Median Method. Types of Distance Rectilinear distance / Manhattan distance / City block distance / rigth-angle distance / rectangular distance

PERMASALAHAN LOKASI

(Model Dasar)

[2]

Techniques of Continuous Space

Location Problems

–

Median method

»Rectilinier / Manhattan / City block distance

–

Contour-Line method

»Constructs regions bounded by counter line which provide feasible point for new facility with the same total cost

–

Gravity method

»Squared Euclidean distance

–

Weiszfeld method

»Euclidien distance

•

Jika solusi optimal tidak feasibel perlu dilakukan

proses lebih lanjut untuk mencari lokasi feasible dan

optimal

Types of Distance

• Rectilinear distance / Manhattan distance / City block distance / rigth-angle distance / rectangular distance

– 𝑑𝑖𝑗= 𝑥𝑖− 𝑥𝑗+ 𝑦𝑖− 𝑦𝑗

– Aplikasi pada overhead material handling carrier dengan rel tegak lurus

• Euclidean

– 𝑑𝑖𝑗= (𝑥𝑖− 𝑥𝑗)2+(𝑦𝑖− 𝑦𝑗)2

– Aplikasi pada conveyor, jaringan transportasi dan distribusi

• Squared Eucledian

– 𝑑𝑖𝑗= (𝑥𝑖− 𝑥𝑗)2+(𝑦𝑖− 𝑦𝑗)2

– Memberikan bobot terbesar pada jarak terdekat

𝑥𝑖: 𝑘𝑜𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 𝑥 𝑙𝑜𝑘𝑎𝑠𝑖 𝑖 𝑦𝑖: 𝑘𝑜𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 𝑦 𝑙𝑜𝑘𝑎𝑠𝑖 𝑖 𝑥𝑗: 𝑘𝑜𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 𝑥 𝑙𝑜𝑘𝑎𝑠𝑖 𝑗 𝑦𝑗: 𝑘𝑜𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 𝑥 𝑙𝑜𝑘𝑎𝑠𝑖 𝑗 𝑑𝑖𝑗: 𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘 𝑙𝑜𝑘𝑎𝑠𝑖 𝑖 𝑑𝑎𝑛 𝑗

Median Method

•

Meletakkan fasilitas pada titik median

•

Contoh Aplikasi:

–

Level makro: penempatan warehouse

–

Level mikro: penempatan mesin

•

Frekuensi lintasan lokasi 𝑖 (𝑓

_𝑖

) dan biaya

transportasi (𝑐

_𝑖

) ke lokasi baru diketahui.

Dan karena nilainya konstan maka dapat

ditetapkan sebagai bobot lokasi 𝑖 (𝑤

𝑖

)

Median Method

• Tujuan Median Method:

– Meminimasi 𝑇𝐶 = 𝑚𝑖=1𝑐𝑖𝑓𝑖 𝑥𝑖− 𝑥 + 𝑦𝑖− 𝑦

»𝑇𝐶 ∶ 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑏𝑖𝑎𝑦𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑠𝑖 »𝑥 ,𝑦 ∶ 𝑘𝑜𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 𝑜𝑝𝑡𝑖𝑚𝑎𝑙 𝑙𝑜𝑘𝑎𝑠𝑖 𝑏𝑎𝑟𝑢 • Langkah-langkah Metode Median:

– Langkah1. Urutkan lokasi mulai koordinat 𝑥 terkecil

– Langkah2. Tentukan lokasi 𝑗 dari urutan pada langkah1 yang nilai

kumulatif bobotnya bernilai 1₂ atau lebih dari 1₂ untuk pertama kali. 𝑤𝑖< 𝑗−1 𝑖=1 𝑤𝑖 2 𝑚 𝑖=1 𝑑𝑎𝑛 𝑤𝑖≥ 𝑗 𝑖=1 𝑤𝑖 2 𝑚 𝑖=1

– Langkah3. Urutkan lokasi mulai koordinat 𝑥 terkecil

– Langkah4. Tentukan lokasi 𝑘 dari urutan pada langkah3 yang nilai

kumulatif bobotnya bernilai 1₂ atau lebih dari 1₂ untuk pertama kali. 𝑤𝑖< 𝑘−1 𝑖=1 𝑤𝑖 2 𝑚 𝑖=1 𝑑𝑎𝑛 𝑤𝑖≥ 𝑘 𝑖=1 𝑤𝑖 2 𝑚 𝑖=1

– Lokasi baru OPTIMAL adalah 𝒙: 𝒋 𝒍𝒌. 𝟐 𝒅𝒂𝒏 𝒚: 𝒌 (𝒍𝒌. 𝟒)

Median Method

•

Contoh Soal:

–Terdapat 4 divisi di lantai 5 yang telah memiliki satu mesin fotokopi, namun karena kebutuhan yang tinggi diperlukan satu mesin fotokopi baru untuk digunakan bersama. Cari lokasi fotokopi yang optimal, jika diketahui koordinat centroid masing-masing divisi dan rata-rata trafic penggunaan ke fotokopi baru per divisi. Asumsi jarak yang ditempuh dimulai dan berakhir pada centroid lokasi.

No. Divisi Koordinat x Koordinat y Rata2 trafic

pemakaian 1 10 2 6 2 10 10 10 3 8 6 8 4 12 5 4

Median Method

•

Contoh Soal:

–

Langkah 1

–

Langkah 2

•

𝑤𝑖 2

=

28 2

= 14

•

𝑗 = 10

No. Divisi Koordinat x Bobot Kumulatif

Bobot 3 8 8 8 1 10 6 14 2 10 10 24 4 12 4 28

Median Method

•

Contoh Soal:

–

Langkah 3

–

Langkah 4

•

𝑤𝑖 2

=

28 2

= 14

•

𝑘 = 6

–

Lokasi Optimal : (10, 6)

No. Divisi Koordinat y Bobot Kumulatif

Bobot

1 2 6 6

4 5 4 10

3 6 8 18

Gravity Method

•

Untuk jarak yang bersifat tidak linier:

fungsi kuadrat

•

Jenis jarak: squared Euclidean

•

Hasil optimal: pusat gravitasi (sering disebut Metode

Pusat Gravitasi)

•

Tujuan:

Meminimasi 𝑇𝐶 = 𝑚𝑖=1𝑐𝑖𝑓𝑖(𝑥𝑖− 𝑥 )2+(𝑦𝑖− 𝑦 )2

•

Lokasi baru optimal:

𝜕𝑇𝐶_𝜕𝑥 = 2 𝑚𝑖=1𝑤𝑖𝑥 − 2 𝑚𝑖=1𝑤𝑖𝑥𝑖= 0 𝑥 = 𝑚𝑖=1𝑤𝑖𝑥𝑖 𝑤𝑖 𝑚 𝑖=1 𝜕𝑇𝐶_𝜕𝑦 = 2 𝑚𝑖=1𝑤𝑖𝑦 − 2 𝑚𝑖=1𝑤𝑖𝑦𝑖= 0 𝑦 = 𝑚𝑖=1𝑤𝑖𝑦𝑖 𝑤𝑖 𝑚 𝑖=1

Gravity Method

•

Contoh Soal:

–

Permasalahan yang sama dengan Metode Median:

𝑥 =

272

28

= 9.71

𝑦 =

180

28

= 6.43

No. Divisi 𝒙𝒊 𝒚𝒊 𝒘𝒊 𝒘𝒊𝒙𝒊 𝒘𝒊𝒚𝒊 1 10 2 6 60 12 2 10 10 10 100 100 3 8 6 8 64 48 4 12 5 4 48 20 Total 28 272 180

Weiszfeld Method

•

Metode kuantitatif untuk menentukan posisi

(dalam koordinat) fasilitas baru yang akan

ditempatkan di antara beberapa fasilitas lainnya

yang sudah terpasang.

•

Ukuran jarak yang dipergunakan dalam metode ini

adalah Jarak Euclidean.

Fungsi Tujuan Weiszfeld Method













m

i

i

i

i

i

f

x

x

y

y

c

TC

1

2

2

₍

₎

₎

)

(

.(

.

MINIMIZE

TC = Total Cost c = Biaya perpindahan f = Frekuensi perpindahan x = Koordinat fasilitas pada sumbu x y = Koordinat fasilitas pada sumbu y m = Banyaknya fasilitas yang telah terpasang w = Bobot perpindahan

i

i

i

c

f

Koordinat Fasilitas X



















































  m i _{i i} i m i _{i i} i i

y

y

x

x

w

y

y

x

x

x

w

x

1 2 2 1 2 2

)

(

)

(

)

(

)

(

.



















































  m i _{i i} i m i _{i i} i i

y

y

x

x

w

y

y

x

x

y

w

y

1 2 2 1 2 2

)

(

)

(

)

(

)

(

.

Koordinat Fasilitas Y

3 Langkah Iterasi





   _m i i m i i i k w x w x 1 1 .





   m i i m i i i k w y w y 1 1 . Langkah 0 : * Nyatakan k = 1                       





   m i k i k i i m i k i k i i i k y y x x w y y x x x w x 1 2 2 1 2 2 1 ) ( ) ( ) ( ) ( .                       





   m i k i k i i m i k i k i i i k y y x x w y y x x y w y 1 2 2 1 2 2 1 ) ( ) ( ) ( ) ( . Langkah 1 : * Nyatakan : Langkah 2 :

•Jika dan , maka stop. Jika tidak maka nyatakan k = k+1 dan kembali ke langkah 1.

k k

x

x1 yk1yk

Contoh Soal

Dua buah mesin fax yang akan dipergunakan oleh 4 departemen. Koordinat ke 4 buah mesin dan rata-rata jumlah pemakaian mesin fax dinyatakan tabel dibawah ini.

Departemen Koordinat X _(Xi) Koordinat Y _(Yi) permakaian mesin fax Rata-rata jumlah (Wi) 1 10 2 6 2 10 10 20 3 8 6 8 4 12 5 4

Iterasi 1

4

.

7

4

8

20

6

20

48

200

12

8

.

9

4

8

20

6

48

64

200

60

0 0

































y

x

Dept

x

i

y

i

w

i

w

i

. x

i

w

i

.y

i

1

10

2

6

60

12

2

10

10

20

200

200

3

8

6

8

64

48

4

12

5

4

48

20



38

372

280

Dept xi yi wi w_[a] i. xi w_[b] i.yi ( xi –x 0 )2

[c] ( yi – y

0 )2

[d] [e] = Akar ([c]+[d]) [a] / [e] [b] / [e] wi / [e] 1 10 2 6 60 12 0.04 28.82 5.37 11.16 2.23 1.11 2 10 10 20 200 200 0.04 6.93 2.63 75.75 75.75 7.57 3 8 6 8 64 48 3.20 1.87 2.25 28.40 21.30 3.55 4 12 5 4 48 20 4.89 5.61 3.23 14.81 6.17 1.23  38 372 280 130.15 105.47 13.47

7

.

9

47

.

13

15

.

130

1





x

8

.

7

47

.

13

47

.

105

1





y

Total Cost Iterasi 1

w

_i

( x

i

–x

1

)

2

[f]

( y

i

–x

1

₎

2

[g]

[h]=akar

([f]+[g])

TC

1

=(wi.[h])

6

0.12

33.93

5.83

35.0

20

0.12

4.73

2.20

44.0

8

2.74

3.33

2.46

19.7

4

5.49

7.98

3.67

14.7

38

113.4

Karena x1 tidak sama dengan x0, dan y1 tidak sama dengan y0, maka Lakukan kembali iterasi ke-2 mulai dari langkah ke2.

Iterasi ke- x y TC 1 9.7 7.8 113.4 2 9.7 8.2 111.9 3 9.8 8.4 110.8 4 9.8 8.7 109.9 5 9.8 8.9 109.1 6 9.9 9 108.5 7 9.9 9.2 108 8 9.9 9.3 107.6 9 9.9 9.4 107.2 10 9.9 9.5 106.9 11 9.9 9.6 106.7 12 10 9.6 106.5 … … … … 20 10 9.9 105.6 … … … … 25 10 10 105.5 HASIL KESELURUHAN ITERASI

Karena nilai X dan Y tidak berubah pada iterasi ke 25 dengan koordinat (10,10) Maka posisi mesin fax akan diletakkan di kordinat (10,10)

Karena nilai X dan Y tidak berubah pada iterasi ke 25 dengan koordinat (10,10) Maka posisi mesin fax akan diletakkan di kordinat (10,10)

Contour-Line Method

• Digunakan untuk mengeliminasi kemungkinan lokasi baru

berada di lokasi yang telah ada, dimana dua fasilitas yang sama tidak dapat berada di satu tempat yang sama

• Meletakkan lokasi baru pada daerah terdekat dengan biaya paling minimal (feasible near optimal location)

• Metode ini membentuk area geografis yang dibentuk oleh garis contour

• Garis contour merupakan alternatif lokasi baru dengan nilai biaya yang sama

• Kelebihan Contour-line Method:

–Memberikan alternatif lokasi jika lokasi optimal infeasibel –Dapat mengakomodasi kriteria subyektif, yaitu dengan menggeser

lokasi optimal awal sepanjang contour-line hingga memenuhi kriteria subyektif tersebut

www.aeunike.lecture.ub.ac.id

Contour-Line Method

•

Langkah-langkah:

1. Plot lokasi saat ini beserta bobotnya sesuai dengan koordinatnya

Contour-Line Method

2. Tarik garis horisontal dan vertikal yang melintasi titik-titik lokasi saat ini

Contour-Line Method

3. Jumlahkan bobot pada titik lokasi yang dilewati oleh tiap garis.

Notasikan V untuk jumlah bobot pada garis Vertikal, dan H untuk jumlah bobot pada garis Horisontal

𝐻5:

𝐻4:

𝐻3:

𝐻2:

www.aeunike.lecture.ub.ac.id

Contour-Line Method

4. Jumlahkan bobot dan notasikan 𝑁0= 𝐷0= − 𝑚 𝑤𝑖 𝑖=1 𝑁𝑖= − 𝑚 𝑤𝑖 𝑖=1 + 2 𝑖𝑘=1𝑉𝑘; 𝐷𝑖= − 𝑚𝑖=1𝑤𝑖+ 2 𝑖𝑘=1𝐻𝑘 𝑁0: :𝐷0 www.aeunike.lecture.ub.ac.id

Contour-Line Method

5. Hitung gradien masing-masing area: −𝑁𝑠

𝐷𝑡 𝑁0: :𝐷0 :𝐷1 :𝐷2 :𝐷3 :𝐷4 :𝐷5 𝑁1: 𝑁2: 𝑁3: 𝑁4: 𝑁5: www.aeunike.lecture.ub.ac.id

Contour-Line Method

6. Pilih titik sembarang dan gambarkan garis contour-nya sesuai

dengan gradien tiap area.

References

• Heragu, S. (2008). Facilities Design (3rd Ed.). CRC Press.

• Tompkins, W, Tanchoco, B. (2003). Facilities Planning (3rd Ed.). John Wiley & Sons. • Wignjosoebroto, S. & Rahman, A. (2011). Analisa Lokasi & Permasalahan Alokasi (PPT).