REPRESENTASI POHON DARI GRAF KORDAL BIPARTISI

(1)

REPRESENTASI POHON DARI GRAF KORDAL BIPARTISI

TESIS

Oleh

DIAN YULIS WULANDARI 137021031/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2015

(2)

REPRESENTASI POHON DARI GRAF KORDAL BIPARTISI

T E S I S

Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat

untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Sumatera Utara

Oleh

MEDAN 2015

(3)

Judul Tesis : REPRESENTASI POHON DARI GRAF KORDAL BIPARTISI

Nama Mahasiswa : Dian Yulis Wulandari Nomor Pokok : 137021031

Program Studi : Magister Matematika

Menyetujui, Komisi Pembimbing

(Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc) (Dr. Mardiningsih, M.Si)

Ketua Anggota

Ketua Program Studi Dekan

(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Sutarman, M.Sc)

Tanggal lulus : 16 Desember 2015

(4)

Telah diuji pada

Tanggal : 16 Desember 2015

PANITIA PENGUJI TESIS

Ketua : Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc Anggota : 1. Dr. Mardiningsih, M.Si

2. Prof. Dr. Tulus, M.Si

3. Prof. Dr. Muhammad Zarlis

(5)

PERNYATAAN

REPRESENTASI POHON DARI GRAF KORDAL BIPARTISI

TESIS

Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya

Medan, 16 Desember 2015 Penulis,

Dian Yulis Wulandari

i

(6)

ABSTRAK

Graf kordal dahulu lebih dikenal dengan nama rigid-circuit graphs dan triangu- lated graphs. Sebuah graf dikatakan graf kordal jika panjang lingkaran dari graf tersebut lebih besar atau sama dengan 4 (empat) dan graf tersebut haruslah chord.

Pengkarakteristikan graf kordal sangatlah banyak, salah satunya graf kordal bipar- tisi. Graf kordal bipartisi adalah graf dengan panjang cycle lebih besar atau sama dengan 6 (enam). Graf tersebut haruslah chord dan memiliki sisi pemisah.

Pada penelitian ini penulis mendeskripsikan graf kordal bipartisi yang direpresentasikan menjadi graf pohon dengan mengembangkan algoritma F ÃNIC Ã GAVRIL. Pertama penulis menentukan terlebih dahulu graf kordal yang juga merupakan graf kordal bipartisi. Selanjutnya graf kordal bipartisi dengan bantuan colouring graph penulis bipartisikan dengan mempertimbangkan clique pada graf tersebut. Kemudian graf kordal bipartisi direpresentasikan menjadi graf pohon dengan bantuan algoritma F ÃNIC ˜A GAVRIL. Penentuan clique dan keterhubungan antara clique yang satu dengan yang lain sangatlah penting dalam merepresen- tasikan graf kordal bipartisi karena dari keterhubungan clique pada graf kordal dapat di bentuk menjadi representasi pohon.

Kata kunci : Representasi pohon dari graf, Graf kordal, Graf kordal bipartisi

(7)

ABSTRACT

Chordal graph formerly better known as rigid-circuit graphs and triangulated graphs.

A graph is chordal graphs iff everi cycle of length four and greater has a cycle chord.

characterizing chordal graphs very much, one of which is a chordal bipartite graphs.

Chordal bipartite graphs is a graph with a cycle length of greater than or equal to 6 (six). The graph should chord and has separator side.

In this study, the authors describe the graph represented chordal bipartite graphs which represented into a tree graph with developing F ˜ANIC ˜A GAVRIL al- gorithms. First, the author to determine chordal graph as chordal bipartite graphs.

Then chordal bipartite graph with the help of colouring graph bipartited taking into account the clique in the graph. So that chordal bipartite graphs represented into a tree with the help of algorithms F ˜ANIC ˜A GAVRIL. Determination clique and connectedness between the clique with each other is very important to represented chordal bipartite graphs because of connectedness can be shape to the tree represen- tation.

Keyword: Tree representation of graphs, Chordal graphs, Chordal bipartite graphs

iii

(8)

KATA PENGANTAR

Ucapan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan berkat dan rahmat-NYA sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis yang berjudul ”REPRESENTASI POHON DARI GRAF KORDAL BIPAR- TISI”. Tesis ini merupakan salah satu syarat untuk menyelesaikan studi pada Program Studi Magister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara.

Pada kesempatan ini, penulis ingin menyampaikan terimakasih kepada : Ibunda Yuli Farida Wahyuni dan Ayahanda Karyadi SP, orang tua yang men- curahkan seluruh kasih sayang dan dukungan kepada penulis. Orang tua yang penulis kagumi dan cintai, yang telah memberi tauladan, membimbing, menga- jarkan kesabaran, kerendahan hati dan selalu bersyukur dalam menghadapi kehidu- pan ini, serta senantiasa memanjatkan doa yang tulus dan ikhlas bagi keberhasilan anak-anaknya.

Tiada kata terucap selain syukur juga penulis ucapkan kepada saudari kandung penulis atas kesediaan yang dengan ikhlas selalu memberikan dukungan mo- ril, memberikan nasehat, serta selalu mendo’akan, yakni Ayu Karmila, ST dan seluruh keluarga besar yang telah memberikan dukungan dan perhatian.

Pada kesempatan ini, penulis menyampaikan terimakasih sebesar-besarnya kepada: Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara.

Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara.

Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Ma- tematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara.

Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Magister Ma- tematika FMIPA USU dan selaku Pembimbing Utama yang telah banyak mem-

(9)

berikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini.

Dr. Mardiningsih, M.Si selaku Pembimbing Kedua yang telah banyak mem- berikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini.

Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan.

Kak Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan pelayanan yang baik kepada penulis selama mengikuti perkuliahan. Seluruh rekan-rekan Mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA USU tahun 2013 genap (Bang Julham (Ayah), Kak Aida, Kak Mei, Kak Ayu, Amora, Kristin, Nina) yang telah memberikan bantuan moril dan dorongan kepada penulis dalam penulisan tesis ini. Semua pihak yang telah banyak membantu, baik langsung maupun tidak langsung yang tidak dapat penulis sebutkan namanya satu persatu, hanya Tuhan yang mampu memberikan balasan terbaik. Mudah-mudahan tesis ini dapat memberi sumbangan yang berharga bagi perkembangan dunia ilmu dan bermanfaat bagi orang banyak.

Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna, untuk itu penulis mengharapkan kritik saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukannya.

Terima kasih.

Dian Yulis Wulandari

v

(10)

RIWAYAT HIDUP

Dian Yulis Wulandari, Lahir di Sawit Hulu tanggal 13 Juli 1991. Merupakan anak kedua dari pasangan ibu Yuli Farida Wahyuni dan Bapak Karyadi SP. Memili- ki seorang saudari kandung bernama Ayu Karmila ST (Mbak). Pertama sekali mengenyam pendidikan tahun 1994 di TK Nusa Indah Sawit Hulu. Dilanjutkan pendidikan formal di SDN 054608 Sawit Hulu pada tahun 1997, SLTP Negeri 1 Sawit Seberang pada tahun 2003, dan SMA Negeri 1 Padang Tualang pada tahun 2006. Minat akan ilmu eksak dan bakat mengajar hingga menyukai anak kecil sudah terlihat sejak SMA. Selesai mengenyam pendidikan SMA tahun 2009 penulis sama sekali tak tau akan melajut pendidikan tingkat kuliah di jurusan apa, sehingga melalui perundingan dengan orang tua dan pertimbangan nilai rapor selama mengikuti pendidikan formal penulis melanjutkan studi di Pendidikan Matematika FKIP UISU Medan. Ketertarikan penulis pada ilmu eksak semakin meningkat, tahun 2013 penulis melanjutkan pendidikan pada Program Studi Magister (S-2) Matematika Universitas Sumatera. Berawal dari kesukaan penulis kepada anak- anak hingga membantu mereka mengerjakan tugas-tugas sekolah merupakan awal ketertarikan penulis untuk terjun ke dunia pendidikan dan bertekad menjadi seorang pengajar sekaligus menjadi regenerasi bagi ibu penulis. Semoga niat baik menjadi tenaga pengajar mampu membantu khalayak ramai dan bermanafaat.

Amin.

(11)

DAFTAR ISI

Halaman

PERNYATAAN i

ABSTRAK ii

ABSTRACT iii

KATA PENGANTAR iv

RIWAYAT HIDUP vi

DAFTAR ISI vii

DAFTAR GAMBAR x

BAB 1 PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 3

1.3 Tujuan Penelitian 3

1.4 Manfaat Penelitian 3

1.5 Metode Penelitian 4

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 5

2.1 Graf 5

2.1.1 Jenis-jenis Graf 7

2.2 Pohon dan Hutan 13

2.3 Pohon Merentang (Spanning Tree) 15

BAB 3 ANALISA GRAF KORDAL 18

3.1 Graf Kordal sebagai Irisan Graf 19

3.2 Graf Kordal Bipartisi 21

vii

(12)

3.3 Pewarnaan Graf (Colouring Graph) 24 BAB 4 MENENTUKAN REPRESENTASI POHON DARI GRAF KORDAL

BIPARTISI 26

4.1 Analisa Algoritma 27

4.2 Representasi Pohon dari Graf Kordal Bipartisi 32

BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN 38

5.1 Kesimpulan 38

5.2 Saran 38

DAFTAR PUSTAKA 39

(13)

DAFTAR GAMBAR

Nomor Judul Halaman

2.1 (a) Graf Sederhana, (b) Graf Ganda, (c) Graf Semu 6

2.2 Graf berhingga 8

2.3 Graf tak berhingga 8

2.4 Graf berarah 9

2.5 Graf lengkap Kn, 1 ≤ n ≤ 6 9

2.6 Graf lingkar Cn, 3 ≤ n ≤ 68 10

2.7 Graf teratur derajat 0, 1, dan 2 10

2.8 Dua graf 3-bipartisi 10

2.9 Tiga gambar dari graf bipartisi K3,3= K₃² 11

2.10 Graf bipartit G(V1, V2) 12

2.11 Graf tak-berarah tidak terhubung 12

2.12 (a) Graf berarah terhubung kuat, (b) Graf berarah terhubung lemah 13

2.13 Graf Pohon 14

2.14 Graf lengkap G dan empat buah pohon merentangnya, T1, T2, T3, T4 16 2.15 Graf yang menyatakan jaringan jalur rel kereta api. Bobot pada setiap

sisi menyatakan panjang rel kereta api (× 100m) (b). Pohon merentang

yang mempunyai jumlah jarak minimum 17

3.1 Graf kordal (sumber, Wikipedia) 18

3.2 Graf kordal dan dua representasi pohon (Sumber, Mckee dan Mcmorris,

2006) 19

ix

(14)

3.3 Clique pada graf 20 3.4 Perfect elimination bipartite graph yang tidak mengandung kordal. (Sum-

ber: Golumbic, 1978) 22

3.5 Graf C6, 3K2, C8 24

4.1 (a) Graf kordal G dan (b) Representasi pohon dari graf kordal (Sumber:

F ˜ANIC ˜A GAVRIL, 1974) 27

4.2 Irisan graf subpohon dari pohon adalah graf kordal. 32

4.4 Graf Kordal Bipartisi dengan Colouring Graph pada clique 34

4.5 Hasil bipartisi dari Clique 35

4.6 Representasi pohon dari graf kordal bipartisi 35

4.7 Pembagian Clique dengan Colouring Graph 36

4.8 (a) dan (b) hasil representasi pohon dari graf kordal bipartisi 37

(15)

REPRESENTASI POHON DARI GRAF KORDAL BIPARTISI

T E S I S

Oleh

MEDAN 2015

(16)

(17)

REPRESENTASI POHON DARI GRAF KORDAL BIPARTISI

TESIS

Oleh

MEDAN 2015

(18)

REPRESENTASI POHON DARI GRAF KORDAL BIPARTISI

T E S I S

Oleh

MEDAN 2015

(19)

(20)

Telah diuji pada

Tanggal : 16 Desember 2015

PANITIA PENGUJI TESIS

Ketua : Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc Anggota : 1. Dr. Mardiningsih, M.Si

2. Prof. Dr. Tulus, M.Si

3. Prof. Dr. Muhammad Zarlis

(21)

berikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini.

Dr. Mardiningsih, M.Si selaku Pembimbing Kedua yang telah banyak mem- berikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini.

Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan.

Kak Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan pelayanan yang baik kepada penulis selama mengikuti perkuliahan. Seluruh rekan-rekan Mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA USU tahun 2013 genap (Bang Julham (Ayah), Kak Aida, Kak Mei, Kak Ayu, Amora, Kristin, Nina) yang telah memberikan bantuan moril dan dorongan kepada penulis dalam penulisan tesis ini. Semua pihak yang telah banyak membantu, baik langsung maupun tidak langsung yang tidak dapat penulis sebutkan namanya satu persatu, hanya Tuhan yang mampu memberikan balasan terbaik. Mudah-mudahan tesis ini dapat memberi sumbangan yang berharga bagi perkembangan dunia ilmu dan bermanfaat bagi orang banyak.

Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna, untuk itu penulis mengharapkan kritik saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukannya.

Terima kasih.

Dian Yulis Wulandari

v

(22)

RIWAYAT HIDUP

Dian Yulis Wulandari, Lahir di Sawit Hulu tanggal 13 Juli 1991. Merupakan anak kedua dari pasangan ibu Yuli Farida Wahyuni dan Bapak Karyadi SP. Memili- ki seorang saudari kandung bernama Ayu Karmila ST (Mbak). Pertama sekali mengenyam pendidikan tahun 1994 di TK Nusa Indah Sawit Hulu. Dilanjutkan pendidikan formal di SDN 054608 Sawit Hulu pada tahun 1997, SLTP Negeri 1 Sawit Seberang pada tahun 2003, dan SMA Negeri 1 Padang Tualang pada tahun 2006. Minat akan ilmu eksak dan bakat mengajar hingga menyukai anak kecil sudah terlihat sejak SMA. Selesai mengenyam pendidikan SMA tahun 2009 penulis sama sekali tak tau akan melajut pendidikan tingkat kuliah di jurusan apa, sehingga melalui perundingan dengan orang tua dan pertimbangan nilai rapor selama mengikuti pendidikan formal penulis melanjutkan studi di Pendidikan Matematika FKIP UISU Medan. Ketertarikan penulis pada ilmu eksak semakin meningkat, tahun 2013 penulis melanjutkan pendidikan pada Program Studi Magister (S-2) Matematika Universitas Sumatera. Berawal dari kesukaan penulis kepada anak- anak hingga membantu mereka mengerjakan tugas-tugas sekolah merupakan awal ketertarikan penulis untuk terjun ke dunia pendidikan dan bertekad menjadi seorang pengajar sekaligus menjadi regenerasi bagi ibu penulis. Semoga niat baik menjadi tenaga pengajar mampu membantu khalayak ramai dan bermanafaat.

Amin.

(23)

DAFTAR ISI

Halaman

PERNYATAAN i

ABSTRAK ii

ABSTRACT iii

KATA PENGANTAR iv

RIWAYAT HIDUP vi

DAFTAR ISI vii

DAFTAR GAMBAR x

BAB 1 PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 3

1.3 Tujuan Penelitian 3

1.4 Manfaat Penelitian 3

1.5 Metode Penelitian 4

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 5

2.1 Graf 5

2.1.1 Jenis-jenis Graf 7

2.2 Pohon dan Hutan 13

2.3 Pohon Merentang (Spanning Tree) 15

BAB 3 ANALISA GRAF KORDAL 18

3.1 Graf Kordal sebagai Irisan Graf 19

vii

(24)

3.3 Pewarnaan Graf (Colouring Graph) 24 BAB 4 MENENTUKAN REPRESENTASI POHON DARI GRAF KORDAL

BIPARTISI 26

4.1 Analisa Algoritma 27

4.2 Representasi Pohon dari Graf Kordal Bipartisi 32

BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN 38

5.1 Kesimpulan 38

5.2 Saran 38

DAFTAR PUSTAKA 39

(25)

DAFTAR GAMBAR

Nomor Judul Halaman

2.1 (a) Graf Sederhana, (b) Graf Ganda, (c) Graf Semu 6

2.2 Graf berhingga 8

2.3 Graf tak berhingga 8

2.4 Graf berarah 9

2.5 Graf lengkap Kn, 1 ≤ n ≤ 6 9

2.6 Graf lingkar Cn, 3 ≤ n ≤ 68 10

2.7 Graf teratur derajat 0, 1, dan 2 10

2.8 Dua graf 3-bipartisi 10

2.9 Tiga gambar dari graf bipartisi K3,3= K₃² 11

2.10 Graf bipartit G(V1, V2) 12

2.11 Graf tak-berarah tidak terhubung 12

2.12 (a) Graf berarah terhubung kuat, (b) Graf berarah terhubung lemah 13

2.13 Graf Pohon 14

2.14 Graf lengkap G dan empat buah pohon merentangnya, T1, T2, T3, T4 16 2.15 Graf yang menyatakan jaringan jalur rel kereta api. Bobot pada setiap

sisi menyatakan panjang rel kereta api (× 100m) (b). Pohon merentang

yang mempunyai jumlah jarak minimum 17

3.1 Graf kordal (sumber, Wikipedia) 18

3.2 Graf kordal dan dua representasi pohon (Sumber, Mckee dan Mcmorris,

2006) 19

ix

(26)

3.3 Clique pada graf 20 3.4 Perfect elimination bipartite graph yang tidak mengandung kordal. (Sum-

ber: Golumbic, 1978) 22

3.5 Graf C6, 3K2, C8 24

4.1 (a) Graf kordal G dan (b) Representasi pohon dari graf kordal (Sumber:

F ˜ANIC ˜A GAVRIL, 1974) 27

4.2 Irisan graf subpohon dari pohon adalah graf kordal. 32

4.4 Graf Kordal Bipartisi dengan Colouring Graph pada clique 34

4.5 Hasil bipartisi dari Clique 35

4.6 Representasi pohon dari graf kordal bipartisi 35

4.7 Pembagian Clique dengan Colouring Graph 36

4.8 (a) dan (b) hasil representasi pohon dari graf kordal bipartisi 37

(27)

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Matematika sebagai ilmu dasar telah memberikan kemajuan yang begitu banyak dalam berbagai bidang. Teori graf merupakan salah satu cabang matematika yang turut memberikan andil dalam kemajuan tersebut. Teori graf ini sebenarnya telah dikenal lebih dari 250 tahun yang silam. Teori graf lahir pada tahun 1736 melalui tulisan euler yang berisi tentang upaya pemecahan masalah jembatan konisberg yang sangat terkenal di Eropa. Kurang lebih seratus tahun setelah lahirnya tulisan Euler tersebut tidak ada perkembangan yang sangat berarti berkenaan dengan teori graf. Tahun 1847, Kirchoff (1824-1887) berhasil mengem- bangkan teori pohon (Theory of trees) yang digunakan dalam persoalan jaringan listrik. Sepuluh tahun kemudian Cayley (1821-1895) juga menggunakan konsep pohon untuk menjelaskan permasalahan kimia yaitu hidrokarbon. Hal yang penting untuk dibicarakan sehubungan dengan teori graf adalah apa yang dikemukakan oleh Hamilton (1805-1865). Tahun 1859 berhasil menemukan suatu permainan yang kemudian dijualnya ke pabrik mainan di Dublin. Permainan tersebut dari kayu berbentuk dodecahedron beraturan yakni berupa sebuah pentagon beraturan dan tiap pojoknya dibentuk oleh tiga sisi berbeda. Tiap pojok dari em dedaca- hedron tersebut dipasangkan dengan sebuah kota terkenal seperti London, New York, Paris, dan lain-lain. Masalah dalam permainan ini adalah kita diminta un- tuk mencari suatu rute melalui sisi-sisi dari dodecahedron sehingga tiap kota dari 20 kota yang ada dapat dilalui tepat satu kali.

Ketertarikan dalam bidang graf dan aplikasinya belum berhenti sampai di- situ. Pada tahun 1958 Hajnal dan Suranyi membahas rigid-circuit graf atau tri- angulated graph yang sekarang lebih dikenal dengan sebutan graf kordal. Sebuah graf dikatakan graf kordal jika panjang lingkaran dari graf tersebut lebih besar atau sama dengan 4 (empat) dan graf tersebut haruslah chord. Chord adalah seg- men garis yang menghubungkan dua titik pada graf. Istilah ini sering digunakan untuk menggambarkan segmen garis yang titik akhirnya terletak pada lingkaran

1

(28)

2

graf tersebut. Istilah ini juga digunakan dalam teori graf, dimana sebuah chord lingkaran dari graf lingkaran adalah sisi yang tidak terletak di lingkaran namun titik akhir dari chord tersebut ada pada graf lingkaran (Mckee dan Mcmorris, 2006: 19).

Meskipun telah ada kegiatan yang cukup selama 1960-an, tidak sampai 1970 graf kordal telah dikarakteristikkan dalam irisan graf. Irisan graf adalah graf/pola yang mewakili irisan dari titik ataupun garis yang terdapat pada himpunan keluarga suatu graf. Setiap graf dapat direpresentasikan sebagai irisan graf. Irisan graf bertujuan mengelompokkan setiap himpunan yang memiliki kesamaan dalam suatu keadaan sehingga membentuk pola yang tercipta dari hasil kesamaan (irisan) itu sendiri. Kesamaan dalam suatu keadaan tersebutlah yang menjadikan irisan graf banyak digunakan untuk menyajikan permasalahan-permasalahan di dunia nyata. Selanjutnya, permasalahan tersebut akan dipecahkan dan diperoleh solusinya dengan cara matematis.

Nancy et al., (2006) berhasil mengembangkan graf kordal dengan merepre- sentasikan graf kordal menjadi graf pohon. Sebuah graf G dalam keluarga [4, d, t]

(Catatan: 4, d, t adalah derajat titik di graf G), jika terdapat pohon dengan dera- jat maksimum 4 dan subpohon yang bersesuaian ke titik-titik di G sehingga setiap subpohon yang mempunyai derajat yang paling maksimum d dan dua titik dari G dikatakan bertetangga jika dan hanya jika subpohon yang bersesuaian kepada yang memiliki setidaknya t umum titik.

Pada tahun 2006, Huang mulai membahas karakteristik dari graf kordal bi- partisi. Sebuah graf kordal dikatakan bipartisi jika dan hanya jika panjang cycle dari graf tersebut paling sedikit 6 (enam) dan haruslah mengandung chord. Dalam penelitiannya Huang menunjukkan bahwa graf bipartisi adalah graf kordal jika dan hanya jika komplemen adalah irisan graf keluarga yang memasangkan claws yang cocok dalam hypercircle yang berbobot (Hypercircle adalah graf yang terdiri dari titik internal yang menghubungkan path antara dua titik utama dan claw dalam hypercircle terhubung oleh tepat satu dari dua titik utama). Huang juga mem- perkenalkan dua kelas dari graf bipartisi, keduanya mengandung interval bigraf (graf bipartisi) dan interval pertahanan bigraf. Penelitiannya menunjukkan bahwa dua kelas tersebut untuk mengidentifikasi kelas kordal graf bipartisi.

(29)

3

Dalam penelitian ini penulis akan meneliti representasi pohon dari graf kordal bipartisi dengan cara mengembangkan model yang terlebih dahulu diperkenalkan oleh F ÃNIC ˜A GAVRIL. Penelitian ini terinspirasi dari tulisan N. Eaton et al ”Tree Representation of Graph” dan tulisan Jiang Huang ”Representation Characteri- zations of Chordal Bipartite Graph” yang pada dasarnya merupakan kombinasi dari keduanya. Hasil dari penelitian ini adalah representasi pohon yang diperoleh melalui pengembangan model oleh F ÃNIC Ã GAVRIL dari graf kordal bipartisi.

1.2 Perumusan Masalah

Graf kordal adalah graf yang mengandung lingkaran (Cycle) dengan panjang lingkaran lebih besar atau sama dengan 4 (empat). Seiring semakin berkembangnya teori graf, Nancy et al., pada tahun 2006 menemukan cara bagaimana merepresen- tasikan graf kordal menjadi graf pohon. Graf pohon merupakan graf yang tidak mengandung lingkaran (Cycle). Jelaslah bahwa graf kordal bertolak belakang de- ngan graf pohon. Namun Nancy et al., mampu membuktikannya. Huang pada tahun 2006 memperluas pengetahuan dengan membuat sebuah tulisan yang membahas karateristik dari graf kordal bipatisi. Berkaitan dengan hal-hal tersebut, peneliti akan membahas representasi pohon dari graf kordal bipartisi dengan mengembangkan algoritma yang terlebih dahulu telah diperkenalkan oleh F ˜ANIC ˜A GAVRIL.

1.3 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah merepresentasikan pohon dari graf kordal bipartisi dengan mengembangkan algoritma yang terlebih dahulu telah diperkenalkan oleh F ˜ANIC ˜A GAVRIL.

1.4 Manfaat Penelitian

Hasil penelitian ini diharapkan memberikan kontribusi dalam penyelesaian persoalan yang berhubungan dengan merepresentasikan pohon dari graf kordal bipartisi dengan mengembangkan algoritma yang terlebih dahulu telah diperkenalkan oleh F ˜ANIC ˜A GAVRIL.

(30)

4

1.5 Metode Penelitian

Penelitian yang dilakukan merupakan studi literatur dan kepustakaan untuk memberikan pemahaman tentang representasi pohon dari graf. Berikut adalah langkah-langkah yang akan dilakukan:

1. Mengumpulkan informasi dari literatur-literatur mengenai representasi pohon dari graf terutama graf kordal;

2. Mengumpulkan informasi dari referensi beberapa buku dan jurnal mengenai teori graf, Dimulai dengan penjelasan definisi pengertian graf, jenis-jenis graf, graf khusus yaitu graf pohon dan graf kordal;

3. Mengumpulkan informasi dari referensi beberapa buku dan jurnal mengenai graf kordal bipartisi. Dimulai dengan penjelasan defenisi graf kordal bipartisi, sifat-sifat graf kordal bipartisi, serta pembuktian beberapa teorema yang berhubungan dengan graf kordal bipartisi;

4. Mengembangkan representasi pohon dari graf kordal menjadi representasi pohon dari graf kordal bipartisi.

(a) Memaparkan persoalan secara konseptual yang disertakan pembuktian- nya;

(b) Memaparkan karakter-karakter khusus yang berkaitan dengan graf kordal bipartisi;

(c) Menganalisa algoritma yang akan dikembangkan untuk merepresentasikan pohon dari graf kordal bipartisi;

(d) Menyusun cara kerja dan langkah-langkah representasi graf kordal bipartisi menjadi graf pohon;

(e) Merepresentasikan graf kordal bipartisi menjadi graf pohon.

(31)

BAB 2

TINJAUAN PUSTAKA

Teori graf banyak digunakan dalam menyelesaikan permasalahan yang timbul di dunia nyata. Penggunaan graf dianggap bisa memodelkan masalah yang ada.

Hal ini menimbulkan ketertarikan untuk menggali dan meneliti lebih banyak lagi tentang graf. Pada dasarnya graf memiliki banyak hal yang bisa diteliti, seperti halnya graf-graf khusus yang berkaitan dengan titik, sisi, dan derajatnya. Salah satu graf khusus yang akan dibahas pada penelitian ini adalah graf kordal. Mckee dan Mcmorris secara khusus membahas graf kordal dalam bukunya yang berjudul Intersection Graph Teory (1999). Dalam bukunya tersebut dibahas mengenai ciri- ciri dan karakteristik dari graf kordal beserta aplikasinya.

2.1 Graf

Bahan utama yang digunakan pada pembahasan berikut diambil dari Rein- hard Diestel (2010) kecuali disebutkan berbeda.

Graf didefenisikan sebagai pasangan himpunan (V, E) ditulis dengan notasi G = (V, E), dimana V adalah himpunan tak kosong dari simpul-simpul dan E ada- lah himpunan sisi yang menghubungkan sepasang simpul. Himpunan simpul dari graf G ditulis dengan V (G) = {v1, v2, v3, . . . , vn}, sedangkan himpunan sisi dari graf G dinyatakan dengan E(G) = {e1, e2, e3, . . . , en} atau sisi yang menghubung- kan simpul vi dengan simpul vj dapat dinyatakan dengan pasangan (vi, vj). Pada umumnya untuk menggambarkan sebuah graf terdiri atas dot sebagai titik (vertex) dan gabungan dari 2 (dua) titik adalah garis (edge). Suatu graf G dikatakan ter- hubung jika untuk setiap simpul dari graf G terdapat jalur yang menghubungkan kedua simpul tersebut. Jalur pada graf G adalah perjalanan yang melewati semua simpul yang berbeda-beda. Perjalanan pada suatu graf G adalah barisan simpul dan ruas berganti-ganti. v1, e1, v2, e2, v3, e3, . . . , vn, en.

Suatu graf dapat digambarkan secara lengkap dengan cara mendaftar titik dan sisinya. Secara matematis, graf dapat di definisikan sebagai berikut:

5

(32)

6

1. Graf G didefinisikan sebagai pemasangan himpunan (V, E) yang dalam hal ini: V = {v1, v2, . . . , vn} adalah himpunan tidak kosong dari titik-titik (ver- tices atau node) dan E = {e1, e2, . . . , en} adalah himpunan sisi (edges atau arcs) yang menghubungkan sepasang titik;

2. Himpunan V tidak boleh kosong, sedangkan himpunan E boleh kosong. Jadi, sebuah graf dimungkinkan tidak mempunyai sisi satu pun, tetapi titiknya harus ada, minimal satu. Graf yang hanya mempunyai satu titik tanpa sisi dinamakan graf trivial.

Titik pada graf dapat dinomori dengan huruf, seperti a, b, c, . . . , v, w, . . . , dengan bilangan asli 1, 2, 3, . . . , atau gabungan keduanya. Sedangkan sisi yang menghubungkan titik v1 dinyatakan dengan pasangan (vi, vj) atau dengan lam- bang e1, e2, . . .. Dengan kata lain, jika e adalah sisi yang menghubungkan titik vi, maka e dapat ditulis sebagai e = (vi, vj).

Secara geometri graf digambarkan sebagai sekumpulan titik di dalam bidang dwimatra yang dihubungkan dengan sekumpulan garis (sisi).

Gambar 2.1 (a) Graf Sederhana, (b) Graf Ganda, (c) Graf Semu

(33)

7

2.1.1 Jenis-jenis Graf

Graf dapat dikelompokkan menjadi beberapa kategori (jenis) bergantung pada sudut pandang pengelompokannya. Pengelompokkan graf dapat dipandang berdasarkan ada tidaknya sisi ganda atau sisi gelang, berdasarkan jumlah titik, atau berdasarkan orientasi arah pada sisi.

Berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda pada suatu graf. Sehingga secara umum graf dapat digolongkan menjadi 2 (dua) jenis:

1. Simple Graph

Graf yang tidak mengandung gelang maupun sisi-ganda dinamakan graf sederhana. Pada graf sederhana, sisi adalah pasangan tak-terurut. Jadi menuliskan sisi (u, v) sama saja dengan (v, u). Graf sederhana G = (V, E) terdiri dari himpunan tidak kosong simpul-simpul dan E adalah himpunan pasangan tak-terurut yang berbeda disebut sisi;

2. Unsimple Graph

Graf yang mengandung sisi ganda atau gelang dinamakan graf tak-sederhana.

Ada 2 (dua) macam graf tak-sederhana, yaitu graf ganda dan graf semu. Graf ganda adalah graf yang mengandung sisi ganda. G2pada Gambar 2.1 adalah graf ganda. Sisi ganda yang menghubungkan sepasang simpul bisa lebih dari dua buah. Sisi ganda dapat diasosiasikan sebagai pasangan tak-terurut yang sama (Rinaldi Munir, 2010: 357). Graf semu adalah graf yang mengandung gelang. G3 adalah graf semu (meskipun memiliki sisi ganda sekalipun). Graf semu lebih umum daripada graf ganda, karena sisi pada graf semu dapat terhubung ke dirinya sendiri.

Jumlah titik pada graf disebut sebagai kardinalitas graf, dan dinyatakan de- ngan n = |V |, dan jumlah sisi dinyatakan dengan m = |E|. Pada Gambar 2.1 , G1 mempunyai n = 4, dan m = 5, sedangkan G2 mempunyai n = 4 dan m = 7.

(34)

8

Berdasarkan jumlah titik pada suatu graf, graf digolongkan menjadi 2 (dua) jenis:

1. Limited Graph

Graf berhingga adalah graf yang memiliki jumlah titik n yang berhingga.

Gambar 2.2 Graf berhingga

2. Unlimited Graph

Graf tak-berhingga adalah graf yang memiliki jumlah titik yang tak-berhingga.

Gambar 2.3 Graf tak berhingga

Berdasarkan orientasi arah pada sisi, secara umum graf dapat dibedakan atas 2 (dua) jenis:

1. Undirected Graph

Graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah disebut graf tak-berarah.

Pada graf tak-berarah, urutan pasangan titik yang dihubungkan oleh sisi tidak diperhatikan. Jadi, (u, v) = (v, u) adalah sisi yang sama. Tiga buah graf pada Gambar 2.1 adalah graf tak-berarah.

(35)

9

2. Directed graph atau Digraph

Graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah disebut sebagai graf berarah.

Pada graf berarah, (u, v) dan (v, u) menyatakan dua buah busur yang berbe- da, dengan kata lain (u, v) 6= (v, u). Titik u dinamakan titik asal dan titik v dinamakan titik terminal.

Gambar 2.4 Graf berarah

Ada beberapa graf khusus yang dijumpai pada banyak aplikasi. Beberapa di antaranya adalah:

1. Complete Graph

Graf lengkap adalah graf sederhana yang setiap titiknya mempunyai sisi ke semua titik lainnya. Graf lengkap dengan n buah titik dilambangkan dengan Kn. Setiap titik pada Kn berderajat n − 1.

Gambar 2.5 Graf lengkap Kn, 1 ≤ n ≤ 6

2. Cyclic Graph

Graf lingkaran adalah graf sederhana yang setiap titiknya berderajat 2 (dua).

Graf lingkaran dengan n titik dilambangkan dengan Cn adalah v1, v2, . . . , vn, sehingga sisi-sisinya adalah (v1, v2), (v2, v3), . . . , (vn−1, vn), dan (vn, v1). De- ngan kata lain, ada sisi dari titik terakhir vn ke titik pertama v1.

(36)

10

Gambar 2.6 Graf lingkar Cn, 3 ≤ n ≤ 68

3. Regular Graph

Graf teratur adalah graf yang memiliki derajat yang sama. Jika derajat setiap titik adalah r, maka graf disebut sebagai graf teratur derajat r. Graf lengkap Kn dan graf lingkar Cn juga termaksud ke dalam graf teratur.

Gambar 2.7 Graf teratur derajat 0, 1, dan 2

4. Bipartie Graph

Jika r ≥ 2 adalah bilangan bulat. Graf G = (V, E) disebut r-partite jika V menambahkan partisi kedalam kelas r sehingga setiap sisi mempunyai titik akhir di kelas yang berbeda: titik di kelas partisi yang sama tidak harus bertetangga sebagai ganti 2-partisi.

Sebuah graf r-partite yang mana setiap 2 titik dari kelas partisi berbeda yang saling bertetangga disebut lengkap: graf r-partite lengkap untuk semua r yang bersamaan adalah graf lengkap multipartite.

Gambar 2.8 Dua graf 3-bipartisi

(37)

11

Graf G yang himpunan titiknya dapat dikelompokkan menjadi 2 (dua) him- punan bagian V1 dan V2, sedemikian sehingga setiap sisi di dalam G meng- hubungkan sebuah titik di V1 ke sebuah titik di V2 disebut graf bipartit dan dinyatakan sebagai G(V1, V2). Dengan kata lain, setiap pasangan titik di V1

(demikian pula dengan titik-titik di V2) tidak bertetangga. Jika setiap titik di V1 bertetangga dengan semua titik di V2, maka G(V1, V2) disebut sebagai graf bipartit lengkap, dilambangkan dengan Km,n. Jumlah sisi pada bipartit lengkap adalah mn.

Teorema 2.1.1 Asratian et al.,(1998)) Sebuah graf G adalah graf bipartisi jika dan hanya jika G tidak mempunyai cycle ganjil.

Bukti: Andaikan G adalah sebuah graf bipastisi dengan partisi (V1, V2) dan C = v0v1v2, .vkv0 adalah sebuah cycle di G. tanpa menghilangkan keumu- mannya asumsikan v0 ∈ V1. Maka, karena G graf bipartisi, v1haruslah sebuah titik di subset V2. Tentu harus punya v2i ∈ V1 dan v2i+1∈ V2. Karena itu k haruslah ganjil, dan C adalah cycle genap.

Graf r-partite lengkap K¯ⁿ¹ ∗ . . . ∗ ¯Kⁿ^r dinotasikan oleh Kn1,...,nr ; jika n1 = . . . = nr =: s. Dengan mempertimbangkan K_s^r· K_s^r adalah graf lengkap r- partite yang mana setiap kelas partisi mengandung tepat s titik. Graf dari

Gambar 2.9 Tiga gambar dari graf bipartisi K3,3= K₃²

bagian K1,ndisebut stars; titik di kelas partisi singleton dari K1,nadalah stars centre. Jelaslah bahwa sebuah graf bipartisi tidak dapat mengandung sebuah odd cycle, panjang lingkaran odd. Pada kenyataannya graf dikarakteristikkan oleh sifat berikut:

Proposisi 2.1 Sebuah graf adalah bipartisi jika dan hanya jika graf tersebut tidak mengandung ood cycle.

(38)

12

Bukti: jika G = (V, E) menjadi sebuah graf tanpa odd cycle, dapat ditun- jukkan bahwa G bipartisi. Jelaslah bahwa sebuah graf adalah bipartisi jika semua komponen adalah biparitisi atau trivial dan graf G terhubung.

Gambar 2.10 Graf bipartit G(V1, V2)

5. Connected

Keterhubungan dua buah titik adalah penting di dalam graf. Jika dua buah titik u dan titik v dikatakan terhubung, maka terdapat lintasan dari u dan v. Jika 2 (dua) buah titik terhubung, maka pasti titik yang pertama dapat dicapai dari titik yang ke dua.

Jika setiap pasang titik di dalam graf terhubung, maka graf tersebut dikatakan graf terhubung. Secara formal, definisi graf terhubung menurut Rinaldi Mu- nir (2010: 372) adalah sebagai berikut: Graf tak-berarah G disebut graf terhubung untuk setiap pasang titik u dan v dalam himpunan V dan terda- pat lintasan dari u ke v. Jika tidak ada keterhubungan antara titik u dan v, maka G disebut graf tak-terhubung.

Gambar 2.11 Graf tak-berarah tidak terhubung

(39)

13

Graf yang hanya terdiri atas satu titik saja (tidak ada sisi) tetap dikatakan terhubung, karena titik tunggalnya terhubung dengan dirinya sendiri juga dikatakan graf terhubung. Jika graf tak berarahnya terhubung (graf tak- berarah dari G diperoleh dengan menghilangkan arahnya), maka graf berarah G dikatakan terhubung.

Keterhubungan 2 (dua) buah titik pada graf berarah dibedakan menjadi ter- hubung kuat dan terhubung lemah. Dua titik u dan v pada graf berarah G disebut terhubung kuat karena terdapat lintasan berarah dari u ke v, dan ju- ga sebaliknya lintasan berarah dari v ke u. Jika u dan v tidak terhubung kuat tetapi tetap terhubung pada graf tak-berarahnya, maka u dan v dikatakan ter- hubung lemah. Ke dua pernyataan tersebut (terhubung kuat dan terhubung lemah) melahirkan definisi graf terhubung kuat: Graf berarah G disebut graf terhubung kuat apabila untuk setiap pasang titik sembarang vi dan vj di G terhubung kuat. Jika tidak, maka G disebut graf terhubung lemah.

Gambar 2.12 (a) Graf berarah terhubung kuat, (b) Graf berarah terhubung lemah

2.2 Pohon dan Hutan

Graf pohon adalah graf terhubung yang tidak memuat lingkaran. Jika sebuah graf terdiri dari beberapa komponen dan tiap-tiap komponen merupakan pohon maka graf tersebut disebut hutan (forest). Titik yang berderajat 1 di pohon disebut sebagai daun. Gambar 2.13 menggambarkan graf pohon.

(40)

14

Gambar 2.13 Graf Pohon

Pohon adalah tipe graf sederhana yang tidak biasa. Seperti yang akan dijelaskan, pohon memiliki sifat-sifat yang relatif bagus sehingga pada kenyataannya setiap dua simpul yang terhubung membentuk sisi akan menghasilkan lintasan yang unik.

Daftar teorema berikut adalah beberapa sifat sederhana dari pohon.

Teorema 2.2.1 Jika T adalah graf dengan n titik, maka pernyataan berikut akan ekuivalen.

i T adalah pohon

ii T tidak mengandung lingkaran dan mempunyai n − 1 sisi.

iii T terhubung dan mempunyai n − 1 sisi.

iv T terhubung dan setiap sisi adalah sebuah lintasan/jembatan.

v Dua titik dari T terhubung oleh tepat satu jalur.

vi T tidak mengadung lingkaran, tetapi penambahan setiap sisi baru akan men- ciptakan tepat satu lingkaran.

Bukti. jika n = 1, maka keenam hasil adalah biasa, oleh karena itu diasumsikan bahwa n ≥ 2.

(41)

15

(i) → (ii), karena T tidak mengandung lingkaran, maka penghapusan beberapa sisi harus memutuskan T ke dalam 2 (dua) graf yang masing-masing adalah pohon.

Berdasarkan induksinya, jumlah sisi di setiap 2 (dua) pohon adalah kurang satu dari jumlah titik. Sehingga dapat disimpulkan bahwa total keseluruhan jumlah sisi pada pohon T adalah n − 1.

(ii) → (iii) jika T tidak terhubung, maka setiap komponen T adalah graf terhubung dengan tanpa lingkaran dan karenanya pada bagian sebelumnya jumlah titik di setiap komponen melebihi jumlah sisi yaitu 1. Total jumlah titik dari graf T melebihi total jumlah sisi sedikitnya 2. Ini berlawanan dengan kenyataan bahwa T mempunyai n − 1 sisi.

(iii) → (iv) penghapusan beberapa hasil sisi dari graf dengan n titik dan n − 2 sisi.

(iv) → (v) karena T terhubung, setiap pasang titik terhubung oleh paling sedikit satu lintasan. Jika diberikan pasangan titik terhubung oleh 2 (dua) lintasan, maka mereka akan memiliki lingkaran. Ini berlawanan dengan kenyataan bahwa setiap sisi adalah jembatan.

(v) → (vi) jika T mengandung sebuah lingkaran, maka ada 2 (dua) titik da- lam lingkaran yang akan terhubung dengan kurang lebih 2 (dua) lintasan, ini berlawanan dengan pernyataan (v). Jika sebuah sisi e ditambahkan ke T , ma- ka titik yang bertetangga dengan e telah terhubung di T dan akan membentuk sebuah lingkaran.

(vi) → (i) Diperkirakan bahwa T tidak terhubung. Jika ditambahkan ke T ga- bungan beberapa titik yang menghasilkan sisi dari komponen titik yang lain, maka tidak akan ada lingkaran yang terbentuk.

2.3 Pohon Merentang (Spanning Tree)

Misalkan G = (V, E) adalah graf tak berarah terhubung yang bukan pohon, yang berarti G memiliki sirkuit. G dapat diubah menjadi pohon T = (V1, E1) dengan cara memutuskan sirkuit-sirkuit yang ada. Caranya, mula-mula pilih salah satu sirkuit, lalu hapus satu buah sisi dari sirkuit ini. G akan tetap terhubung dan jumlah sirkuitnya berkurang satu. Bila proses ini dilakukan berulang-ulang sampai

(42)

16

semua sirkuit di G hilang, maka G menjadi sebuah pohon T yang dinamakan pohon merentang (spanning tree). Disebut pohon merentang karena semua simpul pada pohon T sama dengan simpul semua simpul pada graf G, dan sisi-sisi pada pohon T ⊆ sisi-sisi pada graf G. dengan kata lain, V1 = V dan E1 ⊆ E.

Aplikasi pohon merentang misalnya pada pemeliharaan jalan raya. Misalkan pada gambar 2.14 di bawah ini, adalah peta jaringan jalan raya yang menghubungkan empat buah kota. Karena dana pemeliharaan yang terbatas, pemerintah daerah mempertimbangkan hanya memelihara jalan-jalan sesedikit mungkin sedemikian sehingga keempat kota masih tetap terhubung satu sama lain. Pohon merentang juga memainkan peranan penting dalam jaringan komputer.

Gambar 2.14 Graf lengkap G dan empat buah pohon merentangnya, T1, T2, T3, T4

Harus diingat bahwa pohon merentang didefenisikan hanya untuk graf ter- hubung, karena pohon selalu terhubung. Pada graf tak terhubung dengan n buah simpul tidak akan dapat menemukan upagraf terhubung dengan n buah simpul.

Tiap komponen dari graf tak terhubung mempunyai satu buah pohon merentang.

Dengan demikian, graf tak-terhubung dengan k komponen mempunyai hutan me- rentang (spanning tree) yang terdiri dari k buah pohon merentang. Sisi pada pohon merentang disebut cabang (branch) adalah sisi dari graf semula, sedangkan tali hubung (chord atau link)dari pohon adalah sisi dari graf yang tidak terdapat di dalam pohon merentang.

Jika G adalah graf berbobot, maka bobot pohon merentang T dari G dide- finisikan sebagai jumlah bobot semua sisi di T . Pohon merentang yang berbeda mempunyai bobot yang berbeda pula. Diantara semua pohon merentang di G, po- hon merentang yang berbobot minimum dinamakan pohon merentang minimum (minimum spanning tree) merupakan pohon yang paling penting. Pohon meren- tang minimum mempunyai terapan yang cukup luas. Misalkan pemerintah akan

(43)

17

membangun jalur rel kereta api yang menghubungkan sejumlah kota seperti gambar 2.3. Membangun rel kereta api membutuhkan biaya yang tidak sedikit. Oleh karena itu, dibutuhkan perencanaan terbaik dengan menentukan jarak minimum untuk menghubungkan dua kota.

Gambar 2.15 Graf yang menyatakan jaringan jalur rel kereta api. Bobot pada setiap sisi menyatakan panjang rel kereta api (× 100m) (b). Pohon merentang yang mempunyai jumlah jarak minimum

Pada kebanyakan aplikasi pohon, simpul tertentu diperlukan sebagai akar (root). Sekali sebuah simpul dinyatakan sebagai akar, maka titik-titik yang lainnya dapat dicapai dari akar dengan memberi arah pada sisi-sisi pohon yang mengikuti- nya. Dengan begitu, Pohon yang sebuah simpulnya diperlakukan sebagai akar dan sisi-sisinya diberi arah menjauh dari akar dinamakan pohon berakar (rooted tree).

Akar mempunyai derajat masuk sama dengan nol dan titik-titik lainnya berderajat masuk sama dengan satu. Titik yang mempunyai derajat keluar sama dengan nol disebut daun atau titik terminal. Titik yang mempunyai derajat keluar tidak sama dengan nol disebut titik dalam atau titik cabang. Setiap titik di pohon dapat dicapai dari akar dengan sebuah lintasan tunggal (unik). Sembarang pohon tak-berakar dapat diubah menjadi pohon berakar dengan memilihi sebuah simpul sebagai akar.

(44)

BAB 3

ANALISA GRAF KORDAL

Graf yang akan dibahas pada penelitian ini adalah graf tak-berarah dan ter- batas tanpa memiliki sisi ganda. Sebuah lintasan dalam graf G adalah sebuah urutan p1, p2, . . . , pn dari titik-titik yang berbeda di G sehingga pipi+1 adalah sisi graf G yang 1 ≤ i ≤ n, dan sebuah graf dikatakan terhubung jika dan hanya ji- ka ada lintasan antara dua titik yang digabungkan oleh sebuah sisi. Sebuah graf dikatakan kordal (triangulated, rigid circuit) jika panjang setiap lingkaran dari graf lebih besar dari tiga dan haruslah mengandung chord, dimana chord adalah sebuah sisi yang bukan bagian dari graf G namun menghubungkan dua titik dari lingkaran G. Chord dari sebuah lingkaran p1, p2, . . . , pn adalah sebuah sisi yang merupakan gabungan titik pi dan pj, dimana |i − j| 6= 1 (mod n). Graf kordal adalah graf lengkap, sehingga memungkinkan setiap sisi terhubung.

Istilah Chord ini sering digunakan untuk menggambarkan segmen garis yang titik akhirnya terletak pada lingkaran graf tersebut. Istilah ini juga digunakan dalam teori graf, dimana sebuah chord lingkaran dari graf lingkaran adalah sisi yang tidak terletak di lingkaran namun titik akhir dari chord tersebut ada pada graf lingkaran. Misalnya, setiap subgraf yang merupakan subgraf dari graf kordal mengandung titik sederhana, sehingga setiap titik yang bertetangga merupakan subgraf lengkap (Dirac: 1961).

Gambar 3.1 Graf kordal (sumber, Wikipedia)

Gambar 3.1 menunjukkan lingkaran graf dengan sisi bewarna hitam dengan 2 (dua) sisi kordal bewarna hijau. Graf tersebut adalah kordal. Namun jika mengha- pus salah satu sisi berwarna hijau tidak akan menghasilkan graf kordal. Sehingga

(45)

19

sisi hijau lainnya dengan 3 (tiga) sisi hitam akan membentuk lingkaran dengan panjang empat tanpa kordal.

3.1 Graf Kordal sebagai Irisan Graf

Jika F = {S1, S2, . . . , Sn} adalah keluarga himpunan. Irisan graf dari F dinotasikan Ω(F ) adalah graf yang mempunyai F sebagai himpunan titik dimana Si bertetangga dengan Sj jika dan hanya jika i 6= j dan Si ∩ Sj 6= ∅. Sebuah graf G adalah irisan graf jika terdapat sebuah keluarga F sehingga G ∼= Ω(F ), dimana dalam penelitian ini menampilkan isomorfisma khas oleh penulisan V (G) = {v1, v2, . . . , vn} dengan setiap vi bersesuaian ke Si sehingga vivj ∈ E(G) jika dan hanya jika Si∩ Sj 6= ∅. Ketika G ∼= Ω(F ), F kemudian disebut sebagai representasi himpunan dari G.

Teorema 3.1.1 (Peter Buneman, 1973). Jika {T1, T2, . . . , Tn} adalah him- punan subpohon dari pohon T , maka irisan graf {T1, T2, . . . , Tn} adalah graf kordal.

Teorema 3.1.2 (Marczewski, 1995), setiap graf adalah irisan graf.

Mckee. A. Terry dan Mcmorris. F. R (2006) mendefinisikan sebuah graf untuk menjadi graf subpohon jika graf tersebut adalah irisan graf dari keluarga subpohon dari pohon. Pohon dan keluarga subpohon didefenisikan sebagai representasi pohon dari graf subpohon dan ketika pohon adalah objek topologi, jelaslah bahwa pohon bisa diambil untuk dijadikan pohon di graph-theoritics sense.

Gambar 3.2 Graf kordal dan dua representasi pohon (Sumber, Mckee dan Mcmor- ris, 2006)

Graf G yang ditunjukkan pada gambar 3.2, di sebelah kiri adalah isomor- fik graf subpohon untuk Ω({T1, . . . , T7}) dimana setiap Ti adalah subpohon dari

(46)

20

graf pohon yang terletak di tengah disebabkan oleh titik-titik yang mengandung i. sebagai contoh V (T5) = {15, 345, 3456, 4567, 5}. Jelaslah bahwa banyak terda- pat representasi pohon dari graf G. sebagai contoh, pohon yang ditunjukkan pada gambar di atas sebelah kanan adalah representasi pohon dari graf G.

Graf G adalah graf subpohon jika dan hanya jika graf G memiliki Edge clique cover ε dimana anggotanya bisa digabung dengan titik-titik di pohon T . Sehingga untuk setiap v ∈ V (G), {Q : v ∈ Q ∈ ε}. Menyebabkan subpohon Tv dari T . Edge clique cover dari G adalah keluarga ε = {Q1, Q2, . . . , Qk} dari subgraf lengkap G sehingga setiap sisi dari graf G adalah E(Q1), . . . , E(Qk). Dengan kata lain, xy ∈Sk

i=1E(Qi). Ingatlah bahwa Q1 mungkin untuk null subgraf dari G.

Defenisi alternatif dari jumlah irisan graf G adalah jumlah terkecil dari clique di G yang merupakan kumpulan semua sisi dari graf G. Hasil dari jumlah irisan dan edge clique cover mudah untuk dibuktikan. Dalam satu arah, jika G adalah irisan graf dari himpunan keluarga F yang merupakan gabungan U yang memiliki elemen k. Maka terdapat x elemen dari U , subset titik G bersesuaian ke himpunan yang mengandung x dari clique: terdapat dua titik di subset ini yang bertetangga, karena himpunan mereka mempunyai irisan yang tidak kosong dan mengandung x.

Sehingga setiap sisi di G terletak pada clique ini, karena sisi yang bersesuaian ke irisan yang tidak kosong dan irisan yang tidak kosong mengandung paling sedikit satu elemen dari U . Oleh karena itu, sisi di G bisa dicover oleh k cliques, satu per elemen U . Dengan kata lain, jika graf G bisa dicover oleh k cliques, maka setiap titik G mungkin direpresentasikan oleh himpunan cliques yang mengandung titik tersebut.

Gambar 3.3 Clique pada graf

(47)

21

Pada gambar 3.3 graf berwarna biru muda menunjukkan clique dengan jumlah titik 3 (tiga) dan graf berwarna biru tua menunjukkan clique dengan jumlah titik 4 (empat). (Sumber: Wikipedia).

3.2 Graf Kordal Bipartisi

Sebuah graf bipartisi dikatakan kordal bipartisi jika panjang cycle dari graf tersebut tidak kurang dari 6 (enam). Graf kordal bipartisi diperkenalkan oleh Golumbic dan Goss pada tahun 1978 sebagai analogi alami bipartisi dari graf ko- rdal. Setiap non-trivial graf kordal bipartisi mengandung sebuah sisi sederhana, sehingga pasangan sisi yang saling bertetangga menginduksi sebuah subgraf bipartisi lengkap. Oleh karena itu, graf bipartisi adalah graf kordal jika dan hanya jika setiap non-trivial yang terinduksi subgraf mengandung sisi sederhana.

Diberikan sisi pemisah minimal S untuk gabungan sisi v1v2 dan v3v4 ada- lah minimal subset dari titik-titik yang dipindah dari graf pemisah v1v2 dan v3v4

kedalam komponen terhubung yang berbeda. Sisi v1v2 dan v3v4 adalah gabungan dari titik v1, v2, v3, dan v4 yang semua titiknya berbeda. Maka jelaslah bahwa, setiap titik S bertetangga ke beberapa titik di komponen terhubung lainnya yang mengandung v1v2 dan v3v4.

Teorema 3.2.1 (Golumbic, 1978) Graf bipartit (X, Y, E) adalah kordal jika dan hanya jika setiap sisi pemisah minimal mengandung subgraf bipartit lengkap.

Bukti: Misal terdapat sebuah lingkaran kordal C = [v1, v2, . . . , vk, v1] dengan panjang k ≥ 6. Pertimbangkan himpunan S dari semua titik yang berdekatan setidaknya satu dari v2, v3, v5, danv6tapi tidak termasuk empat simpul ini. Pastilah S memisahkan v2v3 dan v5v6 dan S ∩ C = {v1, v4, v7} (jika k = 6, maka v7 = v1).

Jika S ⊆ S menjadi sisi pemisah minimal untuk v2v3 dan v5v6. Maka v4 ∈ S dan v1 ∈ S atau v7 ∈ S menyiratkan oleh hipotesis bahwa C memiliki kordal karena paritas berlawanan dari subscript. Berlawanan. Jika S adalah sisi pemisah minimal dan jika G[A] = (A, E[A]) dan G[B] = (B, E[B]) menjadi komponen terhubung dari graf setelah perpindahan S. Jika x, y ∈ S, x ∈ X, dan y ∈ Y . G[A] dan G[B] terhubung, terdapat panjang minimum lintasan [x, a0, a1, . . . , y]

dan [y, b0, b1, . . . , x] dengan ai ∈ A dan bi ∈ B. Lintasan ini adalah lintasan aneh

(48)

22

dengan pajang ≥ 3, yang bergabung menjadi lingkaran dengan panjang lebih besar dari empat. Lingkaran ini haruslah kordal xy karena dengan kontruksi tidak ada pasangan lain yang mungkin berdekatan.

Teorema 3.2.2 (Golumbic, 1978) Setiap graf kordal bipartisi adalah perfect elimination bipartite graph.

Bukti: Jika G = (X, Y, E) adalah graf kordal bipartisi graf dengan sisi sekurang- kurangnya dua. Karena induksi subgraf G juga merupakan graf kordal, hasil in- duksi tersebut cukup untuk menunjukkan bahwa G memiliki titik yang sederhana.

Oleh karena itu, melalui teorema 6, yaitu:

Gambar 3.4 Perfect elimination bipartite graph yang tidak mengandung kordal.

(Sumber: Golumbic, 1978)

Teorema 3.2.3 (Golumbic, 1978) Jika graf bipartisi G = (X, Y, E) tidak memi- liki pasangan sisi yang tidak terhubung, maka graf bipartisi adalah sebuah perfect elimination bipartite graph.

Dapat diasumsikan bahwa G mempunyai pasangan sisi yang tidak terhubung.

Pemilihan sisi yang tidak terhubung α dan β dan sisi pemisah minimal S untuk mereka sehingga komponen terhubung G(B) mengandung β (setelah perpindahan S) mempunyai jumlah titik terkecil atas semua kemungkinan pemilihan dari α, β, dan S. Maka G[A] menjadi komponen yang mengandung α. Dengan mempertim- bangkan:

xy ∈ E untuk semua x ∈ B ∩ X dan S ∩ Y

(49)

23

dan

xy ∈ E untuk semua x ∈ S ∩ X dan y ∈ B ∩ Y

Sebagai kasus ketika |B| = 2, maka setiap sisi sederhana dari G[B] adalah seder- hana di G. karena G[B] adalah kordal dan lebih kecil daripada G, G[B] memiliki sisi sederhana oleh induksi.

Oleh karena itu, asumsikan bahwa |B| > 2 dan terdapat titik x ∈ B ∩ X dan y ∈ B ∩ Y sehingga xy 6∈ E. Pertimbangkan

A = A + {y}

S = S − {y} + (Adj(y) ∩ B) B = B(Adj(y) ∩ B)

Sekarang x bertetangga ke beberapa z ∈ B (karena hanya titik dari paritas yang sama sebagai x yang dipindah dari B). dan S memisah α dan xz. Maka S ⊆ S menjadi sisi pemisah minimal untuk α dan xz dengan A dan B adalah komponen yang mengandung α dan xz. Sehingga setiap titik in S bertetangga ke beberapa titik di A, Jika A = A + (S − S) dan B = B, maka |B| <. |B| berlawanan dengan minimal |B|.

Akibat 3.2.4 Sebuah graf adalah kordal bipartisi graf jika dan hanya jika setiap induksi subgraf adalah perfect elimination bipartite.

Bukti. Jika G memiliki chordless cycle C dengan panjang lebih besar atau sama dengan 4, maka C akan menginduksi subgraf yang bukan perfect elimination. Se- baliknya jika G adalah graf kordal bipartisi, maka setiap induksi subgraf H dan oleh teorema 5, H adalah perfect elimination.

(50)

24

Gambar 3.5 Graf C6, 3K2, C8

Maka G = (X, Y, E) adalah graf bipatisi dan ˆG = (X, Y, ˆE) melambangkan komplemen bipartisi, sehingga untuk semua x ∈ X dan y ∈ Y

xy ∈ ˆE jika dan hanya jika xy 6∈ E Sebagai contoh, ˆC6= 3K2 dan ˆC8 = C8.

Teorema 3.2.5 (M.C.Golumbic, 1978) Graf G dan ˆG keduanya adalah kordal bipartisi jika dan hanya jika G tidak mengandung induksi subgraf isomorpik ke C6, 3K2 atau C8.

Bukti. Dilihat langsung dari contoh dan observasi dinyatakan bahwa jika G tidak mengandung C6, ˆG maka tidak mengandung Cn untuk n ≥ 10.

Akibat 3.2.6 Jika graf bipartisi G tidak mengandung 2K2, maka G dan ˆG ke- duanya adalah graf kordal bipartisi dimana G dan ˆG keduanya merupakan perfect elimination bipartisi.

3.3 Pewarnaan Graf (Colouring Graph)

Ada 3 (tiga) macam pewarnaan graf, yaitu pewarnaan titik, pewarnaan sisi, dan pewarnaan wilayah (region). Pewarnaan titik adalah memberi warna pada titik-titik suatu graf sedemikian sehingga tidak ada dua titik bertetangga mempunyai warna yang sama. Pemberian sembarang warna pada titik-titik diperbolehkan asalkan berbeda dengan titik-titik tetangganya.

(51)

25

Dalam persoalan pewarnaan graf, tidak hanya sekedar mewarnai titik-titik dengan warna berbeda dari warna titik tetangganya saja, namun juga diinginkan jumlah macam warna yang digunakan sesedikit mungkin. Banyaknya warna minimum yang dapat digunakan untuk mewarnai titik disebut bilangan kromatik. Pada graf G, disimbolkan dengan χ(G). Suatu graf G yang mempunyai bilangan kro- matik k dilambangkan dengan χ(G) = k. Beberapa graf tertentu dapat langsung ditentukan bilangan kromatiknya. Graf kosong Nn memiliki χ(G) = 1. Jika se- mua titik tidak terhubung, maka untuk mewarnai semua titik cukup dibutuhkan satu warna saja. Graf lengkap Kn memiliki χ(G) = n sebab semua titik saling terhubung sehingga diperlukan n buah warna.

Misal G graf sederhana. Pewarnaan sisi-k untuk G adalah pemberian k warna pada sisi-sisi G sedemikian hingga setiap dua sisi yang bertemu pada titik yang sama mendapatkan warna berbeda (Watkins dan Wilson, 1992: 262). Jika G memiliki pewarnaan sisi-k, maka G dikatakan dapat diwarnai dengan sisi-k. Indeks kromatik G dinotasikan dengan χ(G) adalah bilangan k terkecil sehingga G dapat diwarnai oleh sisi-k. Biasanya pewarnaan sisi-k ini ditunjukkan dengan menulis bilangan-bilangan 1, 2, 3, . . . , k di dekat sisi-sisi yang sesuai. Definisi pewarnaan sisi graf sebelumnya diberikan hanya untuk graf sederhana, karena dalam setiap pewarnaan sisi-k sisi-sisi yang bertemu pada suatu titik harus mendapat warna yang berbeda. Colouring graph juga dapat digunakan untuk mempartisi sebuah graf kordal bipartisi dengan cara memberikan warna yang berbeda pada setiap clique yang saling berhubungan pada graf kordal bipartisi.

(52)

BAB 4

MENENTUKAN REPRESENTASI POHON DARI GRAF KORDAL BIPARTISI

Sebuah graf dapat menghasilkan banyak subgraf, tergantung banyaknya titik dan sisi yang terdapat pada graf tersebut. Semakin banyak titik dan garis maka akan semakin banyak subgraf yang akan terbentuk dari sebuah graf. Subgraf pohon dari sebuah graf pohon merupakan subgraf yang mengandung akar dan daun seperti yang sudah dijelaskan pada pembahasan sebelumnya. Subgraf merupakan salah satu syarat perlu untuk menentukan representasi pohon dari graf kordal bipartisi. Penentuan representasi pohon dari graf kordal dengan menentukan subgraf dan clique terlebih dahulu telah dideskripsikan oleh F ˜ANIC ˜A GAVRIL tahun 1974.

Dalam penelitiannya F ˜ANIC ˜A GAVRIL mengkontruksi sebuah graf yang mengan- dung chord atau disebut juga graf kordal menjadi sebuah representasi pohon.

Jamison dan Mulder memaparkan 3 definisi yang berkaitan dengan representasi pohon, yaitu:

1) Representasi dikatakan kuat jika representasi tersebut memetakan v → Sv

satu-satu. Sehingga titik yang berbeda di graf G harus direpresentasikan oleh subpohon yang berbeda dari pohon T ;

2) Representasi dikatakan menghasilkan daun jika setiap titik akhir dari repre- sentasi subpohon adalah daun dari pohon T ;

3) Representasi dikatakan tetap jika merepresentasikan subpohon yang mem- bagi daun dari pohon T yang merupakan perwakilan dari titik-titik yang bertetangga dari pohon T .

Berdasarkan penjabaran di atas, representasi pohon dari graf kordal bipartisi adalah merepresentasikan graf kordal bipartisi yang menghasilkan daun dan mewakili subpohon yang membagi daun jika dan hanya jika graf pohon yang di- hasilkan merepresentasikan titik yang bertetangga di graf.

(53)

27

4.1 Analisa Algoritma

F ˜ANIC ˜A GAVRIL tahun 1974 dalam tulisannya bertujuan untuk membuk- tikan bahwa sebuah graf adalah graf subpohon jika dan hanya jika graf tersebut mengandung graf kordal.

Gambar 4.1 (a) Graf kordal G dan (b) Representasi pohon dari graf kordal (Sum- ber: F ˜ANIC ˜A GAVRIL, 1974)

Gambar 4.1 merupakan sebuah graf kordal dan hasil representasi pohon awal sebelum di representasikan dengan algoritma F ˜ANIC ˜A GAVRIL. Representasi pohon dari graf kordal pertama sekali mengasumsikan bahwa keluarga subpohon hanya mengandung subset pohon tertutup karena bisa dipindahkan kedalam cara yang cocok dengan titik akhir dari subpohon tanpa merubah hubungan irisannya.

Algoritma ini hanya akan digunakan pada graf pohon yang tidak berarah. Seperti yang diketahui, graf pohon tidak berarah, untuk setiap dua titik terdapat sebuah lintasan tunggal yang terhubung ke mereka. Jika keluarga F adalah sebuah repre- sentasi dari graf G, dinotasikan sebagai subpohon yang bersesuaian ke titik v oleh

¯

v. Berdasarkan subpohon graf G, dan representasi F pada pohon T .

Lemma 4.1.1 Untuk setiap graf terhubung lengkap A dari graf G,T

v ∈ A, ¯v 6= ∅

Bukti: Jika terdapat tiga titik a1, a2, a3 pada pohon T . maka ¯F menjadi subset dari F sehingga setiap anggota ¯F mengandung paling sedikit dua titik a1, a2, a3. Maka bisa dilambangkan menjadi:

F1 = {t|t ∈ ¯F dan a1, a2 ∈ t}, F2 = {t|t ∈ ¯F dan a1, a3 ∈ t}, F3 = {t|t ∈ ¯F dan a2, a3 ∈ t}.