BAHAN AJAR MATEMATIKA DASAR 2 SMA NEGERI 10 ”MELATI” SAMARINDA

(1)

MODUL PROBABILITAS

BAHAN AJAR MATEMATIKA DASAR 2

SMA NEGERI 10 ”MELATI” SAMARINDA

DI SUSUN OLEH :

KHAIRUL BASARI, S.Pd

(2)

Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com

Kegiatan Pembelajaran 1

A. STANDAR KOMPETENSI

Menggunakan kaidah pencacahan dan sifat-sifat peluang dalam pemecahan masalah

B. KOMPETENSI DASAR

Menggunakan aturan perkalian permutasi dan kombinasi dalam pemecahan masalah

C. INDIKATOR PENCAPAIAN

1. Mampu menentukan banyak kemungkinan/cara menggunakan aturan perkalian 2 Mampu menentukan banyak kemungkinan/cara menggunakan aturan permutasi 3 Mampu menentukan banyak kemungkinan/cara menggunakan aturan kombinasi

D. TUJUAN PEMBELAJARAN

Setelah pembelajaran ini siswa dapat :

1. Siswa mampu memahami aturan perkalian

2. Siswa mampu menggunan aturan perkalian dalam menentukan banyaknya

kemungkinan

3. Siswa mampu menyelesaiakan soal yang berhubungan dengan aturan perkalian

4. Siswa mampu memahami definisi faktorial

5. Siswa mampu memahami definisi permutasi

6. Siswa mampu memahami permutasi siklis

7. Siswa mampu menggunakan aturan permutasi untuk menyelesaikan soal

8. Siswa mampu menjelaskan syarat data yang baik

9. Siswa mampu memahami definisi kombinasi

(3)

E. URAIAN MATERI

KAIDAH PENCACAHAN

1. Aturan Perkalian

Untuk menentukan banyaknya cara yang mungkin dari suatu kegiatan dapat digunakan aturan perkalian. Jika kegiatan pertama terdapat k1 cara yang berbeda, kegiatan kedua

terdapat k2 cara yang berbeda, kegiatan ketiga terdapat k3 cara yang berbeda dan

seterusnya, maka :

Banyaknya cara kegiatan yang dilakukan misalkan Fn adalah k1 x k2 x k3 x … x kn

n

k

F

=

₁

×

₂

×

₃

×

...

×

Contoh

1. Andi berangkat dari Kelapa Gading ke Cengkareng melalui jalan tol. Pada saat masuk tol Kelapa Gading ada 2 loket dan saat keluar tol Cengkareng ada 3 loket. Ada berapa macam cara yang mungkin, Andi berangkat dari Kelapa Gading ke Cengkareng melalui tol tersebut.

Penyelesaian

(4)

Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com 2. Dalam suatu kelas akan diadakan pemilihan pengurus kelas yang terdiri dari ketua,

sekretaris dan bendahara. Calon yang akan diplih sebagai ketua ada 2 orang, sekretaris ada 3 orang dan bendahara ada 2 orang. Berapa banyak kemungkinan susunan pengurus kelas tersebut.

Penyelesaian

Misalkan :

– calon ketua kelas adalah K1 dan K2

– calon sekretaris adalah S1, S2 dan S3

– calon bendahara adalah B1 dan B2

Jika kita perhatikan diagram maka diketahui banyaknya kemungkinan susunan pengurus kelas adalah 2×3×2=12

Selain menggunkan cara diagram diatas untuk menentukan banyaknya susunan pengurus bis dilakukan dengan cara

Ketua Sek Bend

2 3 2

12 2 3

2× × =

Pengurus kelas

K1

S1

S2

S3

B1

B2

B1

B2

B1

B2

K2

S1

S2

S3

B1

B2

B1

B2

B1

(5)

Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com 3. Jika disediakan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7 jika akan disusun bilangan yang terdiri

dari empat angka dan tidak ada angka yang berulang, maka banyaknya bilangan antara 4000 - 6000 yang dapat disusun adalah

Penyelesaian

Langkah penyelesaian

1. karena terdiri dari 4 angka maka sediakan 4 kotak kosong

2. karena bilangan yang diminta antara 4000 – 6000 maka kotak pertama hanya dapat

diisi oleh angka 4 dan 5 saja

3. karena tidak ada angka yang berulang maka angka yang sudah mengisi kotak pertama tidak boleh mengisi kotak kedua, ketiga dan keempat.

2 pilihan 6 pilihan 5 pilihan 4 pilihan

Sehingga banyaknya angka yang dapat tersusun adalah 2×6×5×4=240

2. Faktorial

Hasil kali bilangan asli dari 1 sampai n disebut n!. Notasi n! Dibaca n faktorial.

(

) (

)

(

) (

)

1

!

0

1

!

1

2

3

...

2

1

!

1

2

...

3

2

1

!

:

=

•

=

•

×

−

×

−

×

=

×

−

×

−

×

=

•

n

Faktorial

Definisi

Contoh :

1. Tentukan nilai dari : a. 5 !

b. ! 5

! 6

c.

! ) 1 (

!

− n

n

(6)

Penyelesaian

a. 5!=5×4×3×2×1=120

b. 6

! 5 ! 5 6 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 ! 5 ! 6 = × = × × × × × × × × × =

c. n

n n n n n n n n n n n n = − − × = × × × − × − × − × × × − × − × − × =

− ( 1)!

! ) 1 ( 1 2 ... ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( 1 2 ... ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ! ) 1 ( !

2. Tentukan nilai n jika diketahui

a. 3n

! 4

! 6

=

b. 6

)! 2 ( ! = − n n c. )! 3 ( )! 1 ( 2 )! 2 ( ! − − = − n n n n Penyelesian

a. 3n

! 4 ! 6 = 10 3 30 3 5 6 3 ! 4 ! 4 5 6 = = = × = × × n n n n

b. 6

(7)

Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com c. )! 3 ( )! 1 ( 2 )! 2 ( ! − − = − n n n n memenuhi tidak n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n → = = = − − = + − + − = − − − = − − − − − = − − − 1 4 0 ) 1 )( 4 ( 0 4 5 ) 2 3 ( 2 ) 2 )( 1 ( 2 ) 1 ( )! 3 ( )! 3 )( 2 )( 1 ( 2 )! 2 ( )! 2 )( 1 ( 2 2 2

3. Permutasi

Permutasi adalah suatu susunan yang dapat dibentuk dari suatu kumpulan objek yang diambil sebagian atau seluruhnya dengan memperhatikan urutanya.

Perhatikan penjelasan berikut :

Dua huruf A dan B maka banyaknya susunan huruf tersebut adalah

! 2 1 2 2 , , = × menyusun cara ada A B B A

Dua huruf A, B dan C maka banyaknya susunan huruf tersebut adalah

! 3 1 2 3 6 , , , , , , , , , , , , = × × menyusun cara ada A B C B A C A C B C A B B C A C B A

Dua huruf A ,B, C dan D jika disusun dua huruf maka banyaknya susunan

! 2 ! 4 1 2 1 2 3 4 3 4 12 , , , , , , , , , = × × × × = × menyusun cara ada DC CD BD AD DB CB BC AC DA CA BA AB

a. Permutasi r unsur dari n unsur

(8)

)!

(

!

)

,

(

r

n

P

r

n

r

n

−

=

Contoh :

1. Tentukan nila dari

a. 8

2 P

b. P₃10

Penyelesaian a. )! 2 8 ( ! 8 8 2 − = P 56 ! 6 ! 6 7 8 = × × = b. )! 3 10 ( ! 10 10 3 − = P 720 ! 7 ! 7 8 9 10 = × × × =

2. Tentukan nilai n jika diketahui

a. ₂n =42

P

b. P₃n =8P₂n

Penyelesaian

a. ₂n =42

(9)

Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com b. P₃n =8P₂n

10 8 2 ) 1 ( 8 ) 2 )( 1 ( )! 2 ( )! 2 )( 1 ( 8 )! 3 ( )! 3 )( 2 )( 1 ( )! 2 ( ! 8 )! 3 ( ! = = − − = − − − − − = − − − − − = − n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n

3. Banyaknya bilangan yang terdiri dari empat angka yang disusun dari angka 1, 2, 3, 4, 5, 6 dan 7 dan jika tidak ada angka yang berulang adalah sebagai berikut.

Penyelesaianu

Langkah penyelesaian Angka yang tersedian 7 Angka yang dibutuhkan 4

840 ! 3 ! 3 4 5 6 7 )! 4 7 ( ! 7 7 4 = × × × × = − = P

Selain menggunakan permutasi juga dapat menggunakan cara aturan perkalian 7 pilihan 6 pilihan 5 pilihan 4 pilihan

Jadi banyaknya bilangan yang dapat dibentuk adalah 7×6×5×4=840

4. Dalam suatu rapat disediakan 8 kursi untuk peserta rapat. Ternyata yang hadir hanya 4 orang peserta. Ada berapa banyak cara peserta rapat mengambil tempat duduk. Penyelesaian 1680 ! 4 ! 4 5 6 7 8 8 4 = × × × × = P Atau

8 pilihan 7 pilihan 6 plihan 5 pilihan

(10)

b. Permutasi dengan beberapa unsur yang sama

Misalkan kita ingin menyusun huruf-huruf AAB dalam satu baris,

! 2

! 3 3

3

=

cara ada hanya

BAA ABA AAB

Terdapat 3 huruf pada susunan AAB yang berhubungan dengan 3! Susunan yang berbeda jika setiap huruf adalah berbeda.

Contoh :

Tentukan banyaknya cara menyusun susunan berbeda dari huruf-huruf

KALIMANTAN

Penyelesaian

KALIMANTAN

- Banyaknya huruf seluruhnya 10 - Banyaknya huruf K = 1

- Banyaknya huruf A = 3 - Banyaknya huruf L = 1 - Banyaknya huruf I = 1 - Banyaknya huruf M = 1 - Banyaknya huruf N = 2 - Banyaknya huruf T = 1

Maka banyaknya menyusun berbeda huruf-huruf KALIMANTAN adalah

Definisi :

Jika P adalah banyaknya permutsi dari n unsur yang memuat a unsur (objek) sama, b unsur (objek) sama, c unsur (objek) sama dan seterusnya, maka :

!

) , , (

c

b

a

(11)

Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com 302400 2 . 5 . 6 . 7 . 8 . 9 . 10 ! 2 4 . 5 . 6 . 7 . 8 . 9 . 10 ! 2 ! 3 ! 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8 . 9 . 10 ! 2 ! 3 ! 10 ! 1 ! 2 ! 1 ! 1 ! 1 ! 3 ! 1 ! 10 10 ) 1 , 2 , 1 , 1 , 1 , 3 , 1 ( = = = = = = P

b. Permutasi Siklis

Permutasi siklis yaitu susunan unsur-unsur yang membentuk lingkaran (kurva tertutup) dengan memperhatikan urutannya. Permutasi siklis dari n unsur dapat dinyatakan sebagai berikut.

(

)

=

(

n

−

1

)

!

P

siklis

Contoh :

Dalam suatu rapat pengurus Yayasan dihadiri 6 orang pengurus yang duduk melingkar pada sebuah meja bundar, ada berapa cara mereka duduk pada kursi yang tersedia.

Penyelesaian 120 1 . 2 . 3 . 4 . 5 ! 5 )! 1 6 ( ) ( = = = − = siklis P

4. Kombinasi

Kombinasi adalah susunan beberapa unsur yang diambil dari sebagian atau seluruh unsur suatu himpunan tanpa memperhatikan urutanya.

Konbinasi r unsur dari n unsur dinyatakan sebagai berikut :

!

)!

(

!

) , (

r

n

C

_r _rn _n_r

n

−

=

(12)

Contoh

1. Tentukan nilai dari C₂8 Penyelesaian 28 7 . 4 ! 2 7 . 8 ! 2 ! 6 ! 6 . 7 . 8 ! 2 ! 6 ! 8 ! 2 )! 2 8 ( ! 8 8 2 = = = = = − = C

2. Jika diketahui nC3 = 2n tentukan nilai dari 2nC7 Penyelesaian 5 0 ) 5 )( 2 ( 0 10 3 12 2 3 12 ) 2 )( ( 2 6 ) 2 )( 1 ( 2 ! 3 )! 3 ( ! 2 2 2 3 2 3 = = − + = − − = + − = − − = − − = − = n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n C n Maka nilai 120 4 . 3 . 10 ! 7 ! 3 ! 7 . 8 . 9 . 10 ! 7 )! 7 10 ( ! 10 10 7 = = = − = C

(13)

Penyelesaian

- Soal nomor ganjil 1, 3, 5, ..., 23 = 12 soal

- Siswa diminta mengerjakan 15 soal berarti soal nomor genap ada 3 soal yang harus

dikerjakan

- Jumlah soal nomor genap ada 11 soal akan dipilih 3 maka

165 6 990

! 3 ! 8

! 8 . 9 . 10 . 11

! 3 ! 8

! 11

! 3 )! 3 11 (

! 11

11 3

= = = =

− = C

Jadi banyaknya pilihan ada 165 pilihan

4. Tim bola basket terdiri atas lima orang. Jika tersedia 8 orang pemain maka banyaknya cara untuk menyusun tim adalah

Penyelesaian

56 ! 3

. 6 . 7 . 8

! 5 ! 3

! 5 . 6 . 7 . 8

! 5 )! 5 8 (

! 8

8 5

= = =

− = C

F. TUGAS

1. Tono mempunyai 3 pasang sepatu berwarna hitam, putih, dan coklat. Tono juga mempunyai 4 pasang kaos kaki berwarna biru, hitam, merah dan coklat. Berapa banyak pasangan sepatu dan kaos kaki yang dapat dipakai Tono.

(14)

Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com 3. Diberikan angka-angka 1, 2, 3, 4, dan 5. Banyaknya bilangan cacah berlainan yang

dapat disusun, yang terdiri atas tiga angka dari angka-angka tersebut adalah …

4. Nilai n yang memenuhi persamaan

(

)

(

)

3( 2) ! !

1 5

! 1

− = − +

n n n

n

adalah

5. Nilai dari

! 5 ! 2 ! 3

! 8 ! 9

! 12

+ adalah...

6. Nilai n yang memenuhi persamaan 10. ₂n = ₄n+1

P

P adalah....

7. Nilai n yang memenuhi persamaan P₆n =6!.C₅n adalah.... 8. Nilai n yang memenuhi persamaan _C₃2n =_P₃n+1_adalah....

9. Nilai n yang memenuhi persamaan

3 14

11 3

11 4 ₌

+ +

P P

n

n _adalah....

10. Seorang ibu mempunyai 7 mainan yang akan dibagikan kepada tiga anaknya. Anak pertama dan kedua mendapat 2 mainan, sedangkan anak ketiga mendapat 3 mainan. Ada berapa cara ibu tersebut membagi mainan kepada ketiga anaknya

11. Banyaknya cara untuk menyusun pengurus terdiri atas 1 ketua, 1 bendahara, dan 1 penulis dari 9 calon pengurus adalah

12. Banyak susunan berbeda yang dapat dibuat dari huruf-huruf pada kata “MATEMATIKA” adalah

13. Sebelum berpisah dengan teman-temannya, Amir dan semua temannya saling berjabatan tangan satu kali. Amir menghitung ada sebanyak 66 jabat tangan. Berapa orangkah yang hadir dalam pertemuan tersebut?

14. Banyaknya bilangan antara 2000 dan 6000 yang dapat disusun dari angka 0, 1. 2, 3, 4, 5, 6, 7, dan tidak ada angka yang sama adalah

15. Ada 10 orang tamu, tetapi hanya tersedia 4 kursi. Jika salah seorang tamu selalu duduk di kursi tertentu, maka banyaknya cara duduk di kursi tamu tersebut adalah ….

16. Banyaknya cara menyusun pasangan ganda putra dari 10 orang pemain bulu tangkis pria adalah ….

17. Dari 12 orang yang terdiri dari 8 pria dan 4 wanita akan dibentuk kelompok kerja yang beranggotakan 4 orang. Jika dalam kelompok kerja itu terdapat paling sedikit 2 pria, banyak cara membentuknya ada

(15)

Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com 19. Akan dibuat nomor-nomor undian yang terdiri dari satu huruf dan diikuti oleh dua

angka yang berbeda dan angka kedua adalah bilangan genap. Banyaknya nomor undian ada

20. Jika n

r

C menyatakan banyaknya kombinasi r elemen yang diambil dari n elemen dan

n

C₂ = n +5,maka n

n

C2 _adalah

G. ALAT/BAHAN/SUMBER BELAJAR

Wono Setya Budhi, Ph.D. 2010. Bahan Ajar Persiapan Menuju Olimpiade Sains

Nasional/Internasional SMA Matematika 3. Jakarta : Zamrut Kumala.

Nur Aksin dkk. 2010. Buku Panduan Pendidik Matematika Untuk SMA/MA Kelas XI.

Klaten : Intan Pariwara..

Sukino. 2007. Matematika Untuk SMA Kelas XI. Jakarta: Erlangga

Nugroho Soedyarto & Maryanto. 2008, BSE Matematika untuk SMA dan MA Kelas XI Program IPA, Jakarta : Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional

Wahyudin Djumanta & R. Sudrajat. 2008, BSE Mahir Mengembangkan Kemampuan

(16)

Kegiatan Pembelajaran 2

A. STANDAR KOMPETENSI

Menentukan ruang sampel suatu percobaan

1. Mampu menentukan ruang sampel suatu percobaan

2 Mampu menentukan banyaknya titik sampel suatu percobaan 3 Mampu menentukan anggota himpunan suatu kejadian

D. TUJUAN PEMBELAJARAN

1. Memahami pengertian ruang sampel suatu percobaan

2. Menentukan banyakknya ruang sampel dari pelemparan uang logam

3. Menentukan titik smapel/anggota ruang sampel dari pelemparan uang logam

4. Menentukan banyaknya ruang sampel dari pelemparan mata dadu

5. Menentukan titik smapel/anggota ruang sampel dari pelemparan mata dadu

6. Menentukan ruang sampel dari seperangkat kartu remi

7. Menentukan banyakya ruang sampel dari suatu kejadian yang berkaitan dengan kehidupan sehari-hari

(17)

E. URAIAN MATERI

1. Pengertian Ruang Sampel

2. Menentukan Ruang sampel Suatu Percobaan

a. Ruang sampel pada Uang Logam

- Pada pelemparan sebuah uang logam sekali maka kemungkinan yang muncul adalah sisi Gambar atau sisi Angka

. S = {A, G}

n(S) = 2

n(S) = 21

- Pada pelemparan sebuah uang logam dua kali maka kemungkinan yang muncul

- Pada pelemparan sebuah uang logam tiga kali maka kemungkinan yang muncul

Definisi :

Ruang sampel adalah himpunan semua titik sampel atau himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Ruang sampel dinotasikan dengan S

A

G

A

G

AA

AG GA

GG

S = {AA, AG, GA, GG}

n(S) = 4

n(S) = 2 x 2

n(S) = 22

S = {AAA, AAG, AGA, AGG, GAA, GAG, GGA, GGG}

n(S) = 8 n(S) = 2 x 2 x 2 n(S) = 23

A

G

A

G A

G

A

G

A

G A

G

AAA

AAG AGA

AGG GAA

GAG GGA

(18)

Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com Dari uraian diatas maka dapat kita simpulkan bahwa :

1). Satu buah uang logam diambung a kali, maka banyaknya ruang sampel n(S) = 2a 2). m buah uang logam diambung 1 kali, maka banyaknya ruang sampel n(S) = 2m

b. Ruang sampel pada mata Dadu

- Pada percobaan sebuah mata dadu bermata enam diambung sekali, maka

kemungkinan muncul

sisi bernomor 1 atau 2 atau 3 atau 4 atau 5 atau 6 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

n(S) = 6 n(S) = 61

- Pada percobaan sebuah mata dadu bermata lima diambung sekali maka kemungkinan muncul

sisi bernomor 1 atau 2 atau 3 atau 4 atau 5 S = {1, 2, 3, 4, 5}

n(S) = 5 n(S) = 51

- Pada percobaan sebuah mata dadu bermata enam diambung sebanyk 2 kali, maka

kemungkinan muncul

1 2 3 4 5 6

1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)

2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)

3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)

4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)

5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)

6 (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)

n(S) = 36 n(S) = 62

Jadi pada percobaan pelemparan mata dadu banyak ruang sampel adalah ; a. Pada dadu bermata 6 diambung sekali maka n(S) = 61

(19)

c. Menentukan ruang sampel pada permasalahan sehari-hari

Contoh :

1. Kantong A berisi 6 kelereng hitam, dan 4 kelereng putih. Kantong B berisi 5 kelereng hitam dan 3 kelereng putih. Dari kantong A diambil 3 buah dan dari kantong B diambil 2 buah kelereng secara acak, ruang sampel masing-masing kantong adalah

Penyelesaian

Banyaknya ruang sampel pada kantong A

- Jumlah kelereng keseluruhannya ada 10 buah kelereng

- Diambil 3 buah

120 4 . 3 . 10

! 3

8 . 9 . 10

! 3 ! 7

! 7 . 8 . 9 . 10

! 3 )! 3 10 (

! 10 )

( ₃10

= = = =

− = =C S n

Jadi banyaknya ruang sampel pada kantong A adalah 120

Banyaknya ruang sampel pada kantong B

- Jumlah kelereng keseluruhannya ada 8 buah kelereng

- Diambil 2 buah

28 7 . 4

! 2

7 . 8

! 2 ! 6

! 6 . 7 . 8

! 2 )! 2 8 (

! 8 )

( 8

2

= = = =

− = =C S n

(20)

Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com 2. Pedagang ayam mempunyai 6 ekor ayam jantan dan 4 ekor ayam betina. Jika

pedagang ayam tersebut akan menjual 5 ekor dari ayamnya. Banyaknya anggota ruang sampel dari penjualan ayam tersebut adalah

Penyelesaian

Jumlah ayam keseluruhannya ada 10 ekor

252 3 . 7 . 2 . 3 . 2

1 . 2 . 3 . 4 . 5

6 . 7 . 8 . 9 . 10

! 5 ! 5

! 5 . 6 . 7 . 8 . 9 . 10

! 5 )! 5 10 (

! 10 )

( 10₅

= = = =

− =

=C S n

Jadi banyaknya ruang sampel pada kejadian diatas adalah 252

F. TUGAS

1. Banyaknya ruang sampel dari pelemparan sebuah dadu dan dua keping uang logam secara bersamaan adalah...

2. Sebuah dadu dilemar tiga kali. Banyaknya hasil yang mungkin terjadi pada percobaan tersebut adalah

3. Pak Amir akan memancing pada sebuah kolam yang berisi 21 ikan mujahir, 12 ikan mas, dan 27 ikan tawes. Banyaknya ruang sampel pada kasus di atas adalah...

4. Banyaknya ruang sampel pada penelitian jenis kelamin tiga bayi adalah

5. Sebuah kotak berisi 8 bola merah, 3 bola putih dan 9 bola biru. Apa bila 3 bola diambil secara acak, maka banyaknya hasil yang mungkin terjadi pada percobaan tersebut adalah

6. Dari delapan titik akan dibuat suatu garis dengan tidak ada tiga titik yang segaris, maka banyaknya garis yang mungkin adalah

7. Dari 1000 kaleng sari buah, terdapat 4 yang rusak. Bila diambil 2 kaleng sari buah tersebut secara acak, maka banyaknya ruang sampel dari peristiwa di atas adalah 8. Dalam suatu kumpulan kanak-kanak ada 5 orang anak laki-laki dan 4 orang anak

(21)

Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com dari seorang anak laki-laki dan seorang anak perempuan untuk menari, maka banyaknya pasangan /cara dalam pilihan itu adalah….

9. Dari angka 1, 2, 3, ..., 9 akan disusun sebuah bilangan yang terdiri dari 4 digit, jika tidak ada angka yang berulang, maka banyaknya kemungkinan bilangan yang tersusun adalah

G. ALAT/BAHAN/SUMBER BELAJAR

(22)

Kegiatan Pembelajaran 3

A. STANDAR KOMPETENSI

Menentukan peluang suatu kejadian dan penafsirannya

1. Mampu menentukan peluang suatu kejadian

2 Mampu menentukan peluang kejadian komplemen suatu kejadian 3 Mampu menentukan kisaran nilai peluang

4. Mampu menentukan frekwensi harapan suatu kejadian 5. Mampu menentukan peluang gabungan dua kejadian 6. Mampu menentukan peluang kejadian saling asing

D. TUJUAN PEMBELAJARAN

1. Mampu menentukan peluang kejadian dengan menggunkan ruang sampel

2 Mampu menentukan peluang kejadian komplemen suatu kejadian 3 Mampu menentukan kisaran nilai peluang

(23)

E. URAIAN MATERI

1. Menentukan Peluang suatu kejadian

a. Menentukan peluang kejadian dengan pendekatan frekwensi relatif

dilakukan yang

percobaan banyak

A kejadian muncul

banyak A

kejadian muncul

relatif

Frekwensi =

Contoh :

1. Dari seperangkat kartu bridge diambil secara acak satu lembar kartu. Peluang terambilnya kartu bukan As adalah

Penyelesaian

- jumlah kartu bridge ada 52 kartu - jumlah kartu As ada 4 kartu

- jumlah kartu bukan As ada 48 kartu

13 12 52 48

= = As kartu bukan terambil Peluang

2. Dari sembilan bola di beri nomor 1, 2, 3, ..., 9. diambil 1 bola secara acak, maka peluang terambilnya bola bernomor prima adalah

Penyelesaian

- jumlah bola ada 9

- jumlah bola bernomor prima 4

( )

9 4

=

prima

P

b. Menentukan peluang kejadian dengan menggunakan ruang sampel.

Jika A adalah suatu kejadian dengan A⊂S maka peluang kejadian A adalah

)

(

)

(

)

(

S

n

A

n

A

(24)

Contoh :

1. Jika dua buah dadu dilambungkan bersama-sama, maka peluang munculnya mata dadu berjumlah 8 adalah ….

Penyelesaian

+ 1 2 3 4 5 6

1 1 + 1 = 2 1 + 2 = 3 1 + 3 = 4 1 + 4 = 5 1 + 5 = 6 1 + 6 = 7

2 2 + 1 = 3 4 5 6 7 8 3 3 + 1 = 4 5 6 7 8 9 4 4 + 1 = 5 6 7 8 9 10 5 5 + 1 = 6 7 8 9 10 11 6 6 + 1 = 7 8 9 10 11 12

Dari tabel di atas diketahui

- Banyaknya ruang sampel n(S) = 36

- Banyaknya kemungkinan muncul mata dadu berjumlah 8 n(A8) = 5

Jadi peluang munculnya mata dadu berjumlah 8 adalah

36 5 ) (A₈ = P

2. Sebuah dadu dan sekeping mata uang logam yang dilempar undi bersama-sama sekali. Peluang munculnya mata dadu sisi bernomor 5 dan sisi angka pada uang logam adalah

Penyelesaian

Banyaknya ruang sampel 6 x 2 = 12

Banyaknya kejadian muncul sisi dadu 5 dan sisi uang logan Angka adalah 1

12 1 )

(A =

P

1 2 3 4 5 6

A (A, 1) (A, 2) (A, 3) (A, 4) (A, 5) (A, 6)

(25)

Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com 3. Dari angka 1, 2, 3, 4, dan 5 akan dilakukan percobaan menyusun nomor undi

yang terdiri atas tiga angka berlainan. Jika A menyatakan kejadian munculnya nomor undi lebih dari 400, maka peluang kejadian A adalah

Penyelesaian

Banyaknya ruang sampel

5 4 3

n(S) = 5 x 4 x 3

n(S) = 60

Banyaknya bilangan yang lebih dari 400

2 4 3

n(A) = 2 x 4 x 3

n(A) = 24 maka

5 2

60 24 ) (

= = A P

c. Menentukan peluang komplemen suatu kejadian

Jika _AC_{adalah komplemen kejadian}_A_{maka peluang kejadian}_AC_adalah

( )

A 1 P(A)

P C = −

Contoh

Dalam sebuah kotak terdapat bola yang diberi nomor 1 sampai 10. jika diambil sebuah bola secara acakb, berapakah peluang munculnya:

a. bola bernomor prima

(26)

Penyelesaian

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

n(S) = 10

dimisalkan A adalah kejadian muncul bola bernomor prima

A = {2, 3, 5, 7}

n(A) = 4

a. Peluang munculnya bola bernomor prima P(A) adalah

5 2 10

4 ) (

) ( ) (

= = =

S n

A n A P

b. Peluang munculnya bola bukan bernomor prima P(AC) adalah

( )

5 3 5

2 5

5 2 1

) ( 1

= − =

− =

− = P A A

P C

2. Kisaran Nilai Peluang

a. Jika kejadian A dalam ruang sampel S selalu terjadi, dimana A = S maka

) ( )

(A n S

n = , sehingga peluang kejadian A adalah 1

) (

) ( )

( = = =

S S S n

A n A P

b. Jika kejadian A dalam ruang sampel S tidak pernah terjadi/mustahil terjadi, dimana

A = ∅, maka n(A)=0sehingga peluang kejadian A adalah 0 0

) (

) ( )

( = = =

S S n

A n A P

(27)

3. Frekuensi Harapan

Frekuensi harapan kejadian A adalah banyaknya kejadian A yang diharapkan terjadi

dalam beberapa kali percobaan. Frekuensi harapan kejadian A adalah : F_h(A)=nP(A)

Caontoh :

1. Sebuah dadu bermata enam dilemapar 90 kali. Frekuensi harapan mendapatkan mata dadu 3 adalah

Penyelesaian

6 1 ) (

1 ) (

6 ) (

= = =

A P

A n

S n

( )

15 6 1 90

= = A F_h

2. Disebuah negara diketahui bahwa peluang orang dewasa yang terkena serangan jantung adalah 0,07 dan peluang terkena penyakit liver adalah 0,17. jika sebanyak 25000 orang dewasa di negara tersebut diperiksa, berapa orang dewasa terkena penyakit serangan jantung dan berapa orang yang terkena penyakit liver

Penyelesaian

Peluang orang terkena serangan jantung

100 7 07 ,

0 =

Jadi frekuensi harapan orang terkena serangan jantung adalah

1750 100

7

25000 =

Peluang orang terkena penyakit liver adalah

100 17 17 ,

0 =

Jadi frekuensi harapan orang terkena penyakit liver adalah

4250 100

17

(28)

Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com 3. Dalam sebuah penelitian diperoleh data bahwa dari hasil penyilangan diperoleh

hasil 1000 bunga dengan warna yang berbeda dengan perbandingan 1 putih : 3 merah muda : 1 merah. Berapakah banyak bunga merah, merah muda, dan putih yang dihasilkan.

Penyelesaian

Hasil yang diperoleh 1 : 3 : 1. n(S)=1+3+1 n(S)=5 maka banyaknya bunga yang diperoleh adalah

Bunga putih adalah

(

1000

)

200

5 1

= bunga

Bunga merah muda adalah

(

1000

)

600

5 3

= bunga

Bunga merah adalah

(

1000

)

200

5 1

= bunga

2. Peluang Kejadian Majemuk

a. Peluang gabungan dua kejadian

Misalkan A dan B adalah dua kejadian yang berada dalam ruang sampel S. Peluang

gabungan dua kejadian (kejadian A dan kejadian B). Dapat ditulis P

(

A∪B

)

ditentukan dengan aturan :

(

A B

)

P(A) P(B) P(A B)

P ∪ = + − ∩

Contoh :

1. Dua puluh kartu diberi nomor 11 sampai 30. diambil satu kartu secara acak, maka peluang yang terambil adalah kartu bernomor ganjil atau kartu bernomor prima adalah

Penyelesaian

S = {11, 12, 13, ..., 30}

n(S) = 20 misalkan

A adalah kejadian terambil kartu bernomor ganjil adalah

A = {11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29}

( )

2 1 20 10 ) (

10 = =

= P A A

(29)

B adalah kejadian terambil kartu bernomor prima adalah

B = {11, 13, 17, 19, 23, 29}

n(B) = 6

10 3 20

6 )

(B = =

P

(

A∩B

)

={11, 13, 17, 19, 23, 29}

(

A∩B

)

=6

n

(

)

10 3 20

6

= = ∩B A P

Maka

(

)

(

)

2 1 20 10

20 6 20

6 20 10

) ( ) (

= =

− + =

∩ − +

=

∪B P A P B P A B A

P

2. Dari seperangkat kartu bridge diambil satu kartu secara acak, peluang terambilnya kartu warna merah atau kartu AS adalah

Penyelesaian n(S) = 52

Misalkan A adalah kejadian terambilnya kartu warna merah n(A) = 26

2 1 52 26 )

(A = =

P

Misalkan B adalah kejadian terambilnya kartu AS n(B) = 4

13 1 52

4 )

(B = =

P

2 )

(A∩B =

n

26 1 52

2 )

(A∩B = =

(30)

Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com Maka

(

)

13 7 52 28 52 2 52 4 52 26 ) ( ) ( ) ( = = − + = ∩ − + =

∪B P A P B P A B A

P

3. suatu kelas terdiri atas 40 siswa, 25 siswa gemar Matematika, 21 gemar Fisika, dan 9 siswa gemar matematika dan Fisika. Peluang seorang siswa tidak gemar matematika maupun Fisika adalah.

Penyelesaia 9 ) ( 21 ) ( 25 ) ( 40 ) ( = ∩ = = = F M n F n M n S n

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

40 3 40 37 40 40 37 1 ) ( 1 1 37 9 21 25 ) ( ) ( ) ( = − = − = ∪ − = ∪ − = ∪ = − + = ∩ − + = ∪ S n F M n F M P F M P F M n F n M n F M n C

b. Peluang gabungan dau kejadian yang saling asing/lepas

(31)

Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com Peluang gabungan dua kejadian yang saling asing dinyatakan

(

A B

)

P(A) P(B)

P ∪ = +

Contoh :

Dalam sebuah kantong terdapat 10 kartu, masing-masing diberi nomor yang berurutan dari 1 sampai 10, sebuah kartu diambil dari kantong secara acak, maka peluang kejadian yang terambil kartu nomor genap atau kartu bernomor prima ganjil adalah

Penyelesaian

10 ) (S = n

Misalnya A kejadian terambil kartu bernomor genap maka

A = {2, 4, 6, 8, 10} 5

) (A = n

2 1 10

5 ) (

) ( )

( = = =

S n

A n A P

Misalkan B kejadian terambil kartu bernomor prima ganjil

B ={3, 5, 7} 3 ) (B = n

10 3 ) (

) ( )

( = =

S n

B n B P

0 )

(A∩B =

Maka

(

)

5 4 10

8 10

3 10

5

) ( ) (

= =

+ =

∪B P A P B A

P

c. Peluang gabungan dau kejadian saling bebas

Kejadian A dan kejadian B disebut dua kejadian yang saling bebas jika kejadian A

(32)

Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com Peluang dua kejadian yang saling bebas dinyatakan sebagai berikut :

(

A B

)

P(A) P(B)

P ∩ = ×

Contoh :

1. Sebuah kotak berisi 11 bola yang diberi nomor 1 sampai 11. dua bola diambil dari kotak secara bergantian dengan pengembalian. Tentukan peluang terambil bola-bola bernomor ganjil dan genap.

Penyelesaian

11 ) (S = n

Mislakan A kejadian terambil bola bernomor ganjil A = {1, 3, 5, 7, 9, 11}

11 6 ) ( 6

)

(A = P A =

n

Mislakan B kejadian terambil bola bernomor genap B = {2, 4, 6, 8, 10}

11 5 ) ( 5

)

(B = P B =

n

Jadi peluang terambilnya bola bernomor ganjil dan genap adalah

121 30

11 5 11

6

) ( ) ( ) (

= × =

× =

∩B P A P B A

P

2. Pada pelemparan dua buah dadu sekaligus, peluang muncul sisi 3 pada dadu pertama dan sisi 5 pada dadu kedua adalah

Penyelesaian

1 2 3 4 5 6

1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)

2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)

3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)

4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)

5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)

6 (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)

Dadu kedua

D

ad

u

p

er

ta

m

(33)

Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com 36

) (S = n

Misalkan A kejadian muncul sisi 3 pada dadu pertama

A = {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)}

6 1 ) ( 6

)

(A = P A =

n

Misalkan B kejadian muncul sisi 3 pada dadu pertama

A = {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5)}

6 1 ) ( 6

)

(B = P B =

n

Peluang munculnya sisi 3 pada dadu pertama dan sisi 5 pada dadu kedua

36 1

6 1 6 1

) ( ) ( ) (

= × =

× =

∩B P A P B A

P

3. Sebuah kotak berisi 5 bola merah dan 3 bola putih. Kita ambil 2 bola sekaligus dari kotak itu. Peluang bahwa yang terambil itu bola merah dan bola putih adalah

Penyelesaian

28 ! 2 ! 6

! 8 )

( 8

2

= = =C S n

Misalkan A adalah kejadian terambilnya bola merah

5 ! 1 ! 4

! 5 )

( ₁5

= =

=C A n

Misalkan B adalah kejadian terambilnya bola putih

3 ! 1 ! 2

! 3 )

( ₁3

= =

(34)

Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com 15

3 5

) ( ) ( ) (

= × =

× =

∩B n A n B A

n

peluang terambilnya bola merah dan putih

28 15

) (

) ( ) (

= ∩ = ∩

S n

B A n B A P

4. Ranti Marinda akan menempuh ujian Fisika, Kimia dan Matematika. Peluang untuk lulus Fisika 70 %, Kimia 60 % dan Matematika 50 %. Peluang untuk lulus ketiga-tiganya adalah

Penyelesaian

Peluang lulus Fisika 70% = 0,7 Peluang tidak lulus Fisika 30% = 0,3 Peluang lulus Kimia 60% = 0,6 Peluang tidak lulus Kimia 40% = 0,4 Peluang lulus Matematika 50% = 0,5 Peluang tidak lulus Matematika 50% = 0,5

Maka peluang Ranti lulus ketiganya mata pelajaran adalah

(

)

% 21 1000

210

10 5 10

6 10

7

) ( ) ( ) (

= =

× × =

× ×

= ∩

∩K M P F P K P M F

P

d. Peluang gabungan dua kejadian saling bersyarat

kejadian A dan kejadian B disebut dua kejadian yang saling bersyarat, jika kejadian

A bergantung pada kejadian B atau sebaliknya

Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B dulu, ditentukan dengan aturan

0 ) ( ; ) (

) ( ) |

( = ∩ P B >

B P

(35)

Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A dulu, ditentukan dengan aturan

0 ) ( ; ) (

) ( ) |

( = ∩ P A >

A P

B A P A B

P

Contoh :

Dalam sebuah kotak terdapat 6 bola merah dan 4 bola putih. Jika sebuah bola diambil dalam kotak itu berturut-turut sebanyak dua kali tanpa pengembalian, peluang yang terambil kedua-duanya bola merah adalah.

Penyelesaianu

Pada pengambilan pertama ( ) 10 10

1 = =C S n

Misal A kejadian terambil bola merah maka n(A)=C₁6 =6

5 3 10

6 )

(A = =

P

Pada pengambilan kedua n(S)=C₁9 =9

Misal B kejadian terambil bola merah maka n(B)=C₁5 =5

(

)

3 1

9 5 5 3

) / ( ). ( 9 5 ) / (

= = = ∩

=

A B P A P B A P

A B P

F. TUGAS

1. Diketahui tiga keping mata uang logam dengan masing-masing mempunyai muka angka dan gambar. Ketiga keping uang logam itu dilempar sekali bersama-sama. Peluang kejadian muncul dua angka dan satu gambar adalah

2. Dari 1000 kaleng sari buah, terdapat 4 yang rusak. Bila diambil 2 kaleng sari buah tersebut secara acak, maka besar peluang bahwa kedua-duanya rusak.

(36)

Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com diantara 100 orang mahasiswa itu. Maka peluang agar mahasiswa yang dipanggil itu tidak mengikuti kuliah Bahasa Indonesia maupun Sejarah adalah

4. Dua buah dadu bersisi emam dilemparkan bersama-sama. Peluang kejadian mata dadu yang muncul berjumlah 8 atau 12 adalah

5. Satu kartu diambil dari seperangkat kartu brids. Peluang untuk terambil kartu As atau K adalah

6. Jika sebuah dadu dilambungkan maka peluang munculnya mata dadu genap atau prima adalah

7. Tuti ingin menjumpai ketiga kawannya yang rumahnya berlainan tempat. Peluang Tuti menjumpai dua kawannya adalah

8. Menurut ramalan cuaca di Samarinda, peluang untuk hujan 60% dan peluang untuk angin ribut 20%. Peluang di Samarinda untuk hujan dan angin ribut adalah

9. Bu Siska bercita-cita ingin memiliki 4 orang anak. Peluang bu Siska memiliki paling sedikit 2 anak laki-laki adalah

10. Pedagang ayam mempunyai 6 ekor ayam jantan dan 4 ekor ayam betina. Akan dijual 5 ekor ayam. Peluang yang terjual 3 diantaranya ayam betina adalah

11. Adi, Beti, Cici, Dika dan Endah akan duduk secara acak pada 5 kursi yang berderet dari kiri ke kanan. Peluang Adi dan Beti duduk selalu berdampingan adalah

12. Peluang siswa A dan B lulus ujian adalah 0,98 dan 0,95 . Peluang siswa A lulus dan siswa B tidak lulus adalah

13. Dalam sebuah kotak terdapat 5 manik merah dan 4 manik putih. Jika diambil 2 manik secara acak, peluang terambil satu manik merah dan satu manik putih adalah

14. Sebuah dompet berisi uang logam, 5 keping lima ratusan rupiah dan 2 keping ratusan rupiah. Dompet yang lain berisi uang logam 1 keping lima ratusan dan 3 keping ratusan rupiah. Jika sebuah uang logam diambil secara acak dari salah satu dompet, peluang untuk mendapatkan uang logam ratusan rupiah adalah

(37)