KATA PENGANTAR KATA PENGANTAR

(1)

(2)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 I

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas rahmat, hidayah, dan karunia yang diberikan-Nya sehingga penyusun dapat menyelesaikan modul ini tepat pada waktunya. Dalam usaha meningkatkan kegunaan modul ini kepada mahasiswa dan meningkatkan mutu pengajaran dalam perkuliahan maka modul ini dapat digunakan untuk memenuhi kebutuhan mahasiswa dalam pembelajaran.

Modul praktikum ini merupakan penyempurnaan dari modul praktikum sebelumnya dan diharapkan dengan adanya modul praktikum ini dapat meningkatkan pemahaman dasar materi praktikum serta sebagai pedoman bagi mahasiswa dalam melakukan penelitian-penelitian ekonomi. Selain itu modul ini juga dapat digunakan mahasiswa melihat keadaan perekonomian dan disesuaikan dengan teori-teori ekonomi yang ada.

Dalam penyelesaian modul ini tim penulis menyadari bahwa modul praktikum ini masih perlu disempurnakan lagi sehingga saran dan kritik untuk penyajian serta isinya sangat diperlukan. Dan kami ucapkan terima kasih kepada tim litbang Matematika Ekonomi 2 Laboratorium Manajemen Dasar yang turut berpartisipasi dalam penulisan modul praktikum ini.

Akhir kata semoga modul praktikum ini bermanfaat bagi penulis dan pembaca.

Depok, Februari 2017

Tim Litbang

(3)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 II

Susunan Tim Litbang Matematika Ekonomi 2

ATA 2016/2017

(4)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 III

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ... I SUSUNAN TIM LITBANG ... II DAFTAR ISI ... III DAFTAR GAMBAR ... V

DERIVATIF

1. Konsep Dasar Turunan ... 1

2. Kaidah Diferensiasi ... 1

3. Hubungan antara Fungsi dan Derivatif ... 7

4. Penerapan Ekonomi ... 9

4.1 Elastisitas ... 9

4.1.1 Elastisitas Harga ... 9

4.1.2 Elastisitas Permintaan ... 13

4.1.3 Elastisitas Penawaran ... 16

4.1.4 Elastisitas Produksi ... 19

5. Biaya ... 23

6. Penerimaan ... 27

7. Laba Maksimum ... 31

INTEGRAL TAK TENTU 1. Konsep Dasar Integral Tak Tentu ... 34

2. Kaidah-Kaidah dalam Integral Tak Tentu ... 35

3.1 Fungsi Biaya ... 36

3.2 Fungsi Penerimaan ... 41

3.3 Fungsi Produksi ... 45

3.4 Fungsi Utilitas ... 50

(5)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 IV

3.5 Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan ... 51

INTEGRAL TERTENTU 1. Konsep Dasar Integral Tertentu ... 57

2.1 Surplus Konsumen ... 58

2.2 Surplus Produsen ... 65

TRANSEDENTAL 1. Konsep Dasar Transedental ... 73

1.1 Fungsi Eksponensial ... 73

1.2 Fungsi Logaritmik ... 76

2.1 Model Bunga Majemuk ... 79

2.1 Model Pertumbuhan ... 84

2.3 Kurva Gompertz ... 88

2.4 Kurva Belajar ... 91

DAFTAR PUSTAKA ... 96

(6)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 V

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1 Tampilan Menu Derivatif ... 14

Gambar 1.2 Tampilan Pangkat Terbesar ... 15

Gambar 1.3 Tampilan Menu Input Data ... 15

Gambar 1.4 Output Data Elastisitas Permintaan ... 16

Gambar 1.8 Output Data Elastisitan Penawaran ... 19

Gambar 1.12 Output Data Elastisitas Produksi ... 22

Gambar 1.16 Output Data Fungsi Biaya ... 26

Gambar 1.20 Output Data Fungsi Penerimaan ... 30

Gambar 1.22 Output Data Fungsi Laba... 33

Gambar 2.1 Tampilan Menu Awal Software EC-Math ... 38

Gambar 2.2 Tampilan Menu Awal Integral Tak Tentu ... 39

Gambar 2.3 Tampilan Menu Operasi Fungsi Laba ... 39

Gambar 2.4 Tampilan Menu Input Data Fungsi Biaya ... 40

(7)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 VI

Gambar 2.5 Tampilan Menu Output Data Fungsi Biaya ... 40

Gambar 2.8 Tampilan Menu Operasi Fungsi Penerimaan ... 44

Gambar 2.9 Tampilan Menu Input Data Fungsi Penerimaan ... 44

Gambar 2.10 Tampilan Menu Output Data Fungsi Penerimaan ... 45

Gambar 2.13 Tampilan Menu Operasi Fungsi Produksi ... 48

Gambar 2.14 Tampilan Menu Input Data Fungsi Produksi ... 49

Gambar 2.15 Tampilan Menu Output Data Fungsi Produksi ... 49

Gambar 2.18 Tampilan Menu Operasi Fungsi Konsumsi ... 55

Gambar 2.19 Tampilan Menu Input Data Fungsi Konsumsi ... 55

Gambar 2.20 Tampilan Menu Output Data Fungsi Konsumsi ... 56

Gambar 2.21 Tampilan Menu Output Data Fungsi Saving ... 56

Gambar 3.1 Grafik Surplus Konsumen ... 58

Gambar 3.2 Grafik Surplus Konsumen Soal 1 ... 60

Gambar 3.3 Tampilan Integral Tertentu Surplus Konsumen 1 ... 60

Gambar 3.4 Tampilan Rumus Ec-Math Surplus Konsumen 1 ... 61

Gambar 3.5 Hasil Perhitungan Surplus Konsumen 1 ... 61

Gambar 3.6 Tampilan Integral Tertentu Surplus Konsumen 2 ... 62

Gambar 3.7 Tampilan Rumus Ec-Math Surplus Konsumen 2 ... 63

Gambar 3.8 Hasil Perhitungan Surplus Konsumen 2 ... 63

Gambar 3.9 Grafik Surplus Konsumen Soal 2 ... 65

Gambar 3.10 Grafik Surplus Produsen... 66

Gambar 3.11 Grafik Surplus Produsen Soal 3 ... 68

Gambar 3.12 Tampilan Integral Tertentu Surplus Produsen 1 ... 69

(8)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 VII

Gambar 3.13 Tampilan Rumus Ec – Math Surplus Produsen 1 ... 69

Gambar 3.14 Tampilan Hasil Perhitungan Surplus Produsen 1 ... 70

Gambar 3.15 Tampilan Integral Tertentu Surplus Produsen 2 ... 71

Gambar 3.16 Tampilan Rumus Ec – Math Surplus Produsen 2 ... 71

Gambar 3.17 Tampilan Hasil Perhitungan Surplus Produsen 2 ... 72

Gambar 4.1 Tampilan Menu Awal Transedental ... 82

Gambar 4.2 Tampilan Menu Bunga Majemuk ... 83

Gambar 4.3 Tampilan Hasil Output Bunga Majemuk ... 83

Gambar 4.5 Tampilan Menu Model Pertumbuhan ... 87

Gambar 4.6 Tampilan Hasil Output Model Pertumbuhan ... 87

Gambar 4.8 Tampilan Menu Kurva Gompertz ... 90

Gambar 4.9 Tampilan Hasil Output Kurva Gompertz ... 91

Gambar 4.10 Tampilan Menu Awla Transedental ... 94

Gambar 4.11 Tampilan Menu Kurva Belajar ... 95

Gambar 4.12 Tampilan Hasil Output Kurva Belajar ... 95

(9)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 1

DERIVATIF

1. KONSEP DASAR TURUNAN

Turunan (derivatif) membahas tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan. Turunan diperoleh dengan menentukan limit dari hasil bagi diferensi, dimana : ∆x → 0

Y

Jika y = f ( x ), maka

Bentuk Δy / Δx merupakan hasil bagi perbedaan atau kousien diferensi (difference quotient) yang menggambarkan tingkat perubahan variabel terikat y terhadap variabel bebas x.

Jika y = f ( x ), maka turunan fungsinya adalah lim∆x → 0 lim∆x→ 0

2. KAIDAH DIFERENSIASI

Berikut ini kaidah diferensiasi dalam berbagai bentuk fungsi:

1. Diferensiasi fungsi konstanta

Jika y = k, dimana k adalah konstanta, maka y’ = 0 Contoh : y = 4 maka y’ = 0

(10)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 2 2. Diferensiasi fungsi linear

Jika y = a + bx, dimana a adalah konstanta, maka y’ = b Contoh : y = 25 + 12x maka y’ = 12

3. Diferensiasi fungsi pangkat

Jika y = axⁿ, dimana a adalah konstanta, maka y’ = n.a x^n-1 Contoh : y = 5x⁴ maka y’ = 5.4x^4-1 = 20x³

4. Diferensiasi penjumlahan (pengurangan) fungsi

Jika y = u ± v dimana u = g(x) dan v = n (x), maka y’ = u’ ± v’

Contoh : y = 8x³ – 8x²

u = 8X³ , u’ = 8.3x^3-1 = 24x² v v v = – 8x², v’ = -8.2x^2-1 = - 16x

karena y’= u’ ± v’ , maka y’ = 24x² – 16x 5. Diferensiasi perkalian

a. Perkalian fungsi dan konstanta

Jika y = k . u , dimana u = g (x), maka y’= k . u’

Contoh : y = 8 . 7x² u = 7x² u’ = 7 . 2x = 14x

karena y’ = k . u’, maka y’ = 8 . 14x = 112x b. Perkalian fungsi

Jika y = u.v , dimana u = g (x) dan v = h (x), maka y’ = u’.v + u.v’

Contoh: y = (2x⁶ – 2)(3x³ – 7)

(11)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 3 u = (2x⁶ – 2) u’ = 2.6x^6-1 = 12x⁵

v = (3x³ – 7) v’ = 3.3x^3-1 = 9x² karena y’ = u’.v + u.v’ maka

y’ = (12x⁵)(3x³ – 7) + (2x⁶ – 2)(9x²) = 36x⁸ – 84x⁵ + 18x⁸ – 18x² = 54x⁸ – 84x⁵ – 18x²

6. Diferensiasi hasil bagi fungsi

Jika y = dimana u = g (x) dan v = h (x) , maka y’ =

Contoh : y =

U = (9x2 – 5) u’ = 2.9x2-1 = 18x v = (4x3 – 6) v’ = 3.4x3-1 = 12x2 karena y’ = maka :

y’ =

7. Diferensiasi fungsi komposisi (dalil rantai)

Jika y = f (u) sedangkan u = g (x) , dengan kata lain y = f [ g (x) ], maka

(12)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 4 Contoh 1: y = (6x² + 4)²

misalkan : u = 6x² +4 , sehingga y = u²

Maka

=

2u . 12x = 2 (6x2 + 4) (12x) = 144x3 + 96x

Contoh 2:

y = √3x² + 4x – 5 y y = (3x² + 4x - 5)^1/2

misalkan : u = 3x² + 4x -5 , sehingga y = u^1/2

Maka

=

(13)

=

8. Derivatif tingkat tinggi

Derivatif ke-n dari fungsi y = f (k) diperoleh dengan mendiferensiasikan sebanyak n kali.

Derivatif ke-n dilambangkan dengan atau atau

Contoh : y = 5x⁵ + 4x⁴ + 3x³ + 2x² + x maka y’ atau = 25x⁴ + 16x³ + 9x² + 4x + 1

y’’ atau = 100x³ + 48x² + 18x + 4 ………..dst.

9. Diferensiasi implisit

Adalah suatu metode diferensiasi dengan mendiferensiasikan f (x,y) = 0 suku demi suku dengan memandang y sebagai fungsi x, kemudian dari persamaan tersebut ditentukan nilai dy/dx .

Contoh : xy² – x² + y = 0 didiferensiasikan terhadap x, maka : 1.y2 + x.2y – 2x + = 0

(2xy + 1) = - y² + 2x

(14)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 6 10. Derivatif fungsi logaritmik

y = ln x →

y = ln u , dimana u = g (x)

y = ^alogx →

Contoh : jika y = ln ( 3 – 3x² ) maka tentukan dy / dx u = 3 – 3x²

11. Derivatif fungsi eksponensial

y = e^x → = e^x

y = a^x → = a^xln a

12. Derivatif fungsi trigonometrik

Beberapa turunan fungsi trigonometrik yang penting adalah : y = sin x → = cos x

y = cox x → = - sin x

(15)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 7 y = tg x → = sec2 x

y = ctg x → = -cosec2 x

y = sex x → = sec x . tg x

y = cosec x → = cosec x . ctg x

Catatan : sec x →

cos x →

3. HUBUNGAN ANTARA FUNGSI DAN DERIVATIFNYA 3.1 Menentukan persamaan Garis singgung dan Garis Normal

Langkah – langkah untuk mencari Garis singgung dan Garis normal adalah:

1. Tentukanlah titik singgung (xo , yo) 2. Cari koefisien arah m = f ‘ (x)

3. Cari Garis singgung dengan rumus : y – yo = m (x – xo) 4. Cari Garis Normal dengan rumus : y – yo =

* Catatan :

Garis Normal adalah garis yang tegak lurus pada Garis Singgung kurva.

3.2 Menentukan Keadaan Fungsi Menaik dan Fungsi Menurun 1. Fungsi y = f (x) monoton naik jika f’(x) > 0

(16)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 8 2. Fungsi y = f (x) monoton turun jika f‘(x) < 0

3. Nilai stasioner → Jika diketahui y = f (x), maka pada f (x) = 0 , titik (x , y) merupakan Nilai Stasioner.

Jenis – jenis Titik Stasioner adalah :

1.Jika f (x) > 0, maka (x , y) merupakan titik balik minimum

2.Jika f (x) < 0, maka (x , y) merupakan titik balik maksimum

3.Jika f (x) = 0, maka (x , y) merupakan titik balik belok

(17)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 9 Contoh :

Diketahui TR = 150Q - 25Q² , tentukanlah nilai maksimum atau minimum dari fungsi tersebut!

Jawab : TR’ = 0 150 – 50Q = 0 150 = 50Q jadi Q = 3

TR’’ = 3 (TR’’ > 0, merupakan titik balik minimum) Nilai Maksimum TR = 150Q - 25Q²

= 150(3) – 25(3)²

= 225

4.PENERAPAN EKONOMI 4.1 ELASTISITAS

4.1.1 Elastisitas Harga

Adalah perubahan persentase jumlah yang diminta oleh konsumen yang diakibatkan oleh perubahan persentase dari harga barang itu sendiri.. Untuk menentukan elastisitas harga, ada dua macam cara yang digunakan yaitu:

1. Elastisitas titik (Point Elasticity)

Perhitungan ini digunakan ketika kita ingin mengetahui elastisitas harga permintaan pada suatu titik tertentu. Perubahan-perubahan yang terjadi

(18)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 10 diantara harga dan jumlah barang yang diminta sedemikian kecilnya dan

perhitungan ini akan menjadi tidak akurat jika perubahan dua variabel tersebut sangat besar.

Ƞ =

Contoh :

Harga mula-mula untuk 10 buah kemeja adalah Rp. 1.500.000,00 , kemudian harga naik menjadi Rp. 1.700.000,00 sedangkan jumlah barang yang diminta adalah 5 buah kemeja. Berapakah elastisitas titik tersebut ?

Dik : Q1 = 10

P1 = 1.500.000 Q2 = 5

P2 = 1.700.000 Dit : Ƞ ?

Jawab : Ƞ =

Ƞ =

.

150.000

Ƞ = | -3,75 |

Ƞ = 3,75 > 1 Elastis

(19)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 11 Analisis:

Jadi besarnya elastisitas titik adalah 3,75 pada saat harga kemeja mengalami perubahan dari Rp 1.500.000 menjadi Rp 1.700.000. Jika harga tersebut mengalami perubahan sebesar 1% maka barang yang diminta akan mengalami perubahan sebesar 3,75%.

2. Elastisitas busur (Arc Elasticity)

Elastisitas ini digunakan jika kita ingin mengetahui nilai elastisitas pada dua titik tertentu dan perhitungan ini dipakai jika perubahan dua variable yang cukup besar.

Ƞ =

Ƞ = Ƞ =

Contoh :

Harga mula-mula untuk 10 buah jam tangan adalah Rp. 5.000.000,00 , kemudian harga naik menjadi Rp. 7.500.000,00 sedangkan jumlah barang yang diminta adalah 6 buah jam tangan. Berapakah elastisitas busur tersebut ? Dik : Q1 = 10

P1 = 5.000.000 Q2 = 6

P2 = 7.500.000 Dit : Ƞ ?

(20)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 12 Jawab:

Ƞ =

Ƞ = 1,25 > 1 Elastis Analisis:

Jadi besarnya elastisitas busur adalah 1,25 pada saat harga jam tangan mengalami perubahan dari Rp 5.000.000 menjadi Rp 7.500.000. Jika harga tersebut mengalami perubahan sebesar 1% maka barang yang diminta akan mengalami perubahan sebesar 1,25%.

Elastisitas titik dan busur dipakai untuk menghitung : a. Elastisitas harga permintaan, ƞd < 0 (negatif)

b. Elastisitas harga penawaran, ƞs > 0 (positif )

Dari hasil perhitungan, nilai elastisitas akan menunjukkan : a. |ƞ| > 1 elastis

Contoh : Barang mewah b. |ƞ| < 1 inelastis

Contoh : Kebutuhan pokok c. |ƞ| = 1 unitary elastis

Contoh : Barang – barang elektronik d. |ƞ| = 0 in elastis sempurna

Contoh : Bahan bakar minyak

(21)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 13 e. |ƞ| = ∞ elastis tak hingga

Contoh : Bumbu dapur

4.1.2 Elastisitas Permintaan

Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya jumlah barang yang diminta akibat adanya perubahan harga. Jika fungsi permintaan dinyatakan dengan Qd = f(P), maka elastisitas permintaannya adalah

Ƞd =

Contoh soal:

Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qd = 60 – 5P². Tentukanlah elastisitas permintaan pada saat P = 10 per unit. Bagaimanakah sifat elastisitasnya? Analisislah!

Diketahui : Qd = 60 – 5P²  Qd’ = -10P P = 10

Ditanya : Ƞd ? Jawab:

Ƞd =

Ƞd = -10P

Ƞd

=

-10P

Ƞd = 2,27 > elastis

(22)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 14 Analisis : Jadi besarnya elastisitas permintaan adalah 2,27 pada saat harga

produk sebesar Rp 10. Jika harga tersebut mengalami perubahan sebesar 1%

maka barang yang diminta akan mengalami perubahan sebanyak 2,27%

Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math

1. Buka aplikasi EC – Math, Pilih Derivatif, kemudial pilih Mencari Elastis Permintaan

Gambar 1.1 Tampilan Menu Derivatif

(23)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 15 2. Masukkan Pangkat Terbesar sama dengan 2 kemudian tekan Enter

Gambar 1.2 Tampilan Pangkat Terbesar

3. Maka akan muncul tampilan di bawah ini. Masukkan angka yang diketahui di soal.

Gambar 1.3 Tampilan Menu Input Data

(24)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 16 4. Kemudian tekan Enter , maka hasilnya adalah sebagai berikut.

Gambar 1.4 Output Data Elastisitas Permintaan 4.1.3 Elastisitas Penawaran

Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah barang yang ditawarkan berkenaan adanya perubahan harga. Jika fungsi penawaran dinyatakan dengan Qs = f (P), maka elastisitas penawarannya:

Contoh soal :

Fungsi Penawaran suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qs = -50 + 6P². Tentukan elastisitas penawaran pada saat harga Rp 5/ unit. Bagaimana sifat elastis penawaran tersebut, analisislah !

(25)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 17 Diketahui : Qs = -50 + 6P²

Qs’ = 12P P = Rp 5 / unit Ditanya : Ƞs?

Jawab : Ƞs =

Ƞs =

Ƞs

=

Ƞs = 3 > elastis

Analisis: Jadi besarnya elastisitas penawaran adalah 3 pada saat harga produk sebesar Rp 5. Jika harga tersebut mengalami perubahan sebesar 1% maka barang yang ditawarkan akan mengalami perubahan sebanyak 3%.

1. Buka aplikasi EC – Math, pilih Derivatif, kemudian pilih Mencari Elastis Penawaran

(26)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 18 2. Masukkan Pangkat Terbesar sama dengan 2 kemudian tekan Enter

Gambar 1.6 Tampilan Pangkat Terbesar

3. Maka akan muncul tampilan di bawah ini. Masukkan angka yang diketahui di soal.

(27)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 19 4. Kemudian tekan Enter , maka hasilnya adalah sebagai berikut.

Gambar 1.8 Output Data Elastisitas Penawaran 4.1.4 Elastisitas Produksi

Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah keluaran (output) yang dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah masukan (input) yang digunakan. Jika fungsi produksi dinyatakan dengan P= f(X), maka elastisitas produksinya:

Contoh soal :

Diketahui Fungsi Produksi suatu barang ditunjukkan oleh P = 6x³ – 5x². Hitunglah elastisitas pada X = 6 unit dan analisislah !

(28)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 20 Diketahui : P = 6x³ – 5x²

P’ = 18x² – 10x X = 5

Ditanya : Ƞp ? Jawab :

Ƞp =

Ƞp =18x² – 10x

Ƞp

=

Ƞp

=

Ƞp = 3,2 > elastis

Analisis :

Jadi besarnya elastisitas produksi adalah 3,2 pada saat jumlah masukkan produk sebanyak 6 unit. Jika terjadi perubahan masukkan sebesar 1% maka barang yang diproduksi akan mengalami perubahan sebesar 3,2%.

(29)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 21 Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math

1. Buka aplikasi EC – Math, pilih Derivatif, pilih Mencari Elastis Produksi

2. Masukkan Pangkat Terbesar sama dengan 3 kemudian tekan Enter

Gambar 1.10 Tampilan Pangkat Terbesar

(30)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 22 3. Maka akan muncul tampilan di bawah ini. Masukkan angka yang diketahui

di soal.

4. Kemudian tekan Enter, maka hasilnya adalah sebagai berikut.

Gambar 1.12 Output Data Elastisitas Produksi

(31)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 23 4.2 BIAYA

a. Biaya Total (TC)

Adalah seluruh biaya yang dibutuhkan untuk memproduksi atau memasarkan sejumlah barang atau jasa, baik yang merupakan biaya tetap atau biaya variabel.

TC = F(Q) atau TC = FC + VC

Dimana : TC = Total cost VC = Variabel cost FC = Fixed cost Q = Quantitas

b. Biaya Rata – rata (AC)

Adalah biaya per unit yang dibutuhkan untuk memproduksi suatu barang atau jasa pada tingkat produksi total.

AC = TC / Q

c. Biaya Marginal ( MC)

Adalah besarnya pertambahan biaya total yang dibutuhkan akibat pertambahan hasil produksi satu unit pada suatu tingkat produksi tertentu.

MC = TC’ =

(32)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 24 Contoh soal :

Biaya total yang dikeluarkan oleh perusahaan mobil PT AGOY di tunjukkan oleh persamaan TC = 75Q³ + 50Q² - 60Q + 10. Tentukanlah besarnya biaya total, biaya rata-rata, dan biaya marginal pada saat kuantitas 5 unit? Berikan analisisnya!

Diketahui : TC = 75Q³ + 50Q² - 60Q + 10 Q = 5

Ditanya : TC, AC dan MC pada Q = 5?

Jawab :

TC = 75(5)³ + 50(5)² – 60(5) + 10

= 9375 + 1250 – 300 + 10

= 10.335

AC = TC / Q

= 10.335 / 5

= 2067

MC = TC’

= 225Q² + 100Q - 60

= 225(5)² + 100(5) - 60

= 5625 + 500 - 60

= 6.065

Analisis:

Jadi pada saat perusahaan memproduksi sebesar 5 unit maka biaya total yang dikeluarkan sebesar Rp 10.335 dengan biaya rata – rata sebesar Rp 2067 dan biaya marginal Rp 6.065.

(33)

1. Buka aplikasi EC – Math, pilih Derivatif , kemudian pilih Mencari Fungsi Biaya

2. Masukkan Pangkat Terbesar sama dengan 3 kemudian tekan Enter

(34)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 26 3. Maka akan muncul tampilan di bawah ini. Masukkan angka yang diketahui di

soal

4. Kemudian tekan Enter ,maka hasilnya adalah sebagai berikut.

Gambar 1.16 Output Data Fungsi Biaya

(35)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 27 4.3 PENERIMAAN

a. Penerimaan Total (TR)

Adalah total hasil penerimaan penjualan dari produk yang diproduksi.

TR = F(Q) = P ∙ Q

b. Penerimaan Rata – rata (AR)

Adalah hasil dari penerimaan per unit yang diperoleh dari penjualan suatu barang/jasa pada kuantitas tertentu. Fungsi Average Revenue sama dengan fungsi permintaan dari harga barang tersebut.

c. Penerimaan Marginal ( MR )

Adalah pertambahan hasil penerimaan yang diperoleh akibat pertambahan penjualan atau unit barang/jasa pada suatu kuantitas tertentu.

Contoh Soal :

Fungsi permintaan perusahaan Coca-Cola ditunjukkan oleh P = 55Q + 6.

Bagaimanakah persamaan penerimaan totalnya? Berapakah besarnya penerimaan total, penerimaan rata-rata, dan penerimaan marginal jika penjualan sebesar 7 unit?

Berikan analisisnya!

(36)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 28 Diketahui : P = 55Q + 6

Q = 7

Ditanya : Persamaan TR?

Besarnya TR, AR dan MR pada saat Q = 7?

Jawab : TR = P x Q

= (55Q + 6)Q

= 55Q² + 6Q

Jika Q = 7, maka:

TR = 55(7)² + 6(7)

= 2695 + 42

= 2737

AR = TR / Q

= 2737 / 7

= 391

MR = TR’

= 110Q + 6

= 110(7) + 6

= 776

Analisis :

Jadi penerimaan total yang diterima perusahaan makanan ringan saat penjualan 7 unit sebesar Rp 2.737 dengan penerimaan rata – rata sebesar Rp 391 dan penerimaan marginal sebesar Rp 776.

(37)

1. Buka aplikasi EC – Math, pilih Derivatif, kemudian pilih Mencari Fungsi Penerimaan

2. Masukkan Pangkat Terbesar sama dengan 2, kemudian tekan Enter

(38)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 30 5. Maka akan muncul tampilan di bawah ini. Masukkan angka yang diketahui di

soal:

6. Kemudian tekan Enter, maka hasilnya adalah sebagai berikut.

Gambar 1.20 Output Data Fungsi Penerimaan

(39)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 31 4.4 LABA MAKSIMUM

Terdapat tiga pendekatan perhitungan laba maksimum yaitu : 1. Pendekatan Totalitas (Totality Approach)

2. Pendekatan Rata-Rata (Average Approach) 3. Pendekatan Marginal (Marginal Approach)

Pada bab ini kita hanya akan membahas perhitungan laba maksimum dengan pendekatan marginal (Marginal Approach). Perhitungan laba dilakukan dengan membandingkan Biaya Marginal (MC) dan Pendapatan Marginal (MR). laba maksimum akan tercapai pada saat MR = MC.

Laba (π dibaca: phi) = TR – TC. Laba maksimum tercapai bila turunan pertama fungsi (∂n/∂Q) sama dengan nol dan nilainya sama dengan nilai turunan pertama TC (∂TC/∂Q atau MC ) sehingga MR – MC = 0. Dengan demikian, perusahaan akan memperoleh laba maksimum (atau kerugian minimum), bila ia berproduksi pada tingkat output di mana MR = MC.

Contoh soal:

Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P = -160Q + 10.000 dengan biaya variabel VC = 10Q² – 5.000Q. Biaya tetap yang dikeluarkan perusahaan sebesar 60.000. Tentukanlah pada tingkat penjualan berapa perusahaan bisa mendapatkan laba maksimum dan berapakah besarnya laba tersebut? Analisislah!

Diketahui : TC = VC + FC = 10Q² – 5.000Q + 60.000 TR = P x Q = -160Q² + 10.000Q

Ditanya : Q pada saat laba max?

(40)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 32 Jawab :

laba / rugi = TR – TC

= (-160Q² + 10.000Q) - (10Q² – 5.000Q + 60.000)

= -170Q² + 15.000Q – 60.000 Laba maksimum → laba’ = 0

-340Q + 15.000 = 0 340Q = 15.000 Q = 44,11 ≈ 44

Saat Q = 44 → Laba = -170Q² + 15.000Q – 60.000

= -170(44)² + 15.000(44) – 60.000

= 270.880 Analisis:

Jadi untuk mendapatkan laba maksimum, perusahaan harus menjual produknya sebanyak 44 unit sehingga keuntungan yang ia dapat sebesar Rp 270.880.

1. Buka software EC-Math, pilih menu Derivatif, pilih Mencari Fungsi Laba

(41)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 33 3. Kemudian masukan data-data yg ada di soal, maka akan muncul output seperti

berikut

Gambar 1.22 Output Data Fungsi Laba

(42)

INTEGRAL TAK TENTU

1. KONSEP DASAR INTEGRAL TAK TENTU

Dalam kalkulus integral dikenal dua macam pengertian integral, yaitu Integral tak tentu (indefinite integral) dan Integral tertentu (definite integral).

Integral tak tentu adalah kebalikan dari diferensial, yakni suatu konsep yang berhubungan dengan proses penemuan suatu fungsi asal apabila turunan atau derivatif dari fungsinya diketahui. Mengintegralkan suatu fungsi turunan f(x) berarti adalah mencari integral atau turunan-antinya, yaitu F(x).

Bentuk umum integral dari f(x) adalah:

Keterangan :

∫ = tanda integral f(x)dx = diferensial dari F(x)

f(x) = integran (fungsi yang akan di integralkan) F(x) = integral partikular

K = konstanta pengitegralan

Formula Integral

∫

f(x)dx = F(x) + k

∫

^{dx =} ^{+ k}

(43)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 35 Dalam diferensial kita menemukan bahwa jika suatu fungsi asal

dilambangkan dengan F(x) dan fungsi turunannya dilambangkan dengan f(x) maka:

Untuk fungsi asal : F(x) = + 5 Fungsi turunannya : f(x)dx = = 2x

Jika prosesnya dibalik (fungsi turunan f(x) diintegralkan), maka:

Karena derivatif dari setiap konstanta adalah nol. Jadi setiap kita mengintegralkan fungsi turunan konstanta c tetap dalam bentuk c. Nilai c tidak dapat diisi dengan sembarang bilangan tertentu kecuali nilai c tersebut sudah ditentukan. Karena ketidaktentuan nilai konstanta itulah maka bentuk integral yang merupakan kebalikan dari diferensial dinamakan integral tak tentu.

2. KAIDAH-KAIDAH DALAM INTEGRAL TAK TENTU

Berikut ini adalah beberapa kaidah dalam integral tak tentu, diantaranya:

1. Formula pangkat

∫ dx = + k

2. Formula logaritmis

∫ dx = lnx + k

3. Formula eksponensial

∫ dx = + k

∫ du = + k u = f(x)

f (x)dx = F(x) + k = + k

(44)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 36 4. Formula penjumlahan

∫{f(x) + g(x)}dx = ∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx = F(x) + G(x) + k

5. Formula perkalian

∫ nf(x)dx = n ∫ f(x)dx

6. Formula substitusi

∫ f(u) dx = =F(u) + k

3. PENERAPAN EKONOMI

Pendekatan integral tak tentu dapat diterapkan untuk mencari persamaan fungsi total dari suatu variabel ekonomi apabila persamaan fungsi marginalnya diketahui. Karena fungsi marginal pada dasarnya merupakan turunan dari fungsi total, maka dengan proses sebaliknya, yaitu integrasi, dapat dicari fungsi asal dari fungsi turunan tersebut atau fungsi totalnya.

3.1 FUNGSI BIAYA

CONTOH KASUS 1:

Diketahui fungsi biaya marginal pada suatu perusahaan sebesar . Bentuklah persamaan biaya total dan biaya rata- ratanya apabila diketahui konstanta sebesar 5. Berapa besarnya biaya total dan biaya rata-rata jika kuantitasnya sebesar 51? Analisislah!

BIAYA TOTAL (TC) = ∫MC dQ = ∫ (Q) BIAYA RATA-RATA (AC) =

(45)

Dik :

Ditanya : Persamaan TC dan AC?

Besarnya TC dan AC jika ? Jawab :

Jika , maka:

AC

(46)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 38 Analisis:

Apabila dan konstanta sebesar 5, maka fungsi biaya total

dan fungsi biaya rata-ratanya adalah dan

. Pada saat kuantitasnya sebesar 51 unit, maka biaya total sebesar dan biaya rata-rata sebesar .

Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software EC-Math 1. Buka aplikasi EC-Math

Gambar 2.1 Tampilan Menu Awal Software EC-Math

(47)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 39 2. Pilih Integral Tak Tentu

Gambar 2.2 Tampilan Menu Awal Integral Tak Tentu

3. Pilih Fungsi Biaya

Gambar 2.3 Tampilan Menu Operasi Fungsi Biaya

(48)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 40 4. Masukkan data-data yang diketahui dari soal. Untuk menentukkan

Banyaknya Variabel hitung berapa banyak variabel pada data soal, yaitu 2.

Masukkan FC sebesar c, yaitu 5. Kemudian masukkan persamaan MC seperti yang diketahui di soal. Klik Calculate.

Gambar 2.4 Tampilan Menu Input Data Fungsi Biaya

5. Untuk mencari besarnya TC dan AC, masukkan nilai Q seperti yang ada di soal, yaitu 51. Kemudian klik Calculate.

Gambar 2.5 Tampilan Menu Output Data Fungsi Biaya

(49)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 41 3.2 FUNGSI PENERIMAAN

CONTOH KASUS 2:

Jika fungsi penerimaan marginal suatu perusahaan ditunjukkan oleh persamaan , maka bentuklah persamaan TR dan AR jika ? Berapakah besarnya penerimaan total dan penerimaan rata-rata jika kuantitas yang terjual sebesar 11 unit? Analisislah!

Dik :

Ditanya : Persamaan TR dan AR?

Besarnya TR dan AR jika ? Jawab :

PENERIMAAN TOTAL (TR) = ∫MR dQ = ∫ (Q) PENERIMAAN RATA-RATA (AR) =

(50)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 42 Jika , maka:

Analisis:

Apabila dan konstanta sebesar 0, maka fungsi penerimaan total dan fungsi penerimaan rata-ratanya adalah

dan . Pada saat

kuantitasnya sebesar 11 unit, maka besarnya penerimaan total yang masuk ke perusahaan tersebut adalah dan besarnya penerimaan rata-rata adalah .

(51)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 43 Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software EC-Math

1. Buka aplikasi EC-Math

2. Pilih Integral Tak Tentu

(52)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 44 3. Pilih Fungsi Penerimaan

Gambar 2.8 Tampilan Menu Operasi Fungsi Penerimaan

4. Masukkan data-data yang diketahui dari soal. Untuk menentukkan Banyaknya Variabel hitung berapa banyak variabel pada data soal, yaitu 2. Masukkan persamaan MR seperti yang diketahui di soal. Klik Calculate.

Gambar 2.9 Tampilan Menu Input Data Fungsi Penerimaan

(53)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 45 5. Untuk mencari besarnya TR dan AR, masukkan nilai Q seperti yang

ada di soal, yaitu 11. Kemudian klik Calculate.

Gambar 2.10 Tampilan Menu Output Data Fungsi Penerimaan

3.3 FUNGSI PRODUKSI

TOTAL PRODUKSI (TP) = ∫MP dX = ∫ (X) PRODUKSI RATA-RATA (AP) =

X = Masukan atau Input

(54)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 46 CONTOH KASUS 3:

Produksi marginal PT. Sinar ditunjukkan oleh persamaan . Bentuklah persamaan produksi total dan fungsi produksi rata-ratanya jika k = 0? Berapakah besarnya produksi total dan produksi rata-rata jika masukan yang digunakan sebesar 15 unit?

Analisislah!

Dik :

Ditanya : Persamaan TP dan AP?

Besarnya TP dan AP jika ? Jawab :

Jika , maka:

(55)

Analisis:

Apabila dan konstanta sebesar 0, maka fungsi total produksi dan fungsi rata-rata produksi adalah dan . Jika masukan yang digunakan sebesar 15 unit, maka besarnya produksi total 59.280 unit dan besarnya produksi rata-rata adalah 3.952 unit.

Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software EC-Math 1. Buka aplikasi EC-Math

(56)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 48 2. Pilih Integral Tak Tentu

3. Pilih Fungsi Produksi

Gambar 2.13 Tampilan Menu Operasi Fungsi Produksi

(57)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 49 4. Masukkan data-data yang diketahui dari soal. Untuk menentukkan

Banyaknya Variabel hitung berapa banyak variabel pada data soal, yaitu 2. Masukkan persamaan MP seperti yang diketahui di soal. Klik Calculate.

Gambar 2.14 Tampilan Menu Input Data Fungsi Produksi

5. Untuk mencari besarnya TP dan AP, masukkan nilai Q seperti yang ada di soal, yaitu 15. Kemudian klik Calculate.

Gambar 2.15 Tampilan Menu Output Data Fungsi Produksi

(58)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 50 3.4 FUNGSI UTILITAS

CONTOH KASUS 4:

Bentuklah persamaan utilitas total dari seorang konsumen jika utilitas

marginalnya ditunjukkan oleh persamaan dan

konstantanya sebesar 0? Berapakah besarnya utilitas total jika Q = 60?

Dik :

Ditanya : Persamaan TU?

Besarnya TU jika Q = 60?

Jawab :

Jika Q = 60, maka:

UTILITAS TOTAL (TU) = ∫MU dQ = ∫ (Q)

(59)

Analisis:

Apabila dan konstanta sebesar 0, maka persamaan

utilitas totalnya adalah . Jika kuantitasnya

sebesar 60 unit, maka besarnya utilitas total konsumen adalah 4.634.160.

3.5 FUNGSI KONSUMSI DAN FUNGSI TABUNGAN

Dalam ekonomi makro, konsumsi (C) dan tabungan (S) dinyatakan fungsional terhadap pendapatan nasional (Y).

Karena,

Maka,

Berdasarkan kaidah integrasi, konsumsi (C) adalah integral dari MPC dan tabungan (S) adalah integral dari MPS.

Keterangan:

MPC (Marginal Propensity to Consume) = Perbandingan antara besarnya perubahan konsumsi (C) dengan perubahan Pendapatan Nasional (Y) yang mengakibatkan adanya perubahan konsumsi tersebut.

C = ∫MPC dY = F(Y) + k k = +a S = ∫MPS dY = F(Y) + k k = -a

C = f(Y) = a + bY

Y = C+S

S = -a + (1-b)Y

(60)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 52 k = a = Autonomus Consumption = konsumsi otonom menunjukkan

besarnya konsumsi nasional pada saat Pendapatan Nasional sebesar nol k = -a = Autonomus Saving = Tabungan otonom menunjukkan besarnya tabungan nasional pada saat Pendapatan Nasional sebesar nol.

Dimana :

MPC < 1 = menunjukkan sebagian besar penggunaan tambahan pendapatan digunakan untuk menambah besarnya konsumsi, sedangkan sisanya yaitu sejumlah kecil merupakan tambahan tabungan.

MPC > 0,5 = menunjukkan lebih dari 50% pendapatan yang diperoleh digunakan untuk konsumsi.

MPC selalu positif = karena jika pendapatan naik, konsumsi akan naik.

CONTOH KASUS 5:

Carilah persamaan konsumsi dan persamaan tabungan masyarakat sebuah negara jika diketahui konsumsi otonom nya sebesar 10 miliar dan MPC = 0,57 ! Berapa besar konsumsi dan tabungan masyarakat jika pendapatan nasional negara sebesar 445 Milyar? Analisislah !

Dik : MPC = 0,57

k = a = 10

Pendapatan nasional (Y) = 445 Ditanya : f (C) dan f (S) ? Besar C dan S?

Jawab : MPC + MPS = 1

MPS = 1 – MPC

0,5 < MPC < 1 MPC + MPS = 1

(61)

= 1 - 0,57

= 0,43 f (C) = ∫ MPC dY

= ∫ 0,57 dY

= 0,57Y + k

= 0,57Y + 10

f (S) = ∫ MPS dY

= ∫ 0,43 dY

= 0,43Y - k

= 0,43Y - 10 Jika (Y=445) maka,

C = 0,57Y + k

= 0,57 (445) + 10

= 263,65

S = 0,43Y - k

= 0,43(445) - 10

= 181,35 Analisis :

Apabila MPC = 0,57 dan konsumsi otonom nya sebsar 10, maka persamaan konsumsi yang terbentuk adalah C = 0,57Y + 10. Sedangkan persamaan tabungannya adalah S = 0,43Y – 10. Jika pada saat Pendapatan Nasional sebesar 445 maka konsumsi dan tabungan masyarakat negara sebesar Rp 263,65 milyar & Rp 181,35 milyar.

(62)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 54 Langkah-langkah Pengerjaan Menggunakan Software EC-Math

1) Buka aplikasi EC-Math

Gambar 2.16 Tampilan Menu Awal Software EC-Math 2) Pilih Integral Tak Tentu

(63)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 55 3) Pilih Fungsi Konsumsi

Gambar 2.18 Tampilan Menu Operasi Fungsi Konsumsi

4) Masukkan nilai k atau a sesuai dengan data yang diketahui di soal sebesar 10, kemudian masukkan nilai MPC yaitu, 0,57. Kemudian klik Calculate

Gambar 2.19 Tampilan Menu Input Data Fungsi Konsumsi

(64)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 56 5) Masuk nilai Y sesuai data soal sebesar 445 pada kolom Y untuk

menghitung nilai konsumsinya, klik Calculate.

Gambar 2.20 Tampilan Menu Output Data Fungsi Konsumsi

6) Masukkan nilai Y sesuai data soal sebesar 445 pada kolom Y untuk menghitung nilai savingnya, klik Calculate.

Gambar 2.21 Tampilan Menu Output Data Fungsi Saving

(65)

INTEGRAL TERTENTU

1. KONSEP DASAR INTEGRAL TERTENTU

Integral Tertentu adalah suatu konsep yang berhubungan dengan proses pencarian luas suatu area yang batasan-batasannya sudah ditentukan.

Rumus Integral Tertentu :

Keterangan : a = batas bawah b = batas atas dimana a < b

Contoh:

Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh kurva dengan nilai a = 1 dan nilai b =

5 pada persamaan !

Jawab :

= [2(5)³+ 3(5)²+ 6(5)] – [2(1)³+ 3(1)²+ 6(1)]

= [250 + 75 + 30] – [2 +3 + 6]

= 355 – 11

= 344

(66)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 58 2. PENERAPAN EKONOMI

Integral Tertentu dapat digunakan untuk mencari besarnya keuntungan lebih Konsumen (Surplus Konsumen) dan besarnya keuntungan lebih Produsen (Surplus Produsen).

2.1 SURPLUS KONSUMEN

Surplus konsumen (Consumer’s Surplus/ Cs) merupakan cerminan suatu keuntungan lebih atau surplus yang dinikmati oleh konsumen tertentu berkenaan dengan tingkat harga pasar suatu barang. Besarnya surplus konsumen (Cs) ditunjukkan oleh luas area dibawah kurva permintaan (P = f(Q)) tetapi diatas tingkat harga pasar (Pe).

Catatan: Jika mencari surplus konsumen maka harus memakai fungsi permintaan.

Rumus Surplus Konsumen :

Keterangan :

Qe = Tingkat kuantitas keseimbangan pasar Pe = Tingkat harga keseimbangan pasar

= Tingkat harga pada saat Q = 0 P

Area Susplus Konsumen Pe

0 Qe Q

Gambar 3.1 Grafik Surplus Konsumen

(67)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 59 CONTOH SOAL 1

Diketahui suatu fungsi permintaan barang Pd = 70 – 7Q dan fungsi penawaran Ps

= 6 + Q, tentukan surplus konsumen dengan dua cara? Analisis dan buat grafiknya!

Diketahui : Pd = 70 – 7 Q Ps = 6 + Q Ditanya : Cs ?

Jawab :

CARA 1 : Pd = Ps P = 70 – 7Q

70 – 7Q = 6 + Q P = 70 – 7(8)

-7Q – Q = 6 – 70 Pe = 14

-8Q = -64

Qe = 8

Cs =

=

= 336 – 0 – 112

= 224 Analisis:

Jadi surplus yang diperoleh konsumen tersebut sebesar Rp 224 karena konsumen dapat membeli dengan harga Rp 14 padahal konsumen sanggup membayar lebih tinggi dari harga keseimbangan pasar.

Langkah membuat kurva:

1. Pd = 70 – 7Q

Misal P = 0 maka 0 = 70 – 7Q 7Q = 70

(68)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 60 Q = 10

Misal Q = 0 maka P = 70 – 7(0) P = 70

2. Letakkan nilai kuantitas keseimbangan pasar (Qe = 10) dan harga keseimbangan pasar (Pe = 14).

3. Untuk area Cs dapat dihitung dengan rumus luas segitiga, L = (a x t) : 2.

Dengan a = 8; t = 56. Maka nilai Cs atau luas segitiga yang diarsir adalah L = (8 x 56) : 2= 224.

P 70

Area Susplus Konsumen atau 14 224 luas area sebesar

0 8 10 Q

Gambar 3.2 Grafik Surplus Konsumen Soal 1

1. Pilih materi Intergral Tertentu, Surplus Konsumen 1 (Rumus 1)

Gambar 3.3 Tampilan Integral Tertentu Surplus Konsumen 1

(69)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 61 2. Masukan jumlah variable Q yang tertera pada soal (Lihat fungsi permintaan),

pilih variabel 1.

Gambar 3.4 Tampilan Rumus Ec-Math Surplus Konsumen 1

3. Input data-data sesuai soal tersebut, jika sudah diinput klik “HITUNG” maka akan tampil jawaban.

Gambar 3.5 Hasil Perhitungan Surplus Konsumen 1

(70)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 62 CARA 2: Pd = 70 – 7Q  7Qd = 70 – P

Qd = 10 – 0.143P Jika: Q = 0 ; = 70

Cs =

=

= 3

= 223,664 ≈ 224

Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math 1. Pilih materi Intergral Tertentu, Surplus Konsumen 2 (Rumus 2)

Gambar 3.6 Tampilan Integral Tertentu Surplus Konsumen 2

(71)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 63 2. Masukan jumlah variabel Q yang tertera pada soal (Lihat fungsi permintaan),

pilih variabel 1.

Gambar 3.7 Tampilan Rumus Ec – Math Surplus Konsumen 2

3. Input data-data sesuai soal tersebut, jika sudah diinput klik “HITUNG” maka akan tampil jawaban.

Gambar 3.8 Tampilan Hasil Perhitungan Surplus Konsumen 2

(72)

Diketahui fungsi permintaan barang Pd = 71 – Q dan fungsi penawaran Ps = 5 + Q, tentukan besarnya surplus konsumen (dengan cara I)!

Diketahui :

Ditanyakan : Cs/SK?

Jawab : Pd = Ps P = 71 – Q

71 – Q = 5 + Q P = 71 - 28

-2Q = -56 P = 43

Qe = 28

CARA 1 : Cs =

Analisis :

Jadi surplus yang diperoleh konsumen tersebut sebesar Rp. 392 karena konsumen dapat membeli dengan harga Rp. 43 padahal konsumen sanggup membayar lebih tinggi dari harga keseimbangan pasar.

(73)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 65 Langkah membuat kurva :

1.

 Misalkan P = 0; maka Didapatkan nilai Q = 71

 Misalkan Q = 0; maka P = 71 – (0)

Didapatkan nilai P = 71

2. Letakkan nilai kuantitas keseimbangan pasar (Qe = 28) dan harga keseimbangan pasar (Pe = 43)

3. Untuk area Cs dapat dihitung dengan luas segitia Dengan alas (a = 28), dan tinggi (t = 28). Maka nilai Cs atau luas segitiga yang diarsir adalah

P 71

43

28 71 Q

Gambar 3.9 Grafik Surplus Konsumen Soal 2 2.2 SURPLUS PRODUSEN

Surplus Produsen (Producer’s Surplus/ Ps) adalah cerminan suatu keuntungan lebih/surplus yang dinikmati oleh produsen tertentu berkenaan dengan harga pasar dari barang yang ditawarkan. Besarnya surplus produsen (Ps)

Surplus Konsumen

(74)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 66 ditunjukkan oleh luas area diatas kurva penawaran (P = f(Q)) tetapi dibawah

tingkat harga pasar (Pe). Rentang wilayah dibatasi oleh Q = 0 sebagai batas bawah dan Q = Qe sebagai batas atas.

Catatan: Jika mencari surplus produsen maka harus memakai fungsi penawaran.

Rumus Surplus Produsen :

Keterangan :

Qe = Tingkat kuantitas keseimbangan pasar Pe = Tingkat harga keseimbangan pasar

= Tingkat harga pada saat Q = 0

P P = f(Q)

Pe

Area Surplus Produsen

0 Qe Q

Gambar 3.10 Grafik Surplus Produsen

(75)

Diketahui fungsi penawaran suatu barang adalah Ps = 51 + Q dan fungsi permintaan Pd = 75 – Q. Hitunglah surplus produsen PT. XXY beserta analisis dan grafik!

Diketahui : Ps = 51 + Q Pd = 75 – Q Ditanya : PS ?

Jawab :

CARA 1 : Pd = Ps P = 51 + Q

75- Q = 51 + Q P = 51 + 12

-Q - Q = 51 – 75 Pe = 63

-2Q = -24

Qe = 12

Ps =

=

= 756 – 684 – 0

= 72 Analisis :

Jadi surplus yang diperoleh produsen sebesar Rp 72 dikarenakan perusahaan dapat menjual barang dengan harga Rp 63 padahal sebenarnya ia bersedia menjual dengan harga yang lebih rendah dari harga keseimbangan pasar.

(76)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 68 Langkah membuat kurva:

1. Ps = 51 + Q

Misal P = 0 maka 0 = 51 + Q Q = -51 Misal Q = 0 maka P = 51 + 0

P = 51

2. Letakkan nilai kuantitas keseimbangan pasar (Qe = 12) dan harga keseimbangan pasar (Pe = 63)

3. Untuk area Ps dapat dihitung dengan rumus luas segitiga, L = (a x t) : 2.

Dengan a = 12, t= 12. Maka nilai Ps atau luas segitiga L = (12 x 12) : 2 = 72.

P

63 Ps = 51 + Q Surplus Produsen 51

-51 0 12 Q

Gambar 3.11 Grafik Surplus Produsen Soal 3

(77)

1. Pilih materi Intergral Tertentu, Surplus Produsen 1 (Rumus 1)

Gambar 3.12 Tampilan Integral Tertentu Surplus Produsen 1

2. Masukan jumlah variabel Q yang tertera pada soal (Lihat fungsi penawaran), pilih variabel 1.

Gambar 3.13 Tampilan Rumus Ec – Math Surplus Produsen 1

(78)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 70 3. Input data-data sesuai soal tersebut, jika sudah diinput klik “HITUNG” maka

akan tampil jawaban.

Gambar 3.14 Tampilan Hasil Perhitungan Surplus Produsen Soal 3

CARA 2 :

 Jika :

Jawab :

(79)

1. Pilih materi Intergral Tertentu, Surplus Produsen 2 (Rumus 2)

Gambar 3.15 Tampilan Integral Tertentu Surplus Produsen 2

2. Masukan jumlah variabel Q yang tertera pada soal (Lihat fungsi penawaran), pilih variabel 1.

Gambar 3.16 Tampilan Rumus Ec – Math Surplus Produsen 2

(80)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 72 3. Input data-data sesuai soal tersebut, jika sudah diinput klik “HITUNG” maka

akan tampil jawaban.

Gambar 3.17 Tampilan Hasil Perhitungan Surplus Produsen Soal 3

(81)

TRANSEDENTAL

1. KONSEP DASAR TRANSEDENTAL

Transedental merupakan suatu hubungan matemtis yang menyatakan hubungan ketergantungan. Transedental digunakan untuk menentukan tingkat pertumbuhan pada periode yang akan datang. Yang termasuk dalam fungsi transedental adalah fungsi eksponensial, fungsi logaritmik, fungsi trigonometrik, fungsi siklometrik dan fungsi berpangkat irrasional. Namun pokok pembahasan di sini hanya pada fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik. Baik fungsi eksponensial maupun fungsi logaritmik keduanya memiliki hubungan yang erat, dikarenakan fungsi logaritma adalah fungsi balik (inverse) dari fungsi eksponen tertentu, atau sebaliknya.

1. 1. Fungsi Eksponensial

Fungsi eksponensial berbeda dengan fungsi pangkat. Fungsi pangkat adalah suatu fungsi di mana variabel bebasnya dipangkatkan dengan suatu konstanta.

Sedangkan fungsi eksponensial adalah suatu fungsi dimana konstantanya dipangkatkan dengan variabel bebasnya. Dengan kata lain, fungsi eksponensial adalah suatu fungsi yang variabel bebasnya merupakan pangkat. Jadi, fungsi yang variabel bebasnya pangkat adalah fungsi eksponensial.

 Bentuk Fungsi Eksponensial yang paling sederhana adalah:

Dimana : n > 0

 Bentuk Fungsi Eksponensial yang lebih umum adalah:

Dimana e = 2,71828

y = n^x

y = ne^kx + c

(82)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 74 k, c = konstanta

Hukum-hukum eksponensial, antara lain : 1. a⁰ = 1

2. a^-k = 1/(a)^k 3. a^1/q = 4. a^maⁿ= a^m+n 5. a^m/aⁿ= a^m-n 6. (a^m)^k = a^mk

Contoh soal hukum eksponensial : 1) Z = 7².7⁴

Jawab : Z = 7²⁺⁴ Z = 7⁶ Z = 117.649 2) Z = 10^-2

Jawab : Z = 1/(10)² Z = 0,01 3) Z = (5⁶)¹

Jawab : Z = 5^6.1 Z = 5⁶ Z = 15.625

(83)

Tentukan titik potong kurva eksponensial y = e^0,15x– 7, pada masing-masing sumbu dan hitunglah f(6)!

Jawab :

 Pada sumbu x ; y = 0 e^0,15x– 7 = 0 e^0,15x = 7 Ln e^0,15x = Ln 7 0,15x Ln e = Ln 7 0,15x = 1,945 x = 12,967

Titik potongnya ( 12,967 ; 0 )

Ket :

 Pada sumbu y ; x = 0 y = e^0,15x– 7

y = e^0,15(0)– 7 y = e⁰– 7 y = 1 – 7 y = -6

Titik potongnya ( 0 ; -6 )

Ln e = 1 Ln 1 = 0

(84)

 Untuk x = 6 y = e^0,15x– 7 y = e^0,15(6)– 7 y = e^0,9– 7

y = 2,71828^0,9 – 7 y = 2,4596 – 7 y = -4,5404

Titik potongnya (6 ; -4,5404)

1. 2. Fungsi Logaritmik

Logaritma dapat diartikan sebagai pangkat dari suatu bilangan pokok untuk menghasilkan suatu bilangan tertentu. Misalnya, 5² = 25, ini berarti bahwa eksponen 2 sebagai logaritma dari 25 dengan bilangan pokok 5. Dan pernyataan ini dapat ditulis Log5 25 = 2. Sedangkan fungsi logaritma adalah fungsi yang variabel bebasnya merupakan bilangan logaritma, seperti y = a log x atau y = a + b log x.

(85)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 77 Bentuk Fungsi Logaritmik yang paling sederhana adalah :

Dimana : a > 0

Bentuk Fungsi Logaritmik yang lebih umum adalah :

Dimana Dimana x > -1

Hukum-hukum atau rumus-rumus logaritma 1. log a.b = log a + log b

2. log a/b = log a – log b 3. âlog b = log b / log a 4. âlog b = c maka a^c = b 5. âlog a = 1

6. log xⁿ = n log x 7. ^alog1 = 0 8. a^{a log b} = b

Contoh soal hukum logaritma : 1) log 5 (16 x 17)

Jawab :

log 5 (16 x 17) = 5 log 16 + 5 log 17 = 5 (1,204) + 5 (1,2304) = 6,02 + 6,152 = 12,172 2) ³log 3

Jawab :

3log 3 = ³log 3¹ = 1 3) ⁷log 1

Jawab :

7log 1 = ⁷log 1⁰ = 0

(86)

Tentuka titik potong kurva logaritmik y = -1,5 Ln(1 + x) – 1, pada masing- masing sumbu dan hitunglah f(6)!

Jawab :

 pada sumbu x ; y = 0 -1,5 Ln(1 + x) – 1 = 0 -1,5 Ln(1 + x) = 1 Ln (1 + x) = -0,67

1 + x = e^-0,67

1 + x = 0,5117

x = -0,4883

Titik potongnya (-0,4883 ; 0)

 Pada sumbu y ; x = 0 y = -1,5 Ln(1 + x) – 1 y = -1,5 Ln(1 + 0) – 1 y = -1,5 Ln 1 – 1 y = -1,5 . 0 – 1 y = -1

Titik potongnya (0 ; -1)

 Untuk x = 6

y = -1,5 Ln(1 + x) – 1 y = -1,5 Ln(1 + 6) – 1 y = -1,5 Ln 7 – 1 y = -2,9189 – 1 y = -3,9189

Titik potongnya (6 ; -3,9189)

Y

X 6

-3,9189

(87)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 79 2. PENERAPAN EKONOMI

Banyak model-model bisnis dan ekonomi sangat relevan ditelaah dan diimplementasikan dengan fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik, khususnya model-model yang berkenan dengan aspek pertumbuhan. Model-model yang menerapkan fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik antara lain :

2.1. MODEL BUNGA MAJEMUK

Model bunga majemuk tidak lain merupakan bentuk fungsi eksponensial.

Model ini digunakan untuk menghitung jumlah dimasa mendatang dari jumlah sekarang suatu pinjaman atau tabungan

Suatu modal awal tertentu P yang dibunga majemukkan secara tahunan pada suku bunga i selama n tahun, maka jumlah di masa mendatang Fn adalah :

Tetapi bila bunga dimajemukkan sebanyak m kali dalam setahun, maka jumlah dimasa mendatang Fn adalah :

Dimana :

Fn = Jumlah saldo pinjaman atau tabungan setelah n tahun P = Jumlah saldo sekarang (tahun ke-0)

i = Tingkat bunga pertahun

m = Frekuensi pembayaran bunga dalam setahun n = Jumlah tahun

Fn = P (1 + i)ⁿ

(88)

LAB. MANAJEMEN DASAR | LITBANG ATA 2016/2017 80 Dalam hal ini Fn merupakan variabel terikat (dependent variabel) dan n

sebagai variabel bebas (independent variabel). Dengan demikian, prinsip-prinsip penyelesaian persamaan eksponensial relevan diterapkan dimodel ini.

Selanjutnya, apabila bunga dimajemukkan secara kontinu selama satu tahun (m sangat besar / bunga diperhitungkan secara terus menerus atau sering) maka jumlah dimasa mendatang Fn adalah :

Dimana e = 2,71828

Bentuk ini dinamakan model bunga majemuk sinambung (continuous compound interest). Bunga majemuk sinambung dalam kasus pinjam meminjam seringkali dipraktekkan oleh para “pelepas uang” atau “rentenir” atau “lintah darat” yang kadang-kadang menetapkan atau memperhitungkan bunga atas uang yang dipinjamkannya secara harian (m = 360). Oleh karena itu, model ini dapat pula disebut “model lintah darat”.

Contoh Kasus :

Seorang mahasiswa menabung disebuah Bank dengan setoran awal Rp. 1.675.

555, pihak Bank memberikan suku bunga 6% per tahun. Berapakah nilai uang mahasiswa tersebut setelah 6 tahun. Apabila

a) Suku bunga dihitung per caturwulan ? b) Suku bunga dihitung per jam ?

Diketahui : P = 1.675. 555 i = 6% (0,06) n = 6 m = 3 Ditanyakan : F6 per caturwulan?

F6 per jam ?