PENENTUAN SOLUSI OPTIMAL

(1)

PENENTUAN SOLUSI OPTIMAL

Ada dua metode yang dapat kita gunakan untuk menentukan solusi optimal, yaitu metode stepping stone dan Modified Distribution (MoDi).

Kedua metode digunakan untuk menentukan sel masuk. Prinsip perhitungan kedua metode dalam menentukan sel masuk adalah sama.

Perbedaannya, metode MoDi didasarkan pada hubungan primal-dual metode simpleks, sedangkan metode stepping stone tidak menunjukkan hubungan sama sekali dengan metode simpleks. Metode yang akan digunakan dalam catatan ini adalah MoDi.

Metode Modifikasi Distribusi (Modified Distribution - MoDi)

Primal (biaya):

Minimumkan z = c

11

x

12

x

12

+ c

1n

x

21

x

2

… + c

mn

x

erhadap

11

+ x + …+ = + x

22

+ …+ x a

2

. . . . . . . . . . .

x

1

+ x

m2

+ … x

mn

= a

m

u

m

21

+ b

1

x

22

+ … x

m2

= b

2

. . . . . . . . . . .

+ …+ x

mn

= b

n

v

n

1

+ b

2

v

2

+ …+ b

n

v

n

Terhada

11

+ c + …

1n

+ c

1

+ c

m1

x

m1

mn

T : x

X

X X

11X

X X

X

X X

211n2nmm1m22212

12

x

1n

a

1

u

1

x

21 2n

=

2

u

.

m

+

x

11

+ x …+ x

m1

=

1

v x

12

+ + v .

x

1n

+ x

2n 3

Dual

Maksimumkan w = a

1

u

1

+ a

2

u

2

+ …+ a

m

u

m

+ b

1

v p : u + v ≤ c

1 1 11

u

1

+ v

2

≤ c

12

(2)

. .

u

2

+ v .

1

≤ c

21

u

2

+ v

2

≤ c

22

. .

u

m

. + v

n

≤ c

mn

u

1

, u

2

…,u

m

, v

1

, v

2

, …,v

n

tidak terbatas.

i optimal tercapai jika untuk:

≤ 0 Langkah-langkah Penyelesaian:

1. Penentuan sel masuk.

• Untuk setiap sel basis, hitung u

i

+ v

j

= c

ij

. u

i

menunjukkan baris ke- jukkan kolom ke-j dan c

ij

adalah biaya pada sel ij (baris i kolom j); karena jumlah variabel yang tidak diketahu lebih banyak dibandingkan jumlah persamaan yang dibentuk, maka salah satu variabel

• Untuk setiap sel non basis, hitung c

pq

= u

i

+ v

j

- c

ij

.

• Untuk maksimisasi, sel masuk adalah sel dengan nilai c

pq

untuk minimisasi, sel masuk c

pq

paling positif.

2. me ma loo

basis, kecuali awal dan akhir loop pada sel masuk.

Solus

• Maksimisasi, u

i

+ v

j

– c

ij

≥ 0

• Minimisasi, u

i

+ v

j

– c

ij

i, v

j

menun

i (u

i

dan v

j

)

diasumsikan bernilai 0.

paling negatif; sedangkan adalah sel dengan nilai

Penentuan sel keluar. Penentuan sel keluar dilakukan

nggunakan loop tertutup. Awal dan akhir loop adalah sel

suk. Garis-garis horizontal ataupun vertikal yang membentuk

p harus berakhir (ujung awal ataupun akhir garis) pada sel

(3)

3. c

pq

tid inimisasi.

su b

Periksa apakah sudah optimal. Syarat optimal dipenuhi jika tidak ada yang bernilai negatif (≥ 0) untuk maksimisasi dan ak ada yang bernilai positif (≤ 0 ) untuk m

Kita gunakan solusi awal yang diperoleh menggunakan metode dut barat laut sebelumnya. Solusi awalnya adalah sebagai erikut:

G U D A N G

1 2 3 4 5 suplai

A 2 5 6 3 5 500

B 6 10 3 3 7 300

C 11 5 6 6 4 600

P A B R I

K kapasitas 300 400 200 300 200

Iterasi-

Sel basis adalah sel 11, 12, 22, 23, 33, 34, 35, sel non basis adalah 13, 4, 15, 21, 24, 25, 31, 32.

1 en ntuan sel masuk ntuk setia sel bas

+ v

1

= 2 5 + v

2

3

= 3 u + v

4

5

= 4

ma = 2; 5; u v

3

= -2; u

3

= 8; v

4

= - 2; v

5

= -4

= 0 - 2 – 6 = -8 0 -2 – 3 = -5 300 200

200 300 200

100 100

1

1 . P e

1. U p is:

u

1

u

1

+ v

2

= u

2

= 10 u

2

+ v

3

+ v

3

= 6 u

3

= 6 u

3

+ v

Misalkan u

1

= 0, ka v

1

v

2

=

2

= 5;

2. Untuk setiap sel non basis:

c

13

= u

1

+ v

3

- c

13

c

14

= u

1

+ v

4

- c

14

=

(4)

c

15

= u

1

+ v

5

- c

15

= 0 – 4 – 5 = -9 – = 5

– = 5

– c

25

= 5 – 4 – 7 = -6

v

2

– c

32

= 8 + 5- 5 =

K asis yang bernilai positif dan tujuan dari optimasi ini adalah minimisasi biaya, maka tabel belum optimal. Sel masuk adalah sel dengan nilai positif terbesar, dalam hal adalah sel 32, artinya dengan mengisi sel 32, biaya transportasi dap

2. Pen

Sel keluar ditentukan menggunakan loop tertutup. Loop harus berawal dan berakhir pada sel 32. Hanya ada satu alternatif loop

ang dapat kita bentuk. Loop terbentuk pada sel 32, 33, 23 dan 22.

G U D A N G c

21

= u

2

+ v

1

c

21

+2 – 6 =

c

24

= u

2

+ v

4

c

24

- 2 - 3= 0 c

25

= u

2

+ v

5

c

31

= u

3

+ v

1

– c

31

= 8 + 2 – 11 = -1 c

32

= u

3

+

arena masih ada dua sel non b

at berkurang.

entuan sel keluar

y

Karena sel 32 akan diisi, maka sel 33 dan 22 akan berkurang dan sel 32 dan 23 akan bertambah. Jumlah yang diperpindahkan sama dengan alokasi terkecil yang ada dalam sel loop.

1 2 3 4 5 suplai

A 2 5 6 3 5 500

B 6 10 3 3 7 300

C 11 5 6 6 4 600

P A

R I K

kapasitas 300 400 200 300 200 B

8 1

300 200

200 300 200

100

+

100

(5)

G U D A N G

1 2 3 4 5 suplai

A 2 5 6 3 5 500

B 6 10 3 3 7 300

C 11 5 6 6 4 600

P A

kapasitas 300 400 200 300 200 B

R I K

300 200

200 300 200

100 100

Alokasi pada iterasi pertama adalah:

• Dari pabrik A ke gudang 1 sebesar 300 unit, biaya 60.000.000

• 00 000.000

• ari pabrik B menuju gudang 2 sebesar 100 unit, biaya 0 00.000,00

• Dari pabrik B m ju n 3 ebesar 00 u ya 0.000,00

• Dari pabrik C menuju gudang 2 sebesar 100 unit, biaya 100

• Dari pabrik C menuju gudang 4 sebesar 300 unit, biaya

biaya

• p. 680.000.000,00 Ite

1. Penentuan sel masuk

• Sel basis adalah sel 11, 12, 22, 23, 32, 34 dan 35.

u

1

+ v

1

= 2 u

1

+ v

2

= 5 u

2

+ v

2

= 10

Dari pabrik A menuju gudang 2 sebesar 200 unit, biaya 1 .

D 1 0 .0

enu guda g s 2 nit, bia 60.00

.000.000,00

180.000.000,00

• Dari pabrik C menuju gudang 5 sebesar 200 unit, 80.000.000,00

Total biaya = R

rasi-2:

(6)

u

2

+ v

3

= 3 u

3

+ v

2

= 5 u

3

+ v

4

= 6 u

3

+ v

5

= 4

Misalkan u

1

= 0, maka v

1

= 2; v

2

= 5; u

2

= 5; v

3

= -2; u

3

= 0; v

4

= 6; v

5

= 4

• Sel non basis adalah sel 13, 14, 15, 21, 24, 25, 31 dan 33.

u

1

+ v

3

– c

13

= 0 – 2 – 6 = - 8 u

1

+ v

4

– c

14

= 0 + 6 – 3 =

= 5 + 6 – 3 = u

2

+ v

5

– c

25

= 5 + 4 – 7 =

u

3

+ v

1

– c

31

= 0 + 2 – 11 = -9 u

3

+ v

3

– c

33

= 0 – 2 – 6 = -8

2. Penentuan sel keluar

G U D A N G

u

1

+ v

5

– c

15

= 0 + 4 – 5 = -1 u

2

+ v

1

– c

21

= 5 + 2 – 6 = u

2

+ v

4

– c

24

8 3 1

1 2 3 4 5 suplai

A 2 5 6 3 5 500

B 6 10 3 3 7 30 0

C 11 5 6 6 4 600

P A

R I K

apasitas 300 400 200 300 200 B

k

G U D A N G

1 2 3 4 5 suplai P

A

R A 2 5 6 3 5 500

B

300 200

200 300 200

100

2 300 200

(7)

B 6 10 3 3 7 3 00

C 11 5 6 6 4 600

I K

ka

200 200 200

100

200 pasitas 300 400 200 300 200

• pabrik A m ebesa 00 ya

60.000.000,00

• Dari pabrik A menuju gudang 2 sebesar 200 unit, biaya 100.000.000,00

• enuju gudang 3 sebesar 200 unit, biaya 0. 00.000,00

• ari pabrik B menuju gudang 4 sebesar 100 unit, biaya 0.000,00

• Dari pabrik C m ju n 2 ebesar 00 u ya 0.000.000,00

• Dari pabrik C m 120

• Dari pabrik C menuju gudang 5 sebesar 200 unit, biaya

• . 550.000.000,00

Iteras 1. n

• sel 11, 12, 23, 24, 32, 34 dan 35.

u

3

+ v

2

= 5 u

3

+ v

4

= 6

0, maka v

1

= 2; v

2

= 5; u

2

= -3; v

3

= 6; u

3

= 0; v

4

= 6; v

5

= 4

Dari enuju gudang 1 s r 3 u nit, bia

Dari pabrik B m 6 0

D 30.00

enu guda g s 2 nit, bia 10

enuju gudang 4 sebesar 200 unit, biaya .000.000,00

80.000.000,00 Total biaya = Rp

i-3:

Pe entuan sel masuk Sel basis adalah

u

1

+ v

1

= 2 u

1

+ v

2

= 5 u

2

+ v

3

= 3 u

2

+ v

4

= 3

u

3

+ v

5

= 4

Misalkan u

1

=

(8)

• Sel non basis adalah sel 13, 14, 15, 21, 22, 25, 31 dan 33.

u

1

+ v

3

– c

13

= 0 – 6 – 6 = - 12 u

1

+ v

4

– c

14

= 0 + 6 – 3 =

u

2

+ v

5

– c

25

= -3 + 4 – 7 = -6 u

3

+ v

3

– c

33

= 0 – 6 – 6 = -12

G U D A N G

u

1

+ v

5

– c

15

= 0 + 4 – 5 = -1 u

2

+ v

1

– c

21

= -3 + 2 – 6 = -7 u

2

+ v

2

– c

22

= -3 + 5 – 10 = -8

u

3

+ v

1

– c

31

= 0 + 2 – 11 = -9 2. Penentuan sel keluar

1 2 3 4 5 suplai

A 2 5 6 3 5 500

B 6 10 3 3 7 300

C 11 5 6 6 4 600

P A B R I K

kapasitas 300 400 200 300 200 3

300 200

200 200 200

100 G U D A N G

1 2 3 4 5 suplai

A 2 5 6 3 5 500

B 6 10 3 3 7 300

C 11 5 6 6 4 600

P

B R I K

apasitas 300 400 200

200 A

300 0

200

200 200 100

400 k 200 300

• Dari pabrik A menuju gudang 4 sebesar 200 unit, biaya

• Dari pabrik B menuju gudang 3 sebesar 200 unit, biaya Dari pabrik A menuju gudang 1 sebesar 300 unit, biaya 60.000.000,00

60.000.000,00

•

(9)

• a pabrik menuju gudang 4 sebesar 100 unit, biaya 0. 0.000,00

• ari pabrik C enuju gudang 2 sebesar 400 unit, biaya 200.000.000,00

• a pabrik C ebesa 0 ya

80.000.000,00

• Total biaya = Rp. 490.000.000,00

Ite

3. Penentuan sel masuk

u

1

+ v

2

= 5 u

1

+ v

4

= 3

0 + 3 – 6 = - 3 u

1

+ v

5

– c

15

= 0 + 4 – 5 = - 1

u

3

+ v

1

– c

31

= 0 + 2 – 11 = -9 u

3

+ v

4

– c

34

= 0 + 4 – 6 = -2 arena semua nilai sudah negatif, maka tabel sudah optimal. Solusi

a dengan demikian sama dengan solusi yang dihasilkan pada

00 unit, biaya 60.000.000,00

• Dari pabrik A menuju gudang 4 sebesar 200 unit, biaya 60.000.000,00

D ri B

3 00

D m

D ri m enuju gudang s 5 r 2 0 nit, bia u

rasi-4:

• Sel basis adalah sel 11, 12, 14, 23, 24, 32 dan 35.

u

1

+ v

1

= 2

u

2

+ v

3

= 3 u

2

+ v

4

= 3 u

3

+ v

2

= 5 u

3

+ v

5

= 4

Misalkan u

1

= 0, maka v

1

= 2; v

2

= 5; u

2

= 0; v

3

= 3; u

3

= 0; v

4

= 3;

v

5

= 4

• Sel non basis adalah sel 13, 15, 21, 22, 25, 31, 33 dan 34.

u

1

+ v

3

– c

13

=

u

2

+ v

1

– c

21

= 0 + 2 – 6 = -4 u

2

+ v

2

– c

22

= 0 + 5 – 10 = - 5 u

2

+ v

5

– c

25

= 0 + 4 – 7 = -3

u

3

+ v

3

– c

33

= 0 + 3 – 6 = -3 K

optimalny

iterasi-3, yaitu:

• Dari pabrik A menuju gudang 1 sebesar 3

(10)

• Dar

60.000.000,00

it, biaya 30.000.000,00

• Dar ng a

200.000.000,00

• Dari pabrik C m

Ka

metode biaya terkecil dan pendekatan Vogel, solusi optimal ini sama den a

kelebihan dari kedua metode tersebut, bahkan metode pendekatan Vogel da t

dengan metode biaya terkecil untuk kasus yang lebih kompleks.

METODE M BESAR DAN DUMMY

tujuan tidak dimungkinkan karena berbagai alasan, diantaranya tidak ad y

umur ekonomis komoditas, dan lain-lain. Kasus seperti ini diatasi dengan me b besar) pada sel yang bersesuaian ka tujuan adalah minimisasi, atau keuntungan yang sangat-sangat kecil

memutusakan tidak akan mengirimkan barang dari gudang 2 ke daerah i pabrik B menuju gudang 3 sebesar 200 unit, biaya

• Dari pabrik B menuju gudang 4 sebesar 100 un

i pabrik C menuju guda 2 sebesar 400 unit, biay

enuju gudang 5 sebesar 200 unit, biaya 80.000.000,00

• Total biaya = Rp. 490.000.000,00

lau anda perhatikan kembali solusi awal yang dihasilkan menggunakan

g n solusi awal yang dihasilkan dengan kedua metode tersebut. Inilah

pa menghasilkan solusi awal yang jauh lebih baik dibandingkan

Kadang kala, alokasi dari satu daerah sumber menuju satu daerah

an a jalur transportasi, biaya yang sangat mahal, waktu lama melebihi

m erikan biaya yang sangat besar (M ji

(-M besar) jika tujuan adalah maksimisasi. Teknik ini akan memaksa kita untuk tidak mengalokasikan pada sel yang bersangkutan.

Perhatikan kasus transportasi dari beberapa gudang distributor

menuju agen besar pada daerah pemasaran di bawah ini. Manajemen

(11)

pemasaran 3 karena larangan pengiriman komoditas sejenis oleh pemerintah setempat dari luar daerah dimana gudang 2 berlokasi. Tabel

i bawah ini menunjukkan biaya pengangkutan per unit komoditas.

d

A G E N

1 2 3 4 suplai

1 15 5 - 13 200

2 6 10 20 3 300

3 10 15 10 8 350

4 11 5 16 9 350

G U D A N

G kapasitas 300 400 200 300

Tabel transportasinya adalah:

T U J U A N

1 2 3 4 suplai

1 15 5 M 13 200

2 6 10 20 3 300

4 10 15 10 8 350

3 11 5 16 9 350

S U M B E

pasitas 300 400 200 300 R

ka

Solusi awal dengan metode pendekatan Vogel adalah:

T U J U A N

S 1 2 3 4 suplai Selisih

(12)

1 15 5 M 13 200 8

2 6 10 20 3 300 3

3 10 1 5 0 8 1 350 2

4 1 1 5 16 9 350 4

U

pasitas 300 400 200 300 M

B E R

ka

selisih 4 0 6 5

J U N T U A

1 2 3 4 suplai Selisih

1 15 5 M 13 200 8

2 6 10 20 3 300 3

3 10 15 10 8 350 2

4 11 5 16 9 350 4

S U M

pasitas 300 400 200 300 B

E R

ka

selisih 4 0, 5 6 5

T U J U A N

1 2 3 4 suplai S elisih

1 15 5 M 13 200 8

2 6 10 20 3 300 3,4

3 10 15 10 8 350 2,5

4 11 5 16 9 350 4,9

S U M

kapasitas 300 400 200 300 B

E R

200

300

(13)

selisih 4 0,5 6 5

T U J U A N

1 2 3 4 suplai Selisih

1 15 5 M 13 2 00 8

2 6 10 20 3 300 3, 4

3 10 15 10 8 350 2,5

4 11 5 16 9 350 4, 9

S U M B

pasitas 300 400 200 300 E

R

ka

selisih 4 0,5 6 5

T U J U A N

1 2 3 4 suplai Selisih

1 15 5 M 13 2 00 8

2 6 10 20 3 300 3, 4

3 10 15 10 8 350 2, 5

4 11 5 16 9 350 4, 9

S U M B

pasitas 300 400 200 300 E

R

ka

selisih 4 0,5 6 5 T U J U A N

1 2 3 4 suplai h Selisi

1 15 5 M 13 2 00 8

S U M

B 2 6 10 20 3 3 00 3 , 4

200 200

300

200 200 0

200

300

200 0 300

(14)

3 10 15 10 8 350 2,5

4 11 5 16 9 350 4, 9

E R

kapasitas 300 400 200 300 selisih 4, 1 0,5 6 5

Jumlah sel bas (sel yang terisi) seharusny alah m+n-1 = 4 + 4 -

Vogel di atas sebanyak 7, dengan demikian solusi awal tersebut dinyatakan layak.

Penentuan solusi optimal dilakukan menggunakan metode MoDi.

1. sel masuk

• is (sel 12, 21, 24, 31, 33, 41 dan 42), hitung

j

= c

ij

u

1

+ v

2

= 5; u

2

+ v

1

= 6; u

2

+ v

4

= 3; u

3

+ v

1

= 10; u

3

+ v

3

= 10; u

4

v

1

= 11; u

4

v

2

= 5;

isalkan v

2

= 0, maka u

1

; u

2

= -5; u

3

= -1; u

4

v

1

= 11; v

3 4

= 8;

untuk setiap sel non basis (11, 13, 14, 22, 23, 32, 34, 43 dan

u

1

+ 11 =1; u

1

+ v

3 13

= 5+11-M = -M;

u

1

+ v

4

– c

14

= 5 + 5 – 13 = -3; u

2

+ v

2

– c

22

= -5 + 0 – 10 = -15;

Pemb

T U J U A N

is a ad

1 = 7. Jumlah yang terisi pada solusi awal dengan metode pendekatan

untuk setiap sel bas u

i

+ v

+ +

m = 5 = 5;

= 11; v

• 44), hitung

+ v

1

– c

11

= 5 – 15 – c

u

2

+ v

3

– c

23

= -5 + 11 – 20 = -14; u

3

+ v

2

– c

32

= -1 + 0 – 15 = -16;

u

3

+ v

4

– c

34

= -1 + 8 – 8 = -1; u

4

+ v

3

– c

43

= 5 + 11 – 16 = 0;

u

4

+ v

4

– c

44

= 5 + 8 – 9 = 2. Sel keluar

entukan loop, diawali dan diakhir pada sel 44.

150

200

150

4

(15)

1 2 3 4 suplai

1 15 5 M 13 200

2 6 10 20 3 300

3 10 15 10 8 350

4 11 5 16 9 350

S U M B E R

00 400 200 300 200

kapasitas 3

Sejumlah 0 komoditas diperpindahkan karena sel 21 yang masuk dalam loop memuat paling sedikit yaitu 0.

T U J U A N

1 2 3 4 suplai

1 15 5 M 13 200

2 6 10 20 3 300

3 10 15 10 8 350

4 11 5 16 9 350

S U

300 400 200 300 M

B E R

kapasitas

1. a. untuk setiap sel basis (sel 12, 24, 31, 33, 41, 42 dan 44), hitung u

; v

4

= + v

1

; u

3

+ 10;

4

+ v

1

= 11;

= -6; u

3

= -1; u

4

= 0; v

1

= 11; v

2

= 5; v

3

11; v

4

= 9;

b. untuk setiap sel non basis (11, 13, 14, 21, 22, 23, 32, 34 dan 43), hitung

Pemeriksaan optimalitas dan penentuan sel masuk.

i

+ v

j

= c

ij

u

1

+ v

2

= 5 u

2

+ 3; u

3

= 10 v

3

= u u

4

+ v

2

= 5; u

4

+ v

4

= 9;

misalkan u

1

= 0, maka u

2

=

200 200 0 300

150

200

300

0

150 150

(16)

u

1

+ v

1

– c

11

= 0 + 11 – 15 = - 4;

+ v

3

– c

13

u

1

+ v

4

– c

14

= 0 + 9 – 13 = -4;

+ v

1

– c

21

1 – 6 ; + v

2

– c

22

= -6 + 5 – 10 = -11;

u + v – c

23

6 + 11 0 = -15;

3 2 32

u + v – c = -1 + 9 – 8 = 0;

Karena semua nilai sudah

Cara penyelesaian di atas dapat dilakukan jika total suplai pada semua daerah sumber sama dengan total permintaan pada semua daerah tujuan (∑

menggunakan dummy. Jika

dummy tujuan. Jika ∑a

i

< ∑b

j

, maka kita perlukan menambahkan dummy sumber. Dummy ini hanya bersifat sementara, hanya ada dalam perhitungan. Per atikan kembali kasus pendistribusian produk dari

beberapa gudang as. Seandainya

permintaan agen 3 di daerah pemasaran meningkat menjadi 300, maka total sup bih kecil dari total permintaan (∑a

i

< ∑b

j

). Supaya kasus ini dapat diselesaikan, kita memerlukan dummy sumber. Seperti yang telah disebutkan sebelumnya, dummy hanya ada di kertas (membantu perhitungan), tidak akan dapat ditemukan dalam dunia nyata;

oleh karena itu, biaya pada sel baris/kolom dummy adalah 0. Tabel tasi akan menjadi seperti berikut:

u

1

= 0+11-M = -M;

u

2

= - + 1 6 = -1 u

2

2 3

u + v – c

= - – 2

= -1 + 5 – 15 = -11;

3 4 34

u + v – c = 0 + 11 – 16 = -5;

4 3 43

≥ 0, maka tabel sudah optimal.

a

i

= ∑b

j

). Jika syarat ini tidak dipenuhi, maka kita harus

∑a

i

>∑b

j

, maka kita perlukan menambahkan

h

menuju daerah pemasaran di at

lai akan le

transpor

T U J U A N

S 1 2 3 4 suplai

(17)

1 15 5 M 13 200

2 6 10 20 3 300

3 10 15 10 8 350

4 11 5 16 9 350

Dummy 0 0 0 0 100

U M B E R

kapasitas 300 400 200 300

Menggunakan metode pendekatan Vogel, akan diperoleh solusi awal di bawah. Jika anda periksa selanjutnya, solusi awal dengan metode pendekatan Vogel tersebut sudah optimal.

T U J U A N

1 2 3 4 suplai

1 15 5 M 13 200

2 6 10 20 3 300

3 10 15 10 8 350

4 11 5 16 9 350

Dummy 0 0 0 0 100

S

300 400 300 300 U

M B E R

kapasitas

100 200

300

200 200 150

150 0