Aplikasi Fungsi Green Menggunakan Algoritma Monte Carlo dalam Persamaan Diferensial Semilinear

(1)

TINJAUAN PUSTAKA

Sebelum membahas definisi dari fungsi Green, penulis akan menjelaskan persamaan diferensial semilinear yang berkaitan dengan penelitian ini dan hubungannya dengan penyelesaian permasalahan dengan menggunakan fungsi Green.

2.1 Persamaan Diferensial Semilinear

Menurut Evans (2010), suatu persamaan diferensial nonlinear dikatakan semilinear jika suku dengan orde tertinggi dari fungsiunknownuhanya bergantung pada variabel xtidak pada uataupun turunannya. Secara umum persamaannya dapat ditulis dalam bentuk berikut,

a0(x) dn_u dxn +an

dn−1

u dxn−1,

dn−2 u dxn−2, ...,

du dx, u, x

= 0.

Sebagai contohu′′

(x) +u′

(x) +u2

= 0, dimana suku yang membuat persamaan diferensial orde dua ini menjadi nonlinear adalahu2

. Karena nonlinear tidak terletak pada suku dengan orde tertinggi dari persamaan tersebut, maka persamaan diferensial ini bersifat semilinear. Contoh lainnya adalah persamaan diferensial parsial dariutt− ux + sinu = 0, dikatakan semilinear karena terdapat fungsi unknownuyang terikat pada fungsi sinus yang nonlinear.

2.2 Fungsi Green dan Hubungannya dengan Fungsi Delta Dirac

(2)

Dirac mendefinisikan fungsi Delta sebagai fungsi yang bernilai besar sekali di ξ dan bernilai nol diluar ξ. Definisi dari fungsi Delta Dirac pada ruang dimensi satu dapat dituliskan secara matematis sebagai berikut.

δ(x−ξ) =   

0, jikax6=ξ

∞, jikax=ξ

dengan memenuhi sifat

1. Z ∞

−∞

δ(x−ξ) dx= 1,

2. Z ∞

−∞

f(x)δ(x−ξ) dξ=f(ξ).

Keseluruhan konsep dari fungsi Green erat kaitannya dengan fungsi Delta Di-rac dalam pendefinisian fungsinya. Andaikan jika terdapat suatu operator diferensial orde n dinotasikan dengan L pada ruang satu dimensi yang mengatur fungsi u dan bersamaan dengan operator kondisi batas B, maka fungsi Green G(x;ξ) dapat dide-finisikan sebagai suatu fungsi yang diatur oleh operator diferensial L dengan fungsi nonhomogennya adalah fungsi Delta Dirac dan fungsi homogennya adalah operator kondisi batas pada domain.

2.3 Fungsi Green untuk Operator Diferensial Eliptik pada Satu Dimensi

Secara umum suatu persamaan diferensial eliptik orde dua pada ruang satu dimensi dapat ditulis dalam bentuk berikut,

− d

dx

a(x)du dx

+b(x)du

dx +c(x)u=f(x).

(3)

operator kondisi batas homogen yang dinotasikan denganLdanByaitu

Maka operator diferensialLedikatakan sebagaiadjointdari operator diferensialLjika memenuhi sifat

Z b leh dengan melakukan integrasi pada bagian sebelah kanan yaitu

Z b

Dengan menggunakan intergrasi parsial disepanjang(a, b)pada bagian sebelah kanan, diperoleh

Selanjutnya integrasi pada persamaan diatas juga dapat ditulis seperti berikut Z b

w(x)v(x)du dx dx.

Dengan melakukan integrasi parsial sekali lagi pada suku pertama maka persamaan diatas dapat ditulis menjadi

−k(x)du

(4)

Sehingga diperoleh Z b

a

uLwdx= Z b

a w

d dx

−k(x)du dx

−v(x)du dx

dx=

Z b a

wLeudx,

dimanaadjointoperator diferensialLeadalah

e

L = d dx

−k(x) d dx

−v(x) d dx.

Turunan - turunan yang terdapat pada operator diferensial diatas adalah turunan terhadap variabel spasialx. k(x)adalah fungsi yang bergantung pada turunan kedua uyang menggambarkan sebagai difusi dan v(x)adalah fungsi yang bergantung pada

turunan pertamauyang menggambarkan sebagai adveksi.

Adveksi dihasilkan oleh aliran yang bersifat searah dan tidak mengubah zat yang dipindahkan. Sedangkan difusi mengacu pada pergerakan massa zat akibat gerakan pencampuran air. Dalam permasalahan fisika model adveksi dan difusi dapat dicon-tohkan pada gerakan pasang surut air yang menyebabkan air bergerak searah keluar dari muara sungai. Apabila pemodelan fokus kepada efek pencemaran bakteri dari lu-apan air hujan jangka pendek, maka karakteristik dari perpindahannya sebagai meka-nisme adveksi. Dalam skala waktu yang lebih lama, pergerakan pasang surut air akan menggerakkan air bolak - balik yang membentuk siklus dapat dikategorikan sebagai mekanisme difusi (Chapra, 2008).

(5)

bermigrasi ke permukaan air adalah adveksi ( Logan, 2004).

Jika terdapat suatu operator diferensial orde duaLbersamaan operator batasB0 danBℓ pada ruang satu dimensi(0, ℓ), maka fungsi Green terkait memenuhi

  

LG(x;ξ) =δ(x−ξ), x∈(0, ℓ)

B0 = 0,Bℓ = 0.

Berikut ini diberikan Lemma penyelesaian fungsi Green dari operator diferensial eliptik orde dua yang telah disebutkan diatas.

Lemma 2.1. Andaikan terdapat dua fungsik : (0, ℓ)→_R+

danv : (0, ℓ)→_Rdengan operator diferensialLyang didefinisikan sebagai

Lu=−k(x)u′

+v(x)u

′

.

Maka fungsi Greennya adalah

(6)

Bukti. Berdasarkan definisi fungsi Green pada satu dimensi, maka fungsi Green yang memenuhi operator diferensial diatas adalah

−k(x)G′

(x;ξ) +v(x)G(x;ξ)

′

=δ(x−ξ), x∈(0, ℓ) (2.3)

dimanaδ(x−ξ) = 0ketikax∈(0, ξ)danx∈(ξ, ℓ). Turunan - turunan yang terdapat pada fungsi Green di atas adalah turunan terhadap variabelx. Selanjutnya integrasikan persamaan diatas terhadapxsehingga diperoleh

−k(x)G′

(x;ξ) +v(x)G(x;ξ) = c, x≤ξ (2.4)

−k(x)G′

(x;ξ) +v(x)G(x;ξ) =d, x > ξ. (2.5)

Kemudian kalikan kedua sisi persamaan diatas dengan− 1

k(x)dan faktor integrasiµ(x) sehingga menjadi

µ(x)G′

(x;ξ)− v(x)

k(x)µ(x)G(x;ξ) =−c µ(x)

k(x), x≤ξ

µ(x)G′

(x;ξ)− v(x)

k(x)µ(x)G(x;ξ) = −d µ(x)

k(x), x > ξ

(2.6)

dengan

µ(x) =exp−

Z x 0

v(s) k(s)ds

.

Maka sisi sebelah kiri dari persamaan (2.6) dapat dianggap sebagai derivatif dariµ(x)G(x, ξ), yaitu

d dx

µ(x)G(x;ξ)=−cµ(x)

k(x), x≤ξ (2.7)

d dx

µ(x)G(x;ξ)=−dµ(x)

k(x), x > ξ. (2.8)

Kemudian integrasikan kedua sisi persamaan (2.7) terhadap t dengan batas(0, x) se-hingga didapatkan

µ(x)G(x;ξ)−µ(0)G(0;ξ) = −c Z x

(7)

Dengan memindahkan bagian kedua di ruas kiri persamaan ke ruas kanan dan menga-likan hasilnya denganµ−1

(x), diperoleh

G(x;ξ) = 1 µ(x)

G(0;ξ)−c Z x

0 µ(t) k(t) dt

.

Di sini telah digunakan fakta bahwa µ(0) = 1. Dengan melakukan hal yang serupa terhadap (2.8), yakni integrasi dengan batas(x, ℓ), maka diperoleh

G(x;ξ) = 1 µ(x)

µ(ℓ)G(ℓ;ξ) +d Z ℓ

x µ(t) k(t) dt

. (2.9)

Selanjutnya dengan menggunakan sifat integral dari fungsi delta Dirac, diperoleh Z ℓ

0

−k(x)G′

(x;ξ) +v(x)G(x;ξ)

′

dx= Z ℓ

0

δ(x−ξ) dx= 1. (2.10)

Karena bagian sebelah kiri persamaan di atas adalah

−k(ℓ)G′

(ℓ;ξ) +v(ℓ)G(ℓ;ξ)−−k(0)G′

(0;ξ) +v(0)G(0;ξ),

dan dengan menggunakan (2.4) dan (2.5), maka didapatkan hubungan

d= 1 +c. (2.11)

dengan mensubtitusikand pada persamaan (2.9) maka diperoleh persamaan (2.1) se-bagai fungsi Green dari operator diferensial diatas.

Selanjutnyacdapat diketahui dengan menggunakan kekontinuan dari fungsi Gre-en ketikax=ξ, yaitu

G(ξ−

;ξ) =G(ξ+ ;ξ) 1

µ(ξ)

G(0;ξ)−c Z ξ

0 µ(t) k(t) dt

= 1

µ(ξ)

µ(ℓ)G(ℓ;ξ) + (1 +c) Z ℓ

ξ µ(t) k(t) dt

.

(8)

kanan maka didapatkan maka dapat diperolehcyang telah disebutkan pada Lemma 2.1.

Pada pembuktian Lemma diatas telah diperoleh solusi fungsi Green untuk ope-rator diferensial eliptikL. Sehingga turunan dari fungsi Green terhadapxyang dino-tasikan denganG′

(x;ξ)adalah

(x) pada suku pertama adalah

d

Turunan suku kedua persamaan fungsi Green untukx≤ξadalah

(9)

MakaG′

(x;ξ)dapat disederhanakan menjadi

G′

(x;ξ) =             

G(0;ξ) v(x)

k(x)µ(x)−c µ(x)

k(x), jikax≤ξ

v(ℓ)G(ℓ;ξ) v(x)

k(x)µ(x) −(1 +c) µ(x)

k(x), jikax > ξ.

(2.13)

Berikut ini diberikan beberapa Lemma yang menggunakan operator diferensial pada Lemma 2.1 dengan mengkombinasikan operator kondisi batas Dirichlet, Neu-mann dan Robinpada masing - masing domain.

Lemma 2.2. Andaikan terdapat suatu operator diferensial dan operator kondisi batas 

 

Lu=−k(x)u′

+v(x)u

′

, x∈(0, ℓ)

B0u=u(0), Bℓu=u(ℓ).

(2.14)

G(x;ξ) =             

− c

µ(x) Z x

0 µ(t)

k(t) dt jikax≤ξ

(1 +c) µ(x)

Z ℓ x

µ(t)

k(t) dt jikax > ξ

(2.15)

dimanaµ(t)seperti yang tertera di Lemma 2.1 dan

c=−

Z ℓ ξ

µ(t) k(t) dt Z ℓ

0 µ(t) k(t) dt

. (2.16)

(10)

Lemma 2.3. Andaikan terdapat suatu operator diferensial dan operator kondisi batas

G(x;ξ) =

Bukti. Diketahui dari kondisi batas

−k(0)G′

(0;ξ) +v(0)G(0;ξ) = 0 dan G(ℓ;ξ) = 0.

Jika x = 0, maka persamaan (2.2) untuk x ≤ ξ pada Lemma 2.1 menjadi c = 0. Sehingga persamaan (2.1) menjadi

G(x;ξ) =

Karenac= 0, makacpada Lemma 2.1 menjadi

0 =

Sehingga dapat diperoleh

G(0;ξ) = Z ℓ

ξ µ(t) k(t)dt.

(11)

 

Lu=−k(x)u′

+v(x)u

′

, x∈(0, ℓ)

B0u=−k(0)u

′

(0), Bℓu=u(ℓ).

(2.20)

G(x;ξ) =             

G(0;ξ) µ(x)

1−v(0) Z x

0 µ(t) k(t) dt

, jika x≤ξ

1 µ(x)

1 +v(0)G(0;ξ) Z ℓ

x µ(t)

k(t) dt, jika x > ξ

(2.21)

denganµ(t)seperti yang telah disebutkan pada Lemma 2.1 dan

G(0;ξ) =−

Z ℓ ξ

µ(t) k(t) dt

v(0) Z ℓ

0 µ(t)

k(t) dt−1

. (2.22)

Bukti. Diketahui dari kondisi batas fungsi Green adalah

−k(0)G′

(0;ξ) = 0 dan G(ℓ;ξ) = 0.

Jikax= 0maka persamaan (2.2) untukx≤ξpada Lemma 2.1 menjadi

v(0)G(0;ξ) =c.

Sehingga jikacdanG(ℓ;ξ) disubtitusikan pada persamaan (2.1) maka diperoleh per-samaan (2.21) sebagai solusi fungsi Green pada permasalahan diatas. Selanjutnya de-ngan mensubtitusikancpada Lemma 2.1 diperoleh

v(0)G(0;ξ) =

G(0;ξ)−

Z ℓ ξ

µ(t) k(t) dt Z ℓ

0 µ(t) k(t) dt

.

(12)

Lemma 2.5. Andaikan terdapat suatu operator diferensial dan operator kondisi batas

G(x;ξ) =

−k(0)G′

(0;ξ) = 0 dan −k(ℓ)G′

(ℓ;ξ) +v(ℓ)G(ℓ;ξ) = 0.

Jikax= 0, maka persamaan (2.2) untukx≤ξpada Lemma 2.1 menjadi

v(0)G(0;ξ) =c.

Jikax=ℓmaka persamaan (2.2) untukx > ξpada Lemma 2.1 menjadi

−k(ℓ)G′

(ℓ;ξ) +v(ℓ)G(ℓ;ξ) = d= 0.

Karena pada (2.11) diketahui bahwa d = c+ 1 = 0makac = −1. Sehingga untuk x≤ξpada persamaan (2.1) dapat disederhanakan menjadi

G(x;ξ) = 1 v(0) maka

(13)

Untukx > ξ pada persamaan (2.1) dapat disederhanakan menjadi

G(x;ξ) = 1

µ(x)µ(ℓ)G(ℓ;ξ) (2.25)

Selanjutnya dengan mensubtitusikancpada Lemma 2.1 diperoleh

−1 =

Dengan mengubah persamaan diatas dan mengelompokkanµ(ℓ)G(ℓ;ξ)ke sebelah kiri persamaan, maka didapatkan

µ(ℓ)G(ℓ;ξ) = − 1

Sehingga jikaµ(ℓ)G(ℓ;ξ)disubtitusikan pada (2.25) maka diperoleh persamaan (2.24) sebagai solusi fungsi Green untuk permasalahan di atas.

G(x;ξ) =

dimanaµ(t)seperti yang telah disebutan pada Lemma 2.1 dan

(14)

dengan syaratv(0)6= 0danv(ℓ)6= 0.

−k(0)G′

(0;ξ) = 0 dan −k(ℓ)G′

(ℓ;ξ) = 0.

Jikax= 0maka persamaan (2.2) untukx≤ξpada Lemma 2.1 menjadi

v(0)G(0;ξ) =c.

Jikax=ℓmaka persamaan (2.2) untukx > ξpada Lemma 2.1 menjadi

v(ℓ)G(ℓ;ξ) =d= 1 +c.

Dari persamaan diatas maka diperoleh

G(0;ξ) = c

v(0) dan G(ℓ;ξ) =

(1 +c) v(ℓ) .

Selanjutnya dengan mensubtitusikanG(0;ξ)untukx≤ ξpada persamaan (2.1) dapat

disederhanakan menjadi

G(x;ξ) = 1 µ(x)

_c v(0) −c

Z x 0

µ(t) k(t)dt

= c µ(x)

₁ v(0) −

Z x 0

µ(t) k(t)dt

,

dan mensubtitusikanG(ℓ;ξ)untukx > ξpada persamaan (2.1) dapat disederhanakan menjadi

G(x;ξ) = 1 µ(x)

µ(ℓ)(1 +c)

v(ℓ) + (1 +c) Z ℓ

x µ(t) k(t)dt

= (1 +c) µ(x)

_µ(ℓ) v(ℓ) +

Z ℓ x

µ(t) k(t)dt

.

(15)

Lemma 2.1, diperoleh

c= c

v(0) −µ(l)

(1 +c) v(ℓ) −

Z ℓ ξ

µ(t) k(t) dt Z ℓ

0 µ(t) k(t) dt

.

Dengan mengubah persamaan diatas dan mengelompokancke sebelah kiri, maka akan diperolehcseperti yang telah disebutkan pada (2.28).

2.4 Solusi Permasalahan Nilai Batas Orde Dua Semilinear

Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk mencari solusi dari suatu perma-salahan nilai batas yang nonhomogen, salah satu diantaranya adalah dengan mencari fungsi Green dari permasalahan tersebut.

Jika terdapat suatu permasalahan dengan kondisi batas yang homogen, maka so-lusinya dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linear dari fungsi Green dan fungsi nonhomogennya . Adapun jika suatu permasalahan diferensial orde dua dengan kondi-si batas yang nonhomogen, maka solukondi-sinya tidak hanya dipengaruhi oleh integral dari fungsi Green dan fungsi nonhomogennya, tetapi juga dipengaruhi oleh kondisi batas dari fungsi Green tersebut.

Lemma berikut ini membahas solusi dari suatu persamaan diferensial jika fungsi Green dari persamaan diferensial tersebut diketahui.

Lemma 2.7. Andaikan terdapat suatu persamaan diferensial orde dua semilinear pada dimensi satu yang dirumuskan sebagai mencariu:R→_Ryang memenuhi

e

Lu(x) = −(k(x)u′

(x))′

−v(x)u′

(x) = f(u(x)), x∈(0, ℓ). (2.29)

Makauadalah

u(ξ) = Z ℓ

0

(16)

dimana

danG(x;ξ)adalah fungsi Green yang diatur oleh

LG(x;ξ) = (−k(x)G′

(x;ξ) +v(x)G(x;ξ))′ =δ(x−ξ), x, ξ∈(0, ℓ). (2.32)

Bukti. Dengan menggunakan persamaan diferensial pada (2.29), diketahui bahwa

G(x;ξ)f(u(x)) =G(x;ξ)Leu(x) = G(x;ξ)

Dengan mengintegrasikan persamaan diatas pada(0, ℓ)dan memandang integral pada ruas kanan menjadi pengurangan dari integral

Z ℓ Kemudian dengan mengaplikasikan integrasi parsial pada suku pertama di ruas kanan, diperoleh

Dengan melakukan integrasi parsial sekali lagi terhadap integral diruas kiri, akan di-peroleh

(17)

persa-maan (2.34)

−

Z ℓ 0

G(x;ξ)v(x)u′

(x) dx=−v(x)G(x;ξ)u(x)x =ℓ

x=0

+ Z ℓ

0 d

dx(v(x)G(x;ξ))u(x) dx.

(2.37)

Dengan menggabungkan persamaan (2.35), (2.36), dan (2.37) maka diperoleh Z ℓ

0

G(x;ξ)f(u(x)) dx=−G(x;ξ)k(x)du dx x

=ℓ

x=0

+k(x)dG(x;ξ) dx u(x)

x=ℓ

x=0−v(x)G(x;ξ)u(x)

x=ℓ

x=0

+ Z ℓ

0

u(x) d dx

−k(x)dG(x;ξ)

dx +v(x)G(x;ξ)

dx. (2.38) Karena integral pada ruas kiri dapat ditulis sebagai fungsi delta Dirac dan dengan menggunakan sifat dari fungsi delta Dirac, diperoleh

Z ℓ 0

u(x) d dx

−k(x)dG(x;ξ)

dx +v(x)G(x;ξ)

dx= Z ℓ

0

u(x)δ(x−ξ) dx=u(ξ).

Sehingga diperoleh (2.30) sebagai solusi dariu.

Jika persamaan diferensial diatas diberikan kondisi batas tertentu seperti Dirich-let, Neumann, danRobin, maka penyelesaiannya akan dipengaruhi oleh kondisi batas yang diberikan. Seperti yang terdapat pada Lemma - Lemma berikut ini.

Lemma 2.8. Andaikan terdapat masalah nilai batas semilinear pada ruang satu di-mensi yang memenuhi

  

e

Lu=f(u(x)), x∈(0, ℓ) u(0) =u0 dan u(ℓ) = uℓ.

(18)

Maka solusiuadalah

u(ξ) = Z ℓ

0

G(x;ξ)f(u(x)) dx−k(ℓ)G′

(ℓ;ξ)uℓ+k(0)G′

(0;ξ)u0, (2.40)

dimanaG(x;ξ)adalah fungsi Green yang diatur oleh 

 

LG=δ(x−ξ), x, ξ ∈(0, ℓ) G(0;ξ) = 0 danG(ℓ;ξ) = 0.

(2.41)

Bukti. Diketahui dari kondisi batas pada fungsi Green bahwaG(0;ξ) = 0danG(ℓ;ξ) = 0. Sehingga diperoleh

G(x;ξ)k(x)du dx

x=ℓ

x=0 = 0

dan v(x)G(x;ξ)u(x)x =ℓ

x=0 = 0.

(2.42)

Demikian pula, dengan menggunakan kondisi batas yang diberikan untuk u, maka solusiuyang disebutkan pada Lemma 2.7 dapat disederhanakan menjadi

u(ξ) = Z ℓ

0

G(x;ξ)f(u(x)) dx−k(ℓ)dG(ℓ;ξ)

dx uℓ+k(0)

dG(0;ξ)

dx u0 (2.43)

  

e

Lu=f(u(x)), x∈(0, ℓ)

−(k(0)u′

(0)) =g0, dan u(ℓ) =uℓ

(2.44)

Maka solusiuadalah

u(ξ) = Z ℓ

0

G(x;ξ)f(u(ξ)) dx+G(0;ξ)g0−k(ℓ)G

′

(ℓ;ξ)uℓ (2.45)

dimanaG(x, ξ)adalah fungsi Green yang diatur oleh 

 

LG=δ(x−ξ), x, ξ∈(0, ℓ)

−k(0)G′

(0;ξ) +v(0)G(0;ξ) = 0 danG(ℓ;ξ) = 0

(19)

Bukti. Diketahui dari kondisi batas fungsi Green adalah G(ℓ;ξ) = 0. Sehingga B.C yang terdapat pada Lemma 2.7 dapat disederhanakan

G(x;ξ)k(x)du dx

x=ℓ

x=0 =−G(0;ξ)k(0)u

′

(0), (2.47)

dan

v(x)G(x;ξ)u(x)x =ℓ

x=0 =

−v(0)G(0;ξ)u(0). (2.48)

Kemudian

−k(x)dG(x;ξ) dx u(x)

x=ℓ

x=0 =

−k(ℓ)G′

(ℓ;ξ)u(ℓ) +k(0)G′

(0;ξ)u(0). (2.49)

Karena kondisi batas yang diberikan padaG(x;ξ)ketikax= 0adalah

−k(0)G′

(0;ξ) +v(0)G(0;ξ) = 0.

Maka dengan menggabungkan persamaan (2.48) dan suku kedua pada ruas kanan per-samaan (2.49), diperoleh

−−k(0)G′

(0;ξ) +v(0)G(0;ξ)u(0) = 0.

Selanjutnya, dengan menggunakan kondisi batas padaumaka persamaan (2.47) men-jadi

−G(0;ξ)k(0)u′

(0) = G(0;ξ)u0,

dan suku pertama ruas kanan persamaan (2.49) menjadi

−k(ℓ)G′

(ℓ;ξ)u(ℓ) =−k(ℓ)G′

(ℓ;ξ)uℓ.

Sehingga persamaanupada lemma 2.7 dapat disederhanakan menjadi (2.45).

(20)

di-mensi yang memenuhi   

e

Lu=f(u(x)), x∈(0, ℓ)

−k(0)u′

(0)−v(0)u(0) =g0, dan u(ℓ) =uℓ.

(2.50)

Maka solusiuadalah

u(ξ) = Z ℓ

0

G(x;ξ)f(u(x)) dx+G(0;ξ)g0−k(ℓ)G

′

(ℓ;ξ)uℓ. (2.51)

 

Lu=δ(x−ξ), x, ξ∈(0, ℓ) k(0)G′

(0;ξ) = 0 danG(ℓ;ξ) = 0.

(2.52)

Bukti. Diketahui dari kondisi batas fungsi Greenk(0)G′

(0, ξ) = 0. Sehingga

x=ℓ

x=0 =

−k(ℓ)dG(ℓ;ξ)

dx u(ℓ), (2.53)

dan jikaξ=ℓ, makaG(ℓ;ξ) = 0. Sehingga

G(x;ξ)k(x)du dx x

=ℓ

x=0 =−G(0;ξ)k(0)u

′

(0). (2.54)

dan

v(ξ)G(x;ξ)u(ξ)x =ℓ

x=0 =−v(0)G(0;ξ)u(0). (2.55) Dengan menggabungkan persamaan (2.54) dan (2.55), dan menggunakan kondisi batas padaumaka dapat disederhanakan

G(0;ξ)−k(0)u′

(0)−v(0)u(0)=G(0;ξ)g0, (2.56)

dan persamaan (2.53) menjadi

−k(ℓ)G′

(ℓ;ξ)u(ℓ) =−k(ℓ)G′

(ℓ;ξ)uℓ. (2.57)

(21)

dapat disederhanakan menjadi (2.51).

  

e

Lu=f(u(x)), x∈(0, ℓ)

−k(0)u′

(0)−v(0)u(0) =g0, dan −k(ℓ)u

′

(ℓ) =gℓ.

(2.58)

Maka solusiuadalah

u(ξ) = Z ℓ

0

G(x;ξ)f(u(ξ)) dx+G(0;ξ)g0−G(ℓ;ξ)gℓ. (2.59)

 

LG=δ(x−ξ), x, ξ∈(0, ℓ)

−k(0)G′

(0;ξ) = 0 dan −k(ℓ)G′

(ℓ;ξ) +v(ℓ)G(ℓ;ξ) = 0.

(2.60)

Bukti. Diketahui bahwa kondisi batas fungsi Green adalah −k(0)G′

(0) = 0, maka B.C pada Lemma 2.7 dapat disederhanakan menjadi

x=ℓ

x=0 =

−k(ℓ)G′

(ℓ;ξ)u(ℓ). (2.61)

Selanjutnya B.C lainnya adalah

G(x;ξ)k(x)du dx x

=ℓ

x=0 =G(ℓ;ξ)k(ℓ)u

′

(ℓ)−G(0;ξ)k(0)u′

(0). (2.62)

dan

x=0 =v(ℓ)G(ℓ;ξ)u(ℓ)−v(0)G(0;ξ)u(0). (2.63) Karena kondisi batasG(x, ξ)ketikax=ℓadalah

−k(ℓ)G′

(ℓ;ξ) +v(ℓ)G(ℓ;ξ) = 0.

(22)

persama-an (2.63), maka diperoleh

−k(ℓ)G′

(ℓ;ξ) +v(ℓ)G(ℓ;ξ)u(ℓ) = 0.

Selanjutnya dengan menggabungkan pesamaan (2.62) dan (2.63) dan menggunakan kondisi batas padau, maka diperoleh

−G(0;ξ)−k(0)u′

(0)−v(0)u(0)−G(ℓ;ξ)k(ℓ)u′

(ℓ) = G(0;ξ)g0−G(ℓ;ξ)gℓ. (2.64) Sehingga persamaanupada Lemma 2.7 dapat disederhanakan menjadi (2.59).

  

e

Lu=f(u(x)), x∈(0, ℓ)

−k(0)u′

(0)−v(0)u(0) =g0, dan −k(ℓ)u

′

(ℓ)−v(ℓ)u(ℓ) =gℓ.

(2.65)

Maka solusiuadalah

u(ξ) = Z ℓ

0

G(x;ξ)f(u(ξ)) dξ+G(0;ξ)g0−G(ℓ;ξ)gℓ. (2.66)

 

LG=δ(x−ξ), x, ξ∈(0, ℓ)

−k(0)G′

(0;ξ) = 0 dan −k(ℓ)G′

(ℓ;ξ) = 0.

(2.67)

Bukti. Diketahui bahwa kondisi batas fungsi Green adalah −k(0)G′

(0;ξ) = 0 dan

−k(ℓ)G′

(ℓ;ξ)sehingga B.C pada Lemma 2.7 dapat disederhanakan menjadi

−k(ξ)dG(x, ξ) dξ u(ξ)

ξ=ℓ ξ=0 = 0.

B.C lainnya adalah

G(x;ξ)k(x)du dx

x=ℓ

x=0 =G(ℓ;ξ)k(ℓ)u

′

(ℓ)−G(0;ξ)k(0)u′

(23)

dan

x=0 =v(ℓ)G(ℓ;ξ)u(ℓ)−v(0)G(0;ξ)u(0).

(2.69)

Selanjutnya dengan menggabungkan ruas kanan persamaan (2.68) dan (2.69) dan me-nerapkan kondisi batas padau, maka diperoleh

G(0;ξ)−k(0)u′

(0)−v(0)u(0)−G(ℓ;ξ)−k(ℓ)u′

(ℓ)−v(ℓ)u(ℓ) =G(0;ξ)g0−G(ℓ;ξ)gℓ.