KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN

(1)

Hak Cipta

Dilindungi Undang-undang

SOLUSI SOAL

OLIMPIADE SAINS NASIONAL

TAHUN 2016

ASTRONOMI

RONDE TEORI

KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN

DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN MENENGAH

DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH ATAS

(2)

KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN

DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN MENENGAH

DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH ATAS

Soal Esai

1. Komponen suatu sistem bintang ganda mempunyai massa yang sama, yaitu 1,25Md. Jika periode orbit

sistem adalah7,5 jam dan orbit dianggap lingkaran dengan inklinasi sebesar65˝ _{terhadap bidang langit,}

berapakah kecepatan radial masing-masing bintang (dalam satuan m/s)?

Jawab:

Gunakan hubungan Hukum III Kepler:

a3 P2 “ GM 4π2 a3 “ GM P 2 4π2

dan kecepatan radial untuk orbit lingkaran (Vr):

Vr“ 2πasini P sehingga a“ P Vr 2πsini Diperoleh: ˆ P Vr 2πsini ˙3 “ P 2_GM 4π2 P3V_r3 8π3_sin3_i “ P2GM 4π2 V_r3 “ 2πGMsin 3_i P Vr “ 3 c 2πGM P sini “ 3 d 2ˆπˆ6,673ˆ10´11_ˆ₄_,₉₇_ˆ₁₀30 2,7ˆ104 sin 65 ˝ “ 3 a 77,14ˆ1015_ˆ₀_,₉_“₃_,₈₃₄_ˆ₁₀5 _m/s

dengan massa totalM dan periode orbitP masing-masing

M “ M1`M2 “2ˆ1,25Md“2,5Md“2,5ˆ1,989ˆ1030 kg“4,97ˆ1030kg P “ 7,5jam“7,5 jamˆ p3600 s{jamq “2,7ˆ104 s

(3)

V “V1`V2 Dari hubungan V1M1 “V2M2 denganM1 “M2, maka V1 “V2 M2 M1 “V2 Dengan demikian, V “V1`V2“2V1 “2V2 atau V1 “V2 “ 1 2 V “1,917ˆ10 5 _m {s

2. Perhatikan skema interferometer LIGO (Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory) berikut. LIGO menggunakan Laser 700nm dan memiliki panjang lengan awal masing-masing 4 km. Pada awal-nya, berkas laser dari masing-masing lengan yang bertemu memiliki fase yang sama. Jika terdapat ge-lombang gravitasi, maka lengan interferometer dapat memendek atau memanjang sehingga menyebabkan perubahan pola interferensi di titik temu.

(a) Jika terdapat gelombang gravitasi yang menyebabkan salah satu lengan interferometer memendek sebesar ∆l sedangkan lengan lainnya memanjang sebesar ∆l, maka akan terjadi perubahan pola interferensi dari terang menjadi gelap. Berapakah nilai∆l (dalam satuan m)?

(b) Hitunglah perbandingan besar perubahan panjang lengan terhadap panjang lengan awal. Perbandi-ngan ini disebut sebagai regaPerbandi-ngan ataustrainyang sebanding dengan amplitudo gelombang gravitasi. (c) Jika gelombang gravitasi yang diakibatkan oleh interaksi lubang hitam ganda menyebabkan pada akhirnya kedua lubang hitam bersatu (merge) menjadi lubang hitam simetris, berapakah amplitudo gelombang gravitasi yang terdeteksi?

(4)

Jawab:

Diketahui nilaiλ“700nm danl“4 km.

(a) Karena prinsip pemantulan, jarak yang ditempuh pada masing-masing lengan adalah

2pl`∆lq

dan

2pl´∆lq

Perbedaan lintasan antara lengan LIGO (beda lintasan optik) adalah

2pl`∆lq ´2pl´∆lq

Pada interferometer dapat diperoleh perubahan pola gelap dari terang sebagai akibat dari terjadinya kondisi tidak sefase. Perbedaan lintasan adalah sebesar

n λ

2

Misalkan digunakan orde n“1.

2pl`∆lq ´2pl´∆lq “ λ 2 4∆l “ λ 2 ∆l “ 700ˆ10 ´9 4ˆ2 “8,75ˆ10 ´8 _m

(b) Perbandingan besar perubahan panjang lengan terhadap panjang lengan awal (regangan/strain):

∆l

l “2,19ˆ10 ´11

(c) 0. Benda simetris tunggal tidak mengemisikan gelombang gravitasi.

3. Gerhana Matahari Cincin akan terjadi pada tanggal 1 September 2016. Andaikan titik pusat kedua piringan Bulan dan Matahari berimpit, dan piringan Bulan di saat gerhana tersebut menutupi 98% pi-ringan Matahari, berapakah jarak Bumi–Bulan pada saat itu (dinyatakan dalam satuan km)? Diketahui eksentrisitas orbit Bumie“0,0167, dan Bumi berada di perihelion pada tanggal 3 Januari 2016.

Jawab:

Perbandingan diameter sudut dapat dihitung sebagai berikut:

Luas piringan Bulan “ 0,98 Luas piringan Matahari

πR2_$ “ 0,98πR2_d

Hubungan jejari dengan diameter sudut (α):

R „ α α_$ “ a0,98αd R_$ d_$ “ a 0,98 Rd dd d_$ “ ?1 0,98 R_$dd Rd

(5)

Perhitungan posisi untuk 1 September adalah sebagai berikut:

• jumlah hari sejak dari perihelion 2016 hingga 1 September 2016:

N_harip3 Jan s/d 1 Sepq “242hari

• Konversi sudut (terkecil) posisi Bulan (θ) tanggal 1 September 2016:

365,25 hari “ 360˝ 1 hari “ 360 365,25 “0 ˝_,_9856262834 242hari “ 238˝_,_5215605749 θ “ 360´238,5215605749“121˝_,_4784394251

Perhatikan pada geometri berikut ini, sudut θ diukur dengan anggapan gerak orbital Bumi bersifat gerak melingkar dengan kecepatan harian yang tetap. Karena itu, sudutθdiukur dari pusat lingkaran:

Pada kenyataannya, orbit Bumi adalah elips dan posisi Bumi saat itu pada jarak d_Matahari “ dd

dari Matahari dengan sudut 180˝_´_ν

ddăX

• Mencari jarak X dengan rumus cosinus:

X2 “ a2` paeq2´2a ae cosθ a “ 1,49597870ˆ1011 m

e “ 0,0167

θ “ 121˝,4784394251

(6)

• Menggunakan rumus sinus untuk mencari ν: X sinθ “ a sinp180˝_´_ν_q sinp180˝ ´νq “ a Xsinθ 180˝ ´ν “ arcsin ´a X sinθ ¯ “57˝_,_7126409925 ν “ 180˝´57˝,7126409925“122˝,2873590075

• Menentukan jarak Matahari (dd):

dd“ ap1´e

2_q

p1`e cosνq “150.902.282.980m

• Masukkan hasil tersebut ke persamaan pada perhitungan perbandingan sudut:

d_$ “ ?1 0,98 R_$dd Rd “ ?1 0,98 1.738.000 6,96ˆ108 ˆ150.902.282.980“380.647.783m“380.647,783km

Sehingga, jarak Bumi–Bulan pada saat GMC 1 September 2016 adalah 380.648 km

4. Pada suatu bintang ganda gerhana, bintang pertama memiliki radius R1 dan temperatur efektif T1,

sedangkan bintang kedua dengan radiusR2 “0,75R1 dan temperatur efektifT2“2,5T1. Pada saat

bin-tang yang berukuran lebih besar menggerhanai binbin-tang yang lebih kecil, berapakah perubahan magnitudo bolometrik sistem bintang ganda ini?

Jawab:

Luminositas total sistem bintang ganda:

L“L1`L2 “4πR12σT14`4πR22σT24 “4πσ

`

R2₁T₁4`R2₂T₂4˘

Ketika bintang yang lebih besar (Bintang 1) menggerhanai bintang yang lebih kecil (Bintang 2), maka luminositas sistem didominasi oleh luminositas Bintang 1:

L_gerhana“4πR2₁σT₁4

Dengan demikian, perubahan magnitudo bolometrik, ∆m:

∆m “ ´2,5 log ˜ L L_gerhana ¸ “ ´2,5 log ˜ 4πσ`R2₁T₁4`R2₂T₂4˘ 4πR2₁σT₁4 ¸ “ ´2,5 log ˆ 1`R 2 2T24 R2₁T₁4 ˙ “ ´2,5 log`1` p0,75q2p2,5q4˘“ ´2,5 logp22,97q “ ´3,4

5. Kuil Abu Simbel atau disebut juga Monumen Nubia adalah sebuah kuil di tepi sungai Nil di selatan Mesir yang dibangun oleh Firaun Ramses II pada sekitar abad 13 SM. Kuil tersebut dibangun sebagai peringatan bagi Firaun Ramses II dan istrinya Nefertari setelah memenangkan sebuah perang besar yang disebut Perang Kadesh (perang antara kekaisaran Mesir dan kekaisaran Hittite). Kuil ini dibangun dengan mengukir sebuah bukit batu dan di depannya terdapat patung raksasa Ramses II.

(7)

Di ujung paling dalam kuil, terdapat sebuah altar dengan patung dewa Ra, Ramses II, dewa Amon, dan dewa Ptah (dewa kematian). Setiap dua kali setahun, cahaya Matahari yang baru terbit di horison akan masuk ke dalam kuil hingga menyinari altar tersebut. Kedua waktu tersebut diperkirakan sebagai saat hari lahir Firaun Ramses II dan hari ketika Ramses II diangkat menjadi Firaun. Jika diketahui koordinat kuil tersebut adalah φ“22˝₂₀1₁₃2 _{Lintang Utara,}_λ

“31˝₃₇1₃₂2 _{Bujur Timur, dan azimuth arah pintu}

masuk kuil adalah Az “100,˝55, tentukan pada tanggal dan bulan apakah (dua waktu dalam satu tahun)

cahaya Matahari terbit akan mengarah tepat ke patung di dalam altar. Abaikan efek refraksi dan efek ketinggian.

Jawab:

Informasi yang diberikan adalah:

• koordinat kuil Abu Simbel:

φ“22˝ ₂₀1 ₁₃2

“22˝_,₃₃ _{Lintang Utara, dan} λ“31˝ ₃₇1 ₃₂2

“31˝_,₆₂ _{Bujur Timur}

• azimuth arah pintu masuk kuil adalah Az “100˝,55

• tinggi Matahari dapat dianggap h“0˝ _{(karena diamati pada saat Matahari terbit).}

Untuk menentukan kapan saat Matahari tepat berada di arah pintu masuk kuil, maka kita perlu meng-etahui deklinasi Matahari dengan informasi yang diberikan. Dengan menggunakan segitiga bola di atas, maka deklinasi Matahari dapat dihitung dengan menggunakan rumus kosinus

cosp90˝ ´δq “ cosp90˝ ´φqcosp90˝ ´hq `sinp90˝ ´φqsinp90˝ ´hqcosp360˝ ´Aq

sinδ “ sinφsinh`cosφcoshcosp360˝´Aq

“ sinp22˝,33qsinp0q `cosp22˝,33qcosp0qcosp360˝´100˝,55q “ 0,9252ˆ1ˆ p´0,1831q “ ´0,1694

δ “ arcsinp´0,1694q “ ´9˝_,₇₅₃

« ´10˝

Deklinasi Matahari´10˝_{terjadi pada saat Matahari terbit di tanggal}₂₀_p˘₅ _hari_q_{Februari dan}₂₀_p˘₅_hari_q

(8)

6. Perhatikan spektrum dan skema berikut:

Diketahui spektrum Hidrogen 21 cm yang diamati pada koordinat galaktik p`, bq “ p30˝_,₀˝_q _memiliki

puncak-puncak A, B, C, dan D yang disebabkan oleh awan-awan antarbintang.

(a) Asumsikan awan antar bintang dan Matahari mengelilingi pusat Galaksi dengan orbit lingkaran dan jarak Matahari dari pusat Galaksi sebesarRo “8kpc serta kecepatan orbit MatahariVd “220km/s.

Buktikanlah bahwa kecepatan radial awan antarbintang (Vr) yang teramati mengikuti persamaan

(9)

Vr“Ropω´ωdq sin`,

denganω danωd masing-masing adalah kecepatan sudut awan antar bintang dan kecepatan sudut

Matahari.

(b) Berdasarkan kecepatan radial maksimum pada spektrum, berapakah jarak minimum dari pusat Ga-laksi (Galactocentric) dan kecepatan orbitnya?

(c) Perhatikan skema berikut. Gambarlah skema tersebut di lembar jawaban, lalu posisikanlah awan antarbintang A, B, C, dan D dengan menuliskan alfabet nama awan pada kotak yang disediakan.

Jawab:

(a) Penurunan rumus kecepatan radial:

Dalam hal ini, ada dua faktor kecepatan yang berperan yaitu kecepatan Matahari dan kecepatan awan pada arah garis pandang. Perhatikan gambar:

VR “ V cosα´Vdsin` “ ωRcosα´ωdR0sin` “ ωRCT R ´ωdR0sin` “ ωR0sin`´ωdR0sin` “ pω´ωdqR0sin`

(10)

(b) Kecepatan radial awan maksimal pada gambar sekitar 65 km/s. Pada jarak dari galaksi minimum

sin`“R{R0 dan cosα“1

R“R0sin`“8 sin 30˝ “4kpc

V “VR`Vdsin`“65`220 sin 30˝ “175km/s

(c) Urutan dari terdekat hingga terjauh dari Matahari adalah D-C-B-A atau B-C-D-A.

7. Jika hanya meninjau energi radiasi, gradien temperatur pada jarak 0ăr ďR dari pusat bintang dapat didekati dengan hubungan

´ κ ρr Lr a c T3

r r2

dan gradien tekanan pada jarak itu didekati dengan hubungan

´G Mrρr r2

dengan ρr, Lr, Tr, dan κ masing-masing adalah massa jenis, luminositas, temperatur, dan kekedapan

(opasitas) pada jarak r, sedangkan Mr adalah massa hingga jarak r. Jejari bintang adalah R.

Karena perbedaan yang sangat besar dengan nilai di pusat bintang, temperatur dan tekanan di permukaan bintang (r“R) dianggap nol, sedangkan temperatur dan tekanan di pusat akan dihitung secara perkiraan. Gunakanlah tetapan G,a, danc di dalam tabel. Jika κ“1dan ρr selalu konstan tak nol, maka

(a) rumuskanlah temperatur pusat dan tekanan pusat bintang sebagai fungsi dariL,M, danR, (b) perkirakanlah nilai temperatur pusat Matahari (dalam satuan K) dan tekanan pusat Matahari (dalam

satuan N/m2).

(c) Anggap tekananPr di dalam bintang dapat didekati dengan

Pr “

R

µρrTr

dengan R konstanta gas dan µ berat molekul rata-rata (tak bersatuan). Dengan mengambil µ“

0,5, berapakah massa jenis di pusat Matahari (ρc) dinyatakan dalam satuan kg/m3?

(d) Dengan menggunakan persamaan dari soal (7c), buktikanlah bahwa hubungan luminositas dengan massa memenuhi persamaan:

L“Z M3,

dengan Z adalah konstanta. Dibandingkan dengan Matahari, berapa kalikah luminositas bintang deret utama bermassa3Md?

(e) Seandainya tekanan di Matahari menghilang seketika, berapa lama waktu keruntuhan Matahari?

Jawab:

(a) Misalkan M, R, L, dan Tc masing-masing adalah massa, jejari, luminositas, dan temperatur pusat

(11)

0´Tc R´0 « ´ 3M 4acπR3 L T3 cR2 ´Tc R « ´ 3LM 4acπR5_T3 c T_c4 « 1 R4 3LM 4acπ Tc « 1 R 4 c 3LM 4acπ

Gradien tekanan dapat didekati pula dengan gradien linearnya:

0´Pc R´0 « ´ GM R2 3M 4πR3 Pc « 3GM2 4πR4 (b) Tc « 1 6,96 ˆ 108 4 d 3 ˆ 3,9 ˆ 1026 _ˆ ₁_,₉₈₉ _ˆ ₁₀30 4 ˆ 7,5659 ˆ 10´16 _ˆ ₂_,_99792458 _ˆ ₁₀8 _ˆ _π « 7.680.211K«7,7 ˆ 106 K Pc « 3GM2 4πR4 « 268.574.714.879.929N/m2«2,7 ˆ 1014 N/m2 (c) Massa jenis di pusat Matahari (ρc):

ρc “ Pc Tc µ R “ 2,7 ˆ 10 14 7,7 ˆ 106 0,5 8314,5 « 2.103kg/m3 (d) Tinjau tekanan di pusat:

Pc“ R µρcTc« R µ 3M Tc 4πR3 Tetapi juga Pc« 3GM2 4πR4 Sehingga R µ 3M Tc 4πR3 « 3GM2 4πR4 atau Tc« µ R GM R Tetapi juga

(12)

Tc« 1 R 4 c 3LM 4acπ µ R GM R « 1 R 4 c 3LM 4acπ µ4 R4 G 4 _M3 « 3L 4acπ L « 4acπµ 4_G4 3R4 M 3 L « konstanta ˆ M3

Dengan Z sebagai konstanta, relasi luminositas terhadap massa bintang dapat didekati dengan

L“Z M3,

Sehingga untuk bintang bermassa 3Md, maka luminositas bintang tersebut adalah

L“ ˆ 3Md Md ˙3 Ld“27Ld

(e) Seandainya tekanan di Matahari menghilang seketika, maka gravitasi menyebabkan Matahari me-ngalami peristiwa jatuh bebas (free fall) dengan kecepatan awal v0 “ 0. Gerak jatuh bebas akan

menempuh jarak jejari bintang,R, dalam waktut_{ff detik.}

R“ 1

2at 2

ff

Percepatan aadalah sebesar percepatan gravitasi di permukaan Matahari yaitu

a“ GM R2 Sehingga t_ff“ c 2R3 GM «2.254detik«38 menit

8. Pada saat Gerhana Matahari Total, kita dapat mengamati korona Matahari yang memiliki kerapatan rendah (n“108cm´3_{) dan temperatur tinggi (}₂_ˆ₁₀6 _{K). Korona ini tersusun dari atom-atom Hidrogen}

yang terionisasi dan di bawah pengaruh medan magnet.

(a) Agar partikel-partikel atom Hidrogen dapat lepas dari Matahari, berapakah laju minimum yang dibutuhkan (dalam satuan m/s)?

(b) Hitunglah laju termal atom Hidrogen dan Hidrogen terionisasi (yang terdiri dari proton dan elek-tron) di korona (masing-masing dalam satuan m/s). Apakah orde laju tersebut sesuai dengan yang dibutuhkan untuk lepas dari Matahari? Apakah semua partikel dapat lepas?

(c) Jika partikel yang lepas menjadi angin Matahari, tentukan berapa massa Matahari yang hilang tiap tahun. Anggap angin Matahari mengembang dengan bentuk simetri bola dan partikel yang lepas hanya elektron.

(d) Selain terdiri dari partikel-partikel, korona juga terdiri dari medan magnet yang bergerak bebas. Hal ini dikarenakan tekanan medan magnetik PB lebih besar dari tekanan gas P di korona. Diketahui

tekanan medan magnetik mengikuti persamaan berikut:

PB “

B2

2µ0

denganµ0 adalah permeabilitas di ruang hampa. Jika kuat medan magnet di korona, yaituB “10

(13)

(e) Hitunglah tekanan gas di korona. Bandingkanlah tekanan magnetik pada soal (8d) dengan tekanan gas di korona.

Jawab:

(a) Laju untuk lepas:

V_lepas “ d 2GMd Rd “6,18ˆ105 m/s (b) Laju termal: 1 2mv 2 termal“ 3 2kT v_termal“ c 3kT m Untuk Hidrogen: v_termal,H“ c 3kT mH “2,23ˆ105 m/s Hidrogen terionisasi akan menjadi proton maupun elektron:

v_termal,e “ c 3kT me “ 9,54ˆ106 m/s v_termal,p“ d 3kT mp “2,23ˆ105 m/s

Ya, benar. Orde kecepatan partikel di korona (sekitar ratusan km/s) sesuai dengan orde kecepatan atau laju untuk lepas dari Matahari. Namun demikian, tidak semua partikel dapat lepas. Elektron akan lebih mudah lepas dibandingkan dengan proton.

(c) Diketahuin“108 cm´3

“1014 m´3_{. Massa yang hilang adalah}

nˆmeˆv_termal,eˆ4πR2dˆt

Massa yang hilang (dalam satuan Matahari per tahun) adalah

1014ˆmeˆv_termal,eˆ4πp6,96ˆ108q2ˆ31536000 detik 1,988ˆ1030 _kg “8,4ˆ10 ´14_Md {tahun (d) Tekanan magnetik Pmag “ B 2 2µ0 1 Gauss“0,0001Tesla sehingga 10 G“0,001T

P_mag“ 0,001

2

2p4π10´7_q “0,4N/m 2

(14)

(e) Tekanan gas di korona P_g“nkT “1014ˆ1,38ˆ10´23 ˆ2ˆ106 “0,003N/m2 P_mag P_g “ 0,4 0,003“133,33

Tekanan magnetik 133 kali lebih kuat dari pada tekanan gas, sehingga garis medan magnet bergerak bebas.