatu data

13.Siswa mampu menentukan persentil data tunggal

14.Siswa mampu menghitung persentil data kelompok

15.Siswa mampu menentukan jangkauan persentil suatu data

16.Siswa mampu menentukan nilai angka baku suatu data

17.Siswa mampu menentukan nilai koefisien variasi suatu data

(43)

Ukuran Letak Dan Penyebaran Data A. UKURAN LETAK DATA

Data Tunggal 1. Kuartil

Kuartil adalah membagi data yang telah diurutkan menjadi empat bagian yang sama banyak pada data dengan banyaknya data n≥4. Kuartil dibagi menjadi 3 yakni :

a. Kuartil pertama/bawah (Q1)

Kuartil bawah (Q1) adalah membagi 4 1

bagian, untuk menentukan Q1 adalah

( )

4 1 1 + =Datumke n Q bawah Kuartil Letak b. Kuartil kedua/tengah (Q2)

4 1

, dimana r bukan bilabgan bulat, dan Qiterletak pada datum ke r dan

r + 1 maka :

(

)

(

datumker datumker

)

r n i r ke datum Q_i  + −      − + + − = 1 4 1 Contoh

1. Tentukan kuartil bawah (Q1), kuartil tengah (Q2) dan kuartil atas (Q3) dari data 3, 3, 4, 4, 4, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 10, 12 Penyelesaian Kuartil bawah (Q1) Q1 pada datum ke 3,75 4 1 14 = +

(

)(

)

4 ) 0 )( 75 , 0 ( 4 ) 4 4 )( 75 , 0 ( 4 3 4 3 75 , 3 3 1 = + = − + = − − + −

=datumke datumke datumke

Q

Jadi kuartil bawah (Q1) adalah 4

Kuartil tengah (Q2)

Q2 terletak pada datum ke 

     + + 1 2 14 2 14

Q2 terletak diantara datum ke 7 dan 8, sehingga

7 2 7 7 2 = + = Q

Jadi kuartil tengahnya Q2 adalah 7

Kuartil Atas (Q3)

Q3 terletak pada datum ke

(

)

11,25

4 1 14 3 = +

(45)

(

)(

)

25 , 8 ) 1 )( 25 , 0 ( 8 ) 8 9 )( 25 , 0 ( 8 11 12 11 25 , 11 11 3 = + = − + = − − + −

=datumke datumke datumke

Q

Jadi kuartil atasnya (Q3) adalah 8,25

2. Tentukan Q1, Q2 dan Q3 dari 3, 4, 5, 6, 8, 8, 9

Penyelesaian

Kuartil bawah

Q1 terletak pada datum 2

4 1 7

= +

Jadi kuartil bawahnya (Q1) adalah 4

Kuartil tengah

Q2 terletak pada datum 4

=r

10 1

, dimana r bukan bilabgan bulat, dan Diterletak pada datum ke r dan

r + 1 maka :

(

)

(

datumker datumker

)

r n i r ke datum D_i  + −      − + + − = 1 10 1 3. Persentil

Persentil adalah datum yang membagi data terurut menjadi seratus bagian. Untuk

data dengan banyaknya data n≥100 maka ada 99 persentil. Persentil biasanya

dilambangkan dengan P. Untuk membagi data menjadi seratus bagian yang sama besar diperlukan sembilan puluh sembilan sekat. Untuk menentukan persentil maka urutkan data dari yang terkecil sampai yang terbesar. Persentil di rumuskan :

(

)

data ukuran n i n i ke Datum P_i = • = • + − = 99 ..., , 3 , 2 , 1 100 1

Langkah menentukan persentil sama dengan menentukan letak kuartil dan desil

3 , 2 ) 1 ( 3 , 0 2 2 3 1 3 , 1 2 10 10 10 = + = − − + = P P P Persentil ke-70 (P70)

(

)

1 , 9 100 910 100 1 12 70 70 ke datum ke datum ke datum P = = + =

(48)

(

)(

)

7 ) 0 ( 1 , 0 7 7 7 9 1 , 9 7 70 70 70 = + = − − + = P P P DATA BERKELOMPOK 1. Kuartil

Menentukan kuartil pada data kelompok sama seperti menentukan median pada data kelompok. Kuartil pada data kelompok di rumuskan

            −       + = Qi kum i f f n i p tb Q 4 2. Desil

Desil untuk data kelompok dapat dicari dengan rumus berikut :

            −       + = i Q kum i f f n i p tb D 10 3. Persentil Persentil dirumuskan :             −       + = i P kum i f f n i p tb P 100 Contoh :

Berat badan dari 50 siswa ditunjukkan pada tabel di bawah

Berat Badan (kg) Frekuensi

40 – 49 5

50 – 59 14

60 – 69 16

70 – 79 12

(49)

Dari data di atas tentukan : a. Kuartil atas dan bawah b. Desil ke- 6 (D6 ) c. Persentil ke-20 (P20) Penyelesaian a. Kuartil Kelas Q1 adalah 12,5 4 50

= maka Q1 terletak pada datum ke 12 dan datum ke

14 maka terletak pada kelas 50 – 59 sehingga

)

07 , 53 57 , 3 5 , 49 357 , 0 10 5 , 49 14 5 10 10 5 , 49 20 = + = + =       − + = P

Jadi persentil ke- 20 adalah 53,07

B. UKURAN PENYEBARAN DATA Data Tunggal

1. Jangkauan

Jangkauan = J = Nilai datum terbesar – nilai datum terkecil

2. Simpangan rata-rata

Simpangan rata-rata atau deviasi rata-rata menyatakan ukuran berapa jauh penyebaran nilai-nilai data terhadap nilai rataan. Simpangan rata-rata (SR) dirumuskan

n x x SR n i i

∑

= − = 1 Dimana :

• n = ukuran data/banyaknya data

• x = rata-rata

(51)

Modul Statistika Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com 3. Ragam

(

)

n x x S n i i

∑

= − = 1 2 2 4. Simpangan Baku

(

)

n x x S S n i i

∑

= − = = 1 2 2 Contoh :

Nilai ulangan susulan matematika adalah 5, 7, 10, 9, 7, 8, 8, 6, 8, maka tentukan a. Jangkauan

b. Simpangan rata-rata c. Ragam

d. Simpangan Baku

Penyelesaian

a. Jangkauan =x_max −x_min

5 5 10 = − = b. Simpangan rata-rata 6 , 7 9 68 9 8 6 8 8 7 9 10 7 5 1 = = + + + + + + + + = − =

∑

= x n x x SR n i i

(52)

16 , 1 9 4 , 10 9 4 , 0 6 , 1 4 , 0 4 , 0 6 , 0 4 , 1 4 , 2 6 , 0 6 , 2 9 6 , 7 8 6 , 7 6 6 , 7 8 6 , 7 8 6 , 7 7 6 , 7 9 6 , 7 10 6 , 7 7 6 , 7 5 = = + + + + + + + + = − + − + − + − + − + − + − + − + − = SR c. Ragam

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

03 , 2 9 24 , 18 9 16 , 0 36 , 0 6 , 0 16 , 0 36 , 0 96 , 1 76 , 5 36 , 0 76 , 6 9 4 , 0 6 , 1 4 , 0 4 , 0 6 , 0 4 , 1 4 , 2 6 , 0 6 , 2 9 6 , 7 8 6 , 7 6 6 , 7 8 6 , 7 8 6 , 7 7 6 , 7 9 6 , 7 10 6 , 7 7 6 , 7 5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 = = + + + + + + + + = + − + + + − + + + − + − = − + − + − + − + − + − + − + − + − = − =

∑

= n x x S n i i d. Simpangan baku 42 , 1 03 , 2 2 ≈ = = S S 5. Jangkauan Antarkuartil

Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil atas dengan kuartil bawah

( )

H Q₃ Q₁ il antarkuart Jangkauan = − 6. Simpangan Kuartil

Simpangan kuartil atau rentang semi antarkuartil adalah setengah dari hamparan

(

)

2 2 1 3 Q Q H Q_d = = −

(53)

Modul Statistika Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com 7. Langkah

Satu langkah (L) sama dengan satu setengah kali hamparan

(

₃ ₁

)

2 1 1 2 1 1 H Q Q L= = −

8. Pagar Dalam dan Pagar Luar

Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama. Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga.

L Q Luar Pagar L Q Dalam Pagar + = • − = • 3 1 Contoh :

Diketahui data terurut dari banyak novel yang dimiliki delapan siswa adalah sebagai berikut : 4, 6, 7, 7, 10, 12, 13, 18. Tentukan

a. Jangkauan antarkuartil b. Simpangan kuartil c. Langkah

d. Pagar luar dan pagar dalam

Penyelesaian a. Jangkauan antarkuartil 25 , 6 ) 6 7 )( 2 25 , 2 ( 6 25 , 2 4 1 8 , 4 1 1 1 1 = − − + = = + = + = • Q Q ke Datum ke Datum n ke Datum Q

(54)

75 , 12 ) 12 13 )( 6 75 , 6 ( 12 75 , 6 4 27 4 ) 1 8 ( 3 3 3 3 = − − + = = = + = • Q Q ke datum ke datum Q

Sehingga jangkauan antarkuartil

5 , 6 25 , 6 75 , 12 1 3 = − = − =Q Q H b. Simpangan kuartil 25 , 3 2 5 , 6 2 = = =H Q_d c. Langkah

(

)

75 , 9 5 , 6 2 3 2 3 = = = H L d. Pagar 5 , 3 75 , 9 25 , 6 1 − = − = − = •Pagarluar Q L 5 , 22 75 , 9 75 , 12 3 = + = + = •Pagardalam Q L

(55)

Modul Statistika Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com Data Kelompok

1. Jangkauan

Jangkauan = J = Nilai tengah kelas terakhir – nilai tengah kelas pertama

2. Simpangan rata-rata n x x f SR n i i i

∑

= − = 1 Dengan : n = ukuran data

xi = nilai tengah kelas ke i

fi = Frekuensi kelas ke i x = rata-rata 3. Ragam

(

)

n x x f S n i i i

∑

= − = 1 2 2 4. Simpangan Baku

(

)

n x x f S n i i i

∑

= − = 1 2 Contoh Soal

Perhatikan data tinggi badan berikut :

Nilai Frekuensi 141 – 147 2 148 – 154 7 155 – 161 12 162 – 168 10 169 – 175 9 176 – 182 7 183 – 189 3

(56)

Dari data di atas tentukan : a. Jangkauan b. simpangan rata-rata c. Ragam d. Simpangan baku Penyelesaian 165 50 8250 = = =

∑

i i i f x f x a. Jangkauan J = 186 – 144 = 42 b. Simpangan rata-rata 96 , 8 50 448 1 = = − =

∑

= n x x f SR n i i i Nilai Titik Tengah (xi) Frekuensi (fi) xi . fi xi x − fi xi−x

(

)

2 x x_i− f_i

(

x_i−x

)

2 141 – 147 144 2 288 -21 42 441 882 148 – 154 151 7 1.057 -14 98 196 1.372 155 – 161 158 12 1.896 -7 84 49 588 162 – 168 165 10 1.650 0 0 0 0 169 – 175 172 9 1.548 7 63 49 441 176 – 182 179 7 1.253 14 98 196 1.372 183 – 189 186 3 558 21 63 441 1.323 50 8250 448 1372 5978

(57)

c. Ragam

(

)

56 , 119 50 5978 1 2 2 = = − =

∑

= n x x f S n i i i d. Simpangan baku 9 , 10 56 , 119 = = S Rataan Kuartil

Rataan kuartil (RK) dirumuskan

(

)

2 3 1 Q Q R_K = +

Rataan tiga kuartil (trirata)

Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan

(

)

4 2 ₂ ₃ 1 Q Q Q R_t = + + Angka Baku

• Nilai standar atau angka baku (z-score) adalah suatu bilangan yang menunjukkan posisi suatu data terhadap rata-rata di dalam kelompoknya.

• Angka baku digunakan untuk membandingkan posisi dua buah data atau lebih di dalam kelompoknya masing-masing.

• Angka baku dilambangkan dengan z-score yang dirumuskan sebagai berikut :

S

x

(58)

Nilai ujian matematika Delon adalah 85, rata-rata nilai matematika di kelasnya adalah 76 dan simpangan baku 9. Sedangkan nilai ujian pelajaran Fisika adalah 90 dengan rata-rata kelas 80 dan simpangan bakunya 15. Dalam pelajaran manakah pelajaran Delon lebih baik?

Penyelesaian

Untuk pelajaran matematika : x = 85, x=76 dan S = 9 dan

Untuk pelajaran Fisika : x = 90, x=80 dan S = 15

S x x z= −

• Untuk nilai matematika

1 9 9 9 76 85 = = − = m m m z z z

• Untuk nilai Fisika

67 , 0 15 10 15 80 90 = = − = F F F z z z

Jadi kedudukan nilai matematika Delon lebih baik dari pada nilai Fisika-nya.

Koefisien Variasi

Koefisien variasi adalah suatu bilangan yang menyatakan tingkat keragaman (variasi) data dalam suatu kelompok.

• Jika koefisien variasi dari kelompok data semakin kecil menunjukkan data-data tersebut homogen

• Jika koefisien variasi dari kelompok data semakin besar menunjukkan data-data tersebut semakin beragam (heterogen)

(59)

• Koefisien variasi dari kelompok data dirumuskan sebagai berikut :

% 100 × = x S KV Contoh

Dari hasil tes matematika di suatu kelas diketahui bahwa :

Pada sub kompetensi geometri : rata-ratanya 76 dengan simpangan baku 9 dan pada sub kompetensi statistika : rata-ratanya 80 dengan simpangan baku 15, maka pada sub kompetensi manakah yang bernilai lebih beragam?

Penyelesaian • Untuk geometri % 8 , 11 % 100 76 9 % 100 = × = × = x S KV • Untuk statistika % 75 , 18 % 100 80 15 % 100 = × = × = x S KV

Jadi, nilai statistika lebih bervariasi dibandingan dengan geometri.

Ukuran Kemiringan

Ukuran kemiringan disebut juga kecondongan. Ukuran kemiringan suatu distribusi frekuensi dapat menunjukkan apakah penyebaran data terhadap nilai rata-rata hitungnya bersifat simetris atau tidak.

Ada 3 macam bentuk kurva berdasarkan kemiringannya :

1. Simetris yaitu nilai-nilai data tersebar secara merata di sebelah kiri dan sebelah kanan dari nilai rata-ratanya.