TAP.COM - TEORI ANTRIAN. Teori Antrian

(1)

Pendahuluan

Teori Antrian

Prihantoosa

pht854@yahoo.com

(2)

http://openstat.wordpress.com Teori Antrian : Intro _{p : 2}

Tujuan

● Tujuan : Meneliti kegiatan dan fasilitas pelayanan dalam

rangkaian kondisi acak dari suatu sistem antrian yang terjadi

● Tinjauan pengukuran logis :

– _{Berapa lama pelanggan harus menunggu sebelum akhirnya}

mendapatkan pelayanan

– _{Berapa persenkah dari waktu yang disediakan untuk}

memberikan pelayanan suatu fasilitas pelayanan dalam kondisi menganggur/iddle

● Elemen dasar : Pelanggan dan Pelayan

● Waktu pelayanan harus dapat dihitung, kemudian waktu

(3)

Garis tunggu atau

antrian

Fasilitas

pelayanan

Struktur Sistem Antrian

1

2

3

n

Sistem antrian

Pelanggan

masuk ke

dalam sistem

antrian

(4)

Kejadian Antrian

● Kendaraan yang menunggu jalan di trafic light ● Pembeli yang antri di kasir supermarket

● Pasien yang sedang menunggu di periksa di klinik

(5)

Faktor Sistem Antrian

● Distribusi Kedatangan

● Distribusi Waktu Pelayanan ● Fasilitas Pelayanan

● Disiplin Pelayanan

(6)

Faktor Sistem Antrian (2)

● Distribusi Kedatangan

– _{Kedatangan secara individu (single arrivals)}

– _{Kedatangan secara berkelompok (bulk arrivals)}

● Distribusi waktu pelayanan

– _{Pelayanan secara individual (single services)}

– _{Pelayanan secara kelompok (bulk services)}

● Fasilitas Pelayanan

– _{Bentuk series}_{dalam satu garis lurus atau garis melingkar} – _{Bentuk paralel}_{dalam beberapa garis lurus yang sejajar}

– _{Bentuk jaringan/network station}_{yang dapat di desain secara} series dengan pelayanan lebih dari satu pada setiap stasiun

(7)

Proses Antrian

● Masukan (Input) :

– _{Pola kedatangan yang dapat dinyatakan dalam distribusi}

peluang seperti poisson dan eksponensial

– _{Pola kedatangan yang tidak dapat dinyatakan dalam}

distribusi peluang

● Keluaran (Output) :

– _{Setelah mendapatkan pelayanan dengan baik, pelanggan}

akan segera meninggalkan fasilitas pelayanan

– _{Proses pelayanan pada umumnya menggunakan distribusi}

(8)

(9)

Notasi Dalam Sistem Antrian

● n = jumlah pelanggan dalam sistem

● Pn = probabilitas kepastian n pelanggan dalam sistem

● λ = jumlah rata-rata pelanggan yang datang per satuan

waktu

● μ = jumlah rata-rata pelanggan yang dilayani per satuan

waktu

● Po = probabilitas tidak ada pelanggan dalam sistem

● P = tingkat intensitas fasilitas pelayanan

● L = jumlah rata-rata pelanggan yang diharapkan dalam

sistem

● Lq = jumlah pelanggan yang diharapkan menunggu dalam

sistem

● W = waktu yang diharapkan oleh pelanggan selama dalam

sistem

● Wq = waktu yang diharapkan oleh pelanggan selama

menunggu dalam antrian

● 1/ μ = waktu rata-rata pelayanan

● 1/ λ = waktu rata-rata antar kedatangan

(10)

Single Channel Model

(M/M/1)

● M pertama: rata-rata kedatangan yang mengikuti

distribusi probabilitas Poisson

● M kedua: tingkat pelayanan yang mengikuti distribusi

probabilitas Poisson

● 1: jumlah fasilitas pelayanan dalam sistem atau satu

(11)

Asumsi M/M/1

● Populasi input tidak terbatas

● Distribusi kedatangan pelanggan potensial mengikuti

distribusi Poisson

● Disiplin pelayanan mengikuti pedoman FCFS ● Fasilitas pelayanan terdiri dari saluran tunggal

● Distribusi pelayanan mengikuti distribusi Poisson (λ <

μ)

(12)

Contoh Soal

UD ABC mengoperasikan satu buah pompa bensin

dengan satu orang pekerja yaitu Ali. Rata-rata tingkat kedatangan kendaraan mengikuti distribusi Poisson

yaitu 20 kendaraan/jam. Ali dapat melayani rata-rata 25 kendaraan/jam. Jika diasumsikan model sistem antrian yang digunakan adalah M/M/1, hitunglah:

1) Tingkat intensitas (kegunaan) pelayanan

2) Jumlah rata-rata kendaraan yang diharapkan dalam sistem

3) Jumlah kendaraan yang diharapkan menunggu dalam antrian

4) Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan selama dalam sistem (menunggu pelayanan)

(13)

Jawaban Soal

Diketahui: λ = 20, μ = 25

p = λ / μ = 20/25 = 0.80

Bahwa Ali akan sibuk melayani kendaraan

selama 80% dari waktunya, sedangkan

20% dari waktunya (1-p) untuk istirahat

L = λ / (μ – λ) = 20 / (25-20) = 4, atau

L = p / (1-p) = 0.80 / (1-0.80) = 4

(14)

Lq = λ

2

/ μ (μ – λ) = (20)

2

/ 25(25-20) = 3.2

Jadi kendaraan yang menunggu untuk dilayani

dalam antrian sebanyak 3.2 kendaraan

W = 1 / (μ – λ) = 1 / (25-20) = 0.2 jam atau 12 menit

Jadi waktu rata-rata kendaraan menunggu dalam

sistem selama 12 menit

Wq = λ / μ (μ – λ) = 20 / 25(25-20) = 0.16 jam atau

9.6 menit

J

adi waktu rata-rata kendaraan menunggu dalam

(15)

Pelayanan Tunggal (Single Server)

(M / M / 1) ; ( GD / ∞ /∞ )

Unlimited Queue

First Come First Serve Distribusi Poisson

For Arrival

Distribusi Poisson/Expo

For Service Single Server

● Asumsi : Tidak ada hubungan/ketergantungan antara proses

kedatangan dengan proses layanan

● Notasi : λ rasio kedatangan (banyak antrian / waktu); µ rasio

layanan (banyak yang sedang antri / waktu ); ρ utilisasi

(16)

Pr : Prob. Sistem dalam keadaan sibuk (ρ)

Po : Prob. Sistem dalam keadaan idle (Po = 1-Pr) Pn : Prob ada n pelanggan dalam sistem

Ls : Jumlah yang diharapkan berada di dalam sistem (queue & serve) = /−

Lq : Jumlah yang diharapkan dalam antrian = 2

/ −

Ws : Expected time dalam sistem = 1/−

Wq : Expected time dalam queue = /−

Wn : Expected time dalam queue untuk non empty queue =

1/−

Ln : Expected number dalam queue = /−

(17)

Latihan Soal

● Sebuah Airport dapat menerima 2 pesawat dalam kurun

waktu 3 menit dengan variasi mengikuti distribusi poisson. Rata-rata waktu tunggu mempunyai distribusi exponential sebesar 5 menit

– _{Berapa rata-rata waktu antar kedatangan pesawat ?}

– _{Berapa peluang sistem dalam keadaan sibuk guna melayani}

pesawat-2 tersebut ?

– _{Berapa jumlah rata-rata pesawat yang dapat dilayani dalam}

(18)

(19)

Tab A. 8.1 Waktu Antar Kedatangan

(menit)

Customer Antar Kedatangan Jam Waktu Kedatangan

1 0 0

2 2 2

3 4 6

4 1 7

5 2 9

(20)

[image:20.720.166.564.176.404.2]

Tabel A. 8.2 Waktu Service (menit)

Customer

Waktu Pelayanan

1

2

1

3

4

2

5

1

(21)

[image:21.720.36.707.175.505.2]

Tabel A.8.3 Hasil Simulasi

Nomor Customer Waktu Kedatangan (Jam) Awal Pelayanan (Jam) Waktu Pelayanan (durasi) Akhir Pelayanan (Jam)

1 0 0 2 2

2 2 2 1 3

3 6 6 3 9

4 7 9 2 11

5 9 11 1 12

(22)

Tabel A.8.4 Kronologis Urutan

Kejadian

Tipe Kejadian Nomor Pelanggan Waktu (Jam)

Kedatangan 1 0

Keberangkatan 1 2

Kedatangan 2 2

Keberangkatan 2 3

Kedatangan 3 6

Kedatangan 4 7

Keberangkatan 3 9

Kedatangan 5 9

Keberangkatan 4 11

Keberangkatan 5 12

Kedatangan 6 15

(23)

Contoh 1. Antrian

•

Perusahaan A sedang mencoba menentukan

rata-rata customer menunggu dalam sistem , jika

customer rata-rata menunggu lebih dari 10

(24)

[image:24.720.165.562.175.382.2]

Tabel 8.6 Waktu Kedatangan

Waktu Antar Kedatangan

Probability (Frequensi)

0 0.10

1 0.35

2 0.25

3 0.15

4 0.10

(25)

[image:25.720.162.563.203.396.2]

Tabel 8.5 Waktu Pelayanan

Waktu Pelayanan Probabilitas Frequensi

0 0.00

1 0.25

2 0.20

3 0.40

(26)

[image:26.720.13.699.174.418.2]

Tabel A.8.7 Interval Bilangan Acak

Kedatangan Pelayanan Antar Kedatangan Kumulatif Probablitas Interval Bilangan Acak Waktu Pelayanan Kumulatif Probablitas Interval Bilangan Acak

0 0.10 1 - 10 0 0.00

-1 0.45 11 - 45 1 0.25 1 - 25

2 0.70 46 - 70 2 0.45 26 - 45

3 0.85 71 - 85 3 0.85 46 - 85

4 0.95 86 - 95 4 1.00 86 - 99

(27)

Bilangan acak untuk service dan

kedatangan

No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Pely 52 37 82 69 98 96 33 50 88 90 50 27 45 81 66

(28)

Pertanyaan

(29)

[image:29.720.22.668.85.484.2]

Penyelesaian :

Tabel A. 8.8 Antar Kedatangan dan Waktu

Pelayanan

No. Cust Bil Acak Kedatangan Antar Kedatangan Bil Acak Service Waktu Service

1 50 2 52 3

2 28 1 37 2

3 68 2 82 3

4 36 1 69 3

5 90 4 98 4

6 62 2 96 4

7 27 1 33 2

8 50 2 50 3

9 18 1 88 4

10 36 1 90 4

11 61 2 50 3

12 21 1 27 2

13 46 2 45 2

14 01 0 81 3

(30)

[image:30.720.24.699.88.504.2]

Tabel A. 8.9 Perhitungan Antrian

No. Cust Antar Kedatangan Waktu Ke- datangan Waktu Service Awal Service Akhir Service Waktu Tunggu Waktu dlm sistem Waktu Idle

1 2 9.02 3 9.02 9.05 0 3 2

2 1 9.03 2 9.05 9.07 2 4 0

3 2 9.05 3 9.07 9.10 2 5 0

4 1 9.07 3 9.10 9.13 4 7 0

5 4 9.10 4 9.13 9.17 3 7 0

6 2 9.12 4 9.17 9.21 5 9 0

7 1 9.13 2 9.21 9.23 8 10 0

8 2 9.15 3 9.23 9.26 8 11 0

9 1 9.16 4 9.26 9.30 10 14 0

10 1 9.17 4 9.30 9.34 13 17 0

11 2 9.19 3 9.34 9.37 15 18 0

12 1 9.20 2 9.37 9.39 17 19 0

13 2 9.22 2 9.39 9.41 17 19 0

14 0 9.22 3 9.41 9.44 19 21 0

15 1 9.23 3 9.44 9.47 21 124 0

(31)

Perhitungan

Rata-rata waktu menunggu :

162 / 15 = 10,7 menit

Maka perlu menambah kasir

Customer yang dapat bonus :

(32)

Rangkuman

● Setiap masalah antrian diuraikan dalam 3 karateristik,

yaitu : kedatangan , antrian dan pelayanan

● Mensimulasikan sistem antrian dengan metode Monte