CAYLEY COLOR DIGRAPH DARI GRUP SIMETRI DAN GRUP DIHEDRAL.

(1)

Oleh:

Nur Tri Julia NIM 409530009 Program Studi Matematika

SKRIPSI

DiajukanUntukMemenuhi Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MEDAN

(2)

(3)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Mancang, pada tanggal 30 April 1990. Ayah bernama Tugio

dan ibu bernama Sumiati, dan merupakan anak ketiga dari empat bersaudara. Pada

tahun 1997, penulis masuk SD Negeri 053969 Mancang Kec.Selesai, dan lulus

pada tahun 2003. Pada tahun 2003, penulis melanjutkan sekolah di SMP Negeri 1

Binjai Kab.Langkat, dan lulus pada tahun 2006. Pada tahun 2006, penulis

melanjutkan sekolah di SMA Negeri 1 Binjai Kab.Langkat, dan lulus pada tahun

2009. Pada tahun 2009, penulis diterima di Program Studi Matematika, Fakultas

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Medan, dan lulus

(4)

iii

CAYLEY COLOR DIGRAPH DARI GRUP SIMETRI DAN GRUP DIHEDRAL

NUR TRI JULIA (409530009)

ABSTRAK

(5)

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, atas segala

rahmat dan hidayahNya penulis dapat menyelesaikan penelitian skripsi yang

berjudul “Cayley Color Digraph Dari Grup Simetri Dan Grup Dihedral” dengan

baik. Salawat serta salam terlimpahkan kepada junjungan nabi besar Muhammad

SAW yang telah membawa kita dari jalan yang gelap menuju jalan yang terang

benderang.

Dalam kesempatan ini penulis menyampaikan ucapan terima kasih kepada

berbagai pihak yang telah membantu menyelesaikan skripsi ini, mulai dari

pengajuan proposal penelitian hingga penyusunan skripsi, antara lain Bapak

Dr.E.Elvis Napitupulu, MS selaku dosen pembimbing, serta Bapak Mulyono,

S.Si.,M.Si, Ibu Dra. Nerli Khairani, M.Si dan Dra. Hamidah Nasution, M.Si

selaku dosen penguji yang telah banyak memberikan saran. Secara khusus kepada

ayah dan ibu, serta seluruh keluarga atas segala doa dan dukungannya penulis

sampaikan banyak terima kasih. Ucapan terima kasih juga penulis ucapkan

kepada teman-teman seperjuangan yaitu seluruh mahasiswa matematika nondik

09 yang telah memberikan bantuan dan semangat kepada penulis.

Semoga Allah SWT memberikan balasan yang baik atas semua bantuan

dan bimbingan yang telah diberikan. Akhirnya, penulis berharap semoga skripsi

ini dapat bermanfaat bagi penulis khususnya dan bagi pembaca pada umumnya.

Medan, 5 Desember 2013

Penulis,

(6)

vi

DAFTAR ISI

Halaman

Lembaran Pengesahan i

Riwayat Hidup ii

Abstrak iii

Kata Pengantar iv

Daftar Isi vi

2.2.2 Berelasi (Adjecent) dan Bersisian (Incident) 10

(7)

2.4.3 Grup Dihedral 17

2.4.4 Generator dari suatu grup 19

2.5 Cayley Color Digraph 21

BAB III METODOLOGI PENELITIAN 24

3.1 Lokasi dan Waktu Penelitian 24

3.2 Jenis Penelitian 24

3.3 Prosedur Penelitian 24

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 25

4.1 Cayley Color Digraph dari grup Simetri S3 26

4.2 Cayley Color Digraph dari grup Dihedral D6 32

4.3 Cayley Color Digraph dari grup Dihedral D8 40

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN 49

5.1 Kesimpulan 49

5.2 Saran 49

(8)

x

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 4.1. Tabel Cayley dari grup Simetri S3 26

Tabel 4.2. Tabel Cayley dari grup Dihedral D6 33

(9)

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.7.Graf terhubung dan tidak terhubung 9

Gambar 2.8.Digraf D 10

Gambar 2.9.Digraf D 10

Gambar 2.10.Digraf 11

Gambar 2.11. Digraf terhubung kuat dan terhubung lemah 12

Gambar 2.12.a. Digraf K4 13

Gambar 2.12.b. Sikel Hamilton pada digraf K4 13

Gambar 2.13.Simetri-simetri segitiga 19

Gambar 2.14.Cayley Color Digraph dari grup Siklik Z3 23

Gambar 2.15.Cayley Color Digraph dari grup Siklik Z3 23

Gambar 4.1. Cayley Color Digraph dari grup Simetri S3 28

Gambar 4.11. Simetri-simetri segitiga 32

Gambar 4.12. Cayley Color Digraph dari grup Dihedral D6 35

(10)

ix

Gambar 4.22. Simetri-simetri segiempat 40

Gambar 4.24. Cayley Color Digraph dari grup Dihedral D8

43

44

45

46

47

(11)

47

48

(12)

1 BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Seiring dengan kemajuan dan perkembangan teknologi, matematika terus

berkembang dan bercabang-cabang. Salah satu cabang matematika yang

bermanfaat dalam kehidupan sehari-hari adalah teori graf. Misalnya, masalah

jembatan Konigsberg, merupakan suatu masalah yang pertama kali menggunakan

graf (tahun 1736). Di kota Konigsberg (sebelah timur negara bagian Prussia,

Jerman), terdapat sungai Pregal yang mengalir mengitari pulau Kneiphof lalu

bercabang menjadi dua buah anak sungai yang mempunyai tujuh buah jembatan

yang menghubungkan daratan dan dibelah oleh sungai tersebut. Masalahnya

adalah “Apakah mungkin melalui ketujuh jembatan itu masing-masing tepat satu

kali, dan kembali ke tempat semula?. Seorang matematikawan Swiss, L.Euler

adalah orang yang pertama berhasil menemukan jawaban masalah itu dengan

pembuktian yang sederhana. Ia memodelkan masalah ini kedalam graf. Daratan

yang dihubungkan oleh jembatan, dinyatakannya sebagai titik yang disebut simpul

(vertex) dan jembatan dinyatakannya sebagai garis yang disebut sisi (edge).

(Munir : 2003)

Graf merupakan suatu himpunan tak kosong dari elemen-elemen yang

disebut titik dan himpunan sisi yang menghubungkan titik-titik tersebut.

Penggunaan istilah dalam teori graf belum sepenuhnnya bersifat baku. Misalkan

untuk menyatakan suatu titik digunakan istilah simpul, dan untuk menyatakan

suatu sisi digunakan istilah jalur. Istilah- istilah dalam teori graf dapat diterima

jika digunakan secara konsisten. (Munir : 2003)

Teori graf dapat diaplikasikan pada beberapa cabang ilmu matematika

yang lain, salah satunya adalah aplikasi teori graf pada aljabar abstrak khususnya

yang berkaitan dengan grup. Pembahasan dalam teori graf menjelaskan suatu graf

berarah (digraph) yang dikaitan dengan grup dan subset dari grup yang disebut

(13)

Graf berarah merupakan graf yang setiap jalurnya mempunyai orientasi

arah yang dinyatakan dalam bentuk panah sehingga akan terdapat titik asal dan

titik tujuan. Graf berarah yang terbentuk dari suatu grup dapat mempunyai

beberapa cara, diantaranya yaitu graf berarah (digraph) yang dibentuk menurut

aturan warna Cayley atau dikenal dengan Cayley color digraph.

Cayley color digraph dapat dibentuk dari grup yang berhingga. Himpunan jalur dan himpunan simpul pada Cayley color digraph merupakan

elemen dari suatu grup. Dengan adanya generator atau pembangkit pada suatu

grup, himpunan jalur pada Cayley color digraph dapat dibentuk dengan warna

sesuai pembangkit grup tersebut. (Chartrand dan Lesniak : 1996)

Grup simetri �_� merupakan grup semua permutasi atas himpunan

berhingga Ω= {1, 2, … ,�}, dan grup dihedral �_2� merupakan grup yang terdiri

dari simetri-simetri segi-n beraturan dengan � ≥ 3. Kedua grup tersebut

dioperasikan dengan operasi fungsi komposisi sebagai operasi binernya. (Dummit

dan foote :2004)

Merujuk pada penelitian yang sudah ada yaitu Cayley color digraph pada

grup siklik �_�, hasil pembahasan menunjukkan bahwa terdapat sikel Hamilton

pada Cayley color digraph sehingga bentuk Cayley color digraph dari grup siklik

�� adalah digraf Hamilton. Untuk itu peneliti ingin mengetahui bagaimana bentuk

Cayley color digraph dari grup simetri dan grup dihedral.

Berdasarkan uraian diatas, peneliti ingin mengetahui kajian lebih jauh

tentang Cayley color digraph dan kaitannya terhadap grup. Merujuk pada jurnal

dan penelitian yang sudah ada belum menjelaskan tentang Cayley color digraph.

Untuk itu peneliti tertarik untuk membahasnya. Sehingga judul skripsi penelitian

ini adalah “Cayley Color Digraph Dari Grup Simetri Dan Grup Dihedral”.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang diatas, maka rumusan masalah dalam

penulisan skripsi ini adalah :

- Bagaimanakah bentuk Cayley Color Digraph dari grup simetri?

(14)

3

1.3 Batasan Masalah

Penelitian ini hanya membahas tentang masalah Cayley Color Digraph

dari grup simetri �₃ dan Cayley Color Digraph dari grup dihedral �₆ dan �₈.

1.4 Tujuan Penelitian

Adapun tujuan dari penelitian ini adalah mengkaji lebih dalam mengenai

Cayley Color Digraph dan mengetahui bentuk Cayley Color Digraph dari grup simetri dan grup dihedral.

1.5 Manfaat Penelitian

Dari penelitian ini penulis berharap agar pembahasan ini bermanfaat bagi

berbagi kalangan, antara lain:

a. Manfaat bagi Penulis

Untuk mempelajari dan lebih memperdalam pemahaman serta

mengembangkan wawasan disiplin ilmu khususnya mengenai cayley color

digraph dari grup simetri dan grup dihedral. b. Manfaat bagi mahasiswa

Sebagai tambahan wawasan dan informasi untuk kajian lebih lanjut

mengenai cayley color digraph dan penerapannya sebagai acuan dalam

pengembangan penulisan karya tulis ilmiah.

c. Manfaat bagi lembaga

(15)

47

Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan, yaitu Cayley Color Digraph

dari grup Simetri �₃ dan grup Dihedral �₆ dan �₈ maka dapat disimpulkan

bahwa:

1. Hasil Cayley Color Digraph dari grup Simetri �₃ dengan setiap generator

yang dipilih merupakan digraf Hamilton.

2. Hasil Cayley Color Digraph dari grup Dihedral �₆ dan �₈ dengan setiap

generator yang dipilih merupakan digraf Hamilton.

5.2 Saran

Penelitian ini hanya membahas mengenai masalah Cayley Color Digraph dari

grup Simetri �₃ dan Cayley Color Digraph dari grup Dihedral �₆ dan �₈. Untuk

itu bagi pembaca yang ingin melanjutkan penelitian ini, dapat melakukan

penelitian tentang Cayley Color Digraph dari grup Simetri dan grup Dihedral

dengan orde yang lebih tinggi dengan bantuan program MAPLE dalam

menggambarkan hasil Cayley Color Digraph dari grup tersebut. Dan pembaca

juga dapat melakukan penelitian tentang Cayley Color Digraph dari grup

(16)

48

DAFTAR PUSTAKA

Andruchuk, G., Gosselin, S., Zeng, Y., (2012), Hamiltonian Cayley Digraphs on

Direct Product of Dihedral Groups, Open Journal of Discrete Mathematics, Vol.2: 88-92.

Arifin, Achmad, (2000), Aljabar, Penerbit ITB, Bandung.

Chartrand, G., and Lesniak, L., (1996), Graphs and Digraphs Third Edition,

Chapman & Hall/ CRC, USA.

Dummit, David S. and Foote, Richard M., (2004), Abstract Algebra Third Edition,

John Wiley & Sons, Inc.,USA.

Fraleigh, John B., (2000), A First Course in Abstract Algebra Sixth Edition,

Addison-Wesley Publishing Company, Singapore.

Gallian, Joseph A., (1998), Contemporary Abstract Algebra Fourth Edition,

Houghton Mifflin Company, USA.

Gilbert, L., and Gilbert, J., (2009), Elements of Modern Algebra Seventh Edition,

Brooks /Cole, USA.

Jalil, Abdul, (2011), Cayley Color Digraph dari grup siklik �_� dengan n bilangan

prima, Gamatika, Vol.II, No.1.

Munir, Rinaldi, (2003), Matematika Diskrit Edisi kedua, Informatika, Bandung.