SKEMA NUMERIK UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN BURGERS MENGGUNAKAN METODE CUBIC B-SPLINE QUASI-INTERPOLANT DAN MULTI-NODE HIGHER ORDER EXPANSIONS

SKEMA NUMERIK UNTUK MENYELESAIKAN

PERSAMAAN BURGERS’ MENGGUNAKAN METODE

CUBIC B-SPLINE QUASI-INTERPOLANT DAN

MULTI-NODE HIGHER ORDER EXPANSIONS

(Kata kunci:persamaan burgers’, metode numerik, cubic B-spline, quasi-interpolant, higher order expansions)

PRESENTASI TUGAS AKHIR – KI091391

Penyusun Tugas Akhir :

Nafanisya Desdemona Mulia

(NRP : 5107.100.124)

Dosen Pembimbing :

1.

Persamaan Burgers’ merupakan persamaan differensial parsial fundamental dari mekanika fluida. Sampai saat ini, belum ada solusi yang tepat untuk menyelesaikan persamaan Burgers’ ketika koefisien viskositasnya bernilai kecil.

2.

Sebelumnya telah dikembangkan metode numerik menggunakan teknik quasi-interpolant dengan Multiquadratics dan cubic B-spline quasi-interpolant.

3.

Untuk mendapatkan solusi yang tepat, dibangun sebuah skema numerik menggunakan teknik quasi-interpolant dengan cubic B-spline serta Multi-node Higher Order Expansions untuk mendapatkan solusi terbaik dalam memecahkan persamaan Burgers’.

1.

Bagaimana metode untuk memecahkan persamaan Burgers’ yang menghasilkan tingkat keakuratan yang tinggi untuk segala kondisi?

2.

Bagaimana merancang sistem yang sesuai dengan metode yang digunakan?

1.

Simulasi eksperimen dilakukan menggunakan Matlab 7.6.

2.

Persamaan yang digunakan adalah persamaan Burgers’ dalam bentuk umum.

3.

Tingkat keakuratan metode dihitung berdasarkan perhitungan error pada dua buah metode yang dibandingkan.

4.

Perhitungan solusi persamaan Burgers’ hanya untuk bilangan Reynold (R) yang bernilai 1, 10, dan 100.

5.

Perhitungan solusi persamaan Burgers’ dengan nilai h ≥ 0.1.

1.

Membangun sebuah skema baru menggunakan metode Cubic B-Spline Quasi-Interpolant dan Multi-node higher order expansion untuk memecahkan persamaan Burgers’ dengan tingkat akurasi yang tinggi.

2.

Membangun sebuah aplikasi dengan mengimplementasikan skema baru untuk memecahkan persamaan Burgers’

GAMBARAN UMUM APLIKASI (1)

Initial condition dan boundary condition

Domain waktu (t), jarak antar node ruang (h), dan jarak antar node waktu (ԏ)

Solusi persamaan Burgers’

u(x_i ,t_k)

• Boundary condition dan initial condition yang digunakan pada

aplikasi ini ada tiga macam, yaitu example 1, example 2, dan example 3.

• Ada tiga buah solusi yang digunakan dalam aplikasi ini, yaitu

solusi eksak, solusi numerik dengan metode cubic B-spline quasi-interpolant dan multi-node higher order expansions (metode numerik 1), dan solusi numerik dengan metode exact-explicite finite difference (metode numerik 2), sebagai solusi pembanding.

Diskritisasi domain ialah proses pendiskritan ruang (x) dan waktu (t) menjadi node-node, sehingga persamaan Burgers’ dapat diselesaikan dengan model perhitungan diskrit.

DISKRITISASI DOMAIN

)

,

( t

x

u

x



t



x

t

h

x











t

DISKRITISASI DOMAIN

x , t , h , ԏ n = x /h K = t /ԏ x_i= i * h (i = 0, 1, 2, ..., n) t_k= k * ԏ (k = 0, 1, 2, ..., K)

B-spline quasi-interpolant Cubic B-spline quasi-interpolant

Modifikasi cubic B-spline quasi-interpolant

dengan multi-node higher order expansions

METODE NUMERIK 1 (1)

Inisialisasi matriks D₁ dan D₂

Skema numerik dengan cubic B-spline quasi-interpolant

dan multi-node higher order expansions

Cubic B-pline quasi-interpolant dan multi-node higher order expansions

Skema numerik :

dimana ,

, dan adalah komponen

ke-(i + 1) dari vektor dan , dengan

METODE NUMERIK 1 (4)

 

_

k i k i t k i

u

u

u





1

 

 

 

k _xx i x k i k i t k i

u

u

v

u

u









 

k _x i

u

 

u

_ik _xx



ih

k





u

u

_ik



,

h

D

₁

u

k

_D

₂

_u

k

_h

2 (2-34) (2-35) SKEMA NUMERIK

METODE NUMERIK 2 (1)

Finite Difference Method adalah salah satu teknik numerik untuk mendekati solusi untuk persamaan diferensial menggunakan konsep persamaan beda hingga (finite difference equation) untuk perkiraan derivatif.

Metode exact-explicit finite difference disini dikembangkan dari metode finite difference dengan transformasi Hopf-Cole. Dimana formula solusi numerik dengan metode ini hampir sama dengan formula solusi eksak persamaan Burgers’.

METODE NUMERIK 2 (2)

Exact-explicit finite difference

Solusi numerik : dimana













   











 













 



1 2 0 1 2

2

sin

4

1

cos

2

sin

4

1

sin

2

)

,

(

s k i s k s i s k i

n

s

r

x

s

D

D

n

s

r

x

s

sD

v

t

x

u

















(2 ) 1 cos( )



d , exp 1 0 1 0 v x x D 







 









(2 ) 1 cos( )



cos( )d , 1 exp 2 1 0 1    



 k x x k x v D_s







n

i

K

k

,...,

1

,

0

,...,

1

,

0





a.

Masukan berupa example, nilai R, t, h, dan Ԏ.

b.

Uji coba memiliki tiga buah proses untuk example 1 dan 2, yaitu proses komputasi solusi eksak, solusi numerik 1, dan solusi numerik 2. Dan dua buah proses untuk example 3, yaitu proses komputasi solusi eksak dan solusi numerik 1.

UJI COBA 1 (1)

Example

1

R

= 1

t

= 0.1

Ԏ

= 0.00001

h

= 0.05

Kurva

UJI COBA 1 (2)

t x 0 0.05 0.1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5 1 1 1 0.6091 0.6091 0.6097 0.3716 0.3716 0.3723

1 1.2E-16 0 0 7.9E-17 0 0 4.8E-17 0 0

║e║1 - 4.9E-13 2.8E-12 - 2.96E-5 9.41E-4 - 4.14E-5 0.0019

║e║2 - 3E-13 1.8E-12 - 1.20E-5 4.34E-4 - 9.62E-6 5.21E-4

Tabel Nilai

Keterangan : 1 : Solusi eksak _║e_║: nilai error

2 : Solusi numerik 1 3 : Solusi numerik 2

UJI COBA 1 (3)

Ketiga kurva yang dihasilkan berbentuk sama, yang berarti hasil dari kedua solusi numerik tidak jauh berbeda dengan hasil solusi eksak. Nilai yang dihasilkan oleh solusi numerik 1 lebih tepat sama dibandingkan dengan solusi numerik 2.

Berdasarkan nilai error yang dihasilkan kedua metode, metode numerik 1 memiliki tingkat akurasi yang lebih tinggi dibandingkan dengan metode numerik 2.

Berdasarkan selisih error secara keseluruhan dari kedua metode,

UJI COBA 2 (1)

Example

2

R

= 1

t

= 0.1

Ԏ

= 0.00001

h

= 0.0125

Kurva

UJI COBA 2 (2)

Tabel Nilai

t x 0 0.05 0.1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5 1 1 1 0.6281 0.6281 0.6281 0.3834 0.3834 0.3835

1 1.6E-16 0 0 8.2E-17 0 0 5E-17 0 0

║e║1 - 8.85E-6 3.8E-14 - 2.54E-5 4.07E-5 - 4.80E-5 7.74E-5

║e║2 - 2.43E-6 2E-14 - 1.09E-5 1.77E-5 - 1.31E-5 2.12E-5

Keterangan : 1 : Solusi eksak _║e_║: nilai error

UJI COBA 2 (3)

Hasil Analisis

Ketiga kurva yang dihasilkan berbentuk sama, yang berarti hasil dari kedua solusi numerik tidak jauh berbeda dengan hasil solusi eksak. Nilai yang dihasilkan oleh solusi numerik 1 lebih tepat sama dibandingkan dengan solusi numerik 2.

Berdasarkan nilai error yang dihasilkan kedua metode, metode numerik 1 memiliki tingkat akurasi yang lebih tinggi dibandingkan dengan metode numerik 2 ketika t > 0.

Berdasarkan selisih error secara keseluruhan untuk t > 0 dari kedua metode, metode numerik 1 bisa mereduksi error metode numerik 2 sebesar 38%.

UJI COBA 3 (1)

Example

3

R

= 100

t

= 1

Ԏ

= 0.001

h

= 0.025

Kurva

UJI COBA 3 (2)

Tabel Nilai

t x 0 0.5 1 1 2 1 2 1 2 0 0.9946 1 1 1 1 1 0.5 0.2 0.2 0.2379 0.238 0.9999 0.9999 1 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 ║e║1 9.64E-4 0.0015 0.0017 ║e║1 0.0012 0.0026 0.0029

Keterangan : 1 : Solusi eksak _║e_║: nilai error

UJI COBA 3 (3)

Kedua kurva yang dihasilkan berbentuk sama, yang berarti hasil dari solusi numerik 1 tidak jauh berbeda dengan hasil solusi eksak.

Berdasarkan tabel, nilai yang dihasilkan oleh solusi numerik 1 tidak semua tepat sama dengan nilai yang dihasilkan solusi eksak.

Berdasarkan nilai error yang dihasilkan oleh metode numerik 1, dapat disimpulkan bahwa metode numerik 1 untuk example 3 memiliki tingkat akurasi yang rendah dibandingkan dengan metode numerik 1 untuk example 1 dan 2.

a.

Pemilihan nilai h dan τ berpengaruh terhadap solusi aproksimasi yang dihasilkan. Semakin kecil jarak diskritisasi ruang (h) yang digunakan, aproksimasi yang dihasilkan semakin mendekati nilai solusi eksak dan kurva yang dihasilkan akan semakin halus. Begitu pula jarak diskritisasi waktu yang digunakan (τ), semakin kecil τ

yang digunakan maka kurva yang terbentuk semakin stabil. Pada uji coba dapat dilihat bahwa skenario yang menghasilkan solusi aproksimasi terbaik didapatkan dari nilai skenario pertama dengan

example 1 serta nilai h = 0.05, t = 0.1, τ = 0.00001, dan R = 1.

b.

Semakin besar nilai R yang diberikan, maka akan mempengaruhi bentuk kurva serta tingkat akurasi yang dihasilkan.

c.

Boundary condition dan intial condition mempengaruhi solusi yang dihasilkan. Menurut hasil uji coba, boundary condition dan

intial condition pada example 1 memiliki tingkat akurasi yang lebih tinggi.

d.

Metode cubic B-spline quasi-interpolant dan multi-node higher order expansions menghasilkan tingkat akurasi yang lebih tinggi dibandingkan dengan metode exact-explicit finite difference.

METODE NUMERIK 1 (2)

-25/12 48/12 -36/12 16/12 -3/12 0 0 ... 0 -3/12 -10/12 18/12 -6/12 1/12 0 0 ... 0 7/144 -71/144 -50/144 146/144 -37/144 5/144 0 ... 0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... 0 ... 0 7/144 -71/144 -50/144 146/144 -37/144 5/144 0 ... 0 0 7/144 -71/144 -50/144 141/144 -27/144 INISIALISASI MATRIKS D₁

35/12 -104/12 114/12 -56/12 11/12 0 0 ... 0 11/12 -20/12 6/12 4/12 -1/12 0 0 ... 0 -3/24 37/24 -70/24 42/24 -7/24 1/24 0 ... 0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... 0 ... 0 -3/24 37/24 -70/24 42/24 -7/24 1/24 0 ... 0 0 -3/24 37/24 -70/24 41/24 -5/24 0 ... 0 0 0 -1/12 16/12 -29/12 14/12

METODE NUMERIK 1 (3)

INISIALISASI MATRIKS D₂