DISTRIBUSI DISKRIT. MA 2081 Statistika Dasar Utriweni Mukhaiyar

DISTRIBUSI DISKRIT

•Uniform (seragam)

•^Bernoulli

•^Binomial

•^Poisson

•Beberapa distribusi lainnya :

•MULTINOMIAL, HIPERGEOMETRIK, GEOMETRIK, BINOMIAL NEGATIF

MA 2081 Statistika Dasar Utriweni Mukhaiyary 5 Maret 2012

Distribusi uniform (seragam) Distribusi uniform (seragam)

 Peubah acak X diasumsikan setiap nilainya (x₁, x₂, …, x_k) memiliki peluang yang sama.

 Distribusi peluang X :

1 2

( ) 1 , , ,..., _k

P X x x x x x

  k 

 Rataan : ^{1 k}

xi

  k



 Variansi :

1

k i_

 

²

2 1 ^k

 



x  

2

 

1 i i

k x

 







Bukti :

mean dan variansi untuk p.a distribusi seragam.

k k x 1 k

Berdasarkan definisi ekspektasi,

1 1 1

[ ] ( ) 1 ,



  

 



^{k i}  ⁱ 



^{k i} 



^{k i}

i i i

E X x P X x x x

k k

 

²

 

²

 

²

2

1 1

( ) 1

   

 

 

    



^{k i}   ⁱ 



^{k i} 

i i

E X x P X x x

k

Contoh 1 Contoh 1

 Pelantunan sebuah dadu.

( ) 1 , 1, 2, 3, 4, 5, 6 P X(  x)  6 x 

6 1 2 3 4 5 6

     3 5 ^0.175

0.18

1 2 3 4 5 6 6 3, 5

  ^{    } 

2 2 2 2 2 2

1 2 3 4 5 6

0.165 0.17

P(X=x)

2 2 2 2 2 2

2 1 2 3 4 5 6 2

6 3.5

15 17 12 25 2 92

  ^{    } 

  

0.16

1 2 3 4 5 6

x

4

15.17 12.25 2.92

 

Percobaan Bernoulli

 Percobaan terdiri dari 1 usahaPercobaan terdiri dari 1 usaha Usaha

G l Sukses

 Peluang sukses  p

Gagal

Peluang gagal  1-p

 Misalkan

1, jika terjadi sukses

0, jika terjadi tidak sukses (gagal) X 

 

Distribusi Bernoulli

X b di t ib i B lli



X berdistribusi Bernoulli,

 (1 )1¹ , 0,1

( ) ( ; )

0 ,

x x

p p x

P X x ber x p

x lainnya

   

   





Rataan : E[X] = µ

_x

= p



Variansi : Var(X)= 

_x²

= p(1-p)

6

Percobaan Binomial Percobaan Binomial



n usaha yang berulang.



Tiap usaha memberi hasil yang dapat y g

dikelompokkan menjadi sukses atau gagal.



Peluang sukses tidak berubah dari usaha yang satu ke yang berikutnya.



Tiap usaha saling bebas.

Distribusi Binomial Distribusi Binomial



Distribusi binomial parameter n dan p



Distribusi binomial, parameter n dan p



Notasi X ~ B(n,p)

 F.m.p:

( ) ( ; , ) n ^x(1 )^{n x}

P X x b x n p p p

x

  

     

 

 n n!

 Koefisien binomial :

n! = n.(n-1).(n-2) … 1

 x

o Rataan : E[X] = µ_x = np

!

!( )!

  

  

 

n n

x x n x untuk x = 0,1, … , n

8

o Variansi : var(X)= _X² = np(1-p)

Bukti :

Akan ditunjukkan bahwa 

_X

= np.

Misalkan hasil pada usaha ke-j dinyatakan oleh peubah acak Bernoulli I_j, dimana

0, jika gagal dengan peluang

1 jik k d l

 

j  I q

1, jika sukses dengan peluang



j p

Dalam hal ini I_j disebut peubah indikator/penunjuk.

Banyaknya sukses dalam suatu percobaan binomial dapat dinyatakan sebagai jumlah n peubah indikator bebas. Dapat ditulis,

[ ] [ ] [ ] [ ]

  E X  E I  E I   E I

X = I₁ + I₂ + ... + I_n Sehingga,

1 2

[ ] [ ] [ ] ... [ ] ...

     

    

E X E I E I E In

p p p np

Bukti :

Akan ditunjukkan bahwa 

_X2²

= npq.

Variansi setiap Ip _jj diberikan oleh

 

²

 

²

2 2

^Ij  E ^ I ^j  p ^  E ^ I^{j }  p

 

^{0 2}

 

^{1 2 2}



¹



 q  p  p  p  p  pq Karena percobaan binomial terdiri dari n percobaan

2 2 2 2

Karena percobaan binomial terdiri dari n percobaan Bernoulli yang saling bebas, maka

1 2

2 2 2 2

... ...

          

X I I In pq pq pq npq

10

Contoh 2 Contoh 2

Suatu penelitian dilakukan untuk melihat sikap masyarakat tentang obat penenang. Penelitian itu menunjukkan bahwa sekitar 70% penduduk percaya ‘obat penenang tidaklah mengobati

apapun obat itu hanyalah menutupi penyakit apapun, obat itu hanyalah menutupi penyakit sesungguhnya’. Menurut penelitian ini, berapa peluang bahwa paling sedikit 3 dari 5 orang

peluang bahwa paling sedikit 3 dari 5 orang

yang dipilih secara acak berpendapat seperti

itu?

Jawab Jawab

Misalkan peubah acak X menyatakan banyaknyap y y y

penduduk percaya ‘obat penenang tidaklah mengobati apapun, obat itu hanyalah menutupi penyakit

sesungguhn a’

sesungguhnya . Maka X~B(5, 0.7)

Y i i di i d l h P(X  3) Yang ingin dicari adalah P(X  3).

P(X  3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)

3 2 4 1 5 0

5 5 5

 ⁵

   

^{0.7 3 0.3 2}  ⁵

   

^{0.7 4 0.3 1}  ⁵

   

^{0.7 5 0.3 0}

3 4 5

5! 5! 5!

(0 343)(0 09) (0 240)(0 30) (0 168)(1)

     

        

     

 

edited 2011 by UM 12

(0, 343)(0, 09) (0, 240)(0, 30) (0,168)(1)

2!3! 1!4! 0!5!

0, 309 0, 360 0,168 0, 837

  

   

Percobaan Poisson Percobaan Poisson

 Memiliki 2 keluaran hasil : SUKSES dan GAGAL.Memiliki 2 keluaran hasil : SUKSES dan GAGAL.

 Terdefinisi pada : (yang membedakan dari percobaan Binomial)

 Panjang selang waktu

 Luas daerah/area Contoh :

- Banyak kejadian angin tornado dalam satu tahun di US

US

- Banyak batu “Apung” ditemukan di setiap 2 meter panjang sungai “A”

p j g g

Proses Poisson Proses Poisson



Selang waktu atau daerahnya saling bebas.



Peluang pada Proses Poisson tergantung pada Peluang pada Proses Poisson tergantung pada selang waktu dan besarnya daerah.



Peluang untuk selang yang pendek atau daerah g g y g p yang sempit dapat diabaikan.

14

Distribusi Poisson Distribusi Poisson



Peubah acak X berdistribusi Poisson X~P(  t)

( )   , 0,1, 2,...

!

t x

e t

P X x x



  





( )



F.m.p :

! x

e = tetapan Euler (2.71828…)

o

Rataan : E[X] = 

_X

=  t

o

Variansi : var(X)= 

²

=  t

o

Variansi : var(X)= 

_X

=  t

Bukti : Bukti :

Akan ditunjukkan bahwa rataan adalah j t, tulis,  = t.

  ^ 

^

^e

^

^{  }

^x

^ 

^

^e

^

^

^x

^{ } 

^

^e _

^

^

^x

_

^1

E X x x

Misalkan y x 1 diperoleh

  _{ }

0

!

1

! 

1

1 !

  



  

x x x

E X x x

x x x

Definisi fungsi peluang

k P

Misalkan y = x – 1, diperoleh

0

! 1





 

 

 _y



^e _y ^y

untuk p.a. Poisson

 

⁰

0

!







^{ }

 



 

^{y y}



^y



y

E X e t

y

16

Bukti : Bukti :

Akan ditunjukkan bahwa variansi adalah j t.

 

2 1

 

 

 

      

 

x x

E X X E X X

e e

   

0 2

2 2

2 2 2

1 1

! !

 

 

 

  

 

  

   





 





 

x x

x y x y

e e

x x x x

x x

e e

Sehingga,

 

2 2 ! 0 !

 

  

 

  







x x y y

2

= 1

   

     

2 2 2

2 2

  ^ ^ 

 

     

E X E X

E X X E X



E X



2 2

    

 

     t

Contoh 3 Contoh 3

R t t b k k j di h j b t b d i d l

Rata-rata banyaknya kejadian hujan beserta badai dalam satu bulan (empat minggu) di suatu daerah adalah 7.

a. Hitung peluang bahwa lebih dari 2 kejadian hujan g p g j j

beserta badai menimpa daerah tersebut dalam periode 2 minggu.

b. Berapa rata-rata banyaknya kejadian hujan beserta

b. Berapa rata rata banyaknya kejadian hujan beserta badai menimpa daerah tersebut dalam periode 2 bulan.

18

Alur Analisis Kasus

Jawab

Jenis kasus

• Kasus Diskrit

• Misal p.a. X : banyak kejadian hujan beserta badai dalam satu bulan di suatu daerah

• Distribusi Poisson

Satuan

• Satuan waktu : 1 bulan = 4 minggu (Kasus dapat dibagi atas 2 jenis berdasar satuan waktunya

• Jika dipandang waktu dalam bulan, ambil t = 1

• Jika dipandang waktu dalam minggu, ambil t = 4

Parameter distribusi

• Rata-rata kejadian 1 bulan : 7, rata-rata kejadian 1 minggu : 7/4

• Jika t = 1 (dalam bulan) maka X ~ P (7), dengan rata-rata  = t = 7

• Jika t = 4 (dalam minggu) maka X ~ P () dengan rata rata  = t = (7/4)(4) = 7

distribusi • Jika t = 4 (dalam minggu) maka X P () , dengan rata-rata  = t = (7/4)(4) = 7

Pertanyaan

• t = 0,5 (dalam bulan), X ~ P(3,5) maka P(X>2) = ....

• t = 2 (dalam minggu), X ~ P(3,5) maka P(X>2) = ....

a.

Pertanyaan • t = 2 (dalam bulan), X ~ P(14) maka  = ....

• t = 8 (dalam minggu), X ~ P(14) maka  = ....

20

b. ( gg ), ( ) 

...

( )   , 0,1, 2,...

!

 



  

t x

e t

P X x x

Ingat definisi: x

sehingga

 

(  2)  1  2

P X P X

a.

     

 

⁰

 

¹

 

²

3,5 3,5 3,5

0,5

1 0 1 2

3, 5 3, 5 3, 5

1

  



      

t

P X P X P X

e

 

e

 

e

 

1 0! 1! 2!

1 0.030 0,106 0, 370 0, 494

   

    

b. Jika dalam 1 bulan, rata-rata banyak kejadian hujan beserta badai adalah 7 (=7) maka dalam 2 bulan (t=2), rata-rata banyak hujan beserta badai terjadi adalah t = 14

21 hujan beserta badai terjadi adalah t = 14.

Hubungan distribusi

Bernoulli Binomial Poisson dan Normal Bernoulli, Binomial, Poisson dan Normal

Distribusi Bernoulli Distribusi Bernoulli

Misalkan p.a X

Distribusi Bernoulli X ~ Ber (1, p) Distribusi Bernoulli

X ~ Ber (1, p)

>1 Distribusi Binomial Distribusi Binomial

n >1 Distribusi Normal

X ~ N(μ, σ²) Distribusi Normal

X ~ N(μ, σ²)

n >>>

X ~ Bin (n, p) X ~ Bin (n, p)

n >>>, p <<<

X N(μ, σ )

μ = np, σ² = np(1- p) X N(μ, σ )

μ = np, σ² = np(1- p) μ =  , σ² =  μ =  , σ² = 

Distribusi Poisson X ~ POI (t) Distribusi Poisson

X ~ POI (t) n >>>

DLP

22

 = np = np(1- p)

 = np = np(1- p)

Beberapa distribusi diskrit lainnya Beberapa distribusi diskrit lainnya

 Distribusi Multinomial

 Di t ib i Hi t ik

 Distribusi Hipergeometrik

 Distribusi Binomial Negatif

 Distribusi Geometri

 Distribusi Geometri

Distribusi Multinomial Distribusi Multinomial

 Bila suatu usaha tertentu dapat menghasilkan k macam hasilp g

E₁, E₂, …, E_k dengan peluang p₁, p₂, …, p_k, maka distribusi peluang peubah acak X₁, X₂, …, X_k yang menyatakan banyak terjadinya

E₁₁, E, ₂₂, …, E, , _kk dalam n usaha bebas ialah,,

1 2

1 1 2 2 1 2

1 2

( , ,..., ) p p p

, ,...,

xk

x x

k k k

k

P X x X x X x n

x x x

 

     

  

dengan, Percobaan Binomial menjadi

Multinomial jika setiap

1 1

dan 1

k k

i i

i i

x n p

 

 

 

j p

percobaan memiliki lebih dari dua kemungkinan hasil.

24

Contoh 4 Contoh 4

 Peluang seorang perwakilan datang ke suatu konferensi di suatu kota

menggunakan pesawat, bus, mobil pribadi, dan kereta berturut-turut adalah 0.4, 0.2, 0.3, dan 0.1. Hitung peluang dari 9 perwakilan yang datang 3 orang datang menggunakan pesawat, 3 orang dengan bus, 1 orang dengan mobil pribadi, dan 2 orang dengan kereta.

 Jawab:

Misalkan X : banyaknya perwakilan yang datang menggunakan transportasi Misalkan X_i : banyaknya perwakilan yang datang menggunakan transportasi i, i=1,2,3,4 berturut-turut mewakili pesawat, bus, mobil pribadi, dan kereta.

       ^{3 3 1 2}

 9        

    

3 3 1 2

1 2 3 4

5

( 3, 3, 1, 2) 9 0.4 0.2 0.3 0.1

3, 3,1, 2

9! 0.064 0.08 0.3 0.01 2520 1.536 10 0, 038702 3!3!1!2!

P X X X X



 

      

 

         

3!3!1!2!

Distribusi Hipergeometrik Distribusi Hipergeometrik

 X ~ h(N, n, k)

 X : banyaknya sukses dalam sampel acak ukuran n yang diambil dari N benda yang mengandung k bernama sukses dan N-k bernama

gagal gagal.

k N k

x n x

   

   

  

( ) ( ; , , ) x n x , 0,1, 2,...,

P X x h x N n k x n

N n

  

   

  

 

 Rataan :

nk

 Variansi :

2 N n k 1 k 

 

26

  N ² 1

1 n

N N N

     

Contoh 5 Contoh 5

 Dari 50 gedung di sebuah kawasan industri, 12 gedung mempunyai kode pelanggaran. Jika 10 gedung dipilih secara acak dalam suatu

inspeksi, hitung peluang bahwa 3 dari 10 gedung mempunyai kode pelanggaran!

p gg

 Jawab :

Misalkan X : banyak gedung yang dipilih mempunyai kode pelanggaran.

X ~ h(50, 10, 12)

12 38

  

  3 7



220 12620256

 

( 3) (3;50,10,12) 0.2703

50 10272278170

10

P X h

  

  

    

  

 10

 

K it d g di t ib i Bi i l Kaitannya dengan distribusi Binomial

 Percobaan binomial maupun hipergeometrik sama-sama memiliki 2 kemungkinan, yaitu sukses dan gagal.

 Perbedaan mendasar adalah pada binomial percobaan dilakukan

d b li d k h k b

dengan pengembalian sedangkan hipergeometrik, percobaan dilakukan tanpa pengembalian.

 Untuk ukuran sampel acak (n) yang diambil semakin kecil terhadap

 Untuk ukuran sampel acak (n) yang diambil semakin kecil terhadap N, maka distribusi hipergeometrik dapat dihampiri oleh distribusi Binomial, dengan peluang sukses k/N .

28

Distribusi Geometrik Distribusi Geometrik

 X ~ g(p) atau X ~ Geom(p)

 X : banyaknya usaha sampai saat terjadi sukses pertama dari usaha- usaha yang saling bebas dengan peluang sukses p dan gagal (1 p) usaha yang saling bebas dengan peluang sukses p dan gagal (1-p).

 Rataan : ^ Variansi :

( ) ( ; ) (1 )^x 1, 1, 2,...

P X  x  g x p  p  p ^ x 

 Rataan :

  1

 Variansi :

2

2

1 p

  ^

p p²

Contoh 6 Contoh 6

 Suatu tes hasil pengelasan logam meliputi proses pengelasan sampai suatu patahan terjadi. Pada jenis pengelasan tertentu, patahan terjadi 80%

disebabkan oleh logam itu sendiri dan 20% oleh penyinaran pada

pengelasan. Beberapa hasil pengelasan dites. Misalkan X adalah banyak tes

p g . p p g . y

yang dilakukan sampai ditemukan patahan pertama pada hasil pengelasan.

Hitung peluang pada tes ketiga ditemukan patahan pertama!

b

 Jawab :

X ~ Geom(0.2)

( 3) (3; 0.2) 0.2(0.8)2 0.128

P X   g  

30

Distribusi Binomial Negatif Distribusi Binomial Negatif

 X ~ b*(k, p)

 X : banyaknya usaha yang berakhir tepat pada sukses ke-k dari usaha-usaha saling bebas dengan peluang sukses p dan gagal (1-p).

( ) * ( ; , ) 1 (1 ) , , 1, 2...

1

k x k

P X x b x k p x p p x k k k

k

 

 

         

 Suatu peubah acak Binomial negatif adalah jumlah dari peubah acak-peubah acak Geometrik.

X = Y + Y + + Y X = Y₁ + Y₂ + ... + Y_k

dimana Y₁, Y₂, ..., Y_k adalah peubah acak saling bebas, masing-masing berdistribusi Geom(p).

31

k

  p ² k(1 ₂ p)

  p^

 Rataan : ^ Variansi :

Contoh 7 Contoh 7

 Perhatikan Contoh 6.

 Misalkan X adalah banyak tes yang dilakukan sehingga ditemukan 3 patahan pertama. Hitung peluang bahwa dilakukan 8 tes sehingga

d k 3 h !

ditemukan 3 patahan pertama!

 Jawab :

3 5

( 8) * (8;3 0 2) 7 (0 2) (0 8) 0 05505

P X b  

     

( 8) (8;3, 0.2) (0.2) (0.8) 0.05505

P X   b   2 

 

32

Referensi Referensi

 Navidi, William., 2008, Statistics for Engineers and

d d k ll

Scientists, 2nd Ed., New York: McGraw-Hill.

 Walpole, Ronald E. dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan

Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan

Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, 1995.

 Walpole, Ronald E., et.al, 2007, Statistitic for Walpole, Ronald E., et.al, 2007, Statistitic for Scientist and Engineering, 8th Ed., New Jersey:

Prentice Hall.

 Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.