DIKAT PROGRAM LINIER

(1)

2018

DIKAT PROGRAM LINIER

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH JAKARTA

MARET 2018

(2)

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah segala kesempurnaan hanya milik ALLAH SWT, berkat RAHMAT dari ALLAH SWT, penulis dapat menyelesaikan diktat Program Linear ini. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu sehingga penulisan diktat ini dapat selesai.

Materi pada diktat ini disusun untuk membantu mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Fakultas Ilmu Pendidikan Universitas Muhammadiyah Jakarta mendalami persoalan-persoalan yang berkaitan dengan pemograman linear. Prasyarat mata kuliah ini adalah Aljabar Linear.

Semoga dengan adanya diktat ini dapat membantu belajar mahasiswa dalam meraih yang terbaik di mata kuliah ini khususnya, serta mata kuliah lain yang terkait. Penulis menyadari bahwa isi diktat ini masih jauh dari kesempurnaan oleh sebab itu kritik dan saran sangat diperlukan.

Jakarta, Maret 2018

Penulis

(3)

DAFTAR ISI

Halaman

KATA PENGANTAR ... 1

DAFTAR ISI ... 0

BAB 1 TES AWAL ... 0

BAB 2 PEMOGRAMAN LINIER ... 0

BAB 3 METODE SIMPLEKS ... 2

BAB 4 METODE TRANSPORTASI ... 23

BAB 5 PENUGASAN ... 38

(4)

BAB 1 TES AWAL

Nama : Waktu : 30 menit

NIMN : Hari/Tanggal :

Dosen : Hastri Rosiyanti, M.PMat. Alumni (SMA/sederajatnya):

1 Sistem pertidaksamaan yang memenuhi daerah yang diarsir pada gambar adalah ...

2 Dalam satu minggu tiap orang membutuhkan paling sedikit 16 unit protein, 24 unit karbohidrat, dan 18 unit lemak. Dalam 1 kg makanan A mengandung 4 unit protein, 12 unit karbohidrat, dan 2 unit lemak. Sedangkan makanan B mengandung 2 unit protein, 2 unit karbohidrat, dan 6 unit lemak. Jika harga 1 kg makanan pada makanan A adalah Rp 17.000,00 dan makanan B adalah Rp 8.000,00 maka agar kebutuhan terpenuhi dengan biaya semurah-semurahnya maka tentukan banyaknya makanan A dan B yang harus dibeli setiap minggunya, serta biaya yang semurah-murahnya itu.

3 Dari daerah yang diarsir pada segilima ABCDE berikut merupakan himpunan penyelesaian dari suatu sistem pertidaksamaan. Nilai maksimum dari fungsi objektf

3x2 , untuk ,y x yR adalah ...

(5)

Jawaban :

(6)

BAB 2

PEMOGRAMAN LINIER

A. Program Linier

Program Linear adalah suatu program untuk menyelesaikan permasalahn yang batas-batasannya berbentuk pertidaksamaan linear. Secara umum program linear terdiri dari dua bagian, yaitu : fungsi kendala dan fungsi objektif.

Fungsi kendala adalah batasan – batasan yang dipenuhi. Kegunannya utuk mengetahui sumber daya yang tersedia dan permintaan atas sumber daya tersebut. Seperti 3x4y2, 7x4y5 Dapat disebut FP Fungsional dan x y, 0 Fungsi FP Tanda.

Fungsi objektif adalah fungsi yang nilainya akan dioptimumkan (dimaksimumkan adan diminimumkan). Kegunaannya mengarah analisa untuk mendeteksi tujuan perumusan masalah. Seperti Z 3x4y atau ^{F x y}

 

^, ^³^x^⁴^y^.

Dalam program linear ini, batasan – batasan (kendala–kendala ) yang terdapat didalam masalah program linear diterjemahkan terlebih dahulu kedalam bentuk perumusan matematika, yang disebut model matematika.

Model matematika adalah suatu bentuk interpretasi manusia dalam menerjemahkan atau merumuskan persoalan persoalan yang ada ke bentuk matematika sehingga persoalan itu dapat diselesaikan secara matematis.

B. Masalah Maksimasi

Masalah maksimasi adalah memaksimalkan keuntungan atau hasil. Contoh: Suatu perusahaan memiliki sebuah pabrik yang akan memproduksi dua jenis produk, yaitu kain sutera dan kain wol. Untuk memproduksi kedua produk diperlukan bahan baku benang sutera, bahan baku benang wol dan tenaga kerja. Maksimum penyediaan benang sutera adalah 60 kg per hari, benang wol 30 kg per hari dan tenang kerja 40 jam per hari.

Kebutuhan setoap unti produk akan bahan baku dan jam tenang kerja dapat dilihat dalam tabel berikut:

Jenis Barang dan Tenaga Kerja

Kg bahan Baku dan Jam Tenaga

Kerja Maksimum

Penyediaan Kain Sutera Kain Wol

Benang Sutera 2 3 60 kg

Benang Wol - 2 30 kg

TenagaKerja 2 1 40 jam

(7)

Langkah-Langkah:

1. Tentukan Variabel x dan y 2. Tentukan tujuan

3. Tentukan pembatas 4. Membuat Grafik

5. Mennetukan solusi optimal a. Nilai-nilai setiap titik esktrim b. Menggeser garis fungsu tujuan C. Masalah Minimasi

Masalah minimasi adalah meminimumkan biaya produksi. Contoh: Perusahaan makan ROYAL merencanakan untuk membuat dua jenis makanan yaitu ROYAL BEE dan ROYAL JELLY. Kedua jenis makanan tersebut mengandung vitamin dan protein.

ROYAL BEE paling sedikit produksi 2 unit dan ROYAL JELLY paling sedikit produksi 1 unit. Perhatikan tabel berikut:

Jenis Makanan Vitamin Produksi Biaya

Royal Bee 2 2 100

Royal Jelly 1 1 80

Minimum keuntungan 8 12

Langkah-Langkah:

1. Tentukan Variabel x dan y 2. Tentukan tujuan

3. Tentukan pembatas 4. Membuat Grafik

5. Mennetukan solusi optimal

(8)

BAB 3

METODE SIMPLEKS

A. Pendahuluan

Salah satu metode penyelesaian dalam Persamaan Linier yang digunakan sebagai teknik pengambilan keputusan dalam permasalahan yang berhubungan alokasi sumber daya secara optimal. Metode simpleks dapat digunakan lebih dari 2 variabel. Metode ini lebih baik dibandingkan dengan metode aljabar, karena lebih optimal.

B. Tanda Kurang Dari Sama Dengan 1. Slack

Pada saat fungsi kendala tandanya kurang dari sama dengan maka ruas kiri harus ditambahkan Slack, sehingga menjadi . Slack (S) merupakan slack variabel yang berfungsi untuk “menampung” sisi (ruas ) kanan dan ruas kiri yang diakibatkan berubahnya tanda kurang dari sama dengan atau lebih dari sama dengan menjadi sama dengan.

2. Fungsi Tujuan

Fungsi tujuan dijadikan sama dengan nol dengan memindahkan ruas kanan ke ruas kiri. Variabel dasar  variabel basis. Variabel dasar pada fungsi tujuan (Z) harus nol. Fungsi tanda harus lebih dari nol (positif).

3. Contoh

Maksimum Fungsional

4. Fungsi Minimasi

Mengubah ke bentuk maksimasi dengan mengalikan (-1). Tetap menggunakan bentuk minimasi dengan cara pengerjaan yang sedikit berbeda dengan maksimasi.

(9)

C. Tanda Sama Dengan

Metode simpleks merupakan salah satu teknik penyelesaian dalam Program Linier yang digunakan sebagai teknik pengambilan keputusan dalam permasalahan yang berhubungan dengan pengalokasian sumberdaya secara optimal. Nilai kanan fungsi tujuan harus nol. Nilai kanan fungsi kendala harus positif. (apabila negatif, nilai tersebut harus dikalikan dengan -1). Fungsi kendala dengan tanda “≤” harus diubah ke bentuk “=“ dengan menambahkan variabel slack (variabel dasar) yang digunakan untuk menyatakan kapasitas yang tidak digunakan atau tersisa pada sumber daya tersebut. Hal ini karena ada kemungkinan kapasitas yang tersedia tidak semua digunakan dalam proses produksi.

Pembatas fungsional bertanda “=“ maka kondisi ini menyulitkan persamaannya, karena matriks identitas yang akan dijadikan solusi dasar tidak akan ditemui maka diharuskan menambah variabel artificial (A) ke dalam fungsi tersebut, dimana nilai koefisien A pada Z harus 0=M. Secara fisik A tidak mempunyai arti dan hanya digunakan untuk kepentingan perhitungan saja. Metode yang dapat digunakan ada 2, yaitu metode dua fase atau metode Big M. Metode Big M Adalah metode untuk mengeliminasi varibel artifcial dengan memberikan nilai positif yang sangat besar pada fungsi tujuan, dimana pada fungsi tujuan yang maksimum harus ditambah (-M) dan untuk fungsi tujuan minimum ditambahkan (+M).

D. Tanda Lebih Dari Sama Dengan

Metode simpleks merupakan salah satu teknik penyelesaian dalam Program Linier yang digunakan sebagai teknik pengambilan keputusan dalam permasalahan yang berhubungan dengan pengalokasian sumberdaya secara optimal. Nilai kanan fungsi tujuan harus nol. Nilai kanan fungsi kendala harus positif. (apabila negatif, nilai tersebut harus dikaliakn dengan -1). Fungsi kendala dengan tanda “≤” harus diubah ke bentuk “=“ dengan menambahkan variabel slack (variabel dasar) yang digunakan untuk menyatakan kapasitas yang tidak digunakan atau tersisa pada sumber daya tersebut. Hal ini karena ada kemungkinan kapasitas yang tersedia tidak semua digunakan dalam proses produksi

Pembatas fungsional bertanda “=“ maka kondisi ini menyulitkan persamaannya, karena matriks identitas yang akan dijadikan solusi dasar tidak akan ditemui maka diharuskan menambah variabel artificial (A) ke dalam fungsi tersebut, dimana nilai koefisien A pada Z harus 0=M. Secara fisik A tidak mempunyai arti dan hanya digunakan untuk kepentingan perhitungan saja.

(10)

Pembatas fungsional bertanda “≥“ maka ruas kiri harus dikurangkan slack sehingga menjadi ruas kiri=ruas kanan. Karena variabel dasarnya melanggar yang seharusnya S ≥0 maka ditambahkan atrificial (A).

Contoh: 3x+2y ≥60 maka 3x+2y-S+A=60. Atau dapat dilihat pada Ilustrasi:

3x+2y ≥60 (dikalikan -1) -3x-2y≤-60 (tambahkan Slack)

-3x-2y+S =-60 (karena nilai kanan negatif maka dikalikan -1 lalu ditambahkan Artificial)

3x+2y-S+A=60 E. Contoh Soal

1. Maksimum Z 2x y 3t 3x4y2t12

2 2 8

x y t , , 0 x y t

Tentukan nilai optimal Z dengan menggunakan metode simpleks!

Penyelesaian:

Cobalah periksa jawaban Kamu dengan menggunakan Software LINDO.

 Buka Software LINDO 6.1

 Ketik di window Max 2x y 3t Subject to

3 4 2 12

2 2 8

x y t

   

    end

 Lalu klik solve  solve  Muncul tulisan “DO RANGE (SENSIVITY) ANALYSIS”  klik Yes Muncul Solver Status

 Apakah nilai Z optimal?IYA

 Ketik Update Interval dengan angka 1

 Lalu Ketik Close

 Lihat Reports Window

 Nilai Z dapat dilihat di Objective Function Value, jadi berapa nilai Z ?...

 Nilai , ,x y t dapat dilihat di Variable value. Tentukan nilai x 2 y  0 t 3

 Slackny ada berapa dan berapa nilainya ? ada 2

(11)

Coba lakukan dengan cara manual

Langkah 1: Ubah fungsi pembatas dan fungs tujuan

Fungsi Kendala tambahkan Slack Fungsi Kendala tambahkan Slack Fungsi Tujuan pindah ke ruas kiri

Langkah 2: Operasikan koefisien dengan menggunakan prinsip Gauss-Jordan

x y t Rasio 3 4 2 1 0 0 12 12:2=6 1 2 2 0 1 0 8 8:2=4 -2 -1 -3 0 0 1 0

x y t Ket

3 4 2 1 0 0 12 B1-2B2

½ 1 1 0 ½ 0 4

-2 -1 -3 0 0 1 0 B3+3B2 x y t Rasio 2 2 0 1 -1 0 4 4:2=2

½ 1 1 0 ½ 0 4 4:1/2=8 -½ 2 0 0 3/2 1 12

x y t Ket

1 1 0 ½ -½ 0 2

½ 1 1 0 ½ 0 4 B2-1/2B1 -½ 2 0 0 3/2 1 12 B3+1/2B1

x y t

1 1 0 ½ -½ 0 2 0 ½ 1 -¼ ¾ 0 3 0 5/2 0 ¼ 5/4 1 13

.2 0 3 13

x y t  Z 

Apakah ada kesalahan dalam pekerjaan Kamu?YA/TIDAK.

2. Minimum Z  x 3y4t

2 7

x y t

2 3

x y t 4 x   y t

, , 0 x y t

Penyelesaian:

(12)

 Ketik di window Min x3y4t Subject to

2 7

2 3

4 x y t x y t x y t

  

  

    end

 Apakah nilai Z optimal?IYA

 Nilai Z dapat dilihat di Objective Function Value, jadi berapa nilai Z ?-18

 Nilai , ,x y t dapat dilihat di Variable value. Tentukan nilai x1 y1 t4

 Slackny ada berapa dan berapa nilainya ? 3 Coba lakukan dengan cara manual

Fungsi Kendala tambahkan Slack Fungsi Kendala tambahkan Slack Fungsi Kendala dikalikan

 

1 Fungsi Tujuan dikalikan

 

1

Tulis kembali fungsi kendala Tulis kembali fungsi kendala Fungsi Kendala tambahkan Slack fungsi tujuan pindah ke ruas kiri

x y t Rasio

1 2 1 1 0 0 0 7 7:1=7 1 -2 1 0 1 0 0 3 3:1=3 -1 1 1 0 0 1 0 4 4:1=4 1 -3 -4 0 0 0 -1 0

x y t Ket

1 2 1 1 0 0 0 7 B1-B2 1 -2 1 0 1 0 0 3

-1 1 1 0 0 1 0 4 B3-B2

(13)

1 -3 -4 0 0 0 -1 0 B4+4B2

x y t Rasio

0 4 0 1 -1 0 0 4 4:4=1 1 -2 1 0 1 0 0 3 3:-2=-3/2 -2 3 0 0 -1 1 0 1 1:3=1/3 5 -11 0 0 4 0 -1 12

x y t Ket

0 4 0 1 -1 0 0 4 B1-4B3

1 -2 1 0 1 0 0 3 B2+2B3

-2/3 1 0 0 -1/3 1/3 0 1/3

5 -11 0 0 4 0 -1 12 B4+11B3

x y t Rasio

8/3 0 0 1 1/3 -4/3 0 8/3 8/3:8/3=1 -1/3 0 1 0 1/3 2/3 0 11/3 11/3: (-1/3)=-11 -2/3 1 0 0 -1/3 1/3 0 1/3 1/3: (-2/3) = -2 -7/3 0 0 0 1/3 11/3 -1 47/3

x y t Ket

1 0 0 3/8 1/8 -1/2 0 1

-1/3 0 1 0 1/3 2/3 0 11/3 B2+1/3B1 -2/3 1 0 0 -1/3 1/3 0 1/3 B3+2/3B1 -7/3 0 0 0 1/3 11/3 -1 47/3 B4+7/3B1

x y t

1 0 0 3/8 1/8 -1/2 0 1 0 0 1 1/8 3/8 ½ 0 4 0 1 0 ¼ -1/4 0 0 1 0 0 0 7/8 5/8 5/2 -1 18

1 1 4 18

x y t Z  

2 2 8

x y t , , 0 x y t

Penyelesaian:

(14)

3 4 2 12

2 2 8

x y t

   

    end

 Nilai Z dapat dilihat di Objective Function Value, jadi berapa nilai Z ?...

 Nilai , ,x y t dapat dilihat di Variable value. Tentukan nilai x 2 y  0 t 3

 Slackny ada berapa dan berapa nilainya ? ada 2 Coba lakukan dengan cara manual

Fungsi Kendala tambahkan Slack Fungsi Kendala tambahkan Slack Fungsi Tujuan pindah ke ruas kiri

x y t Rasio

3 4 2 1 0 0 12 12:2=6 1 2 2 0 1 0 8 8:2=4 -2 -1 -3 0 0 1 0

x y t Ket 3 4 2 1 0 0 12 B1-2B2

½ 1 1 0 ½ 0 4

-2 -1 -3 0 0 1 0 B3+3B2

x y t Rasio

2 2 0 1 -1 0 4 4:2=2

½ 1 1 0 ½ 0 4 4:1/2=8 -½ 2 0 0 3/2 1 12

x y t Ket

1 1 0 ½ -½ 0 2

½ 1 1 0 ½ 0 4 B2-1/2B1 -½ 2 0 0 3/2 1 12 B3+1/2B1

x y t

1 1 0 ½ -½ 0 2 0 ½ 1 -¼ ¾ 0 3 0 5/2 0 ¼ 5/4 1 13

(15)

.2 0 3 13 x y t  Z 

2 7

x y t

2 3

x y t 4 x   y t

, , 0 x y t

Penyelesaian:

2 7

2 3

4 x y t x y t x y t

  

  

    end

 Nilai Z dapat dilihat di Objective Function Value, jadi berapa nilai Z ?-18

 Nilai , ,x y t dapat dilihat di Variable value. Tentukan nilai x1 y1 t4

Fungsi Kendala tambahkan Slack Fungsi Kendala tambahkan Slack Fungsi Kendala dikalikan

 

1 Fungsi Tujuan dikalikan

 

1

Tulis kembali fungsi kendala Tulis kembali fungsi kendala

(16)

Fungsi Kendala tambahkan Slack fungsi tujuan pindah ke ruas kiri

Langkah 2: Operasikan koefisien dengan menggunakan prinsip Gauss-Jordan x y t Rasio

1 2 1 1 0 0 0 7 7:1=7 1 -2 1 0 1 0 0 3 3:1=3 -1 1 1 0 0 1 0 4 4:1=4 1 -3 -4 0 0 0 -1 0

x y t Ket

1 2 1 1 0 0 0 7 B1-B2 1 -2 1 0 1 0 0 3

-1 1 1 0 0 1 0 4 B3-B2 1 -3 -4 0 0 0 -1 0 B4+4B2

x y t Rasio

0 4 0 1 -1 0 0 4 4:4=1 1 -2 1 0 1 0 0 3 3:-2=-3/2 -2 3 0 0 -1 1 0 1 1:3=1/3 5 -11 0 0 4 0 -1 12

x y t Ket

0 4 0 1 -1 0 0 4 B1-4B3

1 -2 1 0 1 0 0 3 B2+2B3

-2/3 1 0 0 -1/3 1/3 0 1/3

5 -11 0 0 4 0 -1 12 B4+11B3

x y t Rasio

8/3 0 0 1 1/3 -4/3 0 8/3 8/3:8/3=1 -1/3 0 1 0 1/3 2/3 0 11/3 11/3: (-1/3)=-11 -2/3 1 0 0 -1/3 1/3 0 1/3 1/3: (-2/3) = -2 -7/3 0 0 0 1/3 11/3 -1 47/3

x y t Ket

1 0 0 3/8 1/8 -1/2 0 1

-1/3 0 1 0 1/3 2/3 0 11/3 B2+1/3B1 -2/3 1 0 0 -1/3 1/3 0 1/3 B3+2/3B1 -7/3 0 0 0 1/3 11/3 -1 47/3 B4+7/3B1

x y t

1 0 0 3/8 1/8 -1/2 0 1 0 0 1 1/8 3/8 ½ 0 4 0 1 0 ¼ -1/4 0 0 1 0 0 0 7/8 5/8 5/2 -1 18

1 1 4 18

x y t Z  

5. Maksimum Z 2x y 3t

(17)

3x4y2t12

2 2 8

x y t , , 0 x y t

Penyelesaian:

3 4 2 12

2 2 8

x y t

   

  

end

 Nilai Z dapat dilihat di Objective Function Value, jadi berapa nilai Z? 13

 Nilai , ,x y t dapat dilihat di Variable value. Tentukan nilai x2 y  0 t 3

Fungsi Kendala tambahkan Slack

Fungsi Kendala tambahkan Atrificial Fungsi Tujuan ditambah

 

dan pindah ke ruas kiri

 MA

Langkah 2: Operasikan koefisien dengan menggunakan prinsip Gauss-Jordan Nilai M harus 0

x ^y t Ket

3 4 2 1 0 0 12 1 2 2 0 1 0 8

-2 -1 -3 0 M 1 0 B3-MB2

Perhatikan koefisien M nilai minus yang paling kecil

x ^y t Rasio

3 4 2 1 0 0 12 12:2=6

(18)

1 2 2 0 1 0 8 8:2=4 -2-M -1-2M -3-2M 0 0 1 -8M

x ^y t Ket

3 4 2 1 0 0 12 B1-2B2

½ 1 1 0 ½ 0 4

-2-M -1-2M -3-2M 0 0 1 -8M B3+(3+2M)B2

x ^y t Rasio

2 2 0 1 -1 0 4 4:2=2

½ 1 1 0 ½ 0 4 4:1/2=8

-1/2 2 0 0 3/2+M 1 12

x ^y t Ket

1 1 0 ½ -½ 0 2

½ 1 1 0 ½ 0 4 B2-1/2B1

-1/2 2 0 0 3/2+M 1 12 B3+1/2B1

x ^y t Ket

1 1 0 ½ -½ 0 2

0 ½ 1 -1/4 ¾ 0 3 0 5/2 0 ¼ M+5/4 1 13

2 0 1 13

x y  t  Z 

2 7

x y t

2 3

x y t 4 x   y t

, , 0 x y t Penyelesaian:

2 7

2 3

4 x y t x y t x y t

  

  

    end

(19)

 Nilai Z dapat dilihat di Objective Function Value, jadi berapa nilai Z?-18

 Nilai , ,x y t dapat dilihat di Variable value. Tentukan nilai x 1 y  1 t4

 Slackny ada berapa dan berapa nilainya ?3 Coba lakukan dengan cara manual

Fungsi Kendala tambahkan Atrificial Fungsi Kendala tambahkan Atrificial Fungsi Kendala dikalikan

 

1

 

¹ ²

Fungsi Tujuan ditambah dan dikalikan 1

MA MA

  



Tulis kembali fungsi kendala

Fungsi Kendala tambahkan Atrificial Fungsi Kendala tambahkan Slack

fungsi tujuan pindah ke ruas kiri Langkah 2: Operasikan koefisien dengan menggunakan prinsip Gauss-Jordan

Nilai M harus 0 di A

x ^y t Ket

-1 1 1 1 0 0 0 4 1 2 1 0 1 0 0 7 1 -2 1 0 0 1 0 3

1 -3 -4 0 M M -1 0 B4-MB3

x ^y t Ket

-1 1 1 1 0 0 0 4

1 2 1 0 1 0 0 7

1 -2 1 0 0 1 0 3

1-M -3+2M -4-M 0 M 0 -1 -3M B4-MB2

x ^y t Rasio

-1 1 1 1 0 0 0 4 4:1=4

1 2 1 0 1 0 0 7 7:1=7

1 -2 1 0 0 1 0 3 3:1=3

1-2M -3 -4-2M 0 0 0 -1 -10M

x ^y t Ket

-1 1 1 1 0 0 0 4 B1-B3

1 2 1 0 1 0 0 7 B2-B3

1 -2 1 0 0 1 0 3

1-2M -3 -4-2M 0 0 0 -1 -10M B4+(4+2M)B3

(20)

x ^y t Rasio

-2 3 0 1 0 -1 0 1 1:3=1/3

0 4 0 0 1 -1 0 4 4:4=1

1 -2 1 0 0 1 0 3 3: (-2)=-3/2

5 -11-4M 0 0 0 4+2M -1 12-4M

x ^y t Ket

-2/3 1 0 1/3 0 -1/3 0 1/3

0 4 0 0 1 -1 0 4 B2-4B1

1 -2 1 0 0 1 0 3 B3+2B1

5 -11-4M 0 0 0 4+2M -1 12-4M B4+(11+4M)B1

x ^y t Rasio

-2/3 1 0 1/3 0 -1/3 0 1/3 1/3: (-2/3)= -1/2

8/3 0 0 -4/3 1 1/3 0 8/3 8/3:8/3=1

-1/3 0 1 2/3 0 1/3 0 11/3 11/3: (-1/3) = -11

-7/3-8/3M 0 0 11/3+4/3M 0 1/3+2/3M -1 47/3-8/3M

x ^y t Ket

-2/3 1 0 1/3 0 -1/3 0 1/3 B1+2/3B2

1 0 0 -1/2 3/8 1/8 0 1

-1/3 0 1 2/3 0 1/3 0 11/3 B3+1/3B2

-7/3-8/3M 0 0 11/3+4/3M 0 1/3+2/3M -1 47/3-8/3M B4+(7/3+8/3M)B2

x ^y t Ket

0 1 0 0 ¼ -¼ 0 1

1 0 0 -1/2 3/8 1/8 0 1

0 0 1 ½ 1/8 3/8 0 4

0 0 0 15/6 7/8+M 5/8+M -1 18

1 1 4 18

x y  t  Z  

Jika ada, coba jelaskan pada saat kapan Kamu melakukan kesalahan? Mengapa?

2 2 8

x y t , , 0 x y t

Penyelesaian:

 Ketik di window Max 2x y 3t

(21)

Subject to

3 4 2 12

2 2 8

x y t

   

    end

 Nilai Z dapat dilihat di Objective Function Value, jadi berapa nilai Z ? 18

 Nilai , ,x y t dapat dilihat di Variable value. Tentukan nilai x 0 y 0 t 6

Fungsi Kendala tambahkan Slack Fungsi Kendala dikurangi Slack

lalu ditambah africial



Fungsi Tujuan ditambah

 

 MA

Langkah 2: Operasikan koefisien dengan menggunakan prinsip Gauss-Jordan Nilai M pada Artificial harus 0

x y t Ket

3 4 2 1 0 0 0 12 1 2 2 0 -1 1 0 8

-2 -1 -3 0 0 M 1 0 B3-MB2

x y t Rasio

3 4 2 1 0 0 0 12 12:2=6

1 2 2 0 -1 1 0 8 8:2=4

-2-M -1-2M -3-2M 0 M 0 1 -8M

x y t Ket

3 4 2 1 0 0 0 12 B1-2B2

½ 1 1 0 -1/2 ½ 0 4

-2-M -1-2M -3-2M 0 M 0 1 -8M B3+(3+2M)B2

x y t Rasio

2 2 0 1 1 -1 0 4 4:1=4

½ 1 1 0 -1/2 ½ 0 4 4: (-1/2) = -2 -1/2 2 0 0 -3/2 3/2+M 1 12

(22)

x y t Ket

2 2 0 1 1 -1 0 4

½ 1 1 0 -1/2 ½ 0 4 B2+1/2B1 -1/2 2 0 0 -3/2 3/2+M 1 12 B3+3/2B1

x y t Ket

2 2 0 1 1 -1 0 4 3/2 2 1 ½ 0 0 0 6 5/2 5 0 3/2 0 M 1 18

8. Minimum Z 2x y 3t 3x4y2t12

2 2 8

x y t , , 0 x y t

Penyelesaian:

 Ketik di window Min 2x y 3t Subject to

3 4 2 12

2 2 8

x y t

   

    end

 Nilai Z dapat dilihat di Objective Function Value, jadi berapa nilai Z ?8

 Nilai , ,x y t dapat dilihat di Variable value. Tentukan nilai x 0 y  2 t 2

 Slackny ada berapa dan berapa nilainya ?

(23)

Coba lakukan dengan cara manual

Fungsi Kendala tambahkan Slack

Fungsi Kendala dikurangi Slack lalu ditambah africial



 

 MA

 Tulis kembali fungsi kendala

Tulis kembali fungsi kendala

fungsi tujuan pindah ke ruas kiri Langkah 2: Operasikan koefisien dengan menggunakan prinsip Gauss-Jordan

x y t Ket

3 4 2 1 0 0 0 12 1 2 2 0 -1 1 0 8

2 1 3 0 0 M -1 0 B3-MB2

x y t Rasio

3 4 2 1 0 0 0 12 12:2=6

1 2 2 0 -1 1 0 8 8:2=4

2-M 1-2M 3-2M 0 M 0 -1 -8M

x y t Ket

3 4 2 1 0 0 0 12 B1-2B2

½ 1 1 0 -1/2 ½ 0 4

2-M 1-2M 3-2M 0 M 0 -1 -8M B3+(-3+2M)B2

x y t Rasio

2 2 0 1 1 -1 0 4 4:2=2

½ 1 1 0 -1/2 ½ 0 4 4:1=4 1/2 -2 0 0 3/2 -3/2+M -1 -12

x y t Ket

1 1 0 ½ ½ -½ 0 2

½ 1 1 0 -1/2 ½ 0 4 B2-B1 1/2 -2 0 0 3/2 -3/2+M -1 -12 B3+2B1

x y t Ket

1 1 0 ½ ½ -½ 0 2

-½ 0 1 -½ -1 1 0 2 5/2 0 0 1 5/2 -5/2+M -1 -8

0 2 2 8

x y  t  Z 

(24)

9. Maksimum Z 3x5y 2x8

3x15 6x5y30

, 0

x y

Penyelesaian:

 Ketik di window Max 3x5y Subject to

2 8

3 15

6 5 30

x x

x y





 

end

 Apakah nilai Z optimal? Tidak

 Nilai Z dapat dilihat di Objective Function Value, jadi berapa nilai Z ?

 Nilai x y, dapat dilihat di Variable value. Tentukan nilai x y

 Slackny ada berapa dan berapa nilainya ? Coba lakukan dengan cara manual

Fungsi Kendala tambahkan Atrificial

Fungsi Kendala tambahkan Slack Fungsi Kendala dikurangi Slack

lalu ditambah africial



Fungsi Tujuan ditambah



1 2



MA MA

  

(25)

x ^y Ket

6 5 1 0 0 0 0 30 3 0 0 -1 0 1 0 15 2 0 0 0 1 0 0 8

-3 -5 0 0 M M 1 0 B4-MB3

x ^y Rasio

6 5 1 0 0 0 0 30 30:6=5

3 0 0 -1 0 1 0 15 15:3=5

2 0 0 0 1 0 0 8 8:2=4

-3-5M -5 0 M 0 0 1 -23M

x ^y Ket

6 5 1 0 0 0 0 30 B1-6B3

3 0 0 -1 0 1 0 15 B2-3B3

1 0 0 0 ½ 0 0 4

-3-5M -5 0 M 0 0 1 -23M B4+(3+5M)B3

x ^y Rasio

0 5 1 0 -3 0 0 6 6:5

0 0 0 -1 -3/2 1 0 3 ~

1 0 0 0 ½ 0 0 4 ~

0 -5 0 M 3/2+5/2M 0 1 12-3M

x ^y Ket

0 1 1/5 0 -3/5 0 0 6/5 0 0 0 -1 -3/2 1 0 3

1 0 0 0 ½ 0 0 4

0 -5 0 M 3/2+5/2M 0 1 12-3M B4+5B1

x ^y Ket

0 1 1/5 0 -3/5 0 0 6/5

0 0 0 -1 -3/2 1 0 3 -3

1 0 0 0 ½ 0 0 4

0 0 1 M -3/2+5/2M 0 1 18+3M

x ^y Ket

0 1 1/5 0 -3/5 0 0 6/5

0 0 0 1 3/2 -1 0 -3

1 0 0 0 ½ 0 0 4

0 0 1 M -3/2+5/2M 0 1 18+3M B4-MB2

x ^y Ket

6 5 1 0 0 0 0 30

3 0 0 -1 0 1 0 15

2 0 0 0 1 0 0 8

-3-2M -5 0 0 0 M 1 -8M B4-MB2

(26)

x ^y Ket 0 1 1/5 0 -3/5 0 0 6/5

0 0 0 1 3/2 -1 0 -3

1 0 0 0 ½ 0 0 4

0 0 5 0 -3/2+M M 1 18 .... .... ...

x y Z 

10. Minimum Z 3x5y 2x8

3x15 6x5y30

, 0

x y

Penyelesaian:

 Ketik di window Min 3x5y Subject to

2 8

3 15

6 5 30

x x

x y





 

end

 Nilai Z dapat dilihat di Objective Function Value, jadi berapa nilai Z ?18

 Nilai x y, dapat dilihat di Variable value. Tentukan nilai x 4 y 1,2

 Slackny ada berapa dan berapa nilainya ? Coba lakukan dengan cara manual

(27)

Fungsi Kendala tambahkan Atrificial Fungsi Kendala tambahkan Slack

Fungsi Kendala dikurangi Slack lalu ditambah africial



 

¹ ²

MA MA

  



Tulis kembali fungsi kendala Tulis kembali fungsi kendala Tulis kembali fungsi kendala fungsi tujuan pindah ke ruas kiri Langkah 2: Operasikan koefisien dengan menggunakan prinsip Gauss-Jordan

x ^y Ket

3 0 1 0 0 0 0 15 2 0 0 0 1 0 0 8 6 5 0 -1 0 1 0 30

3 5 0 0 M M -1 0 B4-MB3

x ^y Ket

3 0 1 0 0 0 0 15

2 0 0 0 1 0 0 8

6 5 0 -1 0 1 0 30

3-6M 5-5M 0 M M 0 -1 -30M B4-MB2

x ^y Rasio

3 0 1 0 0 0 0 15 15:3=5

2 0 0 0 1 0 0 8 8:2=4

6 5 0 -1 0 1 0 30 30:6=5

3-8M 5-5M 0 M 0 0 -1 -38M

x ^y Ket

3 0 1 0 0 0 0 15 B1-3B2

1 0 0 0 ½ 0 0 4

6 5 0 -1 0 1 0 30 B3-6B2

3-8M 5-5M 0 M 0 0 -1 -38M B4-(3-8M)B2

x ^y Ket

0 0 1 0 -3/2 0 0 3 ~

1 0 0 0 ½ 0 0 4 ~

0 5 0 -1 -3 1 0 6 6/5

0 5-5M 0 M -3/2+4M 0 -1 -12-6M

x ^y Ket

0 0 1 0 -3/2 0 0 3

1 0 0 0 ½ 0 0 4

0 1 0 -1/5 -3/5 1/5 0 6/5

0 5-5M 0 M -3/2+4M 0 -1 -12-6M B4-(5-5M)B3

(28)

x ^y Ket

0 0 1 0 -3/2 0 0 3

1 0 0 0 ½ 0 0 4

0 1 0 -1/5 -3/5 1/5 0 6/5 0 0 0 1 3/2+M -1+M -1 -18 Berhenti, (-1+M) hasilnya positif , berbeda dengan (-1)

4 6 / 5 18

x y Z 

(29)

BAB 4

METODE TRANSPORTASI

A. Awal Muncul Metode Transportasi

Ada dua alternatif penyelesaian

• A ke Y 200 Produk = Rp 2.000 (kurang 50 di Y) B ke Y 50 Produk = Rp 1.000 (masih 250 di B) B ke X 250 produk = Rp 2.750

Rp 5.750

• A ke X 200 produk = Rp 5.000 (kurang 50 di X) B Ke X 50 Produk = Rp 550 (masih 250 di B) B ke Y 250 Produk = Rp 5.000

Rp 10.550

Mana yang lebih minimal biaya? Pilihan 1 bukan? Iya

Karena pilihannya hanya ada 2, bagaimana jika pabrik > 2 dan gudang > 2? Dapat digunakan dengan metode transportasi yang dikembangkan oleh Cooper dan Chares, dengan 3 langkah awal dan 2 langkah akhir. Langkah Awal : NWC (North West Corner), LC (Least Cost), VAM (Vogel Approxia Methode). Langkah Akhir : Stepping Stone, MODI (modified Distribution Methode).

1. North West Corner (NWC)

M1 M2 M3 Supply

D1 20 5 8 90

D2 15 20 10 60

D3 25 10 19 50

Demand 50 110 40 200

A

(Penawaran) Supply = 200

X

(Permintaan) Demand

= 250

B S = 300

Y Demand= 250 25

10 11

20

(30)

Langkah-Langkah

a. Mulai dari Barat Laut, dan tentukan Supply atau Demand yang paling kecil. Karena 50

< 90 maka yang diisi di D1M1 adalah 50.

b. Lalu nilai Demand pada M1 jadi 0 dan nilai Supply pada D1 menjadi 40.

c. Teruskan perjalanan dengan tidak terputus, sehingga setelah menulis 50, lanjutkan ke bawah atau ke samping kanan. Tetapi tidak mungkin ke bawah, sehingga dilanjutkan ke samping kanan. Jadi diisi di D1M2 adalah 40.

d. Lalu nilai Supply pada D1 jadi 0 dan nilai Demand pada M2 menjadi 70.

e. Teruskan perjalanan dengan tidak terputus, sehingga setelah menulis 40, lanjutkan ke bawah atau ke samping kanan. Tetapi tidak mungkin ke samping, sehingga dilanjutkan ke bawah. Jadi diisi di D2M2 adalah 60.

f. Lalu nilai Supply pada D2 jadi 0 dan nilai Demand pada M2 menjadi 10.

g. Teruskan perjalanan dengan tidak terputus, sehingga setelah menulis 60, lanjutkan ke bawah atau ke samping kanan. Tetapi tidak mungkin ke samping, sehingga dilanjutkan ke bawah. Jadi diisi di D3M2 adalah 10.

h. Lalu nilai Supply pada D3 jadi 40 dan nilai Demand pada M2 menjadi 0.

i. Teruskan perjalanan dengan tidak terputus, sehingga setelah menulis 10, lanjutkan ke bawah atau ke samping kanan. Tetapi tidak mungkin ke bawah, sehingga dilanjutkan ke samping kanan. Jadi diisi di D3M adalah 40.

j. Jadi Z=50(20)+40(5)+60(20)+10(10)+40(19)=3.260. Belum optimal maka dapat menggunakan metode stepping stone atau MODI (langkah akhir).

NWC

M1 M2 M3 Supply

D1 20 5 8

50 40 X 90

D2 15 20 10

X 60 X 60

D3 25 10 19

X 10 40 50

Demand 50 110 40 200

(31)

2. Least Cost

M1 M2 M3 Supply

D1 20 5 8

90

D2 15 20 10

60

D3 25 10 19

50

Demand 50 110 40 200

Langkah-Langkah

a. Pilih biaya transportasi yang paling minimum, jika ada biaya transportasi yang sama maka pilih salah satu. Sehingga kita dapat letakkan nilai di biaya transportasi 5.

b. Pilih D1M2 dengan nilai 90. Lalu nilai Supply pada D1 jadi 0 dan nilai Demand pada M2 menjadi 20.

1. LEAST COST

M1 M2 M3 Supply

D1 20 5 8

X 90 X 0

D2 15 20 10

60

D3 25 10 19

50

Demand 50 20 40 200

Langkah-Langkah

a. Pilih biaya transportasi yang paling minimum, jika ada biaya transportasi yang sama maka pilih salah satu. Sehingga kita dapat letakkan nilai di biaya transportasi 10, karena tidak mungkin dengan biaya transportasi 8. Pilih D3M2 dengan nilai 20

b. Lalu nilai Demand pada M2 jadi 0 dan nilai Supply pada D3 menjadi 30 2. LEAST COST

M1 M2 M3 Supply

D1 20 5 8

X 90 X 0

D2 15 20 10

X 60

D3 25 10 19

20 30

Demand 50 0 40 200

Langkah-Langkah

a. Pilih biaya transportasi yang paling minimum, jika ada biaya transportasi yang sama maka pilih salah satu. Sehingga kita dapat letakkan nilai di biaya transportasi 10.

(32)

b. Pilih D2M3 dengan nilai 40. Lalu nilai Demand pada M3 jadi 0 dan nilai Supply pada D2 menjadi 20.

3. LEAST COST

M1 M2 M3 Supply

D1 20 5 8

X 90 X 0

D2 15 20 10

40 20

D3 25 10 19

20 X 30

Demand 50 0 0 200

Langkah-Langkah

a. Pilih biaya transportasi yang paling minimum, jika ada biaya transportasi yang sama maka pilih salah satu. Sehingga kita dapat letakkan nilai di biaya transportasi 15.

b. Pilih D2M1 dengan nilai 20.

c. Lalu nilai Demand pada M1 jadi 30 dan nilai Supply pada D2 menjadi 0.

4. LEAST COST

M1 M2 M3 Supply

D1 20 5 8

X 90 X 0

D2 15 20 10

20 X 40 0

D3 25 10 19

20 X 30

Demand 30 0 0 200

Langkah-Langkah

a. Pilih biaya transportasi yang paling minimum, jika ada biaya transportasi yang sama maka pilih salah satu. Sehingga kita dapat letakkan nilai di biaya transportasi 25, karena tidak mungkin yang lain.

b. Pilih D2M1 dengan nilai 20.

c. Lalu nilai Demand pada M1 jadi 30 dan nilai Supply pada D2 menjadi 0.

d. Jadi Z=90(5)+20(15)+40(10)+30(25)+20(10)=1920. Belum optimal maka dapat menggunakan metode stepping stone atau MODI (langkah akhir).

(33)

5. LEAST COST

M1 M2 M3 Supply

D1 20 5 8

X 90 X 0

D2 15 20 10

20 X 40 0

D3 25 10 19

30 20 X 0

Demand 0 0 0 200

3. Vogel's Approximation Method

M1 M2 M3 Supply

D1 20 5 8 90 8 - 5=3

D2 15 20 10 60

15 - 10

=5

D3 25 10 19 50

19 - 10=9

Demand 50 110 40 200

20 - 15

=5

10 - 5

= 5

10 - 8

= 2 Langkah-Langkah

a. Hitunglah selisih 2 biaya transportasi yang paling minimal pada setiap baris dan kolom.

b. Perhatikan selisih yang paling besar yaitu 9 dan perhatikan biaya transportasi yang paling kecil, yaitu 10 dan jika terdapat selisih yang sama, pilih salah satu dengan biaya transportasi yang paling kecil

c. Pilih D3M2 dengan nilai 50

d. Lalu nilai Supply pada D3 jadi 0 dan nilai Demand pada M2 menjadi 60 1. VAM

M1 M2 M3 Supply Indeks

D1

20 5 8 8 - 5=3

90

D2 15 20 10

15 - 10

=5 60

D3 25 10 19 --

(34)

XXXXX 50 XXXXX 0

Demand 50 60 40 200

Indek

20 - 15

=5

20 - 5=15

10 - 8 = 2 Langkah-Langkah

a. Hitunglah selisih 2 biaya transportasi yang paling minimal pada setiap baris dan kolom.

b. Perhatikan selisih yang paling besar yaitu 15 dan perhatikan biaya transportasi yang paling kecil, yaitu 5.

c. dan jika terdapat selisih yang sama, pilih salah satu dengan biaya transportasi yang paling kecil.

d. Pilih D1M2 dengan nilai 60.

e. Lalu nilai Supply pada D1 jadi 30 dan nilai Demand pada M2 menjadi 0.

2. VAM

D1 20 5 8

20 - 8

=12

60 30

D2 15 20 10

15 - 10

=5

XXXXX 60

D3 25 10 19 --

XXXXX 50 XXXXX 0

Demand 50 0 40 200

Indek

20 - 15

=5 --

10 - 8 = 2

Langkah-Langkah

b. Perhatikan selisih yang paling besar yaitu 12 dan perhatikan biaya transportasi yang paling kecil, yaitu 8 dan jika terdapat selisih yang sama, pilih salah satu dengan biaya transportasi yang paling kecil.

c. Pilih D1M3 dengan nilai 30.

d. Lalu nilai Supply pada D1 jadi 0 dan nilai Demand pada M3 menjadi 10.

(35)

3. VAM

D1

20 5 8 --

XXXXX 60 30 0

D2 15 20 10

15 - 10=5

XXXXX 60

D3 25 10 19 --

XXXXX 50 XXXXX 0

Demand 50 0 10 200

Indek 15 -- 10

Langkah-Langkah

b. Perhatikan selisih yang paling besar yaitu 5 dan perhatikan biaya transportasi yang paling kecil, yaitu 10 dan jika terdapat selisih yang sama, pilih salah satu dengan biaya transportasi yang paling kecil.

c. Pilih D2M3 dengan nilai 10.

d. Lalu nilai Supply pada D2 jadi 50 dan nilai Demand pada M3 menjadi 0.

4. VAM

M1 M2 M3 Supply

D1 20 5 8 --

XXXXX 60 30 0

D2 15 20 10 10

50 XXXXX 10

D3 25 10 19 --

XXXXX 50 XXXXX 0

Demand 0 0 10 200

Indek -- -- 10

Langkah-Langkah

a. Hitunglah selisih 2 biaya transportasi yang paling minimal pada setiap baris dan kolom

b. Perhatikan selisih yang paling besar yaitu 5 dan perhatikan biaya transportasi yang paling kecil, yaitu 15

(36)

c. dan jika terdapat selisih yang sama, pilih salah satu dengan biaya transportasi yang paling kecil

d. Pilih D2M1 dengan nilai 50

e. Lalu nilai Supply pada D2 jadi 0 dan nilai Demand pada M1 menjadi 0 f. Jadi Z=60(5)+30(8)+50(15)+10(10)+50(10)=1.890.

g. Sudah optimal dapat di cek dengan metode stepping stone atau MODI (langkah akhir) 5. VAM

M1 M2 M3 Supply

D1 20 5 8

XXXXX 60 30 0

D2 15 20 10

50 XXXXX 10 0

D3

25 10 19

XXXXX 50 XXXXX 0

Demand 0 0 0 200

4. Least Cost dan Stepping Stone

LEAST COST

M1 M2 M3 Supply

D1 20 5 8

90 0

D2 15 20 10

20 40 0

D3 25 10 19

30 20 0

Demand 0 0 0 200

Langkah-Langkah

a. Perhatikan untuk kolom yang tak terisi, yaitu D1M1,D1M3,D2M2,D3M3.

b. Ilustrasi, kita ingin mengisi kolom yang tak terisi dengan cara, kita melompat dari kolom yang tak terisi melalui kolom yang terisi,sehingga balik kembali ke kolom yang tak terisi.

c. Setiap lompatan ke-n, dengan n ganjil maka dioperasikan dengan negatif biaya transportasi ,jika n genap maka dioperasikan dengan positif biaya transportasi.

D1M1 = 20-5+10-25=0 D1M3=8-10+15-25+10-5=-7 D2M2=20-15+25-10=20

(37)

D3M3=19-25+15-10=-1

d. Perhatikan hasil perhitungannya. Jika terdapat nilai nonnegatif, maka tujuan optimal.

e. Perhatikan hasil perhitungannya. Jika terdapat nilai negatif, maka tujuan belum optimal.

f. Selanjutnya, tentukan nilai negatif dengan angka yang paling besar, yaitu -7.

g. Sehingga kita akan melompati kolom yang terisi dimulai dengan kolom D1M3.

h. Perhatikan kolom terisi yang memiliki tanda negatif paling kecil, yaitu 30.

1. Stepping Stone

M1 M2 M3 Supply

D1 20 5 8

(-)90 + 0

D2 15 20 10

(+)20 (-)40 0

D3 25 10 19

(-)30 (+)20 0

Demand 0 0 0 200

Langkah-Langkah

a. Sehingga kolom yang tak terisi dapat kita masukkna dengan nilai 30

b. Untuk kolom terisi operasikan sesuai operasi masing dengan menjumlahkan nilai 30.

Sehinnga :

D2M3=40-30=10 D2M1=20+30=50 D3M1=30-30=0 D3M2=20+30=50 D1M2=90-30=60

M1 M2 M3 Supply

D1 20 5 8

60 30 0

D2 15 20 10

50 10 0

D3 25 10 19

50 0

Demand 0 0 0 200

Langkah-Langkah

a. Perhatikan untuk kolom yang tak terisi, yaitu D1M1,D2M2,D3M3,D3M1

(38)

b. Ilustrasi, kita ingin mengisi kolom yang tak terisi dengan cara, kita melompat dari kolom yang tak terisi melalui kolom yang terisi,sehingga balik kembali ke kolom yang tak terisi

c. Setiap lompatan ke-n, dengan n ganjil maka dioperasikan dengan negatif biaya transportasi, jika n genap maka dioperasikan dengan positif biaya transportasi

D1M1 = 20-8+10-15=7 D2M2=20-10+8-5=13 D3M3=19-8+5-10=6

D3M1=25-10+5-8+10-15=7

d. Perhatikan hasil perhitungannya. Jika terdapat nilai nonnegatif, maka tujuan optimal.

e. Perhatikan hasil perhitungannya. Jika terdapat nilai negatif, maka tujuan belum optimal. Selanjutnya, tentukan nilai negatif dengan angka yang paling besar. Karena nilainya nonnegatif maka tujuan telah optimal

M1 M2 M3 Supply

D1 20 5 8

60 30 0

D2 15 20 10

50 10 0

D3 25 10 19

50 0

Demand 0 0 0 200

Perhatikan hasil VAM dan LC+Stepping Stone, sehingga metode VAM lebih efektif

VAM 2. Stepping Stone

M1 M2 M3 Supply M1 M2 M3 Supply

D1 20 5 8

XXXXX 60 30 0 60 30 0

D2 15 20 10

50 XXXXX 10 0 50 10 0

D3 25 10 19

XXXXX 50 XXXXX 0 0 50 0

Demand 0 0 0 200 Demand 0 0 0 200

(39)

5. Least Cost dan MODI

LEAST COST

M1 M2 M3 Supply

D1 20 5 8

90 0

D2 15 20 10

20 40 0

D3 25 10 19

30 20 0

Demand 0 0 0 200

Langkah-Langkah

a. Dimisalkan indeks untuk D1 selalu 0.

b. Untuk menghitung indeks M1, M2, M3, D1, D2, dan D3 dapat dilihat pada kolom yang terisi dengan memperhatikan biaya transportasi.

1. MODI

M1 M2 M3 Supply

(0)D1 20 5 8

90 0

D2 15 20 10

20 40 0

D3 25 10 19

30 20 0

Demand 0 0 0 200

Langkah-Langkah

 M2 : D1+M2=5 0+M2=5 M2=5

 D3:

D3+M2=10 D3+5=10 D3=5

 M1:

D3+M1=25 5+M1=25 M1=20

 D2:

D2+M1=15 D2+20=15 D2= -5

(40)

 M3 : D2+M3=10 -5+M3=10 M3=15

2. MODI

M1(20) M2(5) M3(15) Supply

(0)D1 20 5 8

90 0

(-5)D2 15 20 10

20 40 0

(5)D3 25 10 19

30 20 0

Demand 0 0 0 200

Langkah-Langkah

a. Hitung indeks pada kolom yang tidak terisi dengan memperhatikan biaya transportasinya serta indeks samping dan atas

D1M1= 20-0-20=0 D1M3=8-0-15=-7 D2M2=20-(-5)-5=20 D3M3=19-5-15=-1

b. Perhatikan hasil operasinya, jika terdapat nilai nonnegatif maka tujuan optimal, tetapi jika nilai negatif maka belum optimal, maka perhatikan kolom yang tak terisi dengan hasil negatif terbesar. Setelah itu, lakukan lompatan seperti stepping stone, yaitu dimulai dengan kolom D1M3 melompat ke D2M3 ke D2M1 ke D3M1 ke D3M2 dan ke D1M2 dan lompatan ganjil tandanya negatif, lompatan genap tandanya positif.

Perhatikan tanda negatif terkecil, yaitu 30.

3. MODI

M1(20) M2(5) M3(15) Supply

(0)D1 20 5 8

(-)90 (+) 0

(-5)D2 15 20 10

(+)20 (-)40 0

(5)D3 25 10 19

(-)30 (+)20 0

Demand 0 0 0 200

(41)

Langkah-Langkah

a. Sehingga kolom yang tak terisi dapat kita masukan dengan nilai 30

b. Untuk kolom terisi operasikan sesuai operasi masing dengan menjumlahkan nilai 30.

Sehinnga :

D2M3=40-30-10 D2M1=20+30=50 D3M1=30-30=0 D3M2=20+30=50 D1M2=90-30=60

4. MODI

M1(20) M2(5) M3(15) Supply

(0)D1 20 5 8

60 30 0

(-5)D2 15 20 10

50 10 0

(5)D3 25 10 19

0 50 0

Demand 0 0 0 200

Langkah-Langkah

a. Dimisalkan indeks untuk D1 selalu 0.

b. Untuk menghitung indeks M1, M2, M3, D1, D2, dan D3 dapat dilihat pada kolom yang terisi dengan memperhatikan biaya transportasi.

5. MODI

M1 M2 M3 Supply

(0)D1 20 5 8

60 30 0

D2 15 20 10

50 10 0

D3 25 10 19

50 0

Demand 0 0 0 200

Langkah-Langkah

 M2 : D1+M2=5 0+M2=5 M2=5

 M3 : D1+M3=8 0+M3=8

(42)

M3=8

 D2:

D2+M3=10 D2+8=10 D2=2

 M1:

D2+M1=15 2+M1=15 M1= 13

 D3 : D3+M2=10 D3+5=8 D3=3

6. MODI

M1(13) M2(5) M3(8) Supply

(0)D1 20 5 8

60 30 0

(2)D2 15 20 10

50 10 0

(5)D3 25 10 19

50 0

Demand 0 0 0 200

Langkah-Langkah

a. Hitung indeks pada kolom yang tidak terisi dengan memperhatikan biaya transportasinya serta indeks samping dan atas

D1M1= 20-0-13=7 D2M2=20-2-5=13 D3M1=25-3-13=9 D3M3=19-3-8=8

b. Perhatikan hasil operasinya, jika terdapat nilai nonnegatif maka tujuan optimal, tetapi jika nilai negatif maka belum optimal, maka perhatikan kolom yang tak terisi dengan hasil negatif terbesar. Hasilnya optimal.

(43)

6. MODI

M1(13) M2(5) M3(8) Supply

(0)D1 20 5 8

60 30 0

(2)D2 15 20 10

50 10 0

(3)D3 25 10 19

50 0

Demand 0 0 0 200

(44)

BAB 5 PENUGASAN

Masalah Penugasan berkaitan dengan keinginan perusahaan dalam mendapatkan pembagian/lokasi tugas (penugasan) yang optimal, dalam arti apabila penugasan tersebut berkaitan dengan keuntungan maka bagaimana alokasi tugas atau penugasan tersebut dapat memberikan bagaimana yang maksimal, begitu pula sebaliknya bila menyangkut biaya.

1. Langkah-Langkah Penyelesaian Masalah Penugasan

a. Identifikasi dan penyederhanaan masalah dalam bentuk label penugasan

b. Untuk kasus minimalisasi,mencari biaya terkecil untuk setiap baris, dan kemudian menggunakan biaya terkecil tersebut untuk mengurangi semua biaya yang ada pada baris yang sama. Sedangkan untuk kasus maksimalisasi, mencari nilai tertinggi untuk setiap baris yang kemudian nilai tertinggi tersebut dikurangi dengan semua nilai yang ada dalam baris tersebut.

c. Memastikan semua baris dan kolom udah memiliki nilai nol. Apabila masih ada kolom yang belum memiliki nilai nol, maka dicari nilai nol terkecil pada kolom tersebut untuk selanjutnya, digunakan untuk mengurangi semua nilai yang ada dalam baris tersebut.

d. Setelah semua baris dan kolom memiliki nilai nol, maka langkah selanjutnya adalah memastikan/mengecek apakah dalam tabel penugasan tersebut telah berhasil ditemukan nilai nol, sebnayak sumber daya (dapat karyawa, mesin, alat transportasi, atau sumber daya lainnya) yang juga tercermin dengan jumlah barisnya. Misalnya bila yang akan ditugaskan adalah 4 karyawan, maka harus ditemukan nilai nol sebanyak 4 buah yang terletak di baris dan kolom yang berbeda. Sebaliknya dimulai dari baris yang hanya memiliki 1 nilai nol. Langkah ini mengandung arti bahwa setiap karyawan hanya dapat ditugaskan pada satu pekerjaan saja.

e. Apabila belum, maka langkah selanjutnya adalah menarik yang menghubungkan minimal dua buah nilai nol dalam tabel penugasan tersebut.

f. Selanjutnya, perhatikan nilai-nilai yang belum terkena garis. Pilih nilai yang paling terkecil, kemudian pergunakan untuk mengurangi nilai-nilai lain yang belum terkena garis, dan gunakan untuk menambah nilai-nilai yang terkena garis dua kali.

g. Dari hasil langkah ke-6 tersebut, apakah sekarang telah berhasil ditemukan nilai nol sejumlah atau sebanyak sumber daya (bisa karyawan, mesin, alat transportasi, atau sumber daya lainnya) yang juga tercermin dengan jumlah barisnya.

h. Jika sudah, maka masalah penugasan telah optimal, dan apabila belum maka perlu diulangi langkah penyelesaian ke-5 di atas

(45)

2. Model Penugasan Seimbang a. Masalah penugasan

Job/Employer A B C D

1 10 25 15 20

2 15 30 5 15

3 35 20 12 24

4 17 25 24 20

To minimized the total man hours Solution:

1 10 25 15 20 2 15 30 5 15 3 35 20 12 24 4 17 25 24 20

A B C D

 

 

 

Lihat setiap baris yang minimum, . Lalu kurangi angka setiap baris dengan angka minimum pada baris tersebut

1 0 15 5 10 2 10 25 0 10 3 23 8 0 12

4 0 8 7 3

A B C D

 

 

 

Dengan cara yang sama lakukan pada kolom

1 0 7 5 7

2 10 17 0 7 3 23 0 0 9

4 0 0 7 0

A B C D

 

 

 

1 2 3 4

10 5 20 20 55 Job Employer

A C B D Min Z



     b. Masalah penugasan

Manager/City A B C D

1 11 11 9 9

2 13 16 11 10

3 12 17 13 8

4 16 13 16 12

To maximum total montly business?

Solution:

(46)

1 11 11 9 9 2 13 16 11 10 3 12 17 13 8 4 16 13 16 12

A B C D

 

 

 

Perhatikan nilai terbesar, yaitu 17. Kurangi 17 dengan setiap nilai.

1 6 6 8 8 2 4 1 6 7 3 5 0 4 9 4 1 4 1 5

A B C D

 

 

 

Lakukan seperti minimum. Lihat setiap baris yang minimum, . Lalu kurangi angka setiap baris dengan angka minimum pada baris tersebut

1 0 0 2 2 2 3 0 5 6 3 5 0 4 9 4 0 3 0 4

A B C D

 

 

 

Dengan cara yang sama lakukan pada kolom

1 0 0 2 0 2 3 0 5 4 3 5 0 4 7 4 0 3 0 2

A B C D

 

 

 

1

2 ?

3 ?

4

Job Employer D

B B A



1 0 0 2 0 2 3 0 5 4 3 5 0 4 7 4 0 3 0 2

A B C D

 

 

 

Lihat angka minimal yang belum terkena garis, yaitu angka 3. Selanjutnya kurangi nilai- nilai lain yang belum terkena garis dengan angka 3, dan tambahkan nilai-nilai yang telah terkena dua garis dengan angka 3.