Journal de Th´
eorie des Nombres
de Bordeaux
19
(2007), 191–204
Weighted uniform densities
par
Rita GIULIANO ANTONINI
et
Georges GREKOS
R´esum´e. Nous introduisons la notion de densit´e uniforme
pond´e-r´ee (sup´erieure et inf´erieure) d’une partieAdeN∗,par rapport `a
une suite de poids (an).Ce concept g´en´eralise la notion classique
de la densit´e uniforme (pour laquelle les poids sont tous ´egaux `a 1). Nous d´emontrons un th´eor`eme de comparaison de deux densit´es uniformes (ayant des suites de poids diff´erentes) et un th´eor`eme de comparaison d’une densit´e pond´er´ee uniforme et d’une den-sit´e pond´er´ee classique (asymptotique; non uniforme). Comme cons´equence, nous obtenons un nouveau majorant et un nouveau minorant pour l’ensemble desα−densit´es (classiques) d’une partie AdeN∗.
Abstract. We introduce the concept of uniform weighted
den-sity (upper and lower) of a subsetAofN∗, with respect to a given
sequence of weights (an). This concept generalizes the classical
notion of uniform density (for which the weights are all equal to 1). We also prove a theorem of comparison between two weighted densities (having different sequences of weights) and a theorem of comparison between a weighted uniform density and a weighted density in the classical sense. As a consequence, new bounds for the set of (classical)α–densities of Aare obtained.
RitaGiuliano Antonini Universit`a di Pisa
Dipartimento di Matematica “L. Tonelli” Largo Bruno Pontecorvo 5
56127 Pisa, Italia
E-mail:[email protected]
URL:http://www.dm.unipi.it/∼giuliano/
GeorgesGrekos Universit´e Jean Monnet 23, rue du Dr Paul Michelon 42023 St Etienne Cedex 2, France
E-mail:[email protected]
URL:http://webperso.univ-st-etienne.fr/∼grekos/
Manuscrit re¸cu le 9 janvier 2006.
